ÍNDICE

CAPÍTULO 1 – RELAÇÕES 1.1 – PRODUTO CARTESIANO - 21.2 - RELAÇÕES - 21.3 – PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - 31.4 – CLASSES DE EQUIVALÊNCIA – CONJUNTO QUOCIENTE - 3EXERCÍCIOS 1 - 4

CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES INTERNAS E EXTERNAS2.1 – INTRODUÇÃO - 62.2 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES - 62.3 – A DISTRIBUTIVIDADE - 8EXERCÍCIOS 2 - 82.4 – OPERANDO COM CLASSES DE EQUIVALÊNCIA MÓDULO “n” - 9EXERCÍCIOS 3 - 10

CAPÍTULO 3 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS3.1 – INTRODUÇÃO - 113.2 – AS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS - 113.3 – PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE – 13EXERCÍCIOS 4 - 143.4 – HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES - 15

CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE GRUPO4.1 – PRIMEIRAS PROPRIEDADES – 16EXERCÍCIOS 5 - 174.2 - GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS - 174.3 – ALGUNS GRUPOS FINITOS - 18EXERCÍCIOS 6 - 204.4 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA - 214.5 - POTÊNCIAS EM UM GRUPO - 214.6 - CONJUGADO E COMUTADOR - 22EXERCÍCIOS 7 - 224.7 - SUBGRUPOS - 234.8 – CONDIÇÕES PARA QUE UM SUBCONJUNTO SEJA UM SUB-GRUPO - 244.9 – UNIÃO E INTERSEÇÃO DE SUBGRUPOS - 254.10 - ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE SUBCONJUNTOS NÃO VAZIOS DE UM GRUPO - 26EXERCÍCIOS 8 -264.11 - PRODUTO DIRETO DE GRUPOS - 274.12 - GRUPOS CÍCLICOS - 274.13 - CLASSES LATERAIS DE UM SUBGRUPO E O TEOREMA DE LAGRANGE - 29EXERCÍCIOS 09 - 31

CAPÍTULO 5 - ANEIS5.1 – CONCEITOS INICIAIS – 335.2 – EXEMPLOS DE ANÉIS - 345.3 – PROPRIEDADES ELEMENTARES - 345.4 - DIVISORES DE ZERO EM UM ANEL – 355.5 – DOMÍNIO DE INTEGRIDADE - 36EXERCÍCIOS 10 - 365.6 - SUBANÉIS - 375.7 - HOMOMORFISMOS DE ANÉIS - 365.8 - IDEAIS DE UM ANEL - 38EXERCÍCIOS 11 – 39

SÍMBOLOS USADOS – 41

ÍNDICE REMISSIVO - 42

CAPÍTULO 1 – RELAÇÕES

1.1 – PRODUTO CARTESIANO

1

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Define-se o produto cartesiano A X B como sendo o conjunto dos pares (ordenados) (x, y) tais que x A e y B.Tomando, por exemplo, A = {a, e, i} e B = {b, c}, o produto A X B será o conjunto {(a, b), (a, c), (e, b), (e, c), (i, b), (i, c)}.Pela definição, verifica-se que A X B = B X A é verificado se e somente se A = B.

1.2 - RELAÇÕES

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se relação de A para B a todo o subconjunto não vazio do produto cartesiano A X B.No caso específico em que A = B, a relação é dita binária (ou simplesmente relação) definida em A.Indicamos uma relação binária em A pelo símbolo escrevendo (a, b) ou a b.Consideremos uma relação binária definida em AA relação é reflexiva se para todo x A, x x.A relação é simétrica se para todo x, y A, se x y então y x.A relação é transitiva se para todo x, y, z A, se x y e y z então x z.A relação é anti-simétrica se para todo x, y A, se x y e y x, então x = y.

Exemplo 1: Consideremos o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação definida em A por x y x + y = 4.O produto A X A é o conjunto {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),(3, 3)}.A relação define o subconjunto = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} pois são os únicos pares cuja soma é igual a 4.

Diz-se que é uma relação de equivalência se é reflexiva, simétrica e transitiva.

A relação é uma relação de ordem parcial se for reflexiva, anti-simétrica e transitiva.Uma relação é dita de ordem total se a, b A, se tem a b ou b a.

Exemplo 2 - Sejam A = {a, b, c, d} e = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)} um subconjunto de A X A. A relação é uma relação de equivalência pois x, y, z A, (1) x x (reflexiva), (2) se x y então y x (simétrica) e (3) se x y e y z então x z (transitiva). Estas propriedades podem ser verificadas para todos os pares de .

Exemplo 3 - Sejam A o conjunto de todas as pessoas, e a relação "ter o mesmo pai que". A relação é uma relação de equivalência pois:(1) x tem o mesmo pai que x; (2) se x tem o mesmo pai que y, é evidente que y tem o mesmo pai que x, e (3) se x tem o mesmo pai que y e y tem o mesmo pai que z, x e z também terão o mesmo pai.

Exemplo 4 – Sejam A o conjunto de todas as pessoas e definida por x y x “é primo de” y. Esta relação é (1) não reflexiva pois ninguém é primo de si mesmo, (2) simétrica pois se x é primo de y, y é primo de x, (3) não transitiva pois se x é primo de y e y é primo de z x pode ser irmão de z ou não ter nenhum parentesco.

Exemplo 5 - Seja Z o conjunto dos inteiros. Defina-se em Z por x y se e somente se x - yé par. A relação é uma relação de equivalência, pois:(1) x – x = 0, é par pois 0 é par x x (reflexiva) . (2) se x – y = k então y – x = -k. Ora, se k é par, -k também é par se x y então y x (simétrica)

2

(3) x – y = k (k é par), y – z = p (p e par) e x – z = x – y + y – z = (x – y) + (y – z) = k + p que é par pois a soma de dois números pares é um número par x y e y z então x z (transitiva).

Exemplo 6 - (Congruência módulo p) Sejam h, k Z e p Z+. Diz-se que h é congruente com k módulo p, e escreve-se h k(mod p), se e somente se h - k é divisível por p, ou seja, h - k = sp, para algum s Z. De forma equivalente também se escreve h k(mod p), se e somente se os restos das divisões de h e k por p são iguais. A relação anterior é uma relação de equivalência.Observe que em Z, 17 33(mod 8) uma vez que 17 - 33 = 8.(-2).

Veja no exemplo a seguir uma relação binária que não é relação de equivalência.Exemplo 7 - Em Z a relação binária definida por n m se e somente se n.m > 0, não é uma relação de equivalência. De fato é reflexiva, pois para todo a Z, a a uma vez que a2 > 0. é também simétrica. Se a b, então a.b > 0 b.a > 0 (em Z a multiplicação é comutativa). Porém, não é transitiva. Veja o exemplo: -3 0 (pois -3.0 > 0)e 0 5 (pois (0.5 > 0) mas -3.5 < 0. Portanto -3 não está relacionado com 5. Entretanto, em Z*, a relação n m tal que n.m > 0 é uma relação de equivalência. (prove!)

1.3 – PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO

Uma partição de um conjunto A é uma decomposição de A em subconjuntos não vazios tais que todo o elemento de A pertence a um e um só desses subconjuntos. A cada um dessessubconjuntos chamamos elementos da partição. Simbolicamente, temos: Uma partição de A é uma coleção P de subconjuntos de E, P = (Pi), i N* tais que1. i N*, Pi .2.i, j N*, i j , Pi Pj = .

Tomando por exemplo o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, os subconjuntos P1 = {1, 2}, P2 = {3, 4, 5} e P3 = {6, 7} é uma partição de A. Entretanto P4 = {1, 2, 3}, P5 = {3, 4, 5} e P6 = {6, 7} não é uma partição de A pois P4 P5 = {3} .Também P7 = {1, 2, 3} e P8 = {5, 6, 7} não é partição de A pois o elemento 4 não pertencem a nenhum dos Pi.

Dois conjuntos que não têm nenhum elemento em comum dizem-se disjuntos. Assim, os elementos de uma partição de um conjunto A são disjuntos.Podemos então afirmar que: Se P1 P2 ... Pn = A, Pi , para todo i = 1, 2, ... n e Pi Pj = , para todo i j , então P = {P1, P2, ..., Pn} é uma partição de A.

1.4 – CLASSES DE EQUIVALÊNCIA – CONJUNTO QUOCIENTE

Uma relação de equivalência definida em um conjunto A determina em A uma partição natural. Cada parte de A é denominada classe de equivalência. Cada classe de equivalência é geralmente representada por a = {x A | x a} onde “a” é um representante qualquer da classe de equivalência. Em situações futuras, indicaremos a classe a por a (negrito itálico).

Ao conjunto formados por todas as classes de equivalência é denominado conjunto quociente e se indica por A/ = {a | a A} ou A/ = {a | a A} Exemplo 1 – A congruência módulo 5, definida em N por x y x – y = 5n, n Z, particiona o conjunto N em 5 classes de equivalência, que são representadas por 0, 1, 2, 3 e 4, tais que :

0 = {0, 5, 10, 15, 20,...}, 1 = {1, 6, 11, 16, 21, ...}, 2 = {2, 7, 12, 17, 22, ... }, 3 = {3, 8, 13, 18, 23, ...} e 4 = {4, 9, 14, 19, 24, ...}.O conjunto quociente A/ é {0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, o conjunto das partes de A determinadas pela relação .

3

Exemplo 2 – Sejam x = a/b e y = c/d, números racionais (conjunto Q), com a, c Z e b, d N*. A relação x y a.d = b.c, estabelece em que uma partição (frações equivalentes) natural em Q.este caso, teremos classes como a = {1/2, 2/4, 3/6, 4/8, ...}, b = {1/3, 2/6, 3/9, 4/12, ...}c = {1/4, 2/8, 3/12...}, d = {2/3, 4/6, 6/9, ...}, etc.O conjunto quociente A/ é {a, b, c, d, ...}.

EXERCÍCIOS 1

1. Para cada um dos itens a seguir verifique se a relação binária indicada é uma relação deequivalência. Em caso afirmativo determine o conjunto quociente.

a) Conjunto A = {1, 2, 3} relação = {(1, 2), (2, 3), (3, 2)}.

b) f g f(0) = g(0), f, g F(R), onde F(R) designa o conjunto das funções reais de variável real.

c) (a, b) (c, d) ad = bc, (a, b), (c, d) Z* X Z*.

d) a b a + b é par, a, b N.

e) (x, y) (z, t) x2 + y2 = z2 + t2, (x, y), (z, t) R2.

f) n m n.m > 0, n, m Z.

g) n m n.m > 0, n, m Z.

h) x y x > y, x, y R.

i) x y |x| = |y|, x, y R.

j) x y |x - y| < 3, x, y R.

2. Seja E = {1, 2, 3}. Dê um exemplo de uma relação binária definida em E que seja: I. anti-simétrica II. simétrica; III. reflexiva, transitiva e anti-simétrica; IV. relação de equivalência.

3. Seja A = {Ar | r R} onde Ar = {(x, y) R2 | y = 2x + r}, uma família de subconjuntosde R2. Prove que A é uma partição de R2 e descreva-a geometricamente. Indique também arelação de equivalência correspondente.

4. Sejam 1 uma relação de equivalência sobre A e 2 uma relação de equivalência sobre B, onde A e B são dois conjuntos não vazios. Em A X B define-se uma relação binária 3 por(x, y) 3 (x’, y’) x 1 x’ e y 2 y’.Prove que 3 é uma relação de equivalência em A X B.

5. Seja p um número inteiro maior ou igual a 1. Considere a relação definida em Z porx y p divide x – y, x, y Z.A relação chama-se congruência módulo p e escreve-se x y (mod p) no lugar x y.a) Mostre que p divide x - y se e somente se a divisão de x e y por p dá o mesmo resto.b) Verifique que é uma relação de equivalência sobre Z.c) Determine o conjunto quociente de Z sobre , onde é a relação de congruência módulo 3.d) Determine o conjunto quociente de Z sobre , onde é a relação de congruência módulo 5.

6. Sejam 1 e 2 relações de binárias definidas em um conjunto não vazio E. Em E define-se arelação binária U (designada por reunião de 1 com 2) do modo seguinte:x U y x 1 y ou x 2 y para todos x, y E.Indique, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:a) Se 1 e 2 são reflexivas, então U é reflexiva.b) Se 1 e 2 são simétricas, então U é simétrica.c) Se 1 e 2 são relações de equivalência, então U é relação de equivalência.

4

7. Sejam R e S relações binárias em N definidas por:xRy "x divide y" e xSy 5x < y.Determine quais dos pares ordenados satisfazem às relações dadas:(a) R S - {(2,6), (3,17), (2,1), (0,0)}(b) R S – {(3,6), (1,2), (2,12)}(c) R – S - {(1,5), (2,8), (3,15)}(d) S’ – R – {(1,1), (2,10), (4,8)}.

8. Seja S = {0,1,2,4,6}. Verifique se as relações binárias em S são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e/ou transitivas:(a) R = {(0,0),(1,1),(2,2),(4,4),(6,6)(0,1),(1,2),(2,4),(4,6)}(b) S = {(0,1),(1,0),(2,4),(4,2),(4,6),(6,4)}(c) T = {{(0,1),(1,2),(0,2),(2,0),(2,1),(1,0),(0,0),(1,1),(2,2)}(d) U = {(0,0,),(1,1),(2,2),(4,4),(6,6),(4,6),(6,4)}(e) V =

9. Verifique as propriedades das relações binárias R em S definidas abaixo.(a) Conjunto Q e xy |x| < |y|.(b) Conjunto Z e xy x-y é múltiplo de 3.(c) Conjunto N e xy x.y é par.

108. Dê um contra exemplo caso falso considerando R e S relações binárias em um conjunto S.(a) Se R e S forem reflexivas, então R S será reflexiva.b) Se R e S forem simétricas, então R S será simétrica.c) Se R e S forem anti-simétricas, então R S será anti-simétrica.d) Se R e S forem transitivas, então R S será transitiva.

11. Seja S = NxN e seja uma relação binária em S definida por (x,y) (z,w) y = w. Mostre que é uma relação de equivalência em S e descreva as classes de equivalência resultantes.

12. Considerando R = {(x,y) N x N | x + 2y = 10} e S = {(x,y) N x N | 3x + y = 7}, determine explicitamente: (a) R e S (b) R o S e S o R (o é a composição das relações)(c) Os conjuntos domínio e imagem de R e S(d) R-1, S-1 , (RoS)-1 , (SoR)-1

13. Uma relação AxA (A ) é dita circular se e somente se xy e yz zx. Mostre que: (a) se é uma relação de equivalência, então é circular.(b) Se é reflexiva e circular então é uma relação de equivalência.

CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES INTERNAS E EXTERNAS

2.1 – INTRODUÇÃO

       Sejam dois elementos a e b quaisquer de um conjunto A. Define-se uma operação nesse conjunto (operação interna) como sendo um processo que permite associar a cada par (a, b) um terceiro elemento c desse mesmo conjunto.

Simbolizando Ä, A X A A

(a, b) c ,

ou a Ä b = c onde Ä é a operação definida.

