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Resistncia dos Materiais II

Prof. Jos Carlos Morilla 1 Flambagem por Compresso

Flambagem por Compresso

Conceito de estabilidade do equilbrio.

De forma bastante comum ocorre confuso entre o que so equilbrio e estabilidade. Uma estrutura pode ser instvel estando em equilbrio. Tome, por exemplo, um lpis apontado e tente coloca-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. Nesta situao, embora ele esteja em equilbrio, este muito instvel. Quando se apia o lpis pela base, o equilbrio estvel. Isto pode ser observado na figura 1

P P

Figura 1 Equilbrio estvel e instvel

Em geral, o equilbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estvel; instvel ou indiferente. Um modo bastante simples de observar este fato analisar as trs situaes de equilbrio apresentadas na figura 2.

a b c

Q Q Q

Figura 2 Situaes de equilbrio

A situao a representa o equilbrio indiferente. Nela, ao se aplicar a fora Q na esfera, que est sobre um plano, representado pela linha horizontal, ocorrer uma nova posio de equilbrio, semelhante a esta em outro ponto qualquer do plano. Na situao b, o equilbrio instvel. A fora Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfcie no existindo mais a possibilidade de retorno a esta posio de equilbrio. Uma estrutura com este tipo de equilbrio no suporta perturbaes de nenhuma natureza. Na situao c, o equilbrio estvel. A fora Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfcie oscilando em torno da posio de equilbrio inicial.

Carga crtica de barras comprimidas.

Seja uma barra prismtica comprimida, em equilbrio, como a mostrada na figura 3.

P

Figura 3 Barra comprimida em equilbrio

Quando a fora tem valores pequenos, a barra permanece reta e o equilbrio estvel. Quando ocorre um determinado aumento no valor desta fora, podem aparecer flechas nas sees da barra levando a barra para um novo equilbrio estvel, como representa a figura 4.

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P x BA

Figura 4 Barra comprimida em uma nova

posio de equilbrio A passagem do primeiro estado de equilbrio estvel para o outro, ocorre quando a fora atinge um determinado valor que chamado de Valor Crtico. Nessa situao a carga chamada de Carga Crtica e indicada por Pcrit. Quando a carga est no valor crtico o equilbrio torna-se instvel. Nos dimensionamentos das estruturas importante que este valor crtico no seja alcanado. Com isto, se garante, alm da integridade, a estabilidade da estrutura.

Determinao da Carga Crtica. Na figura 4, se observa a ocorrncia de flechas nas sees da barra. Torna-se possvel, ento escrever a equao da linha elstica para a barra.

=

EM

dx

d2

2v

(1)

Para uma seo qualquer,

com distncia igual a x, a partir do apoio A o momento fletor vale

v= PM que, substitudo na expresso 1, resulta:

=

EP

dx

d2 vv

0EP

dx

d2 =

+ vv (2)

A expresso 2 uma diferencial de segunda ordem cuja soluo :

+

= x

EP

senCxE

PcosC 21v

(3) onde C1 e C2 so constantes que devem ser determinadas de maneira a satisfazer as condies de deslocamento das extremidades apoiadas; ou seja:

para 00x == v e para 0x == vl Com 0x = , se tem

( ) ( )0senC0cosC0 21 +=

0C1C0 21 += 0C1 = (4)

Com este resultado a expresso 3 se resume a:

= x

EP

senC2v (4)

Com l=x , tem-se:

= l

EP

senC0 2 (5)

Note-se, aqui, que para satisfazer a equao, independentemente do valor de C2, a funo seno deve ser igual a zero. Esta funo nula quando o ngulo for igual a nnnn, ou seja:

=

nlE

P (6)

onde:

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nnnn=0; 1; 2; 3; ........

