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Estatística Na Engenharia
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ESTATÍSTICA NA
ENGENHARIA – AULA 2Especialização em Engenharia de Segurança do Trabalho
Instituto Executivo de Formação
Professor Esp. Eng. Anderson Barbosa
Apresentação - Quem vos fala?
• Anderson Barbosa Rodrigues
Engenheiro de Computação (UFC)
MBA em Gerenciamento de Projetos
Mestrado em Engenharia Elétrica e de Computação – em andamento
Contatos:
(88) 9974.9194
Skype: anderson.ecomp
O que já vimos?
• Utilização de estatística em Engenharia e Ciências;
• População, Amostra e Processo;
• Coleta e Apresentação de Dados Estatísticos;
• Medidas de Localização e dispersão;
• Probabilidade;
O que será abordado nesta aula
• Variáveis Aleatórias;
• Distribuições Discretas;
• Distribuições Contínuas;
• Testes de Hipóteses;
• Regressão Linear e Correlação;
• Utilização de Softwares aplicados a Estatística.
Bibliografia – Aula 2
VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS
Variável Aleatória
• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável
quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores
aleatórios.
• Exemplos:
• Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;
• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada,
aleatoriamente, de um lote;
• Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;
• Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo
período de tempo;
• Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;
• Resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão;
• Tempo de resposta de um sistema computacional;
• Grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.
Variável Aleatória
• Formalmente, uma variável aleatória é uma função que
associa elementos do espaço amostral ao conjunto de
números reais.
X = Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;
Variável Aleatória
Variável Aleatória
Variável Aleatória
VA Discreta – Função de Probabilidade
• A distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória X é a descrição de um conjunto de
probabilidades associadas aos possíveis valores de X.
VA Discreta – Função de Probabilidade
• Representações Gráficas de uma Função de
Probabilidade
VA Discreta – Função de Distribuição
Acumulada
VA Discreta – Função de Distribuição
Acumulada
VA Discreta – Valor Esperado
VA Discreta – Variância e Desvio Padrão
VA Discreta – Algumas Propriedades
VA Discreta – Efeitos
VA Contínuas
• Exemplos:
• Tempo de resposta de um sistema computacional;
• Rendimento de um processo químico;
• Tempo de vida de um componente eletrônico;
• Resistência de um material;
• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):
• Número de transações por segundo de uma CPU;
• Número de defeitos numa amostra de 5.000 itens;
VA - Contínuas vs. Discreta
VA - Contínuas vs. Discreta
VA - Contínuas
VA - Contínuas
Função Densidade de Probabilidade
VA - Contínuas
VA - Contínua
Função de Distribuição Acumulada
Exemplo
VA - Contínua
Obtendo Probabilidades a partir da FDA
Para a > b
Dada a FDA, podemos encontrar a função de densidade de probabilidade
VA - Contínua
Obtendo Probabilidades a partir da FDA
Para a > b
Dada a FDA, podemos encontrar a função de densidade de probabilidade
VA - Contínua
Valor Esperado e Variância
Ou
Exercícios
DISTRIBUIÇÕES
DISCRETAS E
APLICAÇÕES
Provas de Bernoulli e a Distribuição de
Bernoulli• Há muitos problemas que o experimento consiste em n
tentativas ou subexperimentos;
• Estamos interessados em uma tentativa individual, com dois resultados possíveis:• Sucesso (S);
• Fracasso (F);
• Cada realização (tentativa) temos:• Realização de um experimento e observar o resultado;
• {S,F} →{𝑋𝑗 = 1, 𝑋𝑗 = 0}
• Chamamos as n realizações de provas de Bernoulli.
• Caso as provas forem independentes, chamamos a realização de processo de Bernoulli;
Provas de Bernoulli e a Distribuição de
Bernoulli
Provas de Bernoulli e a Distribuição de
Bernoulli
Provas de Bernoulli e a Distribuição de
Bernoulli• Valor esperado:
• Variância:
Distribuição de Bernoulli - Aplicação
Consideremos um processo de fabricação no qual pequenas partes de aço são
produzidas por uma máquina automática. Além disso, cada parte em uma
sequência de produção de 1000 unidades deve ser classificada como defeituosa
ou boa quando inspecionada. Podemos considerar a produção de uma parte
como uma única tentativa que resulta em sucesso (digamos, um item defeituoso)
ou fracasso (um item bom). Se temos razões para acreditar que a máquina
produz um item defeituoso em uma sequência com a mesma chance que em
outra, e se a produção de um defeituoso em uma sequência não e nem mais
nem menos provável por causa dos resultados nas provas anteriores, então
seria razoável supor que a sequência de produção e um processo de Bernoulli
com 1000 provas. A probabilidade, p, de um defeituoso ser produzido em uma
prova e chamada de fracao media de defeituosos do processo
Distribuição Binomial
• A variável aleatória X que denota o numero de sucessos
em n provas de Bernoulli tem uma distribuição binomial
dada por p(x), onde:
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
• A probabilidade de um resultado particular com S para as
x primeiras tentativas e F para as últimas n-x tentativas,
é:
• Sabemos que há 𝑛𝑥
resultados que tem xS e (n-x)F,
portanto:
Distribuição Binomial – Valor Esperado e
Variância
Distribuição Binomial – Valor Esperado e
Variância
Distribuição Binomial – Valor Esperado e
Variância
Distribuição Binomial Acumulada
Distribuição Binomial – AplicaçõesExemplo:
Um processo de produção, representado esquematicamente pela Fig. 5-4,
produz milhares de peças por dia. Em média, 1% das peças e defeituoso, e essa
média não varia com o tempo. A toda hora, uma amostra aleatória de 100 peças
e selecionada de uma esteira, e várias características são observadas e
medidas em cada uma; no entanto, o inspetor classifica a peça como boa ou
defeituosa. Se considerarmos a amostra como n = 100 provas de Bernoulli, p =
0,01. Suponha que o inspetor tenha instrução de parar o processo caso a
amostra contenha mais de duas defeituosas. Qual a probabilidade do inspetor
parar o processo fabril? Qual o número médio de defeituosas que seria
encontrado? E a variância do processo?