5

        Podemos imaginar uma operação como um procedimento onde são colocados dois elementos em uma máquina. A partir de uma programação da máquina fornecerá um resultado, que é o elemento c.        Em a Ä b = c, onde a e b são os operandos, c o resultado. Deve-se observar que o resultado c é único para cada par (a, b).

        Para indicar uma operação pode-se usar um símbolo qualquer com por exemplos Ä, *, . Como tais símbolos não são de uso corrente, a operação deverá ser definida. Operações convencionais têm símbolos próprios:- o símbolo  + indica a operação adição, - os  símbolos  X  . ou * , são usados para indicar a operação multiplicação, - a notação ab é usada para indicar uma potenciação,- a notação log10 N é usada para indicar a operação logaritmação.

Se a operação não for alguma das tradicionais cujo sinal é convencional, a mesma deverá ser definida ou apresentar uma tabela operacional.

Exemplo 1: Seja a Ä b = c, a, b, c Z, onde Ä = a2 - 2b. Tem-se, então,  5 Ä 3 = 52 - 2.3 = = 19. Como o resultado, para todo a e b pertence a Z, esta operação é uma operação interna em Z.

Exemplo 2: A operação subtração em N não é uma operação interna pois 3 – 7 N.

Exemplo 3: A adição de funções reais é uma operação interna.

Exemplo 4: Em Z+, a operação a Ä b = min(a, b) é uma operação interna em Z+.

Exemplo 5: Em M(R), conjunto das matrizes quadradas, a adição é uma operação interna.

Exemplo 6: Em Z+, a operação *, definida por a * b = (a Ä b) + 2, onde (a Ä b) = min{a, b}, é uma operação interna em Z+

.

Exemplo 7: O multiplicação de escalares por vetores é uma operação externa em R.

2.2 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES

Sejam o conjunto A elementos de que apresente as operações internas Ä.A operação Ä:(a) é comutativa se e somente se a, b A, a Ä b = b Ä a. Exemplo 1 – a adição em N é comutativa.Exemplo 2 – a subtração em Z não é comutativa pois a – b = - (b – a).Exemplo 3 – a multiplicação em R é comutativa.Exemplo 4 – a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Tomando as matrizes A = e B = , tem-se A x B = e B x A =

Exemplo 5 – a operação Ä, em N, definida por a Ä b = a2 + b2 + 3 é comutativa, poisa Ä b = a2 + b2 + 3 = (a2 + b2)+ 3 = (b2 + a2) + 3 = b2 + a2 + 3 = b Ä a.

Exemplo 6 – a operação potenciação definida por a Ä b = ab, não é comutativa. Veja 23 = 8 e 32

= 9.

Exemplo 7 – o produto escalar definido por (a, b, c).(d, e, f) = ad + be + cf é comutativo, pois (a, b, c).(d, e, f) = ad + be + cf = da + eb + fc = (d, e, f).(a, b, c)

Exemplo 8 – o produto vetorial, simbolizado por e definido por (a, b, c) (d, e, f) = (bf – ec, cd – af, ae – bd) não é comutativo pois, (d, e, f) (a, b, c) = (ec – bf, fa – cd, db – ea) = - (bf – ec, cd – af, ae – bd) = - (a, b, c) (d, e, f).

(b) é associativa se e somente se Ä a, b, c A, (a Ä b) Ä c = (a Ä b) Ä c.

6

1 23 4

2 12 3

6 710 15

5 711 16

Exemplo 1 – a adição e a multiplicação em N são associativas.

Exemplo 2 – a multiplicação de matrizes é associativa.

Exemplo 3 – os produtos escalar e vetorial não são associativos. Exercício – verifique usando os vetores (1, 2, 3), (2, 1, 4) e ( 5, 5, 0)

Exemplo 4 – a composição de funções reais é associativa mas não é comutativa. Isto é f o g g o f e (f o g) o h = f o (g o h).Exercício: verifique usando as funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 3x – 2 e h(x) = -4x + 2.

Exemplo 5 – as operações união e interseção de conjuntos são comutativas e associativas.Exercício. Prove que as operações união e interseção são comutativas e associativas.

(c) admite elemento neutro , que indicaremos por n, se e somente se, para todo x A, x Ä n = n Ä x = x.Pode-se também definir no conjunto A, munido da operação Ä, o elemento neutro n à esquerda e elemento neutro à direita como:- elemento neutro à esquerda: a A, n A, tal que n Ä a = a.- elemento neutro à direita: a A, n A, tal que a Ä n = a.O elemento neutro da operação Ä é, ao mesmo tempo, o elemento neutro à direita e o elemento neutro à esquerda.

Exemplo 1: o 0 (zero) é o elemento neutro para a adição em Z e o 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação em Z.

Exemplo 2: considerando as matrizes quadradas de ordem n, o elemento neutro para a adição é a matriz tal que para todo aij, aij = 0 e o elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz onde aij = 1 para i = j e aij = 0 para i j. O elemento neutro para a multiplicação de matrizes é também chamado de matriz identidade.

Exemplo 3: O conjunto vazio é o elemento neutro da união de conjuntos e o conjunto universo é o elemento neutro da interseção de conjuntos.

Exemplo 4: a função f(x) = x, função identidade é o elemento neutro da composição de funções.

(d) admite elementos inversíveis x se, para o elemento x de A, existir um elemento x’ , também de A, tal que x Ä x’ = x’ Ä x = n, onde n é o elemento neutro da operação Ä.

Se na operação ocorrer apenas x Ä x’ = n, o elemento x é inversível somente à direita e se ocorrer apenas x’ Ä x = n, o elemento x é inversível somente à esquerda.

Exemplo 1: em Z, todos os elementos são inversíveis para a operação adição. O inverso de x, em Z é o elementos –x, pois (x) + (-x) = (-x) + (x) = 0. Na operação adição o inverso de x é denominado simétrico de x.Em Z, somente os elementos 1 e -1 admitem inverso para a multiplicação, pois (1).(1) = 1 e (-1).(-1) = 1.

Exemplo 2: em Q, todos os elementos, com exceção do elemento neutro da adição (zero) são inversíveis para a multiplicação. O inverso multiplicativo de x é representado por x-1, cujo valor é 1/x. O inverso multiplicativo de a/b (b 0) é b/a.

Exemplo 3: as matrizes quadradas com determinantes diferentes de zero admitem inverso multiplicativo.

Para uma matriz quadrada de ordem 2, A = a inversa é A-1 = [1/(ad–bc)]

Exemplo 4: as funções f bijetoras admitem funções inversas que são indicadas por f-1.Para uma função do tipo f(x) = ax + b, teremos f-1(x) = (x – b)/a. No intervalo [0, /2], a inversa da função f(x) = sen x é f-1(x) = arc sen x.

7

a bc d

d -b-c a

2.3 – A DISTRIBUTIVIDADE

Se no conjunto A são definidas as operações Ä e *, diz-se que a operação * é:

- distributiva à esquerda em relação à operação Ä, se e somente, para todo a, b e c de A,a*(b Ä c) = (a * b) Ä (a * c).- distributiva à direita em relação à operação Ä, se e somente, para todo a, b e c de A,(b Ä c)*a = (b * a) Ä (c * a).

Quando ocorre as duas situações, diz-se simplesmente que, a operação * é distributiva em relação à Ä.

Exemplo 1: a multiplicação é distributiva em relação à adição. Isto é: a.(b + c) = a.b + a.c.

Exemplo 2: a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação. Isto é: (a . b)c = ac.bc.Porém, a potenciação não é distributiva à esquerda em relação à multiplicação. Isto é ca.b ca.cb.

Exemplo 3: a potenciação não é distributiva em relação à adição. (a + b)c ac + bc.

EXERCÍCIOS 2

1 – Para cada uma das operações abaixo informe quais são operações internas no conjunto indicado:(a) a * b = |ab|1/2 em Q.(b) a * b = a/b em Z.(c) (a, b)*(c, d) = (a + c, cb + d) em R2.(d) a * b = raiz da equação x2 – a2b2 = 0 em R.(e) a * b = a log b no conjunto R*+ (reais positivos).(f) a * b = a + b em N.(g) a * b = a – b em {x Z | x > 0}(h) a * b = (a + b)2 em Z.

2 – Para as operações indicadas a seguir em R2 verifique se as mesmas são I – comutativa, II – associativa, III – possui elemento neutro, IV – admite inverso(a) (a, b) * (c, d) = (ac, bd) (b) (a, b) * (c, d) = (a + c, cb + d)

3 – Considere o conjunto dos reais e a operação *, definida por a * b = (a2 + b2)1/2. (a) Informe se tal operação é ou não associativa e/ou comutativa.(b) Verifique se a operação * tem ou não elemento neutro. Se afirmativo, qual é ele?(c) Verifique se a operação * admite ou não elemento inverso. Se afirmativo, qual é o elemento inverso de x? (d) Se apenas alguns elementos de R apresentam inverso, quais seriam esses elementos?

4 – A operação diferença de conjuntos é comutativa e/ou associativa? Tem elemento neutro? E inverso?

5 – A operação * definida por a * b = a.log b é associativa e/ou comutativa?

6 – Prove que se “n” é o elemento neutro para uma operação *, “n” é único.

7 – Prove que se o elemento x admite o inverso x’, então x’ é único.

8 – Prove que as operações – união e - interseção são comutativas e associativas.

9 – Prove que a operação união é distributiva em relação à interseção e que a operação interseção é distributiva em relação à operação união.

10 – Prove que a operação *, definida por a * b = mdc(a, b) é associativa e comutativa.

8

11 – Prove que a operação *, definida por a * b = mmc(a, b) é associativa e comutativa.

12 – A operação *, definida por a * b = mdc(a, b), tem elemento neutro? Justifique sua resposta.

13 – A operação *, definida por a * b = mmc(a, b) tem elemento neutro? Justifique sua resposta.

2.4 – OPERANDO COM CLASSES DE EQUIVALÊNCIA MÓDULO “n”.

Conforme já visto anteriormente, as classes equivalência modulo “n” constituem o conjunto M = {0, 1, 2, 3, ... n – 1}, onde 0, 1, 2, 3, ... n – 1 são os restos das divisões dos elementos do conjunto Z por “n”, que costuma ser indicado por Zn. Iremos indicar estas classes em negritos e itálico para facilidade de digitalização.Tomando, por exemplo, o módulo 5, teremos:0 = {... -10, -5, 0, 5, 10, ...}, isto é 0 é o representante da classe ou 0 pode ser usado no lugar de qualquer um dos elementos do conjunto. 1 = { ... -9, -4, 1, 6, 11, ...}; 2 = { ... -8, -3, 2, 7, 12, ...}; 3 = { ... -7, -2, 3, 8, 13, ...},4 = { ... -6, -1, 4, 9, 14, ...}.Ao operar com dois inteiros quaisquer, podemos usar os representantes das classes às quais os mesmos pertencem. Assim, 234 + 127 + 133 4 + 2 + 3 = 10 0.

O uso das operações com as classes residuais permite encontrar restos de divisões por n. Tomando por exemplo o número 350, para verificar o resto da divisão por 5, usando as classes mod.5 teremos:350 = (34)12.32 (81)12.9 112.4 1.4 4. Portanto, o resto da divisão de 350 por 5 é 4.Obs. Por cálculo direto 350 = 717897987691852588770249, que, conforme pode ser visto, o resto da divisão por 5 é 4.

Usando ainda o módulo 5, podemos construir as tabelas operacionais para a adição e a multiplicação, conforme segue:

Observando as tabelas pode-se notar que as duas operações são comutativas. Considerando a tabela como uma matriz, essa matriz é simétrica, isto é aij = aji. Este fato pode ser observado toda vez que a operação for comutativa.

EXERCÍCIOS 3.

1 – Considere as tabelas acima e responda:(a) qual é o elemento neutro de cada operação?(b) a adição admitem elemento inverso aditivo (simétrico)? Se afirmativa a resposta, qual a inverso aditivo de cada elemento? Dê uma expressão geral para o inverso de um elemento qualquer “a”.(c) para a multiplicação, todos os elementos têm inverso multiplicativo? (d) para a multiplicação, quais são os elementos que têm inverso e quais são seus inversos?

2 – Construa as tabelas para a adição e a multiplicação das classes de equivalência módulos 4, 6 e 7. Responda aos mesmos itens do exercício 1 para cada uma das tabelas.

3. Determine o algarismo das unidades de 3100.

9

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

X 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

4. Determine o resto da divisão de 3713 por 17.

5. Mostre que 283 – 1 é divisível por 167.

6. A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto 11.18.2322.13.19 ?

7. Fermat conjecturou que todo número da forma Fn = 22n + 1 é primo, e provou que isto é verdade para n = 0,1,2,3,4. Porém, a afirmação é falsa para n = 5 já que Euler provou que F5 é divisível por 641. Mostre isto usando congruências.

8. Mostre que o quadrado de qualquer inteiro é côngruo a zero ou 1 módulo 4.

9. Mostre que o quadrado de qualquer inteiro é côngruo a zero , 1 ou 4 (mod.8).

10. Se 4 for o maior inteiro que pode ser armazenado em um (micromicro) computador, qual será o resultado armazenado como resultado de 3 + 4 se a soma módulo 5 for usada ?

CAPÍTULO 3 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

3.1 – INTRODUÇÃO

Uma estrutura algébrica consiste de um conjunto munido de uma ou mais operações internas. Podemos ter também estruturas formadas por dois conjuntos, cada um com suas operações internas e uma operação externa que liga os dois conjuntos.

O estudo das estruturas algébricas têm sua importância quando, a partir de conhecimento de suas características, é possível aplicar as mesmas operações e propriedades em conjuntos diferentes. É através das estruturas algébricas que o aluno pode falar em reta real usando as propriedades atribuídas aos números reais, bem como pode usar as mesmas regras quando se estuda matrizes, polinômios e vetores.

3.2 – AS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Definiremos abaixo, as estruturas algébricas conhecidas. Nos capítulos 4 e 5 serão estudados os grupos e os anéis com suas principais propriedades.

I – GRUPÓIDE – consiste no par (A, *) onde * é uma operação interna definida no conjunto A.

Exemplo 1: (Z, *), onde a * b = a – b (operação subtração).Observe que (Z, -) é um grupóide com elemento neutro à direita sendo 0 esse elemento neutro pois a Z, a – 0 = a. Também, em (Z, -) todo elemento é inversível à direita, sendo cada elemento o seu próprio inverso ( a Z, a – a = 0).Exemplo 2: (N, *), onde a * b = ab (potenciação). É um grupóide pois ab é definido em N, não é associativa, não é comutativa, não tem elemento neutro e nem admite inverso.

II – SEMI-GRUPO – consiste em um grupóide associativo.

Exemplo 3: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 definidas por aij = mi + nj, com m e n inteiros munido da operação multiplicação.

10

Note que a matriz identidade não possui a forma definida para esse conjunto. A multiplicação dessas matrizes é associativa, não tem elemento neutro, não é comutativa.Como não existe o elemento neutro, não se pode definir o inverso.

III – MONÓIDE – consiste em um semi-grupo com elemento neutro.

