Fundamentos de Matemática – Trigonometria Relações no ... · PDF fileFundamentos de Matemática – Trigonometria Relações no triângulo Prof. Carlos Bezerra 20/03/07 03:00

Fundamentos de Matemática – TrigonometriaRelações no triânguloProf. Carlos Bezerra

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1. (Fatec 98) A figura a seguir é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de 10Ë2cm delado e cuja altura mede 5 cm.

Se M é o ponto médio de aresta DF, o seno doângulo BME éa) (Ë5)/5b) (Ë7)/7c) (Ë3)/2d) 1/4e) 2/5

2. (Ufrj 2004) Determine o comprimento dosegmento cujas extremidades são os pontos deinterseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x£.

3. (Unesp 94) Do quadrilátero ABCD da figura aseguir, sabe-se que: os ângulos internos de vérticesA e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem,respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2dm.Então, os lados AD e AB medem, respectivamente,em dm:

a) Ë6 e Ë3.b) Ë5 e Ë3.c) Ë6 e Ë2.d) Ë6 e Ë5.e) Ë3 e Ë5.

4. (Ita 95) Um dispositivo colocado no solo a umadistância d de uma torre dispara dois projéteis emtrajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob umângulo šÆ(0,™/4), atinge a torre a uma altura h. Seo segundo, disparado sob um ângulo 2š, atinge-a auma altura H, a relação entre as duas alturas será:a) H = 2hd£/(d£-h£)b) H = 2hd£/(d£+h)c) H = 2hd£/(d£-h)d) H = 2hd£/(d£+h£)e) H = hd£/(d£+h)

5. (Fuvest 92) Um losango está circunscrito a umacircunferência de raio 2cm. Calcule a área destelosango sabendo que um de seus ângulos mede60°.


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6. (Unesp 92) A figura adiante representa o perfil deuma escada cujos degraus têm todos a mesmaextensão, além de mesma altura. Se åæ=2m e BðAmede 30°, então a medida da extensão de cadadegrau é:

a) (2Ë3)/3 mb) (Ë2)/3 mc) (Ë3)/6 md) (Ë3)/2 me) (Ë3)/3 m

7. (Unicamp 93) Caminhando em linha reta aolongo de uma praia, um banhista vai de um ponto Aa um ponto B, cobrindo a distancia AB=1.200metros. Quando em A ele avista um navio paradoem N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; equando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a distância a que se encontra o navio dapraia.

8. (Cesgranrio 95) Uma escada de 2m decomprimento está apoiada no chão e em umaparede vertical. Se a escada faz 30° com ahorizontal, a distância do topo da escada ao chão éde:a) 0,5 mb) 1 mc) 1,5 md) 1,7 me) 2 m

9. (Ufpe 96) Considere, no sistema de coordenadasretangulares OXY, o ponto P(1,Ë3). Se

rotacionarmos o segmento OP de 15° em torno doponto O no sentido anti-horário, obteremos osegmento OP'. Determine o quadrado da soma dascoordenadas de P'.

10. (Ufpe 96) A rampa de acesso à garagem de umedifício sobre um terreno plano tem formaretangular e determina um ângulo de 60° com osolo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra darampa tem área igual a 36m£, calcule a área darampa.

11. (Ufpe 95) Considere os triângulos retângulosPQR e PQS da figura a seguir.Se RS=100, quanto vale PQ?

a) 100Ë3b) 50Ë3c) 50d) (50Ë3)/3e) 25Ë3


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12. (G1) Um papagaio ou pipa, é preso a um fioesticado que forma um ângulo de 45° com o solo. Ocomprimento do fio é de 100m. Determine a alturado papagaio em relação ao solo. (use a tabelatrigonométrica)

13. (G1) Determine x no caso a seguir:

14. (G1) Determine x no caso a seguir:

15. (G1) No triângulo ABC a seguir, calcule operímetro.

