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lista de exercicios de trigonometria
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TRIGONOMETRIA ENSINO MDIO
PROFESSOR GILMAR BORNATTO Pgina 1
TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO
(Puccamp) Construda a toque de caixa pelo regime
militar, Tucuru inundou uma rea de 2 000 km, sem
que dela se retirasse a floresta. A decomposio
orgnica elevou os nveis de emisso de gases, a
ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior
emissora de poluentes do Brasil. Ganhar a vida
cortando rvores submersas exige que um
mergulhador desa a mais de 20 metros, com
praticamente zero de visibilidade e baixas
temperaturas. Amarrado ao tronco da rvore, maneja
a motosserra.
(Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed. 1857.
So Paulo: Abril. p.141)
1. Uma vez serrada, a rvore puxada e amarrada a
pedaos de madeira seca.
No instante em que o tronco de madeira de 20 m de
comprimento forma um ngulo com a vertical de 15
m, o valor de cos 2 e igual a
a) 3/2
b) 9/8
c) 9/16
d) 7/16
e) 1/8
TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.
(Unb) Volume de ar em um ciclo respiratrio
O volume total de ar, em litros, contido nos
dois pulmes de um adulto em condies fsicas
normais e em repouso pode ser descrito como
funo do tempo t, em segundos, por
V(t) = 3.(1 - cos(0,4t))/2
O fluxo de ar nos pulmes, em litros por segundo,
dado por
v(t) = 0,6 sen(0,4t).
Os grficos dessas funes esto representados na
figura adiante.
2.
Com base nas informaes do texto, julgue os itens
a seguir.
(1) O grfico I representa V(t) e o grfico II, v(t).
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(2) O volume mximo de ar nos dois pulmes
maior que um litro.
(3) O perodo de um ciclo respiratrio completo
(inspirao e expirao) de 6 segundos.
(4) A freqncia de v(t) igual metade da
freqncia de V(t).
3.
Com base nas informaes do texto, julgue os itens
a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos pulmes.
(1) O fluxo negativo quando o volume decresce.
(2) O fluxo mximo quando o volume mximo.
(3) O fluxo zero quando o volume mximo ou
mnimo.
TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO
(Puccamp) O subir e descer das mars regulado
por vrios fatores, sendo o principal deles a atrao
gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezssemos
os demais fatores, teramos sempre o intervalo de
12,4 horas entre duas mars altas consecutivas, e
tambm sempre a mesma altura mxima de mar,
por exemplo, 1,5 metros. Nessa situao, o grfico
da funo que relacionaria tempo (t) e altura de mar
(A) seria semelhante a este:
4.
O fenmeno das mars pode ser descrito por uma
funo da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a medido
em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas
mars altas sucessivas 12,4 horas, tendo sempre a
mesma altura mxima de 1,5 metros, ento
a) b = (5)/31
b) a + b = 13,9
c) a - b = /1,5
d) a . b = 0,12
e) b = (4)/3
TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO
(Ufba) Na(s) questo(es) a seguir escreva nos
parnteses a soma dos itens corretos.
5. Em trigonometria, verdade:
(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro
quadrante, ento cos (x/2) = -1/5.
(02) se x + y = /3, ento cos(3x - 3y) = 2 sen3y - 1.
(04) Existe x [/4, 5/2], tal que senx + 3 cosx =
3.
(08) A funo inversa de f(x) = cos g(x) = sec x.
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(16) Num tringulo, a razo entre dois de seus lados
2, e o ngulo por eles formado mede 60; ento o
tringulo retngulo.
Soma ( )
TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO
(Cesgranrio) Uma quadra de tnis tem 23,7m de
comprimento por 10,9m de largura. Na figura a
seguir, est representado o momento em que um
dos jogadores d um saque. Sabe-se que este atinge
a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa
por cima da rede e toca o campo adversrio no ponto
C, a 17m do ponto B.
6.
Tendo em vista os dados apresentados, possvel
afirmar que o ngulo , representado na figura,
mede:
a) entre 75 e 90.
b) entre 60 e 75.
c) entre 45 e 60.
d) entre 30 e 45.
e) menos de 30.
TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.
(Ufpe) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa
a soma das riquezas e dos servios produzidos por
uma nao) de certo pas, no ano 2000+x, dado,
em bilhes de dlares, por
P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(x/6)
onde x um inteiro no negativo.
7. Determine, em bilhes de dlares, o valor do PIB
do pas em 2004.
8. Em perodos de 12 anos, o PIB do pas aumenta
do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) constante.
Determine esta constante (em bilhes de dlares).
9. (Uff) No processo de respirao do ser humano, o
fluxo de ar atravs da traquia, durante a inspirao
ou expirao, pode ser modelado pela funo F,
definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt.
A presso interpleural (presso existente na caixa
torcica), tambm durante o processo de respirao,
pode ser modelada pela funo P, definida, em cada
instante t, por P(t) = L - F(t + a).
As constantes a, L, M e w so reais, positivas e
dependentes das condies fisiolgicas de cada
indivduo.
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES,
J.E.M. Clculo para Cincias Mdicas e Biolgicas,
ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)
Um possvel grfico de P, em funo de t, :
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10. (Ufpe) Quantas solues a equao
senx + [(senx)/2] + [(senx)/4] + ... = 2,
cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos
termos de uma progresso geomtrica, de primeiro
termo senx e razo (senx)/2, admite, no intervalo
[0, 20]?