Exemplo 4: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 munido da operação multiplicação. A multiplicação é associativa, tem elemento neutro (matriz identidade aij = 1 se i = j e aij = 0 se i j), não é comutativa e nem todo elemento tem inverso (matrizes com determinante nulo não são inversíveis).

IV – MONÓIDE COMUTATIVO - consiste no par (A, *) onde a operação *, definida no conjunto A, é associativa, tem elemento neutro, não admite inverso e é comutativa.

Exemplo 5: conjunto N e a operação adição.

V – GRUPO – consiste no par (A, *) onde a operação *, definida no conjunto A, é associativa, tem elemento neutro, e todo elemento de A é inversível.

Exemplo 6: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação.

VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO - consiste em um grupo onde a operação * além das propriedades já descrita é também comutativa.

Exemplo 7: Conjunto Z e a operação adição.

VII – ANEL – a estrutura de anel é identificada quando um conjunto A admite duas operações internas. Indica-se (A, , *). Para a operação , o sistema consiste em um grupo abeliano e para a operação *, o sistema consiste em um semi-grupo.Isto é: (1) (A, ) é um par onde é associativa, tem elemento neutro, é inversível e comutativa(2) (A, *) é um par onde * é associativa.Além disso, deve-se verificar a distributividade de * em relação à .

Se * for comutativo, o anel é dito anel comutativo.

Se * admitir elemento neutro, o anel é dito anel com identidade ou anel unitário.Exemplo 8: O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.

EXERCÍCIO: prove que o sistema formado por matrizes quadradas de ordem 2, determinantes não nulos munido das operações adição e multiplicação é um anel.

VIII – CORPO – O sistema (A, , *) é um corpo se (A, ) e (A, *) forem ambos grupos abelianos e * for distributiva em relação a .Exemplo 9: conjunto Q e as operações adição e multiplicação.

IX – ESPAÇO VETORIAL – para esta estrutura são necessários dois conjuntos A e B, nos quais são definidas as operações e * em A, Ä em B além de uma operação externa . Os elementos de A são denominados operadores e os elementos de B são denominados vetores. O conjunto A deve apresentar uma estrutura de corpo comutativo. O conjunto B deve apresentar uma estrutura (mínima) de grupo, podendo apresentar o elemento neutro e inversibilidade apenas à esquerda ou à direita.Nesta condições dizemos que B é um espaço vetorial sobre o corpo A.Para constituir um espaço vetorial, além da estrutura de corpo comutativo para A e grupo para B, devem ser observadas as propriedades abaixo para a operação externa: , , A e u, v, w B,(1) ( u) = ( * ) u (associatividade)(2) (u Ä v) = ( u) Ä ( v) (distributividade)(3) ( ) u = ( u) Ä ( u) (distributividade).

Exemplo 10:

11

A = R (conjunto dos reais) com as operações adição e multiplicação; B = {v R3 | v = (x, y, z)}. A operação externa é a multiplicação de escalar por vetor.Esta estrutura é denominada de espaço vetorial sobre o corpo dos reais.

RESUMO

3.3 – PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE

P1 – Em um grupóide (G, ) se existir elemento neutro, este é único.

Demonstração: Suponhamos que n1 e n2 são dois elementos de G tais que, para todox E, (1) n1 x = x n1 = x e, (2) n2 x = x n2 = x.

Seja então n1 n2. Se n1 é o elemento neutro, devemos ter n1 n2 = n2, de acordo com (1). Se n2 é o elemento neutro devemos ter n1 n2 = n1, de acordo com (2).Como o resultado de uma operação é único, n1 n2 = n1 = n2.Portanto o elemento neutro é único.

P2 - Seja (G, ) um grupóide com elemento neutro n e uma operação associativa. Se x G é inversível à direita e à esquerda, então esses inversos são iguais e x é inversível sendo o seu inverso um desses elementos.

Demonstração. Sejam x1 e x2 os inversos de x à esquerda e à direita respectivamente.Pela definição de elemento neutro x1 = x1 n.De acordo com a hipótese x2 é o inverso de x à direita. Assim, n = x x2.Podemos então escrever x1 = x1 n = x1 (x x2).De acordo com a hipótese, é associativa.Deste modo x1 = x1 n = x1 (x x2) = (x1 x ) x2.Mas x1 x = n, pois x1 é o inverso de x à esquerda.Portanto: x1 = x1 n = x1 (x x2) = (x1 x ) x2 = n x2 = x2 pela definição de elemento neutro.

P3 - Sejam (G, ) um grupóide, uma operação associativa e a, b G. Se a é inversível, com inverso a’, então as equações lineares a x = b e y a = b têm solução única.Demonstração. Mostremos inicialmente que a’ b é solução de a x = b. Temos: a x = a (a’ b) = (a a’) b (associatividade em G) = n b (definição de inverso) = b (definição de elemento neutro.Do mesmo modo b a’ é solução de y a pois: y a = (b a’) a = b (a’ a) = b n = b.Com relação à unicidade da solução teremos:se x1 e x2 são soluções de a x = b, teríamos a x1 = a x2 a’ (a x1) = a’ (a x2) (a’ a) x1 = (a’ a) x2 n x1 = n x2 x1 = x2.

12

Estrutura Operação 1 Operação 2 Distributividade daop.2 em relação a 1Assoc Neutro Inver Comu

tAssoc

Neutro Inver Comut

Grupóide não não não não 1 - - - - -Semi-grupo sim não não não 2 - - - - -Monóide sim sim não não 3 - - - - -Mon.comut sim sim não sim 4 - - - - -Grupo sim sim sim não 5 - - - - -Grupo abelia. sim sim sim sim 6 - - - - -Anel sim sim sim sim 7 sim não não não simAnel comut Sim sim sim sim 8 sim não não sim sim

Anel c/ident sim sim sim sim 9 sim sim não não sim

Corpo sim sim sim sim 10 sim sim sim sim sim

Espaço vetorial V sobre o corpo R.Vetores (V, *) – é um grupo; Escalares (R, #, *) – é um corpo.Operação externa &.

Aplicando o elemento inverso à direita prova-se também que y a = b tem, também, solução única.Nota: a demonstração não implica em que a solução de a x = b seja a mesma de y a = b sejam iguais.

P4 – LEI DO CANCELAMENTO OU DO CORTE

Seja (G, ) um grupóide. Se x, y z G, (1) x z = y z x = y, então z é cancelável à direita para , e(2) z x = z y x = y, então z é cancelável à esquerda para ,(3) z é cancelável para a operação , se z é cancelável à direita e à esquerda.(4) os termos simplificável e regular também podem substituir a denominação cancelável. (5) o grupóide G admite a lei do cancelamento se o cancelamento for válido para todos os elementos de G. Exemplo 1 – Em (N, +) é válida a lei do cancelamento. 3 + 5 = a + 5 a = 3Exemplo 2 – Em (R, :) a lei do cancelamento não tem validade.0 : 6 = 0 : 10 e 6 10.

EXERCÍCIOS 4

1 – Seja a estrutura (C,*), com C={1,2,3,4,6} e a operação * definida por a*b = mdc(a,b). Mostre que (C,*) é um grupóide comutativo.

2 - Seja * a operação no conjunto Q, dos números racionais, definida por: a*b = a + b + ab/2. Mostre que (Q,*) é um monóide comutativo.

3 - Construa a tábua da operação * em A={1,2,3} definida pelas seguintes propriedades: i) 2 é o elemento neutro; ii) a*b = (a + b)/2 para os demais casos. Verifique se (A,*) é um monóide.

4 - Seja * a operação no conjunto Z, dos números inteiros, definida por: a*b = a+b. Mostre que (Z,*) é um monóide comutativo.

5 - Seja * a operação no conjunto R, dos números reais, definida por: a*b = a+2b. Verifique se (R,*) é um monóide.

6 - Seja o estutura (B, ), a operação em B={1,2,3,4} sendo definida por a b = mmc(a,b). Verifique se (B, ) é um monóide comutativo.

7 - Seja * a operação no conjunto Z, dos números inteiros, definida por: a*b = a+b-2ab. Verifique se (Z,*) é ou não um grupo abeliano.

8 - Mostre que o grupóide (RxR, *), a operação * sendo definida por (a,b) * (c,d) = (a+c,b+d) é um grupo abeliano.

9 - Considere a terna (Q, Ä, *) onde as operações são definidas, respectivamente por: x Ä y = x+y-2 e x * y = x+y- xy/2 . Mostre que (Q, Ä, *) é um anel comutativo com elemento unidade.

10 - Mostre que a terna (Z,*,T) é um anel comutativo unitário, as operações * e T em Z sendo definidas por a * b = a + b -1 e a T b = a + b -ab.

11 - Mostre que a terna (Z2 , Ä, *) é um anel comutativo, as operações Ä e * em Z2 sendo definidas por (a,b) Ä (c,d) = (a+c, b+d) e (a,b) * (c,d) = (ac, 0).

12 - Mostre que a terna ({0,1},*,T) é um anel comutativo unitário, as operações * e T em {0,1} sendo definidas pelas tábuas:

13

*01T01010001101110

13 - Mostre que o terno ({0,1,2,3},*,T) é um anel não comutativo nem unitário (elemento neutro para T, onde as operações * e T em {1,2,3} são definidas pelas tábuas:

3.4 – HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES

Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. Chama-se homomorfismo de (G1, *) para (G2, ) a toda a função f : G1 G2 tal que x, y G1, f(x * y) = f(x) f(y).

Exemplo 1 - Sejam (N, +) e (2N, +) dois grupóides. A função f : N 2N tal que para todo x N, f(x) = 2x, é um homomorfismo de grupóides.Temos: f(x + y) = 2.(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).

Teorema 1: Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. Se f : G1 G2 é um homomorfismoentre os dois grupóides então f(G1) é fechado para a operação .Demonstração. Sejam x, y f(G1). Por definição de f(G1), existem a, b G1 tais quex = f(a) e y = f(b).

Assim, x y = f(a) f(b) = f(a * b), pois f é um homomorfismo de grupóides. Note-se que como (G1, *) é um grupóide pode-se concluir que a * b G1.Deste modo, x, y f(G1), x y f(G1) f(G1) é fechado para a operação .

Teorema 2: Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. Se f : G1 G2 é um homomorfismoentre os dois grupóides então(a) Se * é associativa em G1 então é associativa em f(G1);(b) Se * é comutativa em G1, então é comutativa em f(G1);(c) Se n é elemento neutro de (G1, *) então f(n) é elemento neutro de (f(G1), );(d) Se em (G1, *), x’ é o inverso de x, então f(x’) é o inverso de f(x) em (f(G1), ).

Demonstração. Sejam x, y e z elementos de G1.

(a) Temos que: f[x * (y * z)] = f(x) f(y * z) = f(x) [f(y) f(z)]. (1)f[(x * y) * z] = f(x*y) f(z) = [f(x) f(y)] f(z). (2)Como * é associativa, x * (y * z) = (x * y) * z f[x * (y * z)] = f[(x * y) * z].De (1) e (2), conclui-se então: f(x) [f(y) f(z)] = [f(x) f(y)] f(z), o que comprova a associatividade de em f(G1).

(b) Temos que: f(x * y) = f(x) f(y) e f(y * x) = f(y) f(x).Como * é comutativa, x * y = y * x e f(x * y) = f(y * x) f(x) f(y) = f(y) f(x) é comutativa.

(c) Sendo n o neutro de * podemos escrever: n * a = a f(n * a) = f(a) (1)Ora, f(n * a) = f(n) f(a) (2) (isomorfismo de G1 em G2).De (1) e (2) f(n) f(a) = f(a) f(n) é o elemento neutro de .

(d) Se x’ é o inverso de x, x’ * x = n.Assim, f(x’ * x) = f(n). (1)Pelo isomorfismo de G1 sobre G2, f(x’ * x) = f(x’) f(x) (2).

14

De (1) e (2), f(x’) f(x) = f(n). Conforme visto no item “c” anterior, f(n) é o elemento neutro da operação . Portanto, f(x’) é o inverso de f(x).

Definições: Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides e f : G1 G2 é um homomorfismoentre os dois grupóides. Diz-se que f é:1. um monomorfismo se f é injetiva;2. um epimorfismo se f é sobrejetiva;3. um isomorfismo se f é bijetiva;4. um endomorfismo se G1 = G2;5. um automorfismo se f endomorfismo e isomorfismo.Quando existe um isomorfismo entre os dois grupóides, escreve-se G1 ~ G2 e diz-se que osgrupóides são isomorfos.

CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE GRUPO

4.1 – PRIMEIRAS PROPRIEDADES

Definição 1 - Um grupo (G, *) é um conjunto fechado para a operação binária * e que satisfaz os seguintes axiomas:(I) A operação * é associativa;(II) Existe um elemento n G (elemento neutro) tal que n * x = x * n = x, para todo x G;(III) Para todo a G, existe um elemento a’ G (inverso de a) tal que a * a’ = a’ * a = n;

Definição 2 - Um grupo G diz-se abeliano se a operação binária * é comutativa.

Vejamos agora alguns exemplos de estruturas que são grupos e outras que não estão nas condições do teorema anterior.

Exemplo 1 - A estrutura (Z+, +) não é um grupo pois não existe elemento neutro.

Exemplo 2 - O conjunto N dos números inteiros não negativos (incluindo o zero) com a operação adição não é um grupo. Apesar de existir elemento identidade, não existe inverso para o elemento para os elementos , exceto para o zero.

Exemplo 3 - As estruturas (R, +), (Z, +), (Q, +) e (C, +) são grupos.

Exemplo 4 - O conjunto das funções reais de variável real com a adição de funções é umgrupo. Este grupo é abeliano.

Exemplo 5 - O conjunto das matrizes de tipo m X n, m, n N, com onde cada aij R é um grupo para a adição de matrizes. A sua identidade é a matriz onde todo aij = 0.

Exemplo 6 - O conjunto de todas as matrizes de tipo n X n com a operação multiplicação de matrizes não é um grupo, pois somente as matrizes com determinante não nulo têm inverso.

Exemplo 7 - O subconjunto das matrizes n X n inversíveis (determinante não nulo) com a operação multiplicação de matrizes é um grupo. Este grupo não é abeliano.

Exemplo 8 - A estrutura (Q+, *) onde * é definida por a * b = ab/2 é um grupo abeliano. Prove.

P1 – Em um grupo (G, *), o elemento neutro é único e cada elemento possui um único inverso. Demonstração: (i) Elemento neutro: Suponhamos que n e n’ sejam elementos neutros de G. Temos então: n*n’ = n’ pois n é o elemento neutro. Mas n*n’ = n pois n’ também é elemento neutro. Assim, n*n’ = n = n’, o que comprova a unicidade do elemento neutro.(ii) Se a’ e a’’ são inversos de a, teremos: a*a’ = n pois a’ é inverso de a..Podemos então escrever: a’’*a*a’ = a’’.n (a’’*a)*a’ = a’’ n*a’ = a’’ a’ = a’’.Portanto, o inverso é único.

P2 - Em um grupo (G, *) é válida a lei do corte (cancelamento). Demonstração: Seja n o elemento neutro de G.Como todo elemento de G tem um inverso, seja a’ o inverso de a.