Assim, tem-se:

=

nlE

P

222

EP =

nl

2

22 EP

l

n = (7)

Note-se que n um nmero inteiro, positivo, qualquer entre 1 e . Para cada valor de n existe um valor de P que muda o estado de equilbrio. Cada um destes valores indicado por Pcrit. . Desta forma com:

nnnn=1 2

2

1crit

EP

l

= (8)

nnnn=2 2

2

2crit

E4P

l

= (9)

Importante se torna observar que estas cargas crticas so as cargas que mudam o estado de equilbrio. Assim, a carga crtica encontrada para n=1 muda o estado de equilbrio de uma barra reta para uma barra que tem a forma da figura 5. Nesta situao se diz que ocorreu a flambagem da barra por compresso.

P

Figura 5 Barra flambada com Pcrit para

n=1

A carga crtica encontrada para n=2 muda o estado de equilbrio de uma barra que tem a forma da figura 4 para uma que tem a forma da figura 6.

P

Figura 6 Barra flambada com Pcrit para

n=2

Para as estruturas, em geral, se interessa descobrir a carga crtica para n=1. No presente captulo far-se- est considerao. Um fato importante de ser lembrado que a soluo da expresso 3 foi encontrada atravs das condies de apoio da barra. Isto significa que para barras apoiadas de forma diferente, a soluo ser diferente. Mais frente este fato ser abordado .

Equao de Eler Toma-se, inicialmente a expresso 8 que a carga crtica para a flambagem de uma barra prismtica simplesmente apoiada em suas extremidades. Lembra-se, mais uma vez, que a carga crtica aquela que muda o estado de equilbrio; assim, com cargas de menor valor que ela a barra permanece reta e com cargas de maior valor, ela flamba da forma da figura 5, at que o valor seja igual ao da encontrada para n=2. Lembrando que esta carga uma fora normal de compresso, o mdulo da tenso normal desenvolvida nos pontos das

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sees transversais da barra prismtica :

A

Pcrit= (10)

onde A a rea da seo transversal da barra. A esta tenso se d o nome de Tenso de Flambagem que indicada por fl.

A

Pcritfl = (11)

A tenso de flambagem portanto a tenso que muda o estado de equilbrio da barra ou seja, com tenses iguais a este valor o equilbrio instvel. Substituindo o valor da carga crtica, encontrado na expresso 8, na expresso 11, tem-se:

A

E2

2

fll

=

A

E2

2

fl =

l (12)

Sabendo-se que o raio de girao de uma figura (i) igual a:

Ai

= A

i2= (13)

a expresso 12 fica:

2

22

fl

iE

l

= (14)

Observe-se que na expresso 14 llll o comprimento da barra e i uma propriedade de sua seo transversal.

Podemos escrever esta expresso ento como:

2

2

2

fl

i

E

l

=

2

2

fl

i

E

=l

(15)

Na expresso 15, o

quociente il chamado de ndice

de Esbeltez da barra e indicado pela letra .

il= (16)

O ndice de esbeltez uma

medida relativa entre o comprimento da barra e sua seo transversal. Uma barra esbelta quando seu comprimento grande perante sua seo transversal.

Assim, a expresso 15 fica:

2

2

fl

E

= (17)

Esta expresso conhecida como Equao de Eler. OBS:-

1. A tenso de flambagem um valor de tenso que, se atingido, muda o estado de equilbrio da barra, isto ; a barra flamba.

2. Para que em uma barra no

ocorra a flambagem, o valor de tenso desenvolvida pela fora de compresso atuante, deve ser menor que

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o da tenso de flambagem. Isto :

flAP = (18)

onde

s

flfl

= (19)

e ssss o coeficiente de segurana

que se deseja usar.

3. O estudo do raio de girao de grande importncia j que, se no existir restrio a barra tende a flambar de maneira que a seo gire em torno do eixo central de inrcia de menor momento e portanto, de menor raio de girao

4. A mudana na forma de

apoio da barra, provoca alterao na soluo da expresso 3. Esta alterao, pode ser expressa por meio do ndice de esbeltez.