11. (Ufpr) Considere as matrizes a seguir, onde a, b,
c e so nmeros reais. Assim, correto afirmar:
(01) Os valores de a e b para os quais A = B so,
respectivamente, 2 e -1.
(02) Para que a matriz A seja igual matriz B,
necessrio que c seja nmero negativo.
(04) Se b = 0 e c = -1, ento o elemento na posio
"2@
linha, 2@
coluna" da matriz (A.B) log10 2.
(08) Se = 0 e c = 0, ento a matriz A tem inversa,
qualquer que seja o valor de b.
(16) Todos os valores de para os quais A = B so
da forma 2k /3, onde k nmero inteiro.
Soma ( )
12. (Unicamp) Dado o sistema linear homogneo:
[cos ] [2 ] 0
[cos ] [cos ] 0
sen x sen y
x sen y
a) Encontre os valores de para os quais esse
sistema admite soluo no-trivial, isto , soluo
diferente da soluo x = y = 0.
b) Para o valor de encontrado no item (a) que est
no intervalo [0, /2], encontre uma soluo no-trivial
do sistema.
13. (Unirio) Um engenheiro est construindo um
obelisco de forma piramidal regular, onde cada
aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta
lateral mede 6m. A inclinao entre cada face lateral
e a base do obelisco um ngulo tal que:
a) 60 < < 90
b) 45 < < 60
c) 30 < < 45
d) 15 < < 30
e) 0 < < 15
14. (Ita) Um dos catetos de um tringulo retngulo
mede 2 cm. O volume do slido gerado pela
rotao deste tringulo em torno da hipotenusa
cm. Determine os ngulos deste tringulo.
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15. (Unifesp) Considere a reta de equao 4x - 3y +
15 = 0, a senide de equao y = sen(x) e o ponto P
= (/2, 3), conforme a figura.
A soma das distncias de P reta e de P senide
:
a) (12 + 2)/5
b) (13 + 2)/5
c) (14 + 2)/5
d) (15 + 2)/5
e) (16 + 2)/5
16. (Ufv) Sejam as funes reais f e g dadas por:
CORRETO afirmar que:
a) f(/4) < g(/3)
b) f(/6) < g(/4)
c) f() . g(0) = 2
d) f(0) . g() = - 2
e) f() . g() = 2
17. (Ufu) Determine a soma das razes de log(senx)-
log(cosx+senx)=0, contidas no intervalo [-2, 2].
18. (Ufal) O mais amplo domnio real da funo
definida por y=log[sen(x)] o conjunto dos nmeros
reais x tais que, para todo k Z,
a) -k < x < k
b) k < x < (k - 1)
c) k < x < (k + 1)
d) 2k < x < (2k - 1)
e) 2k < x < (2k + 1)
19. (Unicamp) Considere dois tringulos retngulos
T e T, cada um deles com sua hipotenusa medindo
1cm. Seja a medida de um dos ngulos agudos de
T e 2 a medida de um dos ngulos agudos de T.
a) Calcule a rea de T para = 22,5.
b) Para que valores de a rea de T menor que a
rea de T?
20. (Fgv) Na figura esto representados dois
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90
e raio d:
Sabendo que os pontos A, E e C esto alinhados, a
soma dos comprimentos do segmento CF e do arco
de circunferncia AD, em funo de d, igual a
a) {[2(3) + ]/6} d
b) [(3 + )/6] d
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c) {[4(3) + ]/12} d
d) [(12 + )/24] d
e) {[2(3) + ]/12} d
21. (Unesp) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo
rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda
maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor
medindo 2 dm e a distncia entre os centros A e B
das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao
serem apoiadas no solo horizontal, podem ser
representadas no plano (desprezando-se os pneus)
como duas circunferncias, de centros A e B, que
tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado
na figura.
a) Determine a distncia entre os pontos de
tangncia P e Q e o valor do seno do ngulo BPQ.
b) Quando a bicicleta avana, supondo que no haja
deslizamento, se os raios da roda maior descrevem
um ngulo de 60, determine a medida, em graus, do
ngulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule,
tambm, quantas voltas ter dado a roda menor
quando a maior tiver rodado 80 voltas.
22. (Fuvest) Considere um arco AB de 110 numa
circunferncia de raio 10cm. Considere, a seguir, um
arco A'B' de 60 numa circunferncia de raio 5cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco
A'B' (ambos medidos em cm), obtm-se:
a) 11/6.
b) 2.
c) 11/3.
d) 22/3.
e) 11.
23. (Ufpe) Trs coroas circulares dentadas C, C e
C de raios r=10cm, r=2cm e r=5cm
respectivamente esto perfeitamente acopladas
como na figura a seguir. Girando-se a coroa C de
um ngulo de 41 no sentido horrio, quantos graus
girar a coroa C?
24. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, ento tg 2x
vale:
a) 24/7.
b) - 24/7.
c) - 8/3.
d) 8/3.
e) - 4/3.