15

Tem-se então: a’*(a*b) = a’*(a*c) (a’*a)*b = (a’*a)*c n*b = n*c b = c.

P3 - Sendo a e b elementos de (G, *), as equações a * x = b e y * a = b tem, cada uma delas, uma única solução em G.Demonstração: a * x = b a’ * (a*x) = a’ * b (a’*a)*x = a’*b n*x = a’*b x = a’*b.Como a’ e b pertencem a G, a’*b pertence a G. Portanto, a’*b é a solução de a * x = b, além de ser solução única pois o resultado da operação com dois elementos de G é único.Aplicando o inverso de a à direita, prova-se, que y = b*a’ é a solução única de y * a = b.

Observação - No monóide multiplicativo (Z12, .) não é válida a lei do cancelamento. Veja 3 x 2 = 3 x 6 = 6, mas 2 6.Além disso, a equação 3 . x = 6 tem 3 soluções em Z12, a saber 2, 6 e 10.Por outro lado, a equação 3 . x = 2 não tem solução em Z12.

EXERCÍCIOS 5

1 - Verifique se os conjuntos seguintes têm estrutura de grupo para as operações indicadas:(a) (Q*, X) – conjunto dos racionais não nulos e operação multiplicação.(b) (R, *), com x * y = x + y - xy, x, y R.(c) O conjunto das soluções complexas da equação xn - 1 = 0, n N, para a multiplicação.(d) O conjunto das soluções reais da equação da equação xn – 1 = 0, para a mesma operação.(e) O conjunto das aplicações f : R R definidas por f(x) = ax + b, a R* e b R para a composição de aplicações.

2 - Os inteiros pares constituirão um grupo para a adição? E os ímpares? E os números reaispara a multiplicação?

4.2 - GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS

Definição 1 - Chama-se ordem de G ao número de elementos de G. Escreve-se |G| ou O(G) ou ainda card(G).

Definição 2 - Um grupo G diz-se finito se tiver um número finito de elementos.Em termos de notação usa-se: |G| < ou ou card(G) < .

Se G for um grupo infinito escreve-se |G| = .

Um grupo finito, (G, *) onde G = {x1, x2, ..., xn} pode ser representado por uma tabelan X n com duas entradas onde cada elemento (ou entrada) (i, j) é xi * xj.

Um vez que um grupo tem pelo menos um elemento, a sua identidade (elemento neutro), o menor conjunto que poderá ter a estrutura de grupo é o conjunto G = {n}. Neste caso |G| = 1. A única operação binária * possível em G = {n} é n * n = n.

Para um conjunto com dois elementos, |G| = 2, devemos ter {n, a}. A tabela operacional nesse grupo apresenta os resultados: (1) a*n = a, (2) n*a = a, (3) n*n = n e (4) a*a = n, pois em um grupo todos os elementos devem ter inverso sendo este inverso único. Portanto, o inverso de a somente poderá ser o próprio a, uma vez que o outro (único) elemento é n cujo inverso é o próprio n. A tabela apresenta a forma:

Vejamos algumas condições necessárias e suficientes para que uma tabela operacional, caracterize um conjunto finito para que seja estabelecida uma estrutura de grupo.

Para referência chamaremos a linha de topo a linha onde são indicados os elementos do conjunto e coluna esquerda a coluna onde figuram os elementos. Ver figura:

16

* a b c dabcd

Linha de topooperação

*nannaaan

O resultado de x * y é posicionado na célula onde cruza a linha do elemento x e a coluna do elemento y. (1) Deverá existir um elemento desse conjunto, denotado por n, que desempenhará o papelda identidade (ou neutro) do grupo.(2) A condição n * x = x exige que na linha correspondente ao elemento n, os elementosdo conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na linha de topo.(3) A condição x * n = x significa que na coluna correspondente ao elemento n, os elementosdo conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na coluna esquerda.(4) O elemento x tem inverso y à direita quando na célula correspondente ao cruzamento da linha de x com a coluna de seu inverso y aparece o elemento neutro n. (5) O elemento x tem inverso y à esquerda quando na célula correspondente ao cruzamento da coluna de x com a linha de seu inverso y aparece o elemento neutro n. (6) As equações a * x = n e y * a = n devem ter solução única. Deste modo, em cada linha e em cada coluna, cada elemento do conjunto deve aparecer apenas uma vez.(7) O grupo é comutativo se a tabela for simétrica em relação à diagonal principal, ao considerar a tabela como uma matriz.(8) Não há como verificar a associatividade a partir de visualização da tabela. A associatividade deve ser comprovada caso a caso.

4.3 – ALGUNS GRUPOS FINITOS

Apresentaremos a seguir alguns grupos finitos, que, por sua importância, serão usados constantemente como modelos.

(1) Classes residuais módulo k.Conforme já foi visto, o conjunto das classes residuais módulo k é representado por Zk tal que:Zk = {0, 1, 2, . . . k – 1}

Temos, como exemplos: Z2 = {0, 1}, Z4 = {0, 1, 2, 3}.Para facilidade de digitalização, usaremos indicar as classes residuais em negrito e itálico. Assim, Z4 = {0, 1, 2, 3}. Esta notação não é convencional.Qualquer que seja k > 1, (Zk, +) é um grupo comutativo.Zk não é um grupo multiplicativo pois 0 não tem inverso.Entretanto, Zk – {0} é um grupo comutativo, se e somente se n for um número primo.Demonstração: (i) Temos inicialmente que: somente 1.k = k 0 pois k é primo e 0 não pertence a Zk – {0}. (ii) 1 Zk – {0} e 1 é o elemento neutro.(iii) a multiplicação é associativa em qualquer subconjunto de Z.(iv) todo elemento de Zk – {0} admite inverso.

Veja a tabela para a adição em Z5 e multiplicação em Z5 – {0}

(2) O grupo P(A) – grupo das permutações dos elementos de A.Sendo A um conjunto não vazio, chama-se permutação em A (ou de A) toda função bijetora f:A A.Denotaremos o conjunto das permutações em A por P(A). Tomando, por exemplo, o conjunto A = {1, 2, 3}, P(A) terá seis elementos que são:

17

Coluna esquerda

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

X 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

P1(1, 2, 3) = (1, 2, 3); P2(1, 2, 3) = (1, 3, 2); P3(1, 2, 3) = (2, 1, 3); P4(1, 2, 3) = (2, 3, 1),P5(1, 2, 3) = (3, 1, 2) e P6(1, 2, 3) = (3, 2, 1).Na indicação, por exemplo, de P3(1, 2, 3) = (2, 1, 3), significa que a imagem de 1 é 2 ou P3(1) = 2, a imagem de 2 é 1 ou P3(2) = 1 e a imagem de 3 é 3 ou P3(3) = 3.De acordo com o estudo das permutações, o número de elementos de P(A) = n(A)! onde n(A) é o número de elementos de A e n(A)! é o fatorial de n(A).A composta de duas permutações de A é indicada por PioPj que obedece a mesma definição de composição de funções.Assim, por exemplo, P2oP4(1, 2, 3) = P2(P4(1, 2, 3)) = P2(2, 3, 1) = (3, 2, 1) = P6(1, 2, 3).É fácil verificar que:(a) a composição de permutações de A é uma permutação de A;(b) a permutação P1, com zero inversões, é o elemento neutro, pois tem-se que P1(x) = x.(c) toda permutação tem uma inversa(d) a composição de permutações é associativa.As afirmativas acima são válidas uma vez que as permutações de A são funções bijetoras e a operação definida é a composição de funções.Assim, P(A) é um grupo.Calculando as compostas temos:Sendo P1(x) = x, P1oPi(x) = P1(Pi(x)) = Pi(x).Temos também que PioP1(x) = Pi(P1(x)) = Pi(x).Portanto: P1oPi = PioP1 = Pi, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.P2oP2(1,2,3) = P2(1,3,2) = (1, 2, 3) = P1 P2 é a inversa de P2.P2oP3(1,2,3) = P2(2,1,3) = (3, 1, 2) = P5

P2oP4(1,2,3) = P2(2,3,1) = (3, 2, 1) = P6

P2oP5(1,2,3) = P2(3,1,2) = (2, 1, 3) = P3

P2oP6(1,2,3) = P2(3,2,1) = (2, 3, 1) = P4

P3oP2(1,2,3) = P3(1,3,2) = (2, 3, 1) = P4 P3oP3(1,2,3) = P3(2,1,3) = (1, 2, 3) = P1 P3 é a inversa de P3.P3oP4(1,2,3) = P3(2,3,1) = (1, 3, 2) = P2

P3oP5(1,2,3) = P3(3,1,2) = (3, 2, 1) = P6

P3oP6(1,2,3) = P3(3,2,1) = (3, 1, 2) = P5

P4oP2(1,2,3) = P4(1,3,2) = (2, 1, 3) = P3 P4oP3(1,2,3) = P4(2,1,3) = (3, 2, 1) = P6

P4oP4(1,2,3) = P4(2,3,1) = (3, 1, 2) = P5

P4oP5(1,2,3) = P4(3,1,2) = (1, 2, 3) = P1 P5 é a inversa de P4.P4oP6(1,2,3) = P4(3,2,1) = (1, 3, 2) = P2

P5oP2(1,2,3) = P5(1,3,2) = (3, 2, 1) = P6 P5oP3(1,2,3) = P5(2,1,3) = (1, 3, 2) = P2

P5oP4(1,2,3) = P5(2,3,1) = (1, 2, 3) = P1 P5 é a inversa de P4.P5oP5(1,2,3) = P5(3,1,2) = (2, 3, 1) = P4

P5oP6(1,2,3) = P5(3,2,1) = (2, 1, 3) = P3

P6oP2(1,2,3) = P6(1,3,2) = (3, 1, 2) = P5 P6oP3(1,2,3) = P6(2,1,3) = (2, 3, 1) = P4

P6oP4(1,2,3) = P6(2,3,1) = (2, 1, 3) = P3

P6oP5(1,2,3) = P6(3,1,2) = (1, 3, 2) = P2

P6oP6(1,2,3) = P6(3,2,1) = (1, 2, 3) = P1 P5 é a inversa de P4.

Temos então a tabela:

Observe que P(A) é um grupo não abeliano.

(3) Raízes complexas da equação xn – 1 = 0.

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o P1 P2 P3 P4 P5 P6

P1 P1 P2 P3 P4 P5 P6

P2 P2 P1 P5 P6 P3 P4

P3 P3 P4 P1 P2 P6 P5

P4 P4 P3 P6 P5 P1 P2

P5 P5 P6 P2 P1 P4 P3

P6 P6 P5 P4 P3 P2 P1

Para n = 2, as raízes são 1 e -1 e para n = 4 teremos as raízes 1, -1, i, -i.Os conjuntos {1, -1} e {1, -1, i, -i} constituem grupos finitos para a multiplicação.Temos, a seguir as tabelas operacionais:

Na duas tabelas, 1 é o elemento neutro. Para n = 2, cada elemento é o seu próprio inverso.Para n = 4, 1 é o inverso de 1, -1 é o inverso de -1, i é o inverso de –i e i é o inverso de –i.

Posteriormente provaremos que as raízes complexas de xn – 1 = 0 é um grupo para todo n N com n > 1.

EXERCÍCIOS 6

1 – Seja G = {a, b, c} e * uma operação definida no grupo G. Construa tabelas para a operação * que:(a) (G, *) não seja um grupo.(b) (G, *) seja um grupo não comutativo.(c) (G, *) seja um grupo comutativo.Para cada item acima, mostre as condições que satisfaçam aos pedidos.

2 – Construa as tabelas das classes de equivalência módulos 4 e 5 para as operações adição e multiplicação. Verifique se cada uma delas caracteriza ou não um grupo comutativo.

3 - Considere os conjuntos Un, n N formados pelas soluções complexas da equação xn = 1.Notas: (I) as raízes dessa equação são as raízes de índice n da unidade.(II) expressando a unidade 1 por 1 = cos 360k + i.sen 360k, k N, as “n” raízes de xn = 1 serão dadas por zk = cos (360ºk/n) + i.sen (360ºk/n), fazendo k = 0, 1, 2, 3, ... n – 1.(a) Construa então as tabelas para a multiplicação das raízes complexas da equação xn = 1, para n = 1, 2, 3 e 4.(b) Verifique e informe se os Un, para n = 1, 2, 3 e 4 são ou não grupos comutativos para a multiplicação.

4 – Informe se os conjuntos de classes residuais abaixo, com a operação multiplicação constituem ou não um grupo. Em caso positivo, construir a tabela operacional.(a) Z7 (b) Z9 (c) Z12 – {0} (d) Z7 – {0}

5 – Construa o conjunto P(A) para:(a) A = {1, 2} (b) A = {1, 2, 3, 4}

6 – Construa a tabela das composições das permutações para A = {1, 2}

7 – Considere as permutações Pi(1, 2, 3, 4, 5) = (3, 1, 2, 5, 4) e Pj(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 3, 5, 2, 4). Calcule PioPj(1, 2, 3, 4, 5). 8 – Sejam P1(1, 2, 3, 4, 5) = (3, 4, 2, 1, 5) e P2(1, 2, 3, 4, 5) = (4, 2, 5, 1, 3).Calcule: (a) P1

2 = P1oP1 (b) P22 o P1 (c) P2

-1 (d) P2-1 o P1

2

9 – Verifique se o conjunto {P1, P2, P3}, onde P1(1, 2, 3) = (1, 2, 3), P2(1, 2, 3) = (2, 3, 1) e P3(1, 2, 3) = (3, 1, 2), munido da operação composição de funções constitui ou não um grupo.Este grupo é ou não abeliano? Justifique.

4.4 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA

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X 1 -1 1 1 -1-1 -1 1

X 1 -1 i -i

1 1 -1 i -i-1 -1 1 -i i i i -i -1 1-i -i i 1 -1

Sejam x1, x2, ... , xn elementos do grupo (G, *). Define-se o resultado de x1*x2*x3*... *xn, que a partir de agora indicaremos por x1x2x3...xn da seguinte forma:x1x2x3 = (x1x2)x3

x1x2x3x4 = (x1x2x3)x4 = ((x1x2)x3)x4

x1x2x3x4x5 = (x1x2x3x4)x5 = (((x1x2)x3)x4)x5

...x1x2x3 ... xn = (x1x2x3...xn-1)xn = ((x1x2))x3)...xn-1)xn.

Assim, se pj = x1x2...xj, para j {1, 2, 3...n} então, pj = pj-1xj para qualquer j > 1.

A propriedade associativa generalizada válida também em um semi-grupo, diz-nos que o resultado de x1x2x3...xn, por uma certa ordem, não depende do modo de associação dos elementos. Isto é:(x1...xr)(xr+1... xn) = (x1...xs)(xs+1...xn), r, s, 1 < r < s < n.

Exemplo 1 - Dados quatro elementos x1, x2, x3 e x4 de um grupo, os resultados de x1x2x3x4, ((x1x2)x3)x4, (x1x2)(x3x4), (x1(x2x3))x4, x1((x2x3)x4) e x1(x2(x3x4)) representam o mesmo valor.

A propriedade associativa generalizada para o resultado de quatro ou mais elementos de um grupo pode ser verificada usando o princípio de indução matemática.