16. (G1) O cosseno do ângulo x, assinalado nafigura a seguir, é:

a) 1/2b) 2/Ë3c) Ë3/2d) Ë3/3e) Ë2/3


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17. (G1) Na figura a seguir, o seno do ângulo ‘ é2/3. Então o valor de x é:

a) 6b) 8c) 9d) 7e) 10

18. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passasucessivamente pelos pontos A e B. Ocomandante, quando o navio está no ponto A,observa um farol num ponto C e calcula o ânguloAðB = 30°. Sabendo-se que o ângulo AïC é reto eque a distância entre os pontos A e B é de 6 milhas,pergunta-se de quantas milhas é a distância entre ofarol e o ponto B.a) 6Ë3 milhasb) 18Ë3 milhasc) 2Ë3 milhasd) 3Ë3 milhase) 5Ë3 milhas

19. (G1) Uma torre projeta uma sombra de 40mquando o Sol se encontra a 64° acima da linha dohorizonte. A altura da torre é:a) 82 mb) 3 mc) 2Ë3 md) 80 me) 7Ë3 m

20. (G1) O ângulo de elevação do pé de umaárvore ao topo de uma encosta é de 60°. Sabendo-se que a árvore está distante 100m da base daencosta, que medida deve ter um cabo de aço paraligar a base da árvore ao topo da encosta?

a) 100 mb) 50 mc) 300 md) 200 me) 400 m


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21. (Faap 97) A seguir está representado umesquema de uma sala de cinema, com o pisohorizontal. De quanto deve ser a medida de ATpara que um espectador sentado a 15 metros datela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja oponto mais alto da tela, que é T, a 30° dahorizontal?

Dados:sen 30° = 0,5sen 60° = 0,866cos 30° = 0,866cos 60° = 0,5Ë2 = 1,41Ë3 = 1,73tg 30° = 0,577tg 60° = Ë3

a) 15,0 mb) 8,66 mc) 12,36 md) 9,86 me) 4,58 m

22. (Unicamp 97) A hipotenusa de um triânguloretângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudosé o triplo do outro.a) Calcule os comprimentos dos catetos.b) Mostre que o comprimento do cateto maior estáentre 92 e 93 centímetros.

23. (Cesgranrio 90) 0 < a < ™/2, ™/2 < b < ™ e sena= sen b=3/5, então a + b vale:a) ™.b) 3™/2.c) 5™/4.d) 4™/3.e) 6™/5.

24. (Fuvest 97) ABC é um triângulo retângulo em Ae o segmento CX é bissetriz do ângulo BðA, ondeX é ponto do lado åæ. A medida do segmento CX é4cm e a do segmento BC, 24cm. Calcule a medidade åè.

25. (Cesgranrio 90) Se no triângulo retângulo ABC,mostrado na figura, ‘=™/6, AD=AB=4, calcule ocomprimento do segmento DE paralelo a AB.


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26. (Puccamp 97) A figura a seguir é um cortevertical de uma peça usada em certo tipo demáquina. No corte aparecem dois círculos, comraios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoiohorizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-seque a altura do suporte éa) 7 cmb) 11 cmc) 12 cmd) 14 cme) 16 cm

27. (Fuvest 98) Nos triângulos da figura, AC = 1cm,BC = 7cm, AD = BD. Sabendo que sen(a-b) = sen acos b - cos a sen b, o valor de sen x é

a) (Ë2)/2b) 7/Ë50c) 3/5d) 4/5e) 1/Ë50

28. (Pucmg 97) Uma escada rolante de 10 m decomprimento liga dois andares de uma loja e teminclinação de 30°.A altura h entre um andar e outro, em metros, é talque:

a) 3 < h < 5b) 4 < h < 6c) 5 < h < 7d) 6 < h < 8e) 7 < h < 9

29. (Unesp 98) O seno do ângulo da base de umtriângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangentedo ângulo do vértice desse triângulo é igual aa) - (Ë13)/2b) (Ë13)/5c) - (Ë15)/3d) (Ë14)/7e) - (Ë15)/7


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30. (Uel 97) Trafegando num trecho plano e reto deuma estrada, um ciclista observa uma torre. Noinstante em que o ângulo entre a estrada e a linhade visão do ciclista é 60°, o marcador dequilometragem da bicicleta acusa 103,50 km.Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, omarcador de quilometragem acusa 104,03 km.