25. (Uel) Dos nmeros a seguir, o mais prximo de
sen 5
a) 1
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1
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26. (Cesgranrio) Sendo A = [7 cos(5 - x) - 3 cos(3
+ x)]/{8 sen [(/2) - x)]}, com x (/2) + k, k Z,
ento:
a) A = -1
b) 2A = 1
c) 2A + 1 = 0
d) 4A + 5 = 0
e) 5A - 4 = 0
27. (Fuvest) O permetro de um setor circular de raio
R e ngulo central medindo radianos igual ao
permetro de um quadrado de lado R. Ento
igual a
a) /3
b) 2
c) 1
d) 2/3
e) /2
28. (Unb) O radar um aparelho que usa o princpio
da reflexo de ondas para determinar a posio de
um objeto que se encontra distante ou encoberto por
nevoeiro ou nuvem. A posio do objeto indicada
sob a forma de um ponto luminoso que aparece na
tela do radar, que apresenta ngulos e crculos
concntricos, cujo centro representa a posio do
radar, conforme ilustra a figura abaixo.
Considere que os pontos A e B da figura sejam
navios detectados pelo radar, o navio A est a 40km
do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas
informaes e desconsiderando as dimenses dos
navios, julgue os itens que se seguem.
(1) A distncia entre os navios A e B maior que 69
km.
(2) Se, a partir das posies detectadas pelo radar,
os navios A e B comearem a se movimentar no
mesmo instante, em linha reta, com velocidades
constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio
B para o norte, ento eles se chocaro.
(3) A partir da posio detectada pelo radar, caso B
se movimente sobre um crculo de raio igual a 30km,
no sentido anti-horrio, com velocidade constante de
40km/h ento, em 10min, o navio B percorrer um
arco correspondente a (40/).
29. (Ufrs) Os ponteiros de um relgio marcam duas
horas e vinte minutos. O menor ngulo entre os
ponteiros
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
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30. (Ufrs) Considere as seguintes afirmaes para
arcos medidos em radianos:
I) sen 1 < sen 3
II) cos 1 < cos 3
III) cos 1 < sen 1
Quais so verdadeiras?
a) Apenas I verdadeira.
b) Apenas II verdadeira.
c) Apenas III verdadeira.
d) So verdadeiras apenas I e II.
e) So verdadeiras I, II e III.
31. (Ufscar) O valor de x, 0 x /2, tal que 4 . (1 -
sen x) . (sec x - 1) = 3
a) /2.
b) /3.
c) /4.
d) /6.
e) 0.
32. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relgio
mede 12 centmetros, o nmero que melhor
aproxima a distncia em centmetros percorrida por
sua extremidade em 20 minutos : (considere
=3,14)
a) 37,7 cm.
b) 25,1 cm.
c) 20 cm.
d) 12 cm.
e) 3,14 cm.
33. (Ufrs) Se o ponteiro menor de um relgio
percorre um arco de /12 rad, o ponteiro maior
percorre um arco de
a) /6 rad.
b) /4 rad.
c) /3 rad.
d) /2 rad.
e) rad.
34. (Ufal) Se a medida de um arco, em graus, igual
a 128, sua medida em radianos igual a
a) (/4) - 17
b) (64/15)
c) (64/45)
d) (16/25)
e) (32/45)
35. (Uflavras) s 11 horas e 15 minutos, o ngulo
(figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relgio
mede
a) 90
b) 112 30'
c) 82 30'
d) 120
e) 127 30'
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36. (Uflavras) A figura MNPQ um retngulo inscrito
em um crculo. Se a medida do arco AM /4 rad,
as medidas dos arcos AN e AP, em radianos,
respectivamente, so:
a) 3/4 e 5/4
b) e 3/2
c) 3/4 e 2
d) /2 e 5/4
e) 3/4 e 5/8
37. (Ufc) Sabendo que cos = (3)/2 e que sen = -
1/2, podemos afirmar corretamente que cos[( +
(/2)] + sen[ + (/2)]
igual a:
a) 0
b) [-(3)/2] - (1/2)
c) [(3)/2] + (1/2)
d) [(3)/2] - (1/2)
e) [-(3)/2] + (1/2)
38. (Ufrn) No prottipo antigo de uma bicicleta,
conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de
raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O nmero
mnimo de voltas completas da roda maior para que
a roda menor gire um nmero inteiro de vezes
a) 5 voltas.
b) 7 voltas.
c) 9 voltas.
d) 11 voltas.
39. (Mackenzie) Um veculo percorre uma pista
circular de raio 300 m, com velocidade constante de
10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores
abaixo, o mais prximo da medida, em graus, do
arco percorrido :
a) 90
b) 115
c) 145
d) 75
e) 170
40. (Ufscar) O grfico em setores do crculo de
centro O representa a distribuio das idades entre
os eleitores de uma cidade. O dimetro mede 10
cm e o comprimento do menor arco AC (5/3) cm.
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O setor x representa todos os 8000 eleitores com
menos de 18 anos, e o setor y representa os
eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo nmero
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
e) 20800
41. (Uff) A localizao de um ponto qualquer na
superfcie da Terra (considerada como uma esfera)
feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo
uma delas a latitude - que o ngulo (em grau) entre
o plano que contm a linha do equador e o segmento
que une o centro da esfera ao ponto em questo.
Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de
Macap situam-se, praticamente, no mesmo
meridiano.
Considere que a cidade de Macap (ponto M)
localiza-se bem prximo da linha do equador (latitude
= 002'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre
(ponto P) de 3001'59" ao sul e que o valor do
dimetro da Terra de 12750 quilmetros. Veja
figura a seguir:
Tendo em vista tais consideraes, pode-se afirmar
que a distncia, em quilmetro, entre as duas
cidades de aproximadamente:
a) 2300
b) 3300
c) 4600
d) 6600
e) 9000
42. (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que
representa o ngulo que tem medida mais prxima
de 1 radiano
43. (Uerj) A Terra pode ser representada por uma
esfera cujo raio mede 6.400 km.