4.5 - POTÊNCIAS EM UM GRUPO

Definição 1: Seja (G, *) um grupo. Se x1 = x2 = ... = xn = x, define-se, para n N, a potência de x, por xn = x*x*... *x (onde x figura n vezes).

Para um grupo multiplicativo: xn = x.x.x.... e para um grupo aditivo xn = x + x + x ...

Teorema 1 – Em um grupo, n,m N, tem-se xmxn = xm+n (1) e, (xm)n = xmn (2).Demonstração. Demonstremos inicialmente que xmxn = xm+n.A propriedade é verdadeira para n = 1 pois xm.x1 = (x.x....x).x = xm+1 sendo que a expressão entre parênteses tem uma quantidade de x igual a m, ao aplicar a associatividade que é válida para um semi-grupo.Consideremos a propriedade válida para n = k (hipótese de recorrência). Isto é, xm.xk = xm+k.Provemos então, que a mesma é válida para n = k + 1, ou seja, xm.xk+1 = xm+(k+1).Temos então: xm.xk+1 = xm.(xk+1) = xm.(xk.x1) (associatividade da operação definida no semi-grupo) = (xm.xk).x1 = (xm+k).x1 = x(m + k) + 1 = xm + (k + 1) (associatividade da adição). Cqd.

Conseqüência 1: (xm)n = xmn.Pela definição de potência (xm)n = (xm.xm...xm) onde xm figura n vezes.Usando o teorema 1, e a associatividade em um grupo, xm.xm...xm = xm+m+m+... = xmn.

Convenciona-se que x0 = n, onde n é o elemento neutro da operação definida no grupo. Para (G, +), x0 = 0 e para (G, X), x0 = 1.

Para um grupo multiplicativo: x-n = (x-1)n, n N.

Definição 2: seja a um elemento de um grupo. Se an = a, então o elemento a é dito elemento idempotente.

Proposição 1 – o único elemento idempotente de um grupo é o elemento neutro. Veja exercício 1 da série EXERCÍCIOS 7.

4.6 - CONJUGADO E COMUTADOR

Seja G um grupo (considere-se um grupo multiplicativo).

Definição 1 - Chama-se conjugado de x por y, que se denota por [x]y, ao elemento de G

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[x]y = y-1xy.

Definição 2 - Chama-se comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G,[x, y] = xyx-1y-1.

EXERCÍCIOS 7

1 - Prove que:(a) Se x e y são elementos grupo (G, Ä) tais que x Ä y = x, então y = n, sendo n o elementoneutro do grupo G para a operação Ä.(b) O único elemento idempotente (an = a para todo a Z) de um grupo é o elemento neutro.

2 - Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas:

Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabelece no conjunto G uma estrutura de grupo.

3 - Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas nas tabelas.

Resolva cada uma das equações em relação a x. (obs. xn significa x x x ... n vezes)(a) x b = c.(b) x2 a = b x c-1 e a c x = x a c.(c) x2 = a2 (d) x5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação .(e) (x a x)3 = b x (f) x2 a = (x a)-1.(g) x2 b = x a-1 c.

4 - Em cada uma dos itens a seguir, prove que a proposição é verdadeira para qualquer grupo(G, X) onde X é a operação multiplicação ou, caso contrário, dê um contra-exemplo mostrando que é falsa em pelo menos um grupo.(a) Se x2 = 1, então x = 1;(b) (ab)2 = a2b2;(c) Para todo x G existe y G tal que x = y2 (isto é equivalente a dizer que todo oelemento de G tem uma raiz quadrada);(d) Se x2 = a2, então x = a;(e) Se x2 = x, então x = 1.

5 - Mostre que, em um grupo, (x-1yx)k = x-1yx yk = y, k > 0.

6 - Seja G um grupo. Prove que as condições seguintes são equivalentes:(I) G é abeliano.(II) a, b G, aba-1b-1 = n, onde n é o elemento neutro de G.(III) a, b G, (ab)2 = a2b2.

7 - Sejam a e b elementos de um grupo tais que a2 = n e aba = b3. Prove que b8 = n.

8 - Mostre que(a) a b aba-1b-1 = 1, (onde a b significa que a comuta com b)(b) a b a-1 b-1.

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a b c d * a b c da a b c d a d c b Ab b a d c b c a d Bc c d a b c b d a cd d b c a d a b c d

a b ca a b cb b c ac c a b

9 - Sejam G um grupo multiplicativo e x, y, z G. Mostre que:(a) ([x]y)-1 = [x-1]y.(b) [xy]z = [x]z[y]z.(c) [x]z = y x = [y]z-1

(d) [x, y]-1 = [y, x].(e) Sejam G um grupo e x1, x2,...xn, y elementos de G, n N. Mostre que [x1x2 ... xn]y = [x1]y[x2]y...[xn]y.

4.7 - SUBGRUPOS

Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Diz-se que H é um subgrupo de G se H é um grupo relativamente à operação que confere a G a estrutura de grupo.Em termos gerais, H é uma subestrutura do mesmo tipo de G e por isso denota-se porH < G.

Exemplo 1 - Considere-se Rn o grupo aditivo de todos os vetores (x1, x2, ... xn) onde x1, x2, xn R. O subconjunto constituído pelos vetores em que x1 = 0 é um subgrupo de Rn.

Um subgrupo H de G é dito impróprio ou trivial se H = {n} onde n é o elemento neutro de G. Todos os outros subgrupos são chamados próprios ou não triviais.

Exemplo 2 - Q+ com a operação multiplicação é um subgrupo próprio de R+ com a operação multiplicação.

Exemplo 3 - O conjunto das n-ésimas raízes da identidade um (1), n N, é um subgrupodo grupo C*, conjunto dos números complexos não nulos.

Exemplo 4 – O conjunto {0} é um subgrupo trivial de N em relação à operação adição.

Exemplo 5 – O conjunto {1} é um subgrupo trivial de R em relação à operação multiplicação.

Propriedade 1 - Seja (H, *) um subgrupo de (G, *). Então a identidade (neutro) de H coincide com a identidade de G para a operação *.Demonstração. Consideremos que n e n’ são as identidades de H e G respectivamente.Seja a H. Como n é a identidade de H tem-se n * a = a.Como H G a igualdade anterior em G é equivalente a, n’ = a*a-1 = n.Ou seja, n = n’.

Propriedade 2 - Sejam G um grupo e a, b G. Então (a*b)-1 = b-1*a-1 e (a-1)-1 = a.Demonstração. Devemos provar que tanto (a*b)-1 como b-1*a-1 são inversos de a*b para a operação *. Dos axiomas de grupo tem-se: (a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*(b-1*a-1)) = = a*((b*b-1)*a-1) = a*(n*a-1) = a*a-1 = n, portanto b-1*a-1 é o inverso de a*b. De forma análoga prova-se que (b-1*a-1)*(a*b) = n e assim b-1*a-1 é o inverso de a*b. Como o inverso é único, (a*b)-1 = b-1*a-1.Da forma análoga prova-se que (a-1)-1 = a.

4.8 – CONDIÇÕES PARA QUE UM SUBCONJUNTO SEJA UM SUB-GRUPO

São condições necessárias e suficientes para que um subconjunto não vazio de um grupo seja um subgrupo:

Caso 1 - Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Diz-se que H é um subgrupo de G, em relação à operação * se e somente se:(1) x, y H, x*y H(2) x H, x-1 H.Demonstração: a condição necessária resulta imediatamente da definição de subgrupo.Condição Suficiente: Suponhamos que H é um subconjunto não vazio de G onde as as condições (1) e (2) se verificam.

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A condição (1) e o fato de que H é um subconjunto não vazio de G garante que H é umgrupóide.Verifiquemos se existe elemento identidade em H.Seja x H. Observe-se que como H , existe pelo menos um elemento em H. Acondição (2) garante que x-1 H. Como H é grupóide vem x*x-1 H e x-1*x H. Mas, emG, x*x-1 = x-1*x = n. Logo n H.A existência de inverso para cada x H é garantida pela condição (2).Resta verificar que a, b, c H, (a*b)*c = a*(b*c).A associatividade é válida para todos os elementos de G. Como H G, essa propriedade é também válida em H.

Exemplo 1 - Se F o conjunto das funções reais de variável real. O subconjunto de Fcujas funções são diferenciáveis é um subgrupo de F. De fato, a soma de duas funçõesdiferenciáveis é uma função diferenciável e, o simétrico de uma função diferenciável é umafunção diferenciável.

Exemplo 2 – Com relação ao conjunto de matrizes, podemos associar o seu determinante det(A) e, uma matriz é inversível se e somente se det(A) 0. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem então det(AB) = det(A) det(B). Seja G o grupo multiplicativo de todas as matrizes de tipo n X n onde aij, aij C (conjuntos dos complexos) e seja T o subconjunto de G constituído pelas matrizes inversíveis com determinante igual a 1. A igualdade det(AB) = det(A) det(B) mostra que T é fechado para a multiplicação de matrizes.Note-se que det(In) = 1. Da igualdade det(A) det(A-1) = det(A*A-1) = det(In) = 1, verifica-se que, se det(A) = 1, então det(A-1) = 1. De acordo com o caso 1, que caracteriza um sub-grupo, T é um subgrupo de G.

Caso 2 - Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Diz-se que H é um subgrupo de G se e somente se x, y H, x*y-1 H.Demonstração. Devemos provar que as condições do caso 2 equivalem às condições (1) e (2) do caso 1.A condição é necessária pois se G é um grupo,A associatividade vale para todo a, b, c de G, então vale também para todo subconjunto de G. Se como para todo x, y de H x*y-1 pertence a H, então H tem elemento neutro e admite inverso. Sendo G um subconjunto de H, então as condições de subgrupo estão satisfeitas. Vejamos que condição é também suficiente. Seja x H (a existência deste elemento está garantida porque H . Pela condição dada: tem-se x*x-1 H. Portanto “n” – elemento neutro - pertence a H.Seja x H. Como n H, pela condição dada tem-se: x-1 = n*x-1 H.e portanto a condição (2) do caso 1 é verificada.Sejam agora x, y H. Pelo caso (1), y-1 H. Pela condição dada x*(y-1)-1 H o que é equivalente a x*y H, donde resulta a condição (1) do caso 1.

Caso 3 - Seja (G, *) um grupo finito e H um subconjunto não vazio de G. Diz-se que H é um subgrupo de G se e somente se x, y H, x*y H.Demonstração. A condição necessária é imediata pois a operação deve ser verificada para todos os elementos de H.Condição suficiente. O fato de que H é um subconjunto não vazio de G e a condição x, y H, x*y H garante que H é um grupóide. Como a associatividade é válida em G e ela é válida para todo subconjunto de G. Portanto, é válida para H.Como G é finito e H é um subconjunto de G então H também é finito. Considere-se então |H| = r (lembre |H| representa a quantidade de elementos de H) e H = {x1, x2, . . . , xr}.Mostremos em primeiro lugar que existe elemento neutro em H.Fixando i {1, 2, . . . r} e formando todos os resultados xi*xj , j {1, 2, ... , r} (1), pela condição dada xi*xj H.Seja B = {xi*x1, xi*x2, . . . , xixr}. Se B tiver n elementos então tem-se B = H.Mas, isso só é verdadeiro se todos os resultados indicados em (1) forem distintos, isto éxi*xt xi*xl, para t l, t, l {1, 2, . . . , r}.De fato, se se tivesse xi*xt = xi*xl, para t l, a lei do corte em G permitiria concluir quext = xl, para t l, o que não poderá acontecer pois |H| = r. Logo B = H. Isto é,{xi*x1, xi*x2 , . . . , xi*xr] = {x1, x2, . . . , xr}.Existe assim k {1, 2, . . . , r} tal que xi*xk = xi. (2)

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Considerando a igualdade (2) em G e aplicando a lei do corte tem-se xk = n (neutro), o que garante que o elemento neutro de G pertence a H. Assim, pela unicidade do elemento neutro em um grupóide, o elemento neutro de H é n.A existência de elemento inverso para cada elemento xj H, j {1, 2, . . . , r} prova-secom argumentos semelhantes. De fato, para qualquer j {1, 2, . . . , r} tem-se{xj*x1, xj*x2, . . . , xj*xr} = {x1, x2, . . . xr}. Assim, existe t {1, 2, . . . , r} tal que xj*xt = n. Encarando novamente esta igualdade em Gtem-se que (xj)-1 = xt H. Desde modo, está provada a proposição.

Do que foi visto acima, existem três condições para que um subconjunto H de um grupo (G, *) seja também um subgrupo, que são: Situação 1 : (1) x, y H, x*y H (2) x H, x-1 H.Situação 2 : x, y H, x*y-1 H.Situação 3 : x, y H, x*y H, válida somente para grupos finitos.

4.9 – UNIÃO E INTERSEÇÃO DE SUBGRUPOS

Propriedade 1 - Seja G um grupo. A intersecção de subgrupos Hi de G para i N* , que denotaremos Hi, é um subgrupo de G.Demonstração: (1) o elemento neutro n pertence a todo subgrupo Hi de G, portanto, n pertence também à interseção dos subgrupos. Portanto a interseção é um conjunto não vazio, que contém, pelo menos o elemento neutro. (2) Se a e b pertencem aos subgrupos Hi, então a * b pertence aos subgrupos (pois a operação é definida nos mesmos). Assim a * b Hi.(3) Como cada Hi é um subgrupo, a Hi, a-1 Hi. Portanto, se a Hi, a-1 Hi.

(4) Como a associatividade é válida para todos os elementos dos subgrupos, ela será também válida para a interseção dos subgrupos.Assim, em ( Hi, *) a operação * é associativa, admite elemento neutro e inverso. Portanto Hi é um subgrupo. CQD.

Propriedade 2 – Nem toda união de subgrupos Hi de um grupo G é um subgrupo.Tomando por exemplo os subgrupos (G1, +) e (G2, +) onde G1 = {2x, x Z} e G2 = {3x, x Z}, a união desses dois subgrupos, não é um subgrupo. Como exemplo temos: 4 G1 e 3 G2, mas 4 + 3 = 7 G1 G2.

Propriedade 3 - Sejam A e B subgrupos de um grupo (G, *) então A B é um subgrupo de G se e somente se A B ou B A.Demonstração. Suponha-se que A B é um subgrupo de G e que A B. Então existea A tal que a B. Seja b B um elemento qualquer. Tem-se a, b (A B) e, por este ser um subgrupo de G, a*b-1 (A B). Se a*b-1 B, a = (a*b-1)*b B, o que seria contraditório. Logo a*b-1 A e como a-1 A, b-1 = a-1*(a*b-1) A. Por A ser um subgrupo, b = (b-1)-1 A. Portanto B A.Reciprocamente, se A B ou B A tem-se A B = B ou A B = A, respectivamente.Logo A B é um subgrupo de G.

4.10 - ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE SUBCONJUNTOS NÃO VAZIOS DE UM GRUPO

Sejam H1, H2, . . . , Hn subconjuntos não vazios de um grupo (G, *).Definem-se a soma dos subconjuntos e o produto desses subconjuntos por:(1) SOMA: H1 + H2 + ... + Hn = H1 H2 . . . Hn.(2) PRODUTO: H1H2...Hn = {h1*h2*...*hn, h1 H1, h2 H2,... hn Hn}. Isto é, os elementos do produto dos conjuntos são todos os resultados possíveis da operação tomando um elemento de cada conjunto.