Qual é, aproximadamente, a distância da torre àestrada? (Se necessitar, useË2 ¸1,41; Ë3¸1,73;Ë6¸2,45.)a) 463,4 mb) 535,8 mc) 755,4 md) 916,9 me) 1071,6 m

31. (Unirio 96) Um disco voador é avistado, numaregião plana, a uma certa altitude, parado no ar. Emcerto instante, algo se desprende da nave e cai emqueda livre, conforme mostra a figura. A quealtitude se encontra esse disco voador?

Considere as afirmativas:

l - a distância d é conhecida;ll - a medida do ângulo ‘ e a tg do mesmo ângulosão conhecidas.

Então, tem-se que:a) a l sozinha é suficiente para responder àpergunta, mas a ll, sozinha, não.b) a ll sozinha é suficiente para responder àpergunta, mas a l, sozinha, não.c) l e ll, juntas, são suficientes para responder àpergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é:d) ambas são, sozinhas, suficientes para responderà pergunta.e) a pergunta não pode ser respondida por falta dedados.

32. (Unesp 99) Se (cos x) (sen x) = (Ë2)/3 e tg x =Ë2, com 0 < x < ™/2, determine o único valor dea) cos x;b) sen x + sec x.


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33. (Cesgranrio 99)

Na figura anterior, os pontos B e C pertencem àreta r e os segmentos AB e CD são paralelos.Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B eC é igual a metade da distância entre A e D, e amedida do ângulo ACD é 45°. O ângulo CAD mede:a) 115°b) 105°c) 100°d) 90°e) 75°

34. (Cesgranrio 99)

No cubo de base ABCD, anteriormenterepresentado, marca-se o ponto P, centro da faceEFGH. A medida, em graus, do ângulo PBD é umvalor entre:a) 0 e 30b) 30 e 45c) 45 e 60d) 60 e 90e) 90 e 120

35. (Unesp 99) Duas rodovias retilíneas A e B secruzam formando um ângulo de 45°. Um posto degasolina se encontra na rodovia A, a 4 km docruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilíneaC, perpendicular à rodovia B. A distância do postode gasolina à rodovia B, indo através de C, emquilômetros, éa) (Ë2)/8.b) (Ë2)/4.c) (Ë3)/2.d) Ë2.e) 2Ë2

36. (Ufrj 99) Na figura a seguir, os círculos decentros O� e O‚ são tangentes em B e têm raios1cm e 3cm.

Determine o comprimento da curva ABC.


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37. (Mackenzie 98) I) sen£[(™/7) - x] + sen£[(5™/14)+ x]=1, ¯ x Æ IRII) O maior valor real que 4 elevado ao expoentesenx.cosx pode assumir é 2III) No triângulo a seguir, não retângulo,tg ‘ + tg ’ + tg – = tg ‘ . tg ’ . tg –.

Dentre as afirmações cima:a) Todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente a III é falsa.d) somente a II é falsa.e) somente a I é falsa.

38. (Puccamp 98) Em uma rua plana, uma torre ATé vista por dois observadores X e Y sob ângulos de30° e 60° com a horizontal, como mostra a figura aseguir.

Se a distância entre os observadores é de 40m,qual é aproximadamente a altura da torre?(Senecessário, utilize Ë2=1,4 e Ë3=1,7).a) 30 mb) 32 mc) 34 md) 36 me) 38 m


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39. (Puccamp 96) Uma pessoa encontra-se numponto A, localizado na base de um prédio, conformemostra a figura adiante.

