Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados

José Antonio Salvador

Departamento de Matemática - CCET - Universidade Federal de São Carlos 13565-905, Via Washington Luiz, km 235 – São Carlos, SP

E-mail: salvador@dm.ufscar.br

Resumo: Os povos antigos como os babilônios, maias e outras culturas antigas atribuíam aos números significados místicos e divinos. No século VI a. C. os pitagóricos consideraram as coisas da natureza diversas mas organizadas e relacionadas com os números. Introduziram os números figurados, expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica. Neste trabalho propomos a utilização de sequências de números figurados e de Fibonacci como atividades lúdicas estabelecendo um elo entre a geometria e a aritmética para motivar e explorar conceitos matemáticos como os envolvidos na resolução de equações discretas. Partimos de exemplos de construção de modelos matemáticos dos números figurados ou de Fibonacci no intuito ressaltar a importância da utilização de ferramentas matemáticas simples para a investigação, generalização e demonstração de resultados juntamente com os recursos da visualização geométrica e geometria dinâmica. Estudantes de disciplinas básicas do curso de Licenciatura em que foram aplicadas estas atividades mostraram-se motivados e avaliaram positivamente a experiência que também pode ser aplicada em turmas do Ensino Médio.

1. A construção geométrica das sequências de números figurados

Começamos propondo aos estudantes a investigação de modelagem de situações bem simples como fizeram os pitagóricos que construíram representações geométricas para sequências de números figurados. No caso dos números ímpares representados por pontos formando um ângulo reto com metade menos um na horizontal e metade menos um na vertical, chamados de gnomons pelos antigos gregos, conforme a Figura 1:

Figura 1: Primeiros números gnomons

Para um gnomon de ordem n, n = 1, 2, 3,... temos G(n) pontos, construídos passo a

passo, partindo de um ponto, G(1) = 1, acrescentamos mais dois pontos, um de cada lado da figura e obtemos o gnomon de ordem 2, G(2) = 3, até um gnomon de ordem n-1, que acrescentado mais um ponto de cada lado nos dá o gnomon de ordem n, G(n). Levamos os estudantes a escreverem a sequência NNG →: , definida por G(n) = 2 n -1, para Nn∈ , N = {1, 2, 3,...}. G(n) é a sequência de números ímpares representada geometricamente pelos gnomons.

De um modo geral, definimos uma sequência real como um função RNs →: . Uma propriedade interessante que podemos deduzir é a soma dos primeiros números desta sequência. Somando os números gnomons até o 2n - 1, os pitagóricos obtinham os números quadrados 1; 1 + 3 = 22 = 4; 1+ 3 + 5 = 32 = 9; 1+ 3 + 5 + 7 = 42= 16 de modo que 1 + 3 + 5 +... + (2 n -1) = n2

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Pensando no gnomon G(1) = 1 representado por um quadrado degenerado a um ponto, o G(2) com mais 3 pontinhos na forma de ângulo reto complementa o gnomon G(1) de modo a representar um quadrado, ou seja, sempre que acrescentarmos o gnomon seguinte ao anterior obtemos o quadrado seguinte. De fato, a soma dos termos da progressão aritmética de primeiro termo G(1) = 1 e razão r = 2, é um quadrado

2)2

1)12(()12(...531 n

nnn =+−=−++++

Por sua vez, os números quadrados também são números figurados. De fato, observamos na Figura 2, eles são definidos como o número de elementos de um conjunto de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados encaixantes 1, 4, 9, 16, etc.

Figura 2: Primeiros números quadrados

Escrevemos os números quadrados da sequência NNQ →: definida por Q(n) = n2. Ao construirmos os números quadrados exploramos o princípio da generalização, escrevendo passo a passo: Q(1) = 1; Q(2) = 4 = 1 + 3 = Q(1) + 2*2-1; Q(3) = 9 = Q(2) + 5 = Q(2) + 2 * 3 – 1; Q(4) = 16 = Q(3) + 7 = Q(3) + 2* 4 – 1. Desse modo, para todo n maior ou igual a 1, obtemos a equação discreta de primeira ordem não homogênea:

12)1()( −+−= nnQnQ Geometricamente observamos que todo número quadrado é igual à soma de dois números triangulares sucessivos como na Figura 3:

Figura 3: Número quadrado Q(5) = T(5) + T(4)