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Na representao abaixo, est indicado o trajeto de
um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.
Qualquer ponto da superfcie da Terra tem
coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude
e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C
esto indicadas na tabela a seguir.
Considerando igual a 3, a distncia mnima, em
km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC igual
a:
a) 11.200
b) 10.800
c) 8.800
d) 5.600
44. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares
concentricas, representadas na figura abaixo, os
pontos A e B, de modo que dois mveis partindo,
respectivamente, dos pontos A e B, no sentido
horrio, mantendo-se na mesma trajetria, percorram
distncias iguais at a linha de origem.
Considerando que o ponto A dever ser marcado
sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B
a 10 m do centro, o valor do ngulo , em graus,
ser igual a
a) 30
b) 36
c) 45
d) 60
e) 72
45. (Ufg) O mostrador do relgio de uma torre
dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das
quais subdividida em outras 5 partes iguais
(minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm
e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual ser a
distncia AB, em funo do ngulo entre os
ponteiros, quando o relgio marcar 1 hora e 12
minutos?
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46. (Puccamp) Ao descrever o tipo de salto de uma
ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se
seus dedos dos ps descrevessem no espao um
arco de circunferncia de 124 cm de comprimento."
Considerando que cada perna dessa ginasta,
juntamente com seu p esticado, estejam em linha
reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ngulo de
abertura de suas pernas era
(Use: = 3,1)
a) -1
b) -(3)/2
c) -(2)/2
d) -1/2
e) 1/2
47. (Unesp) Em um jogo eletrnico, o "monstro" tem
a forma de um setor circular de raio 1 cm, como
mostra a figura.
A parte que falta no crculo a boca do "monstro", e
o ngulo de abertura mede 1 radiano. O permetro do
"monstro", em cm, :
a) - 1.
b) + 1.
c) 2 - 1.
d) 2.
e) 2 + 1.
48. (Ufscar) Uma pizza circular ser fatiada, a partir
do seu centro, em setores circulares. Se o arco de
cada setor medir 0,8 radiano, obtm-se um nmero
mximo N de fatias idnticas, sobrando, no final,
uma fatia menor, que indicada na figura por fatia
N+1.
Considerando = 3,14, o arco da fatia N+1, em
radiano,
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
49. (Ufpr) Maria e seus colegas trabalham em uma
empresa localizada em uma praa circular. Essa
praa circundada por uma calada e dividida em
partes iguais por 12 caminhos retos que vo da
borda ao centro da praa, conforme o esquema
abaixo. A empresa fica no ponto E, h um
restaurante no ponto R, uma agncia de correio no
ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem
para almoar, as pessoas fazem caminhos
diferentes: Maria sempre se desloca pela calada
que circunda a praa; Carmen sempre passa pelo
centro da praa, vai olhar o cardpio do restaurante
e, se este no estiver do seu agrado, vai almoar na
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lanchonete, caminhando pela calada; Srgio
sempre passa pelo centro da praa e pelo correio,
da seguindo pela calada para a lanchonete ou para
o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre
percorrem o menor arco possvel quando caminham
na calada que circunda a praa, avalie afirmativas a
seguir:
I. Quando Carmen e Srgio vo almoar na
lanchonete, ambos percorrem a mesma distncia.
II. Quando Maria e Srgio vo almoar na
lanchonete, quem percorre a menor distncia
Maria.
III. Quando todos os trs vo almoar no restaurante,
Carmen percorre a menor distncia.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I verdadeira.
b) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.
50. (Uerj)
No esquema acima esto representadas as
trajetrias de dois atletas que, partindo do ponto X,
passam simultaneamente pelo ponto A e rumam
para o ponto B por caminhos diferentes, com
velocidades iguais e constantes. Um deles segue a
trajetria de uma semicircunferncia de centro O e
raio 2R. O outro percorre duas semicircunferncias
cujos centros so P e Q.
Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distncia
entre eles ser igual a:
a) 0,4 R
b) 0,6 R
c) 0,8 R
d) 1,0 R
51. (Uel) Os primeiros relgios baseavam-se no
aparente movimento do Sol na abboda celeste e no
deslocamento da sombra projetada sobre a
superfcie de um corpo iluminado pelo astro.
Considere que: a Terra esfrica e seu perodo de
rotao de 24 horas no sentido oeste-leste; o
tempo gasto a cada 15 de rotao de 1 hora; o
tringulo Braslia/Centro da Terra/Luzaka (Zmbia)
forma, em seu vrtice central, um ngulo de 75.
TRIGONOMETRIA ENSINO MDIO
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A hora marcada em Luzaka, num relgio solar,
quando o sol est a pino em Braslia :
a) 5 horas.
b) 9 horas.
c) 12 horas.
d) 17 horas.
e) 21 horas.
52. (Ufu) Encontre o valor mximo e o valor mnimo
que a funo
f(x) = (cos x) + (sen x) pode assumir.
Observao:
Lembre-se de que
a+b=(a+b)((a+b) - 3ab).
53. (Uem) Considere um ponto P(x,y) sobre a
circunferncia trigonomtrica e que no esteja sobre
nenhum dos eixos coordenados. Seja o ngulo
determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde
O a origem do sistema. Nessas condies,
assinale o que for correto.
