Linearizacao de Sistemas Não Lineares

7/23/2019 Linearizacao de Sistemas No Lineares

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Notas de Aula: Linearizacao de

Sistemas Nao-Lineares

DAS5112 Sinais e Sistemas Lineares I

Hector Bessa Silveira

2014/1

1 Objetivos

Veremos como podemos simular um sistema nao-linear utilizando pacotes

computacionais de simulacao. Analisaremos os resultados de simulacao do

sistema de um tanque no Simulink/Matlab e verificaremos a nocao de pontode equilbrio. Veremos, ainda, como linearizar um sistema nao-linear em um

ponto de equilbrio. Por fim, com base na Funcao de Transferencia do sistema

linearizado, compararemos a dinamica do mesmo com a dinamica do sistema

nao-linear original por simulacao.

2 Sistema de um tanque

Considere o sistema de um tanque ilustrado na Figura 1. A equacaodiferencial que descreve a dinamica da altura do nvel Hdo tanque e

H(t) = 1

A(Qe(t)Qs(t)) = 1

A(Qe(t)

H(t)), (1)

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2 SISTEMA DE UM TANQUE

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Qe

Qs

A

H

Tanque

Figura 1: Tanque.

onde

H: altura do nvel,

Qe : vazao de entrada,

Qs =

H: vazao de sada,

0 : parametro do tanque,A: area da base do tanque.

Note que (1) e uma equacao diferencial nao-linear. O diagrama de blocos

correspondente a equacao diferencial (1) e mostrado abaixo, onde H(0) e a

condicao inicial.

Qe

Qs

+

1/AH H

H

H(0)

Figura 2: Diagrama de blocos da dinamica da altura do nvel Hdo tanque.

A implementacao deste diagrama de blocos em um pacote computacional

de simulacao fornece a solucao da equacao diferencial (1) atraves de metodos

numericos de integracao. Consequentemente, podemos analisar o comporta-

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3 PONTOS DE EQUILIBRIO

mento dinamico da altura do nvel H(t) em funcao do tempo t para uma

determinada escolha da vazao de entrada Qe(t), t 0.

3 Pontos de equilbrio

Intuitivamente, pensamos que um sistema esta em equilbrio quando o

mesmo apresenta um comportamento estatico, ou seja, o sistema nao exibe

qualquer dinamica. Veremos agora como definir matematicamente tal nocao.

Considere um sistema nao-linear descrito pela equacao diferencial

q(t) =f(q(t), x(t)), (2)

onde q Rn e o estado e x Rm e o controle (ou entrada). Dizemosque um par ordenado (q, x) Rn Rm e um ponto de equilbrio (ou pontode operacao) do sistema (2) quando f(q, x) = 0, ou seja, q = 0. Isto e

equivalente a dizer que, se aplicarmos a entrada constatex(t) =x no sistema

(2) com condicao inicialq(0) =q, obteremos a solucao constante (ousolucao

estacionaria) q(t) = q, t 0. Note que, neste caso, o sistema permaneceestatico, sem dinamica.

Determinaremos entao os pontos de equilbrio do sistema de um tanque.

De (1) e do fato de que x = Qe e o controle (ou entrada) do sistema, obtemos

H= 1

A(Qe Qs) = 0 x= Qe=Qs=

H H= x

2

2 . (3)

Como era de se esperar, o equilbrio ocorre quando no taque a vazao de

entrada e igual a vazao sada (Qe=Qs). Assim, dado qualquer x, temos que(H, x) R2 e um ponto de equilbrio do sistema (1), onde H=x2/2.

Em situacoes praticas, nem sempre conheceremos completamente a equa-

cao diferencial que descreve a dinamica de um sistema. Entretanto, podemos

mesmo assim determinar alguns de seus pontos de equilbrio com base na

propriedade abaixo.

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4 LINEARIZAC AO DE SISTEMAS N AO-LINEARES

Propriedade 1. Se a trajetoria q(t) (solucao) do sistema para uma dada

condicao inicialq(0) satisfaz limt

q(t) =qao aplicarmos a entrada constante

x(t) =x, t 0, entao (q, x) e um ponto de equilbrio do sistema.

4 Linearizacao de sistemas nao-lineares

Considere um sistema nao-linear descrito pelas equacoes diferenciais

q1(t) =f1(q(t), x(t)),

...

qn(t) =fn(q(t), x(t)),

(4)

onde q = (q1, . . . , q n) Rn e o estado e x R e o controle. Suponha quef1, . . . , f nsao continuamente diferenciaveis e que (q, x) RnR e um pontode equilbrio do sistema, isto e,

qi=fi(q, x) = 0, parai = 1, . . . , n .

Seja g: R R uma funcao diferenciavel emt0 R. Do mesmo modo que areta tangente no ponto (t0, g

(t0)) aproxima o grafico de g na proximidades

de t0 (i.e. para t= t t0=0), podemos encontrar um sistema linear cujadinamica aproxima a dinamica do sistema nao-linear (4) nas proximidades

de (q, x). Veremos como aplicar tecnicas lineares ao referido sistema linear

que possibilitam analisar o sistema nao-linear (4) em torno de (q, x).

Suponha que (4) esta no equilbrio (q, x) em t = 0, isto e, q(0) = q e

x(t) = x para t

0. Agora, considere que q(t) e a solucao de (4) com

condicao inicialq(0) =qe uma outraentradax(t) =x. Sejaq(t) =q(t) qo desvio em relacao aq, e x(t) =x(t) xo desvio em relacao a entrada deequilbrio x. Assim, q(t) =q+q(t) e x(t) =x+x(t). Note que q(0) = 0.

Nosso objetivo e relacionar de modo linear a dinamica deq(t) comx(t), ao

menos aproximadamente.

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Para um dado ponto de equilbrio (H, x), obtemos de (5) que o sistema

linearizado associado e descrito por

H(t) = f

H

(H,x)

H(t) + f

x

(H,x)

x(t) = 2A

HH(t) +

1

Ax(t), H(0) = 0.

(7)

Note que os coeficientes dependem do ponto de equilbrio (H, x) escolhido.

De agora em diante, assumiremos que os parametros do tanque sao dados

por = 0.01, A = 1, e escolhemos como ponto de equilbrio (H, x) =

(4, 0.02). Desse modo, conclumos a partir de (7) que o sistema linearizadoassociado ao sistema de um tanque no ponto de equilbrio (4, 0.02) e

H(t) = 0.0025H(t) +x(t), H(0) = 0. (8)

Supondo que y = H e a sada do sistema, determinaremos no que se segue

a Funcao de Transferencia G(s) = Y(s)/X(s) do sistema linearizado

(8), onde X(s) e Y(s) sao as Transformadas de Laplace da entrada x

e da sada y = H do sistema linearizado, respectivamente. Aplicando a

Transformada de Laplace em ambos os lados de (8), obtemos que1

sH(s) = 0.0025 H(s) + X(s) G(s) =H(s)X(s)

= 1

s+ 0.0025 ,

(9)

onde H(s) e a Transformada de Laplace de H. Observe que G(s) e uma

Funcao de Transferencia de primeira ordem.

O diagrama de blocos da Figura 3 mostra como podemos comparar a

dinamica do sistema linearizado em (H, x) = (4, 0.02) com a dinamica do

sistema nao-linear (1). O bloco SNL e o sistema nao-linear com condicao

inicial H(0) = 0, e G(s) e a Funcao de Transferencia em (9). Para fazermos

tal comparacao, primeiramente escolhemos um controle que coloque o sistema

nao-linear no ponto de equilbrio (H, x) = (4, 0.02). Assim, aplicamos em

1Para condicoes iniciais nulas, relembre que L{ f(t)} =sF(s), onde F(s) = L{f(t)}.

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t= 0 um controle do tipo degrau de amplitude x= 0.02. Suponha que

limt

H(t) =H= 4.

Tomamost1 >0 tal que

H(t) =H= 4, para t t1. (10)

Aplicamos entao x(t) no instante t = t1. Relembre quex(t) = x+x(t) e

que x(t) e a entrada do sistema linearizado. Portanto,

x(t) =0 H(t) =H+ H(t), t t1 ,

onde H(t) e a solucao do sistema linearizado (7) com entrada x(t), e H(t)

e a solucao do sistema nao-linear original (6) com entrada x(t) =x+x(t).

0t1

x

0

0

x

x

x

H H+H

H=H+ Hx

H

H(0) = 0

G(s)

SNL++

++

Entrada para queH(t) H

Figura 3: Comparacao das dinamicas (x =0 e H(t) =H+H(t), t t1).

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5 PROCEDIMENTOS

5 Procedimentos

1. Considere a equacao diferencial (1), com= 0.01, A = 1. Implemente

o diagrama de blocos da Figura2no Simulink/Matlab com o objetivo de

simular a dinamica da altura do nvel H do tanque. Simule o sistema

para a condicao inicial H(0) = 0, e vazoes de entrada Qe = 0.01,

Qe = 0.02, Qe = 0.1 do tipo degrau. Analise os resultados. Observe

a nao-linearidade do sistema: ao dobrarmos a vazao de entrada de

Qe= 0.01 para Qe= 0.02, o valor final de H(t) quadruplicou.

2. Utilizando os mesmos dados do item anterior, simule o sistema para a

condicao inicialH(0) = 4 e vazao de entradaQe= 0.02 do tipo degrau.

O comportamento observado era esperado? Justifique (dica: veja (3) e

relembre o conceito de ponto de equilbrio). Em seguida, modifique a

vazao de entrada paraQe= 0.019 e simule. Analise os resultados (veja

a Propriedade1e (3)).

3. Considere G(s) em (9), que e a Funcao de Transferencia do sistema

linearizado associado ao sistema de um tanque (6) no ponto de equil-brio (H, x) = (4, 0.02). Implemente no Simulink/Matlab o diagrama de

blocos apresentado na Figura3com o objetivo de comparar a dinamica

de H+ H(t) com a dinamica deH(t) do sistema nao-linear (6). Para

isto, escolha x= 0.02, x = 0, e determine t1 >0 por simulacao (veja

(10)). Simule parax= 0.0001,x= 0.001,x= 0.01 do tipo degrau e

analise os resultados. Baseado no que vimos em aulas anteriores, quais

sao as caractersticas dinamicas da sada y(t) = H(t) do sistema li-

nearizado (por exemplo: sobressinal, tempo de acomodacao, valor em

regime permanente)? Tais caractersticas eram esperadas? Justifique

sua resposta (dica: veja (9)).

4. No item anterior, mude o ponto de equilbrio do sistema de um tanque

para (H, x) = (16, 0.04), mas mantenha a mesma Funcao de Transferen-

cia G(s) de antes. Simule e analise os resultados. Tal comportamento

era esperado? Justifique sua resposta.

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