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará aum ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio,sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deveráse afastar do ponto A, andando em linha reta nosentido de A para B, para que possa enxergar otopo do prédio sob um ângulo de 30°?a) 150b) 180c) 270d) 300e) 310

40. (Ufrs 96) Um barco parte de A para atravessar orio. A direção de seu deslocamento forma umângulo de 120° com a margem do rio.

Sendo a largura do rio 60 m, a distância, emmetros, percorrida pelo barco foi dea) 40 Ë2b) 40 Ë3c) 45 Ë3d) 50 Ë3e) 60 Ë2

41. (Unb 99) Uma das maneiras de se representara Terra em uma região plana para o traçado demapas geográficos é a "projeção estereográfica",que consiste em projetar os pontos de uma esferasobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul daesfera e que passa por seu pólo Sul. Maisprecisamente, a projeção de um ponto P da esferaé um ponto P' de ‘, obtido pela interseção com oplano ‘ da reta determinada por P e pelo póloNorte. Essa construção está representada na figuraa seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q sãopontos sobre um mesmo paralelo, A é o pontomédio do segmento M' Q', sendo M' e Q' asprojeções dos pontos M e Q, respectivamente.

Considere que a Terra seja uma esfera de raio iguala 6.400km e que um barco percorra, ao longo deum meridiano, um caminho correspondente a umadiferença de latitude de 60°, a partir da latitude 60°sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapada superfície terrestre feito a partir da projeçãoestereográfica da Terra e com escala 1:10©, calcule,em centímetros, o comprimento da projeção dopercurso desse barco no mapa. Para isso,considere, ainda, tg15° =0,27 e despreze a partefracionária de seu resultado, caso exista.


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42. (Unirio 99)

Um barco está preso por uma corda (åè) ao cais,através de um mastro (åæ) de comprimento 3m,como mostra a figura. A distância, em m, da proado barco até o cais (æè) é igual a:a) (3Ë2 + Ë6) / 2b) (3Ë2 + Ë6) / 4c) (Ë2 + Ë6) / 2d) (Ë2 + Ë6) / 4e) Ë6

43. (Unirio 99)

Considere a figura anterior, que apresenta um riode margens retas e paralelas, neste trecho.Sabendo-se que AC=6 e CD=5, determine:

a) a distância entre B e D;

b) a área do triângulo ABD.

44. (Ufes 99) Um homem de 1,80m de altura avistao topo de um edifício sob um ângulo de 45° em

relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20mdo edifício, esse ângulo aumenta para 60°. Qual aaltura do edifício?

45. (Ufsm 99) Um estudante de Engenharia vê umprédio do Campus da UFSM construído em umterreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob umângulo de 60°. Considerando que a base do prédioestá no mesmo nível do olho do estudante, então aaltura h do prédio é igual aa) 30Ë3 mb) 20Ë3 mc) 30 md) 10Ë3 me) 28 m

46. (Fuvest 2000) Na figura a seguir, ABC é umtriângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é umquadrado de lado (2Ë2)/3. Então, a medida do ladoAB é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5


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47. (Uff 2000) Na figura, MNPQ é um retângulo,MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ eMV são iguais e 0°<‘<45°

.Indicando-se por S a área de MNPQ e por S' aárea de MNUV, conclui-se que:a) S = S' sen ‘b) S'= Sc) S' = S cos ‘d) S = S' cos ‘e) S'= S sen ‘

48. (Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabelatrigonométrica.

Os centros das rodas estão a uma distância PQigual a 120cm e os raios PA e QB medem,respectivamente, 25cm e 52cm.De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem oseguinte valor:a) 10°b) 12°c) 13°d) 14°

49. (Uepg 2001) Na figura abaixo, em que o pontoB localiza-se a leste de A, a distância åæ=5km.Neste momento, um barco passa pelo ponto C, anorte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D.A partir destes dados, assinale o que for correto.

