POSIES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERNCIA PONTO INTERNO: A distncia entre o ponto e o centro da circunferncia menor que o raio.

(x a) + (y b) < r PONTO EXTERNO: A distncia entre o ponto e o centro da circunferncia maior que o raio.

(x a) + (y b) > r PONTO NA CIRCUNFERNCIA: A distncia entre o ponto e o centro da circunferncia igual ao raio.

(x a) + (y b) = r Podemos determinar a posio de um ponto em relao a circunferncia usando a equao reduzida da circunferncia: (x a) + (y b) = r Para isso, basta substituir x e y pelas coordenadas ponto em questo, a e b pelas coordenadas do centro da circunferncia e r pelo raio.

EXEMPLOS: 1. Determine a posio do ponto P(1, 3) em relao circunferncia de centro C(1, 2) e raio = 4. ( x a) + (y b) = r 1 < 16 (1 1) + (3 2) = 4 Ponto interno pois 1 menor que 16. 0 + 1 = 16 2. Determine a posio do ponto P(1, 5) em relao circunferncia (x - 4)2 + (y - 0)2 = 10. (x a) + (y b) = r 34 > 10 (1 4) + (5 0) = 10 Ponto externo pois 34 maior que 10. -3 + 5 = 10 9 + 25 = 10 POSIES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERNCIA RETA TANGENTE: A reta tangente quando possui apenas um ponto em comum com a circunferncia.

RETA SECANTE: A reta secante quando possui dois pontos em comum com a circunferncia.

RETA EXTERNA: A reta externa quando no possui pontos em comum com a circunferncia.

H duas formas de determinar a posio de uma reta em relao uma circunferncia: I. Resolvendo sistema de equaes isolamos uma varivel na equao da reta e a substitumos na equao da circunferncia. Usando este mtodo podemos determinar tambm quais so os pontos em comum entre a reta e a circunferncia. EXEMPLO: Verifique se a circunferncia (x + 1) + (y + 0) = 25 e a reta x + y 6 = 0 possuem pontos e comum e indique quais so esses pontos. x=6y = 7 4 . 1 . 12 = 1 ([6 y] + 1) + (y + 0) = 25 (- y + 7) + (y + 0) = 25 y 14y + 49 + y 25 = 0 2y 14y + 24 = 0 y 7y + 12 =0 y' = 7 + 1 = 4 2 y'' = 7 + 1 = 3 2

Resoluo para y' Resoluo para y'' x=6-y x=6-y x=6-4=2 x=63=3 P(2, 4) T(3, 3) A reta secante e intercepta a circunferncia nos pontos P(2, 4) e T(3, 3). Quando no for necessrio indicar os pontos, basta calcular o valor de : Tangente = 0 Secante > 0 Externa < 0 II. Comparando a distncia do centro reta com o o raio da circunferncia, utilizando a expresso para o clculo da distncia entre um ponto e uma reta:

Onde d a distncia, x e y so as coordenadas do ponto (o ponto em questo o cento da circunferncia) e a, b e c so os coeficientes da equao da reta (Observe que estamos considerando o mdulo, ou seja, ignoramos o sinal no resultado de |ax0 + by0 + c|). EXEMPLO: Dada a circunferncia (x 2) + (y 1) = 25 e reta r: 8x + 6y 72 = 0, verifique sua posio perante a circunferncia e a distncia entre elas.

A reta tangente pois a distncia do centro reta igual ao raio (raio = 25 = 5 = distncia).

POSIES RELATIVAS ENTRE CIRCUNFERNCIAS CIRCUNFERNCIAS DISJUNTAS: No possuem pontos em comum. Podem ser externas (d > r1 + r2), internas (d < |r1 r2|) ou concntricas (d = 0).

Externas

Internas

Concntricas

CIRCUNFERNCIAS TANGENTES: Possuem um ponto em comum. Podem ser externas (d = r1 + r2) ou internas (d = |r1 r2 |).

Internas

Externas

CIRCUNFERNCIAS SECANTES: Possuem dois pontos em comum ( r1 + r2 > d > |r1 r2|).

Para determinar a posio de uma circunferncia em relao a outra basta calcular a distncia entre os centros, utilizando a expresso DAB = (x2 x1) + (y2 y1), onde as coordenadas x e y sero substitudas pelas coordenadas dos centros das circunferncias. EXEMPLO: Determinar a relao entre as circunferncias (x + 2) + (y + 2) = 16 e (x 4) + (y 5) = 4. (x + 2) + (y + 2) = 16 (x 4) + (y 5) = 4 C(-2, 5) r = 4 C(4, 5) r = 2 D = (-2 - 4) + (5 5) d = 36 + 0 = 36 d=6 r1 + r2 = 4 + 2 = 6 d = 6 = r1 + r2 So tangentes externas, pois a distncia entre os centros igual soma dos raios.