01) A abscissa de P menor do que cos().
02) A ordenada de P igual a
sen[ + (/2)].
04) A tangente de determinada pela razo entre
a ordenada e a abscissa de P.
08) As coordenadas de P satisfazem equao
x + y = 1.
16) Se x = y, ento cotg() = -1.
32) = /4 o menor arco positivo para o qual a
equao cos( + ) + sen[ + (/2)] = cos[( +
(/2)] + sen( + ) satisfeita.
64) sen(2) = 2y.
54. (Fuvest) O valor de (tg 10+cotg 10)sen 20 :
a) 1/2
b) 1
c) 2
d) 5/2
e) 4
55. (Fuvest) Dentre os nmeros a seguir, o mais
prximo de sen50 :
a) 0,2.
b) 0,4.
c) 0,6.
d) 0,8.
e) 1,0.
56. (Fuvest) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x
real, :
a) 1/6.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 1.
e) 3.
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57. (Ita) Seja a funo f: RR definida por:
onde a > 0 uma constante. Considere
K={y R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se
que f(/2) K?
a) /4
b) /2
c)
d) /2
e)
58. (Ita) A expresso sen /(1+cos),
0 < < , idntica a:
a) sec (/2)
b) cosec (/2)
c) cotg (/2)
d) tg (/2)
e) cos (/2)
59. (Fuvest) Considere a funo
f(x) = senx+ sen5x.
a) Determine as constantes k, m e n tais que
f(x)=k.sen(mx).cos(nx)
b) Determine os valores de x, 0 x , tais que
f(x)=0.
60. (Unicamp) Encontre todas as solues do
sistema:
( ) 0
( ) 0
sen x y
sen x y
que satisfaam 0 x e 0 y .
61. (Unitau) Indique a funo trigonomtrica f(x) de
domnio R; Im = [-1, 1] e perodo que
representada, aproximadamente, pelo grfico a
seguir:
a) y = 1 + cos x.
b) y = 1 - sen x.
c) y = sen (-2x).
d) y = cos (-2x).
e) y = - cos x.
62. (Unitau) O perodo da funo y = sen(2.x) :
a) 2/2.
b) /2.
c) /2.
d) 2.
e) 22.
63. (Fuvest) A equao f(x) = -10 tem soluo real se
f(x) :
a) 2
b) log (| x | + 1)
c) sen x
d) tg x
e) x + 2x - 4
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64. (Fuvest) No estudo do Clculo Diferencial e
Integral, prova-se que a funo cos x (co-seno do
ngulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:
f(x) = 1 - (x/2) cos x 1 - (x/2) + (x/24) = g(x)
a) Calcule o co-seno de 0,3 radianos usando f(x)
como aproximao de cos x.
b) Prove que o erro na aproximao anterior
inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado
exato at a segunda casa decimal.
65. (Unicamp) Para medir a largura de um rio um
homem usou o seguinte procedimento: localizou um
ponto B de onde podia ver na margem oposta o
coqueiro C, de forma que o ngulo ABC fosse 60;
determinou o ponto D no prolongamento de de
forma que o ngulo CBD fosse de 90. Medindo
=40 metros, achou a largura do rio. Determine
essa largura e explique o raciocnio.
66. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta r passa pelo
ponto T=(0,1) e paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot
forma um ngulo com o semi-eixo Ox (0
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69. (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do grfico
da funo:
a) sen x
b) 2 sen (x/2)
c) 2 sen x
d) 2 sen 2x
e) sen 2x
70. (Fuvest) Considere a funo
f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equao f(x) = 0 no intervalo [0,].
b) O grfico de f pode interceptar a reta de equao
y=8/5? Explique sua resposta.
71. (Cesgranrio) Se x ngulo agudo, tg (90+x)
igual a:
a) tg x
b) cot x
c) - tg x
d) - cot x
e) 1 + tg x
72. (Ufes) O grfico da funo
f(x) = cosx + |cos x|, para x [0, 2] :
73. (Fatec) Se sen 2x =1/2, ento tg x + cotg x
igual a:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
74. (Fei) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que
< x < 3/2, podemos afirmar que:
a) cotg(x) = - 5/12
b) sec(x) = 13/5
c) cos(x) = - 5/13
d) sen(x) = 12/13
e) nenhuma anterior correta
75. (Fei) Dado o trapzio conforme a figura a seguir,
o valor do seno do ngulo :
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a) 0,8
b) 0,7
c) 0,6
d) 0,5
e) 0,4333...
76. (Ita) Seja [0, /2], tal que sen+cos=m.
Ento, o valor de y=sen2/(sen+cos) ser:
a) 2(m - 1)/m(4 - m)
b) 2(m + 1)/m(4 + m)
c) 2(m - 1)/m(3 - m)
d) 2(m - 1)/m(3 + m)
e) 2(m + 1)/m(3 - m)
77. (Puccamp) Observe o grfico a seguir.