A adição de subconjuntos é uma operação associativa e comutativa e a multiplicação é distributiva em relação à adição. Em geral, para dois subconjuntos H e W, a multiplicação de conjuntos não é comutativa.

EXERCÍCIOS 8

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1. Seja G um grupo. Prove que o conjunto {x G | xg = gx, g G}, chamado centro de G, é um subgrupo abeliano de G.

2. Seja (M, .) o grupo multiplicativo constituído pelas matrizes não singulares de ordem n sobre um corpo K. Verifique se cada um dos conjuntos seguintes é ou não um subgrupo de M:(a) H = {A M | AAT = I} onde AT representa a transposta da matriz A;(b) W = {B M | B é anti-simétrica}.

3. Sejam A e B subgrupos de um grupo G. Mostre que A B, não é, em geral, um subgrupode G. Mostre que A B é subgrupo de G se e somente se A B ou B A.

4. Prove que o conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 e determinante igual a 1 é um subgrupo de M(2, R) – matrizes quadradas de ordem 2 onde cada aij R.

5. Sejam (G, *) um grupo abeliano e m um inteiro fixo, m > 1. Sejam Gm = {x G | xm = 1} e Gm = {xm | x G}.Prove que Gm e Gm são subgrupos de G.

6. Sejam (G, *) um grupo abeliano e H = {x G | x = y2 para algum y G}, ou seja, H é o conjunto de todos os elementos de G que possuem raiz quadrada. Prove que H é um subgrupode G. (obs. y2 = y*y)

7. Sejam (G, *) e (H, Ä) dois grupos.(a) Mostre que o conjunto G X H = {(g, h) | g G, h H} é um grupo para a operação:(g, h) . (g’, h’) = (g*g’, h Äh’), (g, h), (g’, h’) G X H.(b) Seja G X H o conjunto definido anteriormente. Prove que {(x, n) | x G}, onde n é o elemento neutro de H, é um subgrupo de G X H.

8 – Considere o grupo aditivo Z12. Verifique se H = {0, 3, 6, 9} é ou não um subgrupo de Z12.

9 – Existe em Z12 algum outro subgrupo?

10 – para cada um dos itens abaixo, verificar se H é subgrupo de G(a) H = {z C | |z| = 1} e (G, *) = (C*, .) . Obs. C* = C – {0}.(b) H = {0, 3, 6, 9, 12}, (G, *) = (Z15, +), onde 0, 3, 6, 9, 12 são as classes residuais.(c) H = {0, 5, 10}, (G, *) = (Z15, +).(d) H = {a + b2 | a, b Q, e a + b2 0}. (G, *) = (R*, .)

4.11 - PRODUTO DIRETO DE GRUPOS

Sejam G1, G2, . . . , Gn grupos e considere-se G o produto cartesiano G1 X G2 . . . X Gn

dos conjuntos G1, G2, . . . , Gn. Assim, os elementos de G são n-uplas (x1, x2, . . . xn) ondexi Gi, para i {1, 2, . . . , n}. O produto de dois elementos é dado por(x1, x2, . . . , xn)(y1, y2, . . . , yn) = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn).É fácil provar que G é um grupo com esta operação pois: (1) a multiplicação é associativa; (2) o elemento identidade do grupo é (n1, n2, . . . , nn), onde cada elemento ni é o elementoidentidade do grupo Gi, para todo i {1, 2, . . . , n};(3) o inverso de um elemento (x1, x2, . . . , xn) de G é (x1

-1, x2-1, . . . , xn

-1)onde cada xi

-1 é o inverso de xi em Gi, para todo i.Diz-se que o grupo G é o produto direto dos grupos G1, G2, . . . , Gn e se denota porG1 X G2 . . . X Gn.

4.12 - GRUPOS CÍCLICOS

Definição 1 – Um elemento a G é dito gerador do grupo (G, *) se, m G, existe m’ G, tal que m’ = a*m.

Definição 2 - Todo grupo (G, *) gerado por um único elemento de G é denominado grupo cíclico gerado por a. O grupo gerado pelo elemento a é indicado por <a>.

Teorema 1 – Se a (G, *), então H = {am, m Z} é o grupo cíclico de G, gerado por a.

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Ou seja, <a> = {am | m Z}.Devemos lembrar que am = a*a*a.... Para um grupo multiplicativo, am = a.a.a... e <a> é o conjunto das potencias de a.Para um grupo aditivo am = a + a + a + ..., que se escreve m.a e o conjunto <a> é denominado conjunto dos múltiplos de a.Demonstração: Devemos provar que (H, *) é um grupo (subgrupo de G).(i) H é diferente de vazio pois se a G, a1 = a H. (ii) Como H é um subconjunto de G, então * é associativa para os elementos desse conjunto.(iii) Conforme visto na definição de potenciação em um grupo, a0 = n. Portanto H tem elemento neutro para a operação *.(iv) x H, x = am. Temos que a-m também pertence a H. Deste forma am*a-m = am-m = a0 = n. Portanto, todo elemento de H tem inverso.Pelo que foi visto acima, H = {am, a G e m Z) é um grupo e, de acordo com a definição, H é o grupo cíclico gerado por a.

Exemplo 1. (Z, +) é um grupo cíclico pois, para cada m Z, m = m.1, logo Z = {m.1 | m Z} = <1>.

Exemplo 2. (Zm, +) também é um grupo cíclico gerado por 1, pois a Zm, (a Z), a = a.1.

Exemplo 3. (2Z, +) é um grupo (na realidade um subgrupo de Z) gerado pelo número inteiro 2. Isto é: 2Z = {2m | m Z} = <2>.

Exemplo 4. O conjunto C’ = {im, i = -1 e m N} é um grupo cíclico para a operação multiplicação. C’ = <i>.

Exemplo 5 - Seja Z4 = {0, 1, 2, 3}. Então Z4 é cíclico e 1 e 3 são geradores de Z4, ou seja< 1 >=< 3 >= Z4, considerando a operação adição.Veja: 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 0 . Assim, todos os elementos de Z4 são obtidos a partir do elemento 1.3 + 0 = 3, 3 + 1 = 0, 3 + 2 = 1, 3 + 3 = 2. Todos os elementos de Z4 são obtidos a partir do elemento 3.Observe que, qualquer elemento de Z4 é gerador de Z4, considerando a operação adição.

Exemplo 6 – Para a multiplicação Z4 – {0} é um grupo cíclico onde 1 e 3 são geradores. Entretanto, 2 não é gerador. Verifique.

Exemplo 7 - O grupo {1, i, -1, -i} é cíclico, pode-se tomar como gerador i ou –i, usando a operação multiplicação.

Exemplo 8 - Considere-se o grupo (Z, +). Vamos determinar < 3 > . Neste grupo anotação é aditiva e < 3 > deverá conter3, 3 + 3 = 6, 3 + 3 + 3 = 9, e assim sucessivamente...0, -3, -3 + (-3) = -6, -3 + (-3) + (-3) = -9, e assim sucessivamente...Por outras palavras, o subgrupo cíclico gerado por 3 é constituído por todos os múltiplos de 3, positivos, negativos ou nulos. Assim, <3> = 3Z. De forma semelhante mostra-se que kZ é o grupo cíclico <k> de Z. Note que 6Z 3Z.

Definição 3 - Sejam G um grupo e a G. Diz-se que G tem ordem finita em G se existirem inteiros positivos e distintos r, s tais que ar = as.Neste caso usa-se a notação |G| < .

Exemplo 9: Seja G = {im | i = -1 e m N} = < i >A ordem de G, é finita pois m N, im = ir onde m = 4k + r, com k e r N. Isto é, r é o resto da divisão de m por 4. Assim, r = 0, 1, 2, 3.

Definição 4 - Sejam G um grupo e a G. Diz-se que o grupo G gerado por “a” tem ordem infinita se os elementos a0, a, a2, . . . são todos distintos.Neste caso usa-se a notação O(G) = .Exemplo: O grupo (Z, +) gerado por a = 1, tem ordem infinita.

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Proposição 1 - Seja um grupo cíclico G =< a > finito. Então G = {n, a, . . . a-1} onde é igual ao menor dos número inteiros positivos, tais que ak = n. Demonstração. Seja um grupo cíclico G =< a > finito. Pela proposição anterior, existem inteiros positivos distintos r, s tais que ar = as. Ter-se-á r < s ou r > s. Sem perda de generalidade admita-se que r < s. Tem-se s - r > 0. De ar = as, conclui-se que as-r = n. Logo existe um natural k tal que ak = n e A = {n N | ak = n} . Por N ser parcialmente ordenado, o conjunto A tem primeiro elemento, e tem-se a = n. Provemos agora que < a >= {n, a, . . . , a-1}. É evidente que {n, a, . . . , a-1} < a > .Tomando a’ < a >. Note-se que p > . Tem-se então, p= q + r, onde r {0, . . . - 1} e q N. Tem-se entãoap = aq+r = (a)qar = nar = ar {n, a, . . . , a-1}. Logo < a > {n, a, . . . , a-1}. Assim, G = {n, a, . . . , a-1}.

Definição 5 - A ordem de um grupo G gerado por a G é igual ao menor inteiro positivo k tal que ak = n.A demonstração decorre diretamente das proposições anteriores e da definição de ordem de um elemento.Usando o exemplo 9, temos que a ordem de i, é igual a 4 pois i0 = i4 = 1, e 4 é o menor número natural que satisfaz a condição i4 = n.Da proposição anterior tem-se que se < a > é finito, O(G) = 4

Teorema 2 - Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.Demonstração. Seja H um subgrupo do grupo cíclico G = < a >. Se H = {n} então H =< n > é cíclico. Suponhamos que H = {n}, então H =< n > é cíclico.Se H {n}, seja am um elemento de H, de expoente positivo mínimo. Então, dado arbitrariamente ak H e considerando k = mq + r, com 0 < r < m, tem-se ar = ak-mq = ak.(am)-q H,pelo que r = 0. Assim, ak = amq = (am)q. Assim, H =< am >.

Resulta deste teorema que se H {n} é um subgrupo de G =< a >, então H =< am >,onde m é o menor inteiro positivo tal am H. Por outro lado, se H {n} é um subgrupode um grupo cíclico G, H é finito ou infinito se G for finito ou infinito.

Exemplo 10 - Seja G =< a > um grupo cíclico de ordem 6. Tem-se H =< a4 >= {n, a2, a4} == < a2 >, onde O(H) = 3.

4.13 - CLASSES LATERAIS DE UM SUBGRUPO E O TEOREMA DE LAGRANGE

Um dos fatos importantes a respeito da ordem de um subgrupo de um grupo é que: se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então [H] divide [G], isto é, a ordem (número de elementos) de H divide a ordem de G. Este resultado é conhecido com teorema de Lagrange.Assim, por exemplo, um grupo G de 8 elementos só poderá vir a ter subgrupos de 1, 2, 4 ou 18 elementos (sendo possível que G tenha vários subgrupos de, por exemplo, 2 elementos).Para um melhor entendimento do Teorema de Lagrange, vamos introduzir o conceito de classes laterais.

Definição 1 - Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada elemento a G, define-se a classe lateral direita de H, determinada por a, como sendo o conjuntoH*a = {h*a | h H}De forma semelhante, define-se a*H = {a*h | h H} como sendo a classe lateral esquerda de H, determinada por a.

Da definição de classe lateral, pode-se concluir que, a*H = H*a, a G, se e somente se G for um grupo abeliano.

Definição 2 - Se H*a = a*H, para todo a G, H é chamado um subgrupo normal de G.

Exemplo 1. Sejam (G, *) = (Z12, +) e seja H = < 3 > = {0, 3, 6, 9}.Para cada elemento a Z12 (a Z), a classe lateral direita de H, determinada por a, é definida como sendo o conjunto H + a = {h + a | h H}.Assim temos:H + 0 = H = {0, 3, 6, 9}

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H + 1 = {1, 4, 7, 10}H + 2 = {2, 5, 8, 11}Observe que:H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9H + 1 = H + 4 = H + 7 = H + 10H + 2 = H + 5 = H + 8 = H + 11Como pode ser notado, existem apenas três classes laterais direitas de H em Z12, que são asclasses H + 0 = H, H + 1 e H + 2.

Definição 3 - Se G é um grupo e H é um subgrupo normal de G, denotaremos por G/H ou G : H o conjunto das classes laterais H. O conjunto G/H é denominado de grupo quociente.No exemplo 1 acima, G/Hd = Z12 /H = {H, H + 1, H + 2}ou seja, G/H = { {0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 6, 8, 11} }

Teorema 1 - Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo de G. Então a, b G, tem-se H*a = H*b a*b-1 H.Obs. 1 -Se G é um grupo aditivo, temos: H + a = H + b a - b H. Obs. 2 - Se G é um grupo multiplicativo, Ha = Hb a/b H.Demonstração: Devemos provar que (1) se H*a = H*b então a*b-1 H e que (2) se a*b-1 H então H*a = H*b.Sejam a e b elementos de G.(1) Sendo e o elemento neutro de G, temos que a = n*a H*a.Se H*a = H*b e a H*a, então a H*b a = h*b, para algum h H e, em conseqüência, a*b-1

H.(2) Suponhamos agora que a*b-1 H. Então temos:(i) Seja x H*a. Temos x = h*a, para algum h H.Dai, x = h*a = (h*a)*n = (h*a)*(b-1*b) = h*(a*b-1)]*b.Como h*(a*b-1) H, deduz-se que x H*b.Portanto, se x H*a, resulta x H*b H*b H*a.(ii) Como a*b-1 H, temos também que b*a-1 H, pois b*a-1 = (a*b-1)-1.Seja x H*b. Então x = h*b, para algum h H.Assim, x = h*b = (h*b)*n = (h*b)*(a-1*a) = h*(b*a-1)*aLogo, como h*(b*a-1) H, temos que x H*a. Portanto H*a H*b.Ora, H*b H*a e H*a H*b, resulta H*a = H*b.

Teorema 2 - Se (G, *) um grupo e H um subgrupo de G, a, b G, se b H*a então H*b = H*a.Suponhamos que b H*a. Por definição de H*a, b = h*a, para algum h H.Temos b*a-1 = h*a*a-1 b*a-1 = h h = b*a-1, de onde deduzimos que b*a-1 H. De acordo com o teorema 1, H*a = H*b.

Teorema 3 - Duas classes laterais direitas de um subgrupo H de G são iguais ou disjuntas. Isto é, a, b G, H*a = H*b ou H*a H*b = .Em particular, H*a = H a H.Demonstração:Dois conjuntos são disjuntos ou não são disjuntos. Suponhamos então que H*a e H*b não são disjuntas.Então existe x G tal que x H*a H*b. Então x = h*a = h’*b, para certos elementos h e h’ de H. Temos que: a*b-1 = h-1*h’. Logo, a*b-1 H e, assim, pelo teorema 1, H*a = H*b.