01) åè = 10 km02) åî = 2,5 km04) æî = 5Ë3 km08) O ângulo BÂD mede 60°16) A velocidade média do barco é de 15 km/h

50. (Fuvest 2001) Os vértices de um triângulo ABC,no plano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) eC=(0,Ë3). Então, o ângulo BÂC mede:a) 60°b) 45°c) 30°d) 18°e) 15°


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51. (Unesp 2001) Um pequeno avião deveria partirde uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte,distante 60 quilômetros de A. Por um problema deorientação, o piloto seguiu erradamente rumo aooeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota,fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C,de modo que o seu trajeto, juntamente com otrajeto que deveria ter sido seguido, formaram,aproximadamente, um triângulo retângulo ABC,como mostra a figura.

Com base na figura, a distância em quilômetros queo avião voou partindo de A até chegar a B éa) 30Ë3.b) 40Ë3.c) 60Ë3.d) 80Ë3.e) 90Ë3.

52. (Ufpr 2001) Um instrumento para medir odiâmetro de pequenos cilindros consiste em umbloco metálico que tem uma fenda com o perfil emV contendo uma escala, conforme ilustraçãoabaixo. O cilindro é colocado na fenda e a medidade seu diâmetro, em centímetros, é o número quena escala corresponde ao ponto de tangência entreo cilindro e o segmento AB. Ao construir a escalade um instrumento desses, o número 2corresponde a um certo ponto de AB. Sendo x adistância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar:

(01) x é igual a 2/[tg(š/2)]cm.(02) x é igual a 1/[(tgš/2)]cm.(04) Se a medida de š for 90°, então x será igual a2cm.(08) Quanto menor for o ângulo š, maior será adistância x.

Soma ( )


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53. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vérticesA, B, C, representado a seguir.

a) Dê a expressão da altura h em função de c(comprimento do lado AB) e do ângulo A (formadopelos lados AC e AB).

b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý dotriângulo, em função de b e c (comprimentos,respectivamente, dos lados AC e AB) e do ânguloA.

54. (Unesp 2002) Três cidades, A, B e C, sãointerligadas por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CBé de terra e será asfaltada. Sabendo-se que ACtem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, eque o triângulo ABC é retângulo em C, aquantidade de quilômetros da estrada que seráasfaltada éa) 30Ë3.b) 10Ë3.c) (10Ë3)/3.d) 8Ë3.e) (3Ë3)/2.

55. (Ufpr 2002) Com base nos estudos detrigonometria plana, é correto afirmar:

(01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é™/4.(02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja onúmero real x, desde que cos x · 0.(04) Existe número real x tal que2sen£x + cos£x = 0.(08) Se os catetos de um triângulo retângulomedem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulosdesse triângulo tem co-seno igual a 4/5.(16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dosângulos internos de um triângulo, entãosenz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).

Soma ( )


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56. (Ufrn 2002) Na representação a seguir, EF édiâmetro da circunferência; EG e FG são catetos dotriângulo retângulo FGE, inscrito na circunferênciatrigonométrica; e FG é perpendicular a OX paraqualquer ‘. O raio da circunferência é unitário.

Nessas condições, podemos afirmar que, paraqualquer ‘ (0°< ‘ < 90°),a) FG/EG = 2tg ‘b) sen£ ‘ + cos£ ‘ = EFc) OH = cos (90° - ‘)d) FG = 2 sen ‘

57. (Ufrj 2002) A figura adiante mostra duascircunferências que se tangenciam interiormente. Acircunferência maior tem centro em O. A menor temraio r=5cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-seque o ângulo AÔB mede 60°, calcule a medida doraio R da circunferência maior. Justifique.

58. (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de umacircunferência de raio r, e seja C um ponto damesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.

a) Sendo o ângulo AïC=’, determine a área dotriângulo ABC, em função de ’ e r.

b) Esta área é máxima para qual valor de ’.