Os números triangulares, são definidos como o número de pontos que são necessários

para formar uma sequência de triângulos: 1, 3, 6, 10,... Um número triangular T(n) é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos. De fato;

T(1) = 1; T(2) = 3 = 1 + 2 = T(1) + 2; T(3) = 6 = (1 + 2) + 3 = T(2) + 3; T(4) = 10 = (1 + 2 + 3) + 4 = T(3) + 4, etc. Generalizando, obtemos a equação discreta de primeira ordem não homogênea como Chiconello [1] aplicou no Ensino Médio:

nnTnT +−= )1()(

cuja solução representa os números triangulares. Da mesma forma, um número n é a diferença entre dois números triangulares consecutivos )(nT e )1( −nT : )1()( −−= nTnTn . Os estudantes podem ser levados a verificar que os números triangulares estão dispostos na terceira diagonal do triângulo de Pascal e provar algebricamente que todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

673

De fato, considerando o n-ésimo número triangular nTn ++++= ...321 , ele é escrito

como a soma da progressão aritmética de primeiro termo a1 =1 e nan = e razão igual a 1:

2

)1()

2

1(...321

+=+=++++= nnnnnTn

Por outro lado, considerando o n-ésimo número quadrado Qn, podemos decompô-lo da seguinte forma:

12

2)1()

2

1( −+=−++== nnn TT

nn

nnnQ

o que demonstra a afirmação. Outros números figurados interessantes são os oblongos que possuem um padrão

retangular. Eles são representados pela sequência de pontos 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,... Geometricamente, dobrando um número triangular obtemos um número oblongo:

nTnOb 2)( =

Do mesmo modo, introduzimos os números figurados pentagonais: 1, 5, 12, 22, 35,... O primeiro número pentagonal também é reduzido à unidade, P(1) = 1. O segundo é o menor número de pontos com que podemos formar um pentágono, ou seja, P(2) = 5 = 1 + 4 = P(1) + 4. Para construir P(2) a partir de P(1) juntamos mais 4 pontos. Assim, acrescentando pontos de modo a formar um novo pentágono cujos lados possuem três pontos. O total de pontos obtido é o terceiro número pentagonal, cuja construção geométrica passo a passo nos dá: P(3) = P(2) + 7 = (1 + 4) + 7 = 12; P(4) = P(3) + 10 = (1 + 4 + 7) + 10 = 22; P(5) = P(4) + 13 = (1 + 4 + 7 + 10) + 13 = 35,... Neste caso, estudantes encontram mais dificuldades de desenhar manualmente, então orientamos a utilização do software GeoGebra. Ao passarmos de um número pentagonal de ordem n-1, P(n-1) ao seguinte P(n), precisamos juntar três lados de comprimento igual a n, descontando as duas sobreposições que aparecem nos cantos. Este fato, nos leva a equação discreta ou de recorrência de primeira ordem não homogênea para os números pentagonais:

23)1()( −+−= nnPnP Os números pentagonais estão relacionados com os triangulares, pois um número

pentagonal de ordem n pode ser decomposto em três números triangulares de ordem n -1 mais n pontos, conforme Figura 4, de modo que: nnTnP +−= )1(3)( .

Figura 4: Números pentagonais e triangulares: 1, 5, 12, 22,...

Observamos que n-ésimo número pentagonal, P(n) é dado pela soma de uma sequência de primeiro termo 11 =P razão 23 −= nrn :

2

33

2

)1(3

2

)13()23(...741

2

1

nnnT

nnn

nnnP nn

−=+=−+=−=−++++= −

Assim, decompomos o n-ésimo número pentagonal P(n) como três vezes o (n-1)-ésimo número triangular, T(n-1), mais n.

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Do mesmo modo, obtemos os outros números figurados como os hexagonais, heptagonais, etc. e as suas respectivas equações discretas. A sequência de Fibonacci, com os dois primeiros termos F(1) = 1, F(2) =1 e cada um a partir do terceiro igual à soma dos dois anteriores: F(n+2) = F(n+1) + F(n), n = 1, 2, 3,... também é figurada como uma sequência de quadrados com a caracol conforme Figura 5:

1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

n

f

Fibonacci

Figura5: a) Ilustração figurada da Sequência de Fibonacci e b) Numericamente Os primeiros números figurados e a sequência de Fibonacci são fáceis de serem obtidos, mas se quisermos o termo geral de ordem n, para n grande? Neste caso, se tivermos uma equação discreta ou de recorrência regendo um fenômeno de modo que relaciona um termo de ordem n com o(s) anterior(es), a solução da mesma com as condições iniciais pode ser obtida iterativamente ou encontrando uma expressão para a sequência solução em função de n.