Teorema 4 - Se H é um subgrupo finito, então, para cada a G, o número de elementosda classe lateral direita H*a (que denotaremos por [H*a]) é precisamente o número de elementos de H. Ou seja, [H*a] = [H], a G.Demonstração: Seja a aplicação f:H H*a, definida por f(h) = h*a, h H.Se a aplicação f for bijetora então o número de elementos de H*a é igual ao n[úmero de elementos de H. Provemos, então, que f é bijetora.(i) f é claramente sobrejetora, pois cada elemento de H*a é da forma h*a, para algum h H, logo, cada elemento de H*a é da forma f(h) para algum h H. Ou seja, todo elemento de H*a é imagem de algum elemento de H.

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(ii) f é injetora, pois se f(h1) = f(h2) então h1*a = h2*a. Pela lei do cancelamento aplicável para todo resulta h1 = h2.Portanto f é injetora Como H é finito, o número de elementos de H é igual ao número de elementos de H*a, ou |H| = |H*a|.

Teorema 5. Sendo G finito, a união de todas as classes laterais direitas de H é igual a G. Simbolicamente,

Demonstração: pela definição de classe lateral, para cada elemento x de G, temos que xH*x.Portanto: G .

Por outro lado, x*H G, para cada x de G. Logo G.

Deste modo G = .

Observemos novamente as classes laterais do exemplo 1 anterior, em que (G, *) = (Z12, +) e H = <3> = {0, 3, 6, 9}.Observa-se imediatamente que [H + a] = [H] = 4, a Z12, e que duas classes laterais H + a e H + b, com a e b em Z12, são iguais ou disjuntas.Observe por exemplo, que H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9 = H, já que 0, 3, 6 e 9 são os elementos de H.Por outro lado, já teria sido possível prever que H + 1 = H + 4, pois 1 - 4 = -3 9 H. Igualmente, podemos afirmar que H + 11 = H + 5, pois 11 - 5 = 6 H.Ocorre também que, como H +1 = {1, 4, 7, 10}, temos então H +1 = H +4 = H + 7 = = H + 10.

Teorema 6 - (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e G/H o conjunto das classes laterais direitas de H em G.Então |H| divide |G|. Mais precisamente, |G/H| = |G|/|H|.Observação: o símbolo |G/H|, que significa nº de classes laterais de H em G, pode também ser indicado por |G : H|.Demonstração. Sendo G um grupo finito, temos que existe um número finito de classes laterais direitas de H, já que a união de todas elas é igual a G, de acordo com o teorema 5 anterior.Suponhamos então que existem s classes laterais direitas de H, s > 1, duas a duas distintas, ou seja,G/H = {H*x1, H*x2, . . ., H*xs} para certos elementos x1, x2, . . . , xs de G, sendo as classes H*x1, H*x2, . . ., H*xs distintas entre si.Como classes laterais distintas são também disjuntas, teremosG = H*x1 H*x2 . . . H*xs

e, além disso,|G| = |H*x1| + |H*x2 | + . . .+ |H*xs|Sendo porém |H*xk| = |H|, para cada k, 1 < k < s, resulta |G| = |H| + |H| + ...+ |H| = s.|H|Desta forma: |G|/|H| = s = |G/H|.

Corolário 1 - Todo o grupo G cuja ordem é um número primo (ordem prima) é gerado apenas por um elemento.Demonstração. Seja |G| = p, onde p é um número primo. Seja a G/{e}. Consideremos o subgrupo gerado por a, < a > tal que |<a>| = m. Este subgrupo (<a>)tem pelo menos dois elementos, n e a. Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de <a> que é então maior ou igual a 2, deve dividir a ordem de G. Ou seja, a ordem de <a> deve dividir p que é primo. Como todo número primo só é divisível por 1 e por ele mesmo, devemos ter m = p e <a> = G pois m é maior ou igual a 2.

EXERCÍCIOS 09

1 – Quantos subgrupos tem o grupo (Z6, +)? Justifique.

2 – Escreva todos os subgrupos de (Z6, +).

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H*a = GaG

H*xxG

H*xxG

3. Sejam G um grupo, nG o elemento neutro de G e a G, a nG tal que G = (a).i. Se a56 = a73, qual é a ordem de G?ii. Se a58 = a73, que se pode dizer sobre a ordem de G? E qual seria, neste caso, a ordemdo subgrupo gerado por a7?

4. Seja G um grupo finito de ordem m e n o elemento neutro de G. Mostre que:g G, gm = n.

5. Seja G o grupo cíclico de ordem 6 gerado por a. Considere os seguintes subgrupos de G:H = {n, a2, a4}, K = {n, a3}Indique os elementos e escreva a tabela dos grupos quociente G/H e G/K.

6. Considere o grupo cíclico G gerado por um elemento a de ordem 12.(a) Indique todos os subgrupos de G de ordem 6. (b) Prove que H = {n, a4, a8} é um subgrupo de G.(c) Decomponha G em classes laterais à direita segundo H.

7. Escreva o subgrupo de Z12 gerado por 6 e 9.

8. Mostre que Z2 X Z3 é um grupo cíclico.

9. Seja G o grupo Z15 e H = <5> um subgrupo de G. Indique todas as classes laterais de H.Para cada classe lateral indique os seus elementos.

10. Seja H = {at | t Z} um grupo cíclico infinito. Determine um subgrupo K de H tal que[H : K] = 7.

11 – Quais são os únicos subgrupos de (Z11, +). Justifique.

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CAPÍTULO 5 – ANÉIS

5.1 – CONCEITOS INICIAIS

No conjunto dos inteiros Z, definem-se duas operações, adição e multiplicação, que gozam das seguintes propriedades: (1) adição - associativa, comutativa, existe elemento neutro (0) e todo o elemento tem inverso aditivo também chamado de simétrico, ou seja (Z, +) é um grupo abeliano.(2) multiplicação – associativa, comutativa e unidade ou neutro para a multiplicação.(3) a multiplicação é distributiva à direita e à esquerda em relação à adição.Ás estruturas algébricas que gozam destas propriedades chamamos anéis, que representamos por (Z, +, .).Para caracterizar uma estrutura algébrica denominada anel, a comutatividade e o elemento neutro para a multiplicação são dispensáveis.

Definição 1 – Uma estrutura algébrica é denominada anel quando constituída por um conjunto A munido de duas operações binárias, que indicaremos por Ä e *. Denotaremos o anel por (A, Ä, *). As operações Ä e * devem satisfazer aos seguintes axiomas:(1) (A, Ä) é um grupo abeliano.Isto é:1a - a, b A, a Ä b A.1b - a, b, c A, (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c) (associatividade da operação Ä)1c - n A | a A, n Ä a = a Ä n = a. (n é denominado elemento neutro para a operação Ä)1d - a A, b A | a Ä b = b Ä a = n. (b é denominado inverso ou simétrico de a e se denota a-1 – para a adição em R, a-1 = - a)1e - a, b A, a Ä b = b Ä a (comutatividade da operação Ä)

(2) (A, *) é um semi-grupo.Isto é:2a - a, b A, a * b A.2b - a, b, c A, (a * b) * c = a * (b * c) (associatividade da operação *)

(3) a, b, c A, 3a – a * (b Ä c) = (a * b) Ä (a * c) (distributividade à esquerda).3b – (a Ä b) * c = (a * c) Ä (b * c) (distributividade à direita).

Definição 2 – Um anel (A, Ä, *) é dito comutativo ou abeliano se a operação * for comutativa, ou seja a, b A, a * b = b * a.

Definição 3 – Um anel (A, Ä, *) é dito anel com identidade ou unitário, se existir um elemento u A tal que, para todo a A, a*u = u*a = a. O elemento u é denominado identidade, unidade ou elemento neutro da operação *.

Observação 1 – É costume usar os elementos operados por * em forma de justaposição. Isto e, indicar a * b por ab.

Observação 2 – Se as operações Ä e * do anel (A, Ä, *) forem as operações Ä = + (adição) e * = . (multiplicação), o anel passará a ser indicado apenas por A.

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Definição 4 – Seja (A, Ä, *) um anel com identidade u. Um elemento a A é dito inversível para a operação * se existir b A tal que a * b = b * a = u.

Definição 5 – O elemento b, referido na definição 4 recebe o nome de inverso de a, que se representa por a-1.Definição 6 – O conjunto dos elementos inversíveis de A é também denominado conjunto das unidades do anel A, que se indica por UA.

Proposição 1 – O conjunto das unidades de um anel (A, Ä, *) é um grupo para a operação * que se designa por anel das unidades.Seja UA = {k A | k é uma unidade de A ou k é inversível}. Tem-se que, (1) UA , pois se existe o elemento unidade, existe o elemento identidade de A e u * u = u. (2) Para qualquer a UA, existe a-1 A tal que a*a-1 = a-1*a = u. Como a = (a-1)-1 então a-1 é inversível. Logo a-1 UA.(3) Sejam então a, b UA. De acordo com (2) a-1, b-1 UA. Como b-1*a-1 A, tem-se (a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*b-1)*a-1 = a*u*a-1 = a*a-1 = u = = (b-1*a-1)(a*b). Logo a*b UA.Pelas considerações (1), (2) e (3), fica provado que o conjunto das unidade é um grupo para a operação *.

Definição 7 – Um anel (A, Ä, *) comutativo, com elemento identidade, onde todos os elementos com exceção do elemento de neutro de Ä são inversíveis é denominado corpo.

5.2 – EXEMPLOS DE ANEIS

(1) O conjunto Z, munido das operações adição e multiplicação (Z, +, .) é um anel comutativo com elemento identidade, sem unidades.

(2) (Q, + , .) e (R, +, .) são corpos.

(3) M(k, R), conjunto das matrizes quadradas de ordem k cujos elementos pertencem a R é um anel não comutativo, com identidade, para as operações adição e multiplicação de matrizes.

(4) O conjunto mZ = {mx, m N*, x Z} = múltiplos de m, é um anel para as operações adição e multiplicação. Prove.

(5) O conjunto Zm (classes residuais módulo m) é um anel com as operações adição e multiplicação.

(6) O conjunto Zm com m primo é um corpo com as operações adição e multiplicação

(7) Se R1, R2, . . . , Rn são anéis, entãoR1 X R2 X . . . X Rn = {(r1, r2, . . . , rn), ri Ri, i {1, . . . , n}}.Dados, (r1, r2, . . . , rn), (r’1, r’2, . . . r’n) R1 X R2 X . . . X Rn}, tem-se,(r1, r2, . . . , rn) + (r’1, r’2, . . . , r’n) = (r1 + r’1, r2 + r’2, . . . , rn + r’n),(r1, r2, . . . , rn)(r’1, r’2, . . . , r’n ) = (r1r’1, r2r’2, . . . , rnr’n ).

O conjunto anterior, com as duas operações definidas é um anel. A este anel chama-se produto direto dos anéis Ri.

5.3 – PROPRIEDADES ELEMENTARES

Seja o anel (R, +, .), a, b elementos quaisquer de R. Então:

Propriedade 1: 0a = a0 = 0.Demonstração: Temos a0 + a0 = a.(0 + 0) (propriedade distributiva) = a0 (zero é o elemento neutro, portanto, 0 + 0 = 0.Como 0 é o elemento neutro da adição: a0 + a0 = a0 + 0.Pela lei do cancelamento, a0 = 0. Do mesmo modo: 0a + 0a = (0 + 0).a = 0a = 0 + 0a 0a = 0.Portanto, 0a = a0 = 0.

32

Propriedade 2: a(-b) = (-a)b = -(ab).Demonstração: Note que –(ab) é o simétrico de ab, ou seja, -(ab) + (ab) = 0. Assim, para mostrar que a(-b) = -ab, devemos verificar que a(-b) + ab = 0.Usando a lei distributiva à esquerda a(-b) + ab = a(-b + b) = a0 = 0, uma vez que a0 = 0 pela propriedade 1.Analogamente (-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0.

Propriedade 3: (-a)(-b) = ab.Demonstração: (-a).(-b) + (a)(-b) = (-a + a)(-b) = 0.-b = 0.Portanto, (-a)(-b) é o simétrico de (a)(-b).Como foi visto na propriedade 2, (a)(-b) = -(ab) que é o simétrico de ab.Portanto, (-a)(-b) e ab são simétricos de –(ab). Como o simétrico de um elemento é único, (-a)(-b) = ab.

5.4 – DIVISORES DE ZERO

Seja (A, Ä, *) um anel, onde n é o elemento neutro de Ä.Definição 1 - Se existir b 0 tal que a*b = n diz-se que a é um divisor de n à esquerda.

Definição 2 - Se existir b 0 tal que b*a = n diz-se que a é um divisor de n à direita.

Definição 3 - Se existir b 0 tal que a*b = n ou b*a = n diz-se que a é um divisor de n.

Definição 4 - Dizemos que a A um divisor próprio de zero se a é um divisor de zero e a 0. Assim, a A é um divisor próprio de zero se a n e existe b A, b n, com a*b = n ou b*a = n.

O termo divisor de zero é usado por semelhança ao anel (R, +, .), onde o elemento neutro da primeira operação é n = 0.

Observe-se que se A é comutativo um divisor de zero à esquerda coincide com um divisor de zero à direita.

Exemplo 1 – Considerando as matrizes M(2, R), o elemento neutro para a adição é a matriz

.

A matriz M = é um divisor próprio de zero à esquerda pois existem matrizes M’ não

nulas que multiplicadas por M resulta na matriz nula. Tomando, por exemplo M’ = teremos: . =

Proposição 1 - Seja A um anel e a um elemento inversível em A. Então a não é um divisor de zero.Demonstração. Suponha-se que a A* é um divisor de zero. Então existe b A* tal que a*b = n ou b*a = n.Suponha-se que a*b = n. Como a operação está bem definida, então a-1*(a*b) = a-1*n. Daigualdade anterior resulta que b = n, o que é absurdo. Se b*a = n as conclusões seriam asmesmas. Assim a não é um divisor de zero.

Proposição 2 - Seja (A, Ä, *) um anel. Então são equivalentes:1: A admite a lei do corte (ou cancelamento),2: A não tem divisores de zero.Demonstração. Suponha-se que A admite a lei do corte e que a*b = 0 para alguns a, b A. Deve-se mostrar que a = n ou b = n. Se a n, então a*b = a*n implica que b = n pela lei de cancelamento. Analogamente, b n implica que a = n. Assim, se em A é válida a lei do corte então não existem divisores de zero.

33

0 00 0

2 00 0

0 02 3

2 00 0

0 02 3

0 00 0

Reciprocamente suponhamos que em A não existem divisores de zero e suponha-se que a*b Ä a*(-c) = a*(b Ä -c) = n, onde –c representa o inverso (simétrico) de c para a operação Ä.Como a n e como em A e não existem divisores de zero em A, tem-se b Ä -c = n b Ä (-c Ä c) = n Ä c b Ä n = c b = c. Por procedimento semelhante mostra-se que se b*a = c*a com a 0 então b = c, o que prova se não há divisores de zero em A, então vale a lei do cancelamento.

