Fatorao AlgbricaPor Renato Lima

FATORAO:DEFINIO: Fatorar transformar uma soma de duas ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores. Podemos separar a fatorao em seis casos.

PRIMEIRO CASO FATOR COMUMEste caso usado quando algum elemento comum a todas as parcelas. Exemplo:

Observao 1:Havendo potncias, colocamos em evidncia somente as comuns de menor expoente. Exemplos: 1) a4b5c2 - a2b7c = a2b5c.(a2c - b2 ) 2) x3y7 + x2y3 = x2y3 .(xy4 + 1) 3) x2y9z2 - x3y4w = x2y4 .(y5z2 - xw)

Observao 2:Havendo nmeros, colocamos em evidncia o mximo divisor comum. Exemplos: 1) 27x2y + 12xy2 = 3xy(9x + 4y) 2) 48x4 - 36x2 + 24x = 12x.(4x3 - 3x + 2) 3) 64a5c4 - 20a3 = 4a3.(16a2c4 - 5)

SEGUNDO CASO AGRUPAMENTOExemplos: Fatore: 1) ax + ay + bx + byResoluo:

2) 5ax 10ay + 4bx 8byResoluo:

TERCEIRO CASO DIFERENA DE QUADRADOSO produto da soma de dois nmeros pela diferena a diferena entre os quadrados dos dois nmeros. (x + y).(x y) = x2 - y2 , pois:

Exemplos: Desenvolva: 1) (a + b).(a b)Resoluo:

(a + b).(a b) = a2 - b2 2) (5 + 7a).(5 7a)Resoluo:

(5 + 7a).(5 7a) = 52 - (7a)2 = 25 49a2 3) (12x 3y).(12x + 3y)Resoluo:

(12x 3y).(12x + 3y) = (12x)2 - (3y)2 = 144x2 - 9y 2

Exemplos 2 :Fatore: 1) x2 - 49Resoluo:

x2 - 49 = x2 - 72 = (x 7).(x + 7) 2) 64x4 - 36z2Resoluo:

64x4 - 36z2 = (8x2 - 6z). (8x2 + 6z) 3) 1 - x4Resoluo:

1 - x4 = (1 - x2).(1 + x 2) = (1 x).(1 + x).(1 + x2)

QUARTO CASO QUADRADO PERFEITODEFINIO:

Portanto:- O quadrado da soma de dois nmeros igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo. - O quadrado da diferena de dois nmeros igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo.

Assim:(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Exemplos1 : Desenvolva: 1) (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2 2) (7 2z)2 = 72 - 2.7.2z + (2z)2 = 49 28z + 4z2 3) (4a 3b)2 = (4a)2 - 2.4a.3b + (3b)2 = =16a 2 24ab + 9b 2

Exemplo 2:Fatore: 1) 36p2 +48kp + 16k2Resoluo:

36p2 +48kp + 16k2 = (6p)2 + 2.6p.4k + (4k)2 = =(6p + 4k)2 2) 9 - 30x2 + 25x4Resoluo:

9 - 30x2 + 25x4 = 32 - 2.3.5x2 + (5x2 )2 = =(3 5x 2 ) 2

Exerccios:1) Simplifique as fraes, supondo o denominador diferente de zero: a)

b)

c)