2. Equações discretas

Quando tratamos de problemas que envolvem variáveis inteiras geralmente podemos obter uma ou mais equações discretas ou de recorrência. Também é comum quando trabalhamos com modelagem matemática discreta ou resolvemos numericamente problemas de valores iniciais e/ou de contorno envolvendo equações diferenciais. Para definir uma equação discreta, consideramos o conjunto dos números naturais N e um subconjunto S do conjunto dos números reais R. Uma função XSNf →×: , em que

Nnxnfx nn ∈= − ),,( 1 é uma equação discreta linear de primeira ordem, em que a incógnita é

uma função inteira x(n). Comumente denotamos x(n) por xn o seu n-ésimo termo. A solução da equação discreta com uma condição inicial x(0) = x0, é uma sequência {xn} cujos elementos são x0 , ),1( 01 xfx = , )),1(,2(),2( 012 xffxfx == ,... Um exemplo da aplicação de uma equação discreta autônoma é a equação

Nnqxx nn ∈= − ,1 , em que q é uma constante não nula. A solução desta equação com a

condição inicial x0, é uma sequência {xn}, conhecida como P. G. (Progressão Geométrica) de razão q.

Para obtermos uma solução desta equação linear em termos da condição inicial x0 e n,

supomos que a mesma é do tipo potência: nnx λ= , com 0≠λ e Nn∈ . Assim, 1

1−

− = nnx λ ,

que substituídos na equação discreta nos dá: 1−= nn qλλ , 0)( 1 =− −nq λλ . Segue que q=λ .

Logo a solução é múltipla de nq e com a condição inicial obtemos nn qxx 0= .

A representação da equação discreta em que a expressão do termo geral é escrita diretamente em função da variável n:

Nnngxn ∈= ),(

é chamada equação discreta funcional.

Assim, seus elementos podem ser obtidos diretamente, como 1000100 qxx = . Certamente

se fossemos escrevendo passo a passo, cada elemento a partir do seu anterior: x0, x1 = q x0, x2 = q x1 = q (q x0) = q

2 x0, x3 = q x2 = q (q2 x0) = q3 x0,... depois de algum tempo razoável também

chegaríamos em 100099100 ... qxqxx === .

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Quando a razão 0 < q < 1, temos modelos matemáticos de decaimentos geométricos como do tipo: decaimento radioativo, de poluentes, de temperatura, de drogas no organismo, etc. e se q > 1, aparecem em problemas de crescimentos geométricos como de bactérias, etc. O método gráfico representa a função discreta xn num sistema de coordenadas cartesianas, escolhendo a variável n no eixo horizontal e a variável dependente xn no eixo vertical como a Figura 5b. Vejamos as equações discretas oriundas dos números figurados.

3. Equação discreta funcional para os números figurados

Para resolver as equações discretas pelo método teórico devemos transformá-la numa equação funcional, de modo a obter o termo geral em função de n.

Questionamos como escrever nT da equação discreta não homogênea nTT nn += −1 , n

∈N, representando os números triangulares com a condição inicial T(1) = 1, em função de n. Procuramos uma solução geral da equação não homogênea, como no caso de equações

diferenciais lineares, decomposta numa soma da solução da equação homogênea h

nT mais uma

solução particular npT da equação não homogênea.

A equação discreta linear homogênea associada 1−= nhh

n TT tem solução do tipo nh

nT λ= , com 0≠λ . De fato, substituindo-a na equação homogênea, obtemos 1−= nn λλ , e o

valor de 1=λ . Assim a solução da equação homogênea é constante, um múltiplo de 1n = 1.

A solução particular npT da equação não homogênea deveria ser um polinômio de

primeiro grau em n, ncc 21 + , já que o termo não homogêneo é deste tipo; Mas como já temos

uma constante como solução da equação homogênea, devemos escolher nnccT np )( 21 += .