5.5 – DOMÍNIO DE INTEGRIDADE

Definição 1 – Seja o anel (A, Ä, *). A é um anel de integridade se A é um anel comutativo, com unidade, sem divisores de zero.Isto é: a, b A, a n e b n, a*b n, onde n é o elemento neutro de Ä,ou, equivalentemente,a, b A, a*b = n, a = n ou b = n.

Teorema 1 – Todo corpo (F, Ä, *) é um domínio de integridade.Demonstração: sejam n (elemento neutro de Ä), u (elemento neutro – identidade – de *), a1, a2, ... , an elementos de um domínio de integridade D.Seja, então a1, a*a1, ... a*an. Note que todos estes elementos são distintos. De fato, se a*ai = a*aj , com i, j {1, . . . , n}, i j, então, pelas leis de cancelamento, ai = aj,

o que seria absurdo.Sendo D é um domínio de integridade, não tem divisores de zero. Portanto, nenhum dos elementos a1, a2, . . . , an é nulo. Assim, por contagem, observa-se que a1, a*a1, ... a*an são os elementos1, a1, . . . , an por alguma ordem e assim, a1 = 1, ou a = 1, ou a*ai = u, para algum i.Assim, a tem um inverso multiplicativo.

Corolário 1 - Se p é primo, então Zp é um corpo.Demonstração. Este resultado segue do fato de que Zp é um domínio de integridade e do teorema anterior.

EXERCÍCIOS 10

1. Sejam A e B dois anéis.(a) Prove que o terno (A X B,+, .) é um anel com as operações definidas do modo seguinte:(a, b), (a’, b’) A X B, (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’);(a, b), (a’, b’) A X B, (a, b).(a’, b’) = (aa’, bb’).Este anel designa-se por anel produto.(b) Estude em que condições o anel produto é comutativo e possui elemento identidade.(c) Se A e B são domínios de integridade, será que A X B também é um domínio de integridade?Seja A = {0, 1} um domínio de integridade com dois elementos e seja An o anel produtode n anéis A.(e) Mostre que todo o elemento de An é idempotente.

2 - Explique por quê, no anel M(2,R), não vale a fórmula (X + Y)2 = X2 + 2XY + Y2.

3 - Verifique se cada uma das estruturas algébricas (K, +, .) dadas abaixo é um corpo. [Não se esqueça de primeiramente verificar se as duas operações são definidas em K]

(a) K = | a, b R sendo + e . a adição e a multiplicação de matrizes.

(b) K = {a + bp | a, b Q} sendo p um número primo positivo fixado, e + e . a adição e a multiplicação de números reais.

(c) R com as operações binárias Ä e * definidas por:x Ä y = x + y e x * y = 2xy.

(d) A = {(x, 1) R2 | x R} e as operações Ä e * definidas por:

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a b-b a

(x, 1) Ä (y, 1) = (x + y, 1) e (x, 1)*(y, 1) = (xy, 1).

(e) {a, b} com as operações binárias “+” e “.” definidas através das seguintes tabelas:

4 – Para cada um valores de m verifique se Zm (i) é um anel; (ii) é um anel com unidade; (iii) é um anel comutativo com unidade; (iv) é um anel com divisor de zero; (v) é um corpo.No caso de existir divisor de zero, informe quais são divisores de zero.(a) m = 2 (b) m = 4 (c) m = 5 (d) m = 6 (e) m = 7 (f) m = 8

5 – Seja o anel (Z12, +, .). Quais são os elementos inversíveis de Z12?Quais são os divisores de zero de Z12?

6 – Dê as condições para que Zm tenha divisores de zero? Quais elementos são divisores de zero?

5.6 – SUBANÉIS

Definição 1 – Seja (R, Ä, *) um anel e A R, A . Diz-se que A é um subanel de R se A for um anel para as operações induzidas em A pelas operações de R.

Definição 2 – Os subanéis A e {n} são denominados subanéis triviais de (R, Ä, *) onde n é o elemento neutro de Ä. O subanel {n} é também denominado subanel nulo.

Proposição 1 – Seja (R, Ä, *) um anel e A R. A é um subanel de R se e somente se:(1) A ;(2) a, b A, a Ä (-b) A e (-b) é o inverso (simétrico) de b em relação à operação Ä.(3) a, b a * b A. Devemos provar que (i) se A é um anel então A e a, b A, a Ä (-b) A e a * b A, e (ii) se A e a, b A, a Ä (-b) A e a * b A então A é um anel.Demonstração:(i) Se A é um subanel de R, então A é um anel. Portanto A é um grupo comutativo para a operação Ä. Portanto A tem pelo menos o elemento neutro n para a operação Ä A . Além disso, todo elemento de A tem simétrico. Portanto, se b A, (-b) A e assim, para todo a, b A, a Ä (-b) = A.Sendo A um anel, a operação * (segunda operação) é verificada para todo elemento de A.(ii) Como a, b A, a Ä (-b) A, temos b Ä (-b) = n A. A tem elemento neutro para Ä.Além disso, se a A, (-a) = n Ä (-a) -a A. Todo elemento de A é inversível para Ä.Tem-se também que se b e -a A, b Ä (-(-a)) = b Ä a A a operação Ä é definida para todos os elementos de A.Com relação à associatividade e a comutatividade de Ä, uma vez que elas são válidas para o anel R, serão válidas para qualquer subconjunto de R. Assim, (A, Ä) é um grupo comutativo.Sendo a operação * definida para todos os elementos de A, e sendo * distributiva em relação a Ä em R, * é também distributiva em relação a Ä em A pois A é um subconjunto de R.Portanto, A é um subanel de R.

5.7 – HOMOMORFISMO DE ANÉIS

Definição 1 – Sejam (A, Ä, *) e (B, Ä’, *’) dois anéis. Uma aplicação f:A B é um homomorfismo de anéis se para todo a, b A, (i) f(a Ä b) = f(a) Ä’ f(b), e(ii) f(a * b) = f(a) *’ f(b).

Conforme já definido anteriormente,- um homomorfismo injetivo chama-se monomorfismo;- um homomorfismo sobrejetivo chama-se epimorfismo;- um homomorfismo bijetivo chama-se isomorfismo; e- se A = B, a aplicação f é um endomorfismo.

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+ a ba a bb b a

. a ba a ab a b

Um endomorfismo que seja isomorfismo é denominado automorfismo.

Exemplo 1 - Se A e B são anéis, a aplicação f : A B tal que a todo x A, faz corresponder f(x) = 0 é um homomorfismo a que se chama homomorfismo nulo.

Exemplo 2 - A aplicação f : Z Zn tal que a cada x Z, faz corresponder x, onde x x (mod.n).

Exemplo 3 - A aplicação f : C C tal que a cada complexo z C faz corresponder o seu conjugado é um automorfismo de anéis.

Os homomorfismos de anéis gozam de propriedades semelhantes às dos homomorfismos de grupos.

Definição 2 – Sejam A e B dois anéis e f:A B um homomorfismo de anéis. Chama-se núcleo de f ao conjunto N(f) = {x A | f(x) = nB}. O núcleo do homomorfismo f é também simbolizado por ker(f).Observação: nB é o elemento neutro de B para a operação que define em B um grupo.

5.8 - IDEAIS DE UM ANEL

Definição 1 - Seja R um anel e I R, I . Diz-se que I é um ideal de R se e somente se I é um subanel de R e, para todo a R e x I, ax I e xa I.

Exemplo 1 - Se R é um anel, {0} e R são ideais. A {0} também se chama ideal nulo.

Exemplo 2 - Para qualquer inteiro n Z, o conjunto nZ = {nz, z Z} é um ideal de Z.

Exemplo 3 - Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Então N(f) é um ideal de A.

Demonstração. Prove-se apenas que para todo a A e x N(f), ax N(f) e xa N(f). Para que ax N(f) dever-se-á ter f(ax) = 0B. Mas f(ax) = f(a)f(x), porque f é um homomorfismo de anéis. Mas x N(f). Então f(ax) = f(a)f(x) = f(a)0B = 0B.

Exemplo - No conjunto de todas as funções reais de variável real, F, o subanel C formado por todas as funções constantes não é um ideal de F. De fato, o produto da função sen x pela função constante 2 é a função 2sen x.

Corolário 1 - Seja I um ideal de um anel R. Então o conjunto R/I = {a+I, a R} é um anel para as operações:(a + I) + (b + I) = (a + b) + I;(a + I)(b + I) = (ab) + I.

Definição 2 - Ao anel do corolário anterior chama-se anel quociente de R módulo I.Todo anel R tem dois ideais {0} e o próprio R. Esses ideais são chamados ideais

impróprios ou triviais. O anel cociente R/R tem apenas um elemento e, R={0} é isomorfo a R. Teorema 1 - Se R é um anel com identidade, e I é um ideal de R que contém a identidade, então I = R.Demonstração. Seja I um ideal de R e suponha-se que 1 I. Claramente I R. Seja r R. Então r = r1, mas 1 I, logo r I.

Teorema 2 - Nas condições do teorema anterior, se I contém uma unidade de R então I = R.Demonstração. Seja u uma unidade de R tal que u I. Então 1 = uu-1 I. PeloTeorema 3, anterior, I = R.

Teorema 3 - Um corpo K não contém ideais próprios.Demonstração. Seja I {0} um ideal de K. Seja x K, tal que x 0. Como K é umcorpo, x é uma unidade de K. Pelo Teorema 2, anterior, I = K.

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Definição 3 - Um anel diz-se simples se não tem ideais próprios.Assim, o teorema anterior garante que um corpo é um anel simples.

Teorema 4 - Seja I um ideal de um anel R. Então : R R/I dada por (x) = x + I é um homomorfismo de anéis cujo núcleo é I.Demonstração. A parte aditiva já foi demonstrada anteriormente. Sejam então x, y R, tais que (xy) = (xy) + I. Mas (xy) + I = (x + I)(y + I) = (x)(y), o que comprova o teorema.

EXERCÍCIOS 11

1. Verifique se o conjunto indicado é um subanel do anel dado.(a) O conjunto dos reais da forma a + b2, com a, b N em (R,+, .).(b) O conjunto dos complexos da forma a + bi, com a, b Z em (C, +, .).

2. Seja A um anel. Prove que:Para todo a A, as funçõesa : A A a : A A x ax x xasão endomorfismos do grupo aditivo A.

3 – Seja A o conjunto das matrizes seguintes:

A = | a, b Z

(a) Mostre que (A,+, .) é um anel, onde + e . são as operações de adição e multiplicaçãousuais de matrizes.(b) Verifique se o anel é comutativo e se tem elemento identidade.(c) Determine os conjuntos das unidades e dos divisores de zero de A.(d) Considere as aplicações: A Z

a + b

: A Z

a - b

Mostre que e são homomorfismos de anéis. Determine Ker , Ker .

4. Seja A um anel comutativo tal que, para todo a A, 2a = 0.(a) Mostre que, para todos x, y A, (x + y)2 = x2 + y2.(b) Mostre que a função h : A A, tal que x x2, é um endomorfismo de A.

5. Liste os elementos inversíveis do anel (Zm, +, .), nos casos(a) m = 32 (b) m = 36 (c) m = 53

6. Mostre que, no anel (Z420, +, .), 17 e 121 são elementos inversíveis e determine seus inversos.

7. Liste os divisores de zero do anel (Zm, +, .) nos casos(a) m = 36 (b) m = 53 (c) m = 100

8. Joãozinho tentou inventar um conceito de mdc em Zm, da seguinte forma: sendo a e b dois inteiros - pensou Joãozinho - e sendo a e b as suas classes de congruência, elementos de Zm, vou definir mdc(a, b) como sendo a classe mdc (a, b).Através de um exemplo, mostre que o mdc de Joãozinho não está bem definido, ou seja, podemos ter inteiros a, b, a’ e b’, com a = a’, b = b’ e mdc (a, b) mdc (a’, b’). Em outras palavras mdc (a, b) não é definido de maneira única em função dos elementos a e b.

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a bb a

a bb a

a bb a

Obs. Mdc(a, b) é o mdc das classes a e b e mdc(a, b) é a classe do mdc(a, b).

SÍMBOLOS USADOS - pertence - não pertence - existeA X B – Produto cartesiano A X B = {(x, y) | x A e y B} - relação binária - côngruo ou congruente - conjunto vazio - interseção de conjuntos - união de conjuntosA/ - conjunto quociente – conjunto das partes de A determinados pela relação de equivalência .a – ou a (negrito itálico) classe de equivalência à qual pertence o elemento a.F(R) – conjunto das funções reais de variável real - qualquer que seja – para todoM(R) – conjunto das matrizes quadradas com elementos reais (entradas reais)Mn(R) - conjunto das matrizes quadradas de ordem n com elementos reais M(C) – conjunto das matrizes quadradas com elementos complexosa-1 – inverso de amdc(a, b) – máximo divisor comum de a e bmmc(a, b) – mínimo múltiplo comum de a e bN – conjunto dos números naturais

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N* ou N – {0} - conjunto dos números naturais sem o zero (inteiros positivos)Z – conjunto dos números inteiros Z* ou Z – {0} - conjunto dos inteiros sem o zeroZ+ - inteiros positivosZ- - inteiros negativos|G| ou O(G) ou card(G) – número de elementos do grupo G ou do conjunto G.Zk – conjunto das classes de equivalência módulo k.P(A) – conjunto das permutações dos elementos do conjunto A.[x]y – conjugado de x por y definido por y-1xy.[x, y] – comutador de x e y definido por xyx-1y-1

- contido ou igualAT – mátria transpostaI – matriz identidade<a> - grupo (ou subgrupo) gerado pelo elemento akZ – conjunto dos múltiplos de ka*H – classe lateral à esquerdaH*a – classe lateral à direitaG/H ou G:H – conjunto das classes laterais de H, sendo H subgrupos de G. - união das classes laterais à direita de H

N(f) = ker(f) – núcleo do homomorfismo f.A ~ B – isomorfismo entre as estruturas algébricas A e B

ÍNDICE REMISSIVOAnel – 12Anel com identidade – 39Anel quociente – 37Anti-simétrica - 2Associativa – 7Binária – 2Cíclico – 27Classes de equivalência – 9Classes laterais – 29Comutador – 22Comutativa – 6Congruência – 3Conjugado – 22Conjunto quociente – 3Corpo – 12Disjuntos – 30Distributividade – 8Divisor de zero – 34Domínio de integridade – 35 Elemento inversível – 7Elemento neutro – 7Endomorfismo – 15Epimorfismo - 15Equivalência – 2Espaço vetorial – 12

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H*a = GaG

Estrutura algébrica – 11Gerador – 27Grupo – 11Grupo das permutações – 18Grupo finito – 17Grupo quociente - 29Grupóide – 11Homomorfismo – 15Ideal de um anel – 38Ideal gerado – 40Ideal principal – 40Idempotente – 21Inverso de um elemento – 7Isomorfismo - 15Lagrange – 31Lei do cancelamento – 13Monóide – 11Monomorfismo - 15Ordem (de um grupo ou subgrupo) – 28Ordem parcial – 2Ordem total – 2Partição – 3Reflexiva – 2Relação - Semi-grupo – 11Simétrica – 2Subanel – 36Subgrupo –Subgrupo normal – 29Tabela de entrada – 17Trivial – 23

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