59. (Ufv 2001) Na figura a seguir, os triângulos sãoretângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABCum triângulo isósceles com catetos medindo 4cm.Se o cateto AD do triângulo ADC mede 2cm, entãoo valor de tgx é:a) (Ë7) / 4b) Ë7c) (Ë7) / 2d) (Ë7) / 3e) (Ë7) / 7


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60. (Uel 2001) Com respeito aos pontos A, B, C, De E, representados na figura abaixo, sabe-se queCD=2.BC e que a distância de D a E é 12m. Então,a distância de A a C, em metros, é:a) 6b) 4c) 3d) 2e) 1

61. (Ufrn 2001) Ao se tentar fixar as extremidadesde um pedaço de arame reto, de 30m decomprimento, entre os pontos M e P de um plano, oarame, por ser maior do que o esperado, entortou,como mostra a figura abaixo.

A partir desses dados, calcule, em metros,

a) o comprimento dos segmentos MS e SP;

b) quanto o arame deveria medir para que tivesse omesmo tamanho do segmento MP.

62. (Ufrs 2000) Na figura, o círculo é unitário e æè étangente ao círculo no ponto P.

Se o arco AP mede ‘, BC valea) tan ‘ + cot ‘.b) sen ‘ + cos ‘.c) sec ‘ + cossec ‘.d) tan ‘ + sen ‘.e) cot ‘ + cos ‘.

63. (Ufal 99) Analise as alternativas abaixo.

( ) cossec 45° = (Ë2)/2( ) sec 60° = 2( ) cotg 30° = Ë3( ) sec (™/2) = 0( ) sen (55™/2) = 1


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64. (Uel 2000) Neste problema, considere o planetaTerra como uma esfera com raio de 6400km.Um satélite percorre uma órbita circular em torno daTerra e, num dado instante, a antena de um radarestá direcionada para ele, com uma inclinação de30° sobre a linha do horizonte, conforme mostra afigura a seguir.

Usando Ë2=1,4 e Ë3=1,7, é correto concluir que adistância x, em quilômetros, da superfície da Terraao satélite, está compreendida entrea) 1350 km e 1450 kmb) 1500 km e 1600 kmc) 1650 km e 1750 kmd) 1800 km e 1900 kme) 1950 km e 2050 km

65. (Ufes 2000) Quatro pequenas cidades A, B, C eD estão situadas em uma planície. A cidade D distaigualmente 50km das cidades A, B e C. Se a cidadeC dista 100km da cidade A e 50km da cidade B,qual dos valores abaixo melhor representa adistância da cidade A à cidade B?a) 86,6 kmb) 88,2 kmc) 89,0 kmd) 92,2 kme) 100,0 km

66. (Ufes 2000) Duas circunferências são tangentesentre si e aos lados de um ângulo. Se R é o raio damaior, r é o raio da menor e o ângulo mede 60°,então

a) R = (3Ë3)r/2b) R = 2Ë3rc) R = 3Ë3rd) R = 2re) R = 3r

67. (Uflavras 2000) Duas pessoas A e B estãosituadas na mesma margem de um rio, distantes60Ë3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, naoutra margem do rio, está situada de tal modo queåæ seja perpendicular a åè e a medida do ânguloAðB seja 60°. A largura do rio éa) 30Ë3 mb) 180 mc) 60Ë3 md) 20Ë3 me) 60 m


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68. (Mackenzie 2001) Observando o triângulo dafigura, podemos afirmar que (cos‘-sen‘)/(1-tg‘)vale:

a) 1/5b) 1/25c) (Ë5)/5d) 2/5e) (2Ë5)/5

69. (Ufjf 2002) Um topógrafo foi chamado paraobter a altura de um edifício. Para fazer isto, elecolocou um teodolito (instrumento ótico para medirângulos) a 200 metros do edifício e mediu umângulo de 30°, como indicado na figura a seguir.Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5metros do solo, pode-se concluir que, dentre osvalores adiante, o que MELHOR aproxima a alturado edifício, em metros, é:

Use os valores:sen30° = 0,5cos30° = 0,866tg30° = 0,577

a) 112.b) 115.c) 117.d) 120.e) 124.