Substituindo na equação geral, obtemos os valores c1, c2 e nnT np )

2

1

2

1( += . Assim, a solução

geral obtida nncTTT nph

nn )2

1

2

1( ++=+= deve satisfazer T(1) = 1. Logo c = 0, e portanto

nn

Tn )2

1(

+= , n = 1, 2, 3,... que coincide, evidentemente, com a obtida ao somarmos os termos

da Progressão Aritmética Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n. Do mesmo modo, investigamos o termo geral das equações discretas que representam

os outros números figurados resolvendo-as do mesmo modo. Números Hexagonais: 1, 6, 15, 28,... dados por 341 −+= − nHH nn , que podem ser

vistos como combinação de números triangulares 13 −+= nnn TTH donde nnHn −= 22

Números Heptagonais: 1, 7, 18,... dados pela equação 14 −+= nnn TTHep .

Números Octogonais: 1, 8,... provindos da equação 15 −+= nnn TTO .

Generalizando, obtemos os números K-gonais, formados por polígonos de k lados, de modo que obtemos 1)3( −−+= nnn TkTK .

Eles podem ser vistos como uma combinação de números triangulares e, representados por sequências polígonos de k lados, satisfazendo uma equação discreta linear que pode ser resolvida algebricamente, obtendo uma sequência na forma de uma equação funcional, ou seja em função de n (e de k).

De modo geral, para obter uma solução de uma equação discreta Akxn+k + Ak-1 xn+k-1 + ... + A0 xn = 0, n∈N, obtemos a equação característica associada à equação discreta

0... 01

1 =+++ −+−

+ nknk

knk AAA λλλ . Supondo que esta equação característica possui raízes

1λ , 2λ ,..., rλ com multiplicidade 1α , 2α ,..., rα N∈ respectivamente, então as soluções são

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sequências xn da forma: n

rrnn

n npnpnpx λλλ )(...)()( 2211 +++= em que pi(n) são

polinômios com grau ii npgrau α<))(( , para ri ≤≤1 . Se iλ é uma raiz simples da equação

característica associada, então o polinômio pi(n) se reduz a uma constante. Vimos que a equação discreta homogênea de segunda ordem com coeficientes

constantes, Fibonacci, 012 =−− ++ nnn FFF , para 0≥n , com 10 =F e 11 =F , nos dá como

solução os números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5,...

Procuramos a sua solução também supondo que nnF λ= , ( 0≠λ ) que substituído na

equação de Fibonacci, obtemos a equação característica associada 012 =−− ++ nnn λλλ cujas

raízes são 2

511

+=λ e 2

512

−=λ . Assim a solução geral nnn ccF )

2

51()

2

51( 21

−++= .

Com as condições iniciais, obtemos a solução: 11 )2

51(

5

1)

2

51(

5

1 ++ −−+= nnnF .

Interessante fazer os estudantes observar o fato de que a combinação de números irracionais pode gerar um número natural como na solução nF da equação de Fibonacci.

No espaço tridimensional, como em Gullberg [2], podemos explorar os números poliédricos como os Tetraédricos: 1, 4, 10, 20,... obtidos passo a passo, representando o número de pontos necessários para construir uma sequência de tetraedros, cujas bases da pirâmide e seções paralelas são triangulares e, portanto, constituídas por números triangulares,

satisfazendo 6

)2)(1()(

1

++==∑=

nnnTnTe

n

ii , em que Te(n) é o n-ésimo número tetraédrico e

iT o i-ésimo número triangular como na Figura 6.

Figura 6: Número tetraédrico: Te(3) = 10

Os números tetraédricos também estão localizados na quarta diagonal do triângulo de Pascal.

4. Conclusão As atividades de exploração dos números figurados foram avaliadas positivamente

numa experiência com estudantes do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar. Exploramos também números cúbicos, pentatopes e supertetraedros para incentivar os estudantes e aguçar a visualização geométrica, explorar a construção (manual e computacional) dos termos das sequências passo a passo, obtenção do termo geral, demonstrações geométricas e algébricas bem como resolução de equações discretas, geralmente pouco abordadas. As descobertas pelos estudantes de relações envolvendo números figurados, contempla vários tópicos e demonstraram interessantes e motivadoras conforme apontaram.

Referências [1] Chiconello, L. A., "Números Figurados e as sequências recursivas: uma atividade didática envolvendo números triangulares e quadrados", Dissertação de Mestrado, UFSCar, 2013. [2] Gullberg, J., Mathematics from the birth of number, W. W. Norton & Company, NY, (1997).

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