5. A forma geral do ndice de

esbeltez :

ik

l= (20)

onde k um coeficiente que depende da forma de apoio da barra.

6. Os valores de k para

diferentes formas de apoio so as mostradas na figura 7.

k=2

k=0,7

k=1

k=0,5

Figura 7 Coeficientes k para

diferentes formas de apoio.

Flambagem Elstica e Flambagem Inelstica. A expresso 17 mostra que a tenso de flambagem funo do ndice de esbeltez da barra. Com ela, possvel traar o grfico da figura 8.

f l (Mpa)

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

1200,0

1400,0

0 50 100 150 200 250 Figura 8 Grfico da tenso de flambagem

em funo do ndice de esbeltez para E=200GPa.

Pela figura 8 possvel observar que barras com esbeltez muito pequena necessitam de uma tenso muito grande para que ocorra a flambagem. Deve-se levar em conta tambm que, as expresses at

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aqui obtidas possuem como premissa a validade da lei de Hooke. Esta lei tem validade desde que a tenso no ultrapasse a tenso limite de proporcionalidade do material (p). Assim, a equao de Eler possui validade para tenses abaixo de p.

p

lim

Validade da equao de Eler

Figura 9 Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de esbeltez mostrando

a validade da Equao de Eler. Na figura 9 est indicado o valor para onde a tenso necessria para a flambagem p. A este valor, se d o nome de ndice de esbeltez limite e se indica por lim. A primeira vista, se pode imaginar que barras com esbeltez menor que o limite no apresentam o fenmeno da flambagem. Isto no verdade, estas barras tambm podem apresentar flambagem. Para barras com ndice de esbeltez muito pequeno, a falha por compresso pode ocorrer antes da mudana de estado de equilbrio.

As equaes que traduzem estes efeitos no podem estar baseadas na Lei de Hooke, j que a tenso desenvolvida maior que a tenso limite de proporcionalidade.

Assim, feita uma distino entre a flambagem que segue a equao de Eler chamada de Flambagem Elstica e a que no segue chamada de Flambagem Inelstica. Como j foi mencionada, a flambagem elstica segue a equao de Eler, j a flambagem inelstica segue outro padro de comportamento. O padro de comportamento da flambagem inelstica muito dependente do material e os resultados possuem uma grande disperso. Algumas equaes de aproximao so usadas para traduzir este comportamento. Uma das importantes aproximaes foi feita por Tetmajer que aproxima o comportamento funo:

2fl cba += (21)

onde a; b e c so constantes que dependem do material da barra.

A tabela 1 mostra os valores das constantes para alguns materiais.

Tabela 1 Constantes a; b e c para alguns materiais para tenses em MPa.

Material lim a b c

Ao st 37 105 303 1,16 0

Ao st 50

89 329 0,63 0

Ferro Fundido 80 764 12,2 0,05

Madeira 100 287 0,20 0

Ao ao Nquel 86 461 2,34 0

Alumnio 66 139 0,89 0

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Outra aproximao importante foi feita por Telmaco V. Langendonck, que prope o comportamento como sendo uma parbola com vrtice na tenso limite de escoamento (e). A figura 9 representa este comportamento.

p

lim

e

Validade da equao de Eler

Aproximao por uma parbola

Figura 9 Grfico mostrando a validade da

Equao de Eler e a aproximao pela parbola.

A equao proposta por Telmaco, para uma barra com um ndice de esbeltez menor que limite :

22lim

peefl

= (21)

As aproximaes que aqui so apresentadas no so as nicas existentes. Muitas outras so aceitas e para o dimensionamento de pilares existem normas, como as da AISC e a NBR 8800, que usam outras formulaes. De uma maneira geral, se pode dizer que quando a flambagem for elstica, a equao a ser usada a Equao de Eler. Quando ela for inelstica se pode usar uma das aproximaes.