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70. (Ufjf 2002) A uma tela de computador estáassociado um sistema de coordenadas cartesianas,com origem no canto inferior esquerdo. Um certoprograma gráfico pode ser usado para desenhar natela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°,45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então,considerando-se os pontos a seguir, o único queNÃO pode estar sobre uma reta, A PARTIR DAORIGEM, desenhada por este programa é:

a) (0, 10Ë3).b) (10Ë3, 0).c) (10Ë3, 10Ë3).d) (10Ë3, 5Ë3).e) (10Ë3, 10).

71. (Ufv 2002) Considere o triângulo retângulo ABCabaixo, com åè=x, æè=y, Â=‘, ï=’ e ð=90°.

É CORRETO afirmar que:

a) se ’ < 45°, então y < x.b) se ‘ = 65°, então x µ y.c) se x = 3/5 e y = 4/7, então ’ < 45°.d) se x = log2 e y = log3, então ‘ ´ 30°.e) se ’ = 60°, então y < x.


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GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO1. [B]

2. Ë10

3. [C]

4. [A]

5. (32Ë3)/3 cm£

6. [E]

7. Observe a figura a seguir:

b) d = 600 (3 - Ë3)m

8. [B]

9. 6

10. 72

11. [B]

12. 50Ë2 m

13. x = 3

14. x = 5

15. Perímetro = 7

16. [C]

17. [B]

18. [A]

19. [A]

20. [D]

21. [D]

22. a) Ë(2+Ë2)/2 e Ë(2-Ë2)/2

b) O cateto maior valeË(2+Ë2)/2.Logo, y£ = (2+Ë2)/4 = (2 +1,41)/4 = 0,85250,92£ = 0,8464 e 0,93£ = 0,8649Como 0,8525 está entre 0,8464e 0,8649, segue-se que y, paray >0, está entre 0,92 e 0,93metros, ou seja, entre 92 e 93cm.

23. [A]

24. åè = 3 cm

25. 4 - 2Ë3

26. [B]

27. [C]

28. [B]

29. [E]

30. [D]

31. [C]

32. a) cos x = + Ë3/3b) sen x + sec x = (Ë6 + 3Ë3)/3

33. [B]

34. [C]

35. [E]

36. 5™/3

37. [A]

38. [C]

39. [C]

40. [B]

41. 09

42. [A]

43. a) 3Ë3 + 5

b) (9Ë3 + 15) / 2

44. h = (31,80 + 10 Ë3) m

45. [B]

46. [B]

47. [E]

48. [C]

49. 31

50. [E]


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51. [C]

52. 02 + 08 = 10

53. a) h = c . sen Â

b) SÛ½Ý = 1/2 . b . c . sen Â

54. [B]

55. 02 + 08 + 16 = 26

56. [D]

57. Seja P o centro dacircunferência menor.Considere o raio PC,perpendicular ao segmentotangente OA em C, comomostra a figura.

Então:OP = R - r = R - 5PC = r = 5AÔP = 1/2 AÔB = 30°

Considerando o triânguloretângulo COP, obtemos:sen 30° = PC/OP.

Logo: 1/2 = 5/(R-5)R = 15 cm

58. a) A = r£ . sen (2’)

b) ’ = 45°

59. [E]

60. [C]

61. a) MS = 5 (Ë3 + 2) SP = 5 (2 Ë3 + 1)

b) MP = 10 Ë(5 + 2 Ë3)

62. [A]

63. F V V F F

64. [A]

65. [A]

66. [E]

67. [E]

68. [A]

69. [C]

70. [D]

71. [E]

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Fundamentos de Matemática – Trigonometria Relações no ... · PDF fileFundamentos de Matemática – Trigonometria Relações no triângulo Prof. Carlos Bezerra 20/03/07 03:00