A funo real de varivel real que MELHOR
corresponde a esse grfico
a) y = cos x
b) y = sen x
c) y = cos 2x
d) y = sen 2x
e) y = 2 sen x
78. (Unicamp) Ache todos os valores de x, no
intervalo [0, 2], para os quais
2 3cos
2senx x
79. (Uel) O valor expresso
cos (2/3) + sen (3/2) + tg (5/4)
a) (2-3)/2
b) -1/2
c) 0
d) 1/2
e) 3/2
80. (Uel) O valor da expresso
[sen(8/3) - cos(5)] / tg(13/6)
a) ( 3 + 23 )/2
b) ( 32 + 23 )/2
c) 3 + 23
d) 32 + 23
e) 3( 2 + 3 )
81. (Ufmg) Observe a figura.
Nessa figura, esto representados os grficos das
funes f e g.
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Se h (x) = [f (2x) + g (2x + a)] / f (g(x)), ento o valor
de h(a)
a) 1 + a
b) 1 + 3a
c) 4/3
d) 2
e) 5/2
82. (Unesp) Pode-se afirmar que existem valores de
x R para os quais
cosx - senx DIFERENTE de:
a) 1 - 2senx
b) cosx - senx
c) (1/2) + (1/2) cos2x
d) 2cosx - 1
e) cos 2x
83. (Unesp) Sabe-se que um dos ngulos internos de
um tringulo mede 120. Se os outros dois ngulos,
x e y, so tais que
(cos x/cos y) = (1 + 3)/2, a diferena entre as
medidas de x e y
a) 5
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
84. (Pucsp) O grfico seguinte corresponde a uma
das funes de IR em IR a seguir definidas. A qual
delas?
a) f(x) = sen 2x + 1
b) f(x) = 2 sen x
c) f(x) = cos x + 1
d) f(x) = 2 sen 2x
e) f(x) = 2 cos x + 1
85. (Mackenzie) I) sen 2 > sen 3
II) sen 1 > sen 30
III) cos 2 > cos 3
Relativamente s desigualdades acima, correto
afirmar que:
a) todas so verdadeiras.
b) todas so falsas.
c) somente I e II so verdadeiras.
d) somente II e III so verdadeiras.
e) somente I e III so verdadeiras.
86. (Faap) Uma placa publicitria de altura h metros
est colocada no alto de um edifcio com a sua parte
inferior a y metros acima do nvel do olho do
observador, conforme a figura a seguir:
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A altura h (em metros) da placa publicitria pode ser
expressa:
a) h = d (tg - tg )
b) h = d tg
c) h = tg ( - )/d
d) h = d (sen + cos )
e) h = d tg /2
87. (Faap) Uma placa publicitria de altura h metros
est colocada no alto de um edifcio com a sua parte
inferior a y metros acima do nvel do olho do
observador, conforme a figura a seguir:
Para o nvel do olho do observador a 1,70 metros
acima do nvel do solo, = /3 e d = 10 metros, a
altura do prdio (em metros)
a) (103)/3 + 1,70
b) 103 + 1,70
c) 6,70
d) (103)/2 + 1,70
e) 15,0
88. (Mackenzie) I - Se 0 < x < /2, ento os pontos
(sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre
so vrtices de um tringulo.
II - Se a e b so nmeros reais tais que a > b > 0,
ento as retas x - ay + a = 0 e x + by + b = 0 nunca
so paralelas.
III - A reta x + y - 52 = 0 tangente curva
x + y - 25 = 0.
Relativamente s afirmaes acima, podemos
afirmar que:
a) somente I e II so verdadeiras.
b) somente I e III so verdadeiras.
c) somente II e III so verdadeiras.
d) todas so falsas.
e) todas so verdadeiras.
89. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
hidrulico. medida que o sol se eleva, o painel
ajustado automaticamente de modo que os raios do
sol incidam perpendicularmente nele.
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O valor de y (em metros) em funo de :
a) y = 3 sen
b) y = 3 sen + 3
c) y = 3 tg
d) y = 3 cos
e) impossvel de ser determinado
90. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
hidrulico. medida que o sol se eleva, o painel
ajustado automaticamente de modo que os raios do
sol incidam perpendicularmente nele.
Para = /3, o valor de y (em metros) :
a) 33/2
b) 3/2
c) 32/2
d) 3
e) impossvel de ser determinado
91. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar
de 3 metros de largura equipado com um ajustador
hidrulico. medida que o sol se eleva, o painel
ajustado automaticamente de modo que os raios do
sol incidam perpendicularmente nele.
Para = /3, o valor de x (em metros) :
a) 33/2
b) 5/2
c) 3/2
d) 3
e) impossvel de ser determinado
92. (Faap) Num trabalho prtico de Topografia, um
estudante de engenharia Civil da FAAP deve
determinar a altura de um prdio situado em terreno
plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do
terreno, o topo do prdio visto sob ngulo de 60.
Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifcio,
seu topo para a ser visto sob ngulo de 45.
Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do
edifcio (em metros) :
a) 10(3) + 1
b) [(3)/3] + 10
c) (103)/(3 - 1)
d) (3/3)/(10 + 3)
e) (10 + 3)/3
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93. (Faap) Considerando 0 x 2, o grfico a
seguir corresponde a:
a) y = sen (x + 1)
b) y = 1 + sen x
c) y = sen x + cos x
d) y = sen x + cos x
e) y = 1 - cos x
94. (Ufpe) Considere a funo f:(0, 49/2) IR
definida por f(x)=(1/x)-sen x. O grfico de f intercepta
o eixo das abcissas Ox em exatamente n pontos
distintos. Determine n.
95. (Ufpe) Considere a funo f(x)=sen(x+2),
definida para x real. Analise as seguintes afirmaes:
( ) f uma funo peridica.