Exemplo
Um processo de produção que fabrica transistores opera,
na média, com probabilidade de defeituosos de 2%. A cada
duas horas extrai-se uma amostra aleatória de tamanho 50
do processo. Se a amostra contiver mais de três
defeituosos, o processo deve ser interrompido. Determine
a probabilidade de que o processo seja interrompido em
função desse esquema de amostragem.
Distribuição Hipergeométrica
Lote com N itens:
• D – defeituosos
• N-D – Bons; Amostra Aleatória:
• n itens
Amostragem
sem reposição
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica - Aplicações
Em um departamento de inspeção de recebimento,
lotes de eixo de bomba são recebidos
periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o
seguinte plano de amostragem de aceitação e
usado. Seleciona-se uma amostra aleatoria de 10
unidades sem reposição. O lote e aceito se a
amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha
que um lote seja recebido e que e p’(100)
defeituoso. Qual e a probabilidade de que seja
aceito?
p’ = 0,05
Exemplo
• Um lote de 25 tubos de televisão a cores e submetido a
um procedimento de teste de aceitação. O procedimento
consiste em extrair aleatoriamente cinco tubos, sem
reposição, e testa-los. Se dois ou menos tubos falharem,
os restantes são aceitos. Caso contrário, o lote e
rejeitado. Suponha que o lote contenha quatro tubos
defeituosos.
• (a) Qual a a probabilidade exata de aceitação do lote?
• (b) Qual e a probabilidade de aceitação do lote calculada
pela distribuição binomial com p = 4/25?
Distribuição de Poisson
• Uma das distribuições discretas mais importantes;
• Interessa o número de observações de um fenômeno em
um intervalo de tempo contínuo;
• Exemplo:
• Chamadas Telefônicas por minuto;
• Mensagens que chegam em um servidor por segundo;
• Acidentes por dia;
• Defeitos por milhar, metro²...
Distribuição de Poisson
• Suposições:
• O número de ocorrências em quaisquer intervalos são
independentes;
• A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero;
• O número médio de ocorrências (l) é constante;
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson - Aplicação
Distribuições Discretas - Resumo
• Largo uso em aplicações de engenharia, científicas e de
gerenciamento;
• A utilização da distribuição correta na modelagem do
problema real depende das hipóteses reais e sua
satisfação no modelo desenvolvido;
• As distribuições apresentadas foram utilizadas devido a
sua alta aplicabilidade.
DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS E
APLICAÇÕES
Distribuição Uniforme
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
TESTES DE
HIPÓTESES
Testes de Hipóteses
Hipóteses
Hipóteses em termos de parâmetros
Hipóteses Nulas
Hipóteses Nulas
Conceitos Básicos - Exemplo
Planejamento da Amostra
Resultados da Amostra
Probabilidade de significância ou valor p
Conclusão
Resultado da Amostra
Nível de Significância (α)
Regra de Decisão
Exercício
Exercício - resposta
Exercício - resposta
Exercício - resposta
Exercício - resposta
REGRESSÃO LINEAR
Correlação
Correlação - Exemplo
Correlação - Exemplo
• Dados
Correlação – Diagramas de dispersão
Correlação – Diagramas de dispersão
Correlação – Diagramas de dispersão
Ideia para a construção do Coeficiente de
correlação de Pearson
Padronização
Padronização
Ideia para a construção do Coeficiente de
correlação de Pearson
Ideia para a construção do Coeficiente de
correlação de Pearson
Ideia para a construção do Coeficiente de
correlação de Pearson
Matriz de correlação do exemplo
Temperatura °C Resultado R² T² T*R
100 45 2025 10000 4500 a= -2,739393939
110 51 2601 12100 5610 b= 0,483030303
120 54 2916 14400 6480 r = 0,996260938
130 61 3721 16900 7930 eq. Reta: Y = -2,73+ 0,48 X
140 66 4356 19600 9240
150 70 4900 22500 10500
160 74 5476 25600 11840
170 78 6084 28900 13260
180 85 7225 32400 15300
190 89 7921 36100 16910
1450 673 47225 218500 101570
Coeficiente de correlação
Regressão Linear Simples
Exemplo
Exemplo
Regressão - Modelo
Modelo de Regressão Linear Simples
Método dos Mínimos Quadrados para estimar α e β
Método dos Mínimos Quadrados para estimar α e β
Exemplo numérico
Exemplo numérico
Exemplo numérico
Exemplo numérico
Exemplo numérico
UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES
APLICADOS A ESTATÍSTICA NA
ENGENHARIA