( ) f uma funo par.
( ) f(x)=0 exatamente para 32 valores distintos de x
no intervalo [0,10].
( ) f(x)=2+senx para todo x IR.
( ) A imagem de f o intervalo [1,3].
96. (Ufpe) Comparando as reas do tringulo OAB,
do setor circular OAB e do tringulo OAC da figura a
seguir, onde
0 < < /2, temos:
( ) sen < < tan;
( ) (sen)/ < cos < 1;
( ) cos < (sen)/ < 1;
( ) cos > (sen)/ > tan;
( ) (1/2)cos < (1/2) < (1/2)sen;
97. (Fuvest) A tangente do ngulo 2x dada em
funo da tangente de x pela seguinte frmula:
tg2x = 2tgx/(1-tgx).
Calcule um valor aproximado da tangente do ngulo
2230'.
a) 0,22
b) 0,41
c) 0,50
d) 0,72
e) 1,00
98. (Uel) Seja x a medida de um arco em radianos. O
nmeros real a, que satisfaz as sentenas
sen x = (3 - a) e cos x = (a - 2)/2 tal que
a) a 7
b) 5 a < 7
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c) 3 a < 5
d) 0 a < 3
e) a < 0
99. (Uel) A expresso cos [(3/2) + x] equivalente
a
a) -sen x
b) -cos x
c) sen x.cos x
d) cos x
e) sen x
100. (Uel) A funo dada por f(x) = (tg x) . (cotg x)
est definida se, e somente se,
a) x um nmero real qualquer.
b) x 2k, onde k Z
c) x k, onde k Z
d) x k/2, onde k Z
e) x k/4, onde k Z
101. (Fuvest) Sendo sen = 9/10, com 0 < < /2,
tem-se
a) sen < sen /3 < sen 2
b) sen /3 < sen < sen 2
c) sen < sen 2 < sen /3
d) sen 2 < sen /3 < sen
e) sen 2 < sen < sen /3
102. (Cesgranrio) Entre as funes reais a seguir,
aquela cujo grfico simtrico em relao origem
:
a) f(x) = x +1
b) f(x) = |x|
c) f(x) = e
d) f(x) = sen x
e) f(x) = cos x
103. (Cesgranrio) Se sen x=2/3, o valor de tgx :
a) 0,6
b) 0,7
c) 0,8
d) 0,9
e) 1
104. (Fatec) Considerando as funes
trigonomtricas definidas por f(x) = 2senx,
g(x) = sen2x e
h(x) = 2 + senx, tem-se
a) f(x) > h(x), para todo x IR.
b) g(x) h(x), para todo x IR.
c) f(x) e g(x) tm perodos iguais.
d) f(x) e h(x) tm perodos diferentes.
e) g(x) senx f(x), para todo x IR.
105. (Mackenzie) Em [0, 2], o nmero de solues
reais de f(x)=sen2x :
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
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106. (Fei) Sobre a funo f(x) = |senx| vlido
afirmar-se que:
a) f (x) = f (2x)
b) f (-x) = -f (x)
c) f (x) = f (x + )
d) f (x) = f (x + /2)
e) f (x) = f (x - /2)
107. (Cesgranrio) Se o cos x = 3/5 e -/2 < x < 0,
ento tg x vale:
a) -4/3.
b) -3/4.
c) 5/3.
d) 7/4.
e) -7/4.
108. (Mackenzie)
f(x) = sen x + cos x e f(x) = 3 sen x cos x
Relativamente s funes anteriores, de domnio IR,
fazem-se as afirmaes.
I- O perodo de f(x) 2
II- O maior valor que f(x) pode assumir 1,5.
III- O conjunto imagem de f(x) est contido no
conjunto imagem de f(x)
Ento:
a) todas so verdadeiras.
b) somente II e III so verdadeiras.
c) somente I e III so verdadeiras.
d) somente I e II so verdadeiras.
e) somente III verdadeira.
109. (Cesgranrio) Se tgx = 5, ento senx igual a:
a) 1/6.
b) 1/5.
c) 3/4.
d) 3/5.
e) 5/6.
110. (Uff) Para = 89, conclui-se que:
a) tg < sen < cos
b) cos < sen < tg
c) sen < cos < tg
d) cos < tg < sen
e) sen < tg < cos
111. (Fuvest) Qual das afirmaes a seguir
verdadeira ?
a) sen 210 < cos 210 < tg 210
b) cos 210 < sen 210 < tg 210
c) tg 210 < sen 210 < cos 210
d) tg 210 < cos 210 < sen 210
e) sen 210 < tg 210 < cos 210
112. (Pucmg) Na expresso
M = (cos 2x - sen 2x + 2sen x), 0
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e) 5
114. (Unesp) Sabe-se que h o menor nmero
positivo para o qual o grfico de y = sen (x -h)
Ento, cos (2h/3) igual a:
a) - (3)/2.
b) - (2)/2.
c) -1/2.
d) 1/2.
e) (3)/2.
115. (Ufrs) O grfico a seguir representa a funo
real f.
Esta funo dada por:
a) f(x) = 1 - cos x
b) f(x) = 1 + cos x
c) f(x) = cos (x +1)
d) f(x) = cos (x - 1)
e) f(x) = cos (x + )
116. (Cesgranrio) O valor da expresso
P=1 - 4senx + 6senx - 4senx + senx igual a:
a) cosx
b) cosx
c) senx
d) 1
e) 0
117. (Cesgranrio) Considerando sen x = (1/2) .
sen(25/6), o valor de cos 2x ser:
a) 7/8
b) 5/8
c) 3/8
d) 3/4
e) 1/2
118. (Mackenzie) Em [0, 2], a melhor
representao grfica da funo real definida por
f(x)=(2-senx-senx)/(3-cosx) :
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119. (Mackenzie) Dentre os valores a seguir,
assinale aquele que mais se aproxima de sen 6 + tg
3.
a) - 0,4
b) -
c) - /2
d) 1
e) 0,5
120. (Fuvest) a) Expresse sen 3 em funo de
sen .
b) Resolva a inequao sen3> 2sen para
0 < < .
121. (Unb) A funo U, definida por U(t) = r cos (t -
), descreve o deslocamento, no tempo t, de um
bloco de massa m, preso na extremidade de uma
mola, em relao posio de equilbrio, conforme a
figura adiante. A posio de equilbrio, nesse caso,
aquela em que U(t) = 0. A constante depende
apenas da mola e da massa m. As constantes r e
dependem da maneira como o sistema colocado
em movimento.
Com base na situao apresentada, julgue os itens
que se seguem.
(1) A funo U tem perodo igual a (2 - ).
(2) No instante t= 2/, o bloco est novamente na
posio inicial.
(3) O maior deslocamento do bloco, em relao
posio de equilbrio, igual a r.
(4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha
durao igual a 4/3, o bloco passa pela posio
de equilbrio.
122. (Unesp) Considere as funes f(y) = (1 - y),
para y IR, -1 y 1, e g(x) = cos x, para x IR. O
nmero de solues da equao (f o g)(x) = 1, para 0
x 2,
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
123. (Fuvest) Se um ngulo tal que
0 < < /2 e sen = a, ento tg(-) igual a
a) - a/(1 - a)
b) a/(1 - a)
c) [ (1 - a)]/a
d) [- (1 - a)]/a
e) - (1 + a)/a
124. (Mackenzie) Se k e p so nmeros naturais no
nulos tais que o conjunto imagem da funo
f(x) = 2k +p.cos(px+k) [-2, 8], ento o perodo de
f(x) :
a) /7
b) 2/7
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c) 2/3
d) /5
e) 2/5
125. (Mackenzie) A funo real definida por
f(x)=k.cos(px), k>0 e pIR tem perodo 7 e
conjunto imagem [-7,7]. Ento, k.p vale:
a) 7
b) 7/2
c) 2
d) 2/7
e) 14
GABARITO
1. [E]
2. V F F F
3. V F V
4. [A]
5. 02 + 04 + 16 = 22
6. [A]
7. 492 bilhes de
dlares.
8. 6
9. [D]
10. 20
11. 01 + 04 + 08 + 16 =
29
12. a) = (/8) +
(k/2), k Z
b) ((2) - 2; 1)
13. [A]
14. 30, 60 e 90.
15. [E]
16. [A]
17. Soma = 0
18. [E]
19. a) 1/4
b) 0 < < 30
20. [A]
21. a) PQ = 43 dm
sen BPQ = (13)/13
b) 90 e 120 voltas
22. [C]
23. 82
24. [A]
25. [E]
26. [C]
27. [B]
28. F F V
29. [B]
30. [C]
31. [B]
32. [B]
33. [E]
34. [E]
35. [B]
36. [A]
37. [C]
38. [B]
39. [B]
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40. [C]
41. [B]
42. [B]
43. [C]
44. [E]
45. AB = (1,49 - 1,4 .
cos 36) m
46. [D]
47. [E]
48. [C]
49. [B]
50. [B]
51. [D]
52. 1/4 f(x) 1
53. itens corretos: 04, 08
e 32
itens incorretos: 01, 02,
16 e 64
54. [C]
55. [D]
56. [B]
57. [D]
58. [D]
59. a) (k,m,n) {(2,3,-2);
(2,3,2); (-2,-3,-2); (-2,-3,
2)}
b) {0, /4, /3, 2/3,
3/4 e }
60. V = { (0, 0), (0, ),
(, 0), (, ), (/2, /2)
}
61. [C]
62. [D]
63. [D]
64. a) f (0,3) = 0,955
b) 0,955 cos 0,3
0,955 + 0,0003375
0 cos 0,3 - 0,955
0,0003375 < 0,001, logo
o erro inferior a 0,001.
Como 0,9550 cos 0,3 <
0,9554, o valor calculado
exato at a terceira
casa decimal, portanto
exato at a segunda
casa decimal.
65. AC = 120 m
66. [D]
67. [D]
68. [C]
69. [B]
70. a) V = { 0; /9; /2;
5/9; 7/9; }
b) O maior valor da f
menor do que 8/5,
portanto a reta de
equao y=8/5 no
intercepta o grfico da
funo.
71. [D]
72. [A]
73. [C]
74. [C]
75. [A]
76. [C]
77. [D]
78. V = { /6, /3 }
79. [B]
80. [A]
81. [D]
82. [C]
83. [E]
84. [A]
85. [A]
86. [A]
87. [B]
88. [E]
89. [D]
90. [B]
91. [A]
92. [C]
93. [B]
94. 25
95. F V V F F
96. V F V F F
97. [B]
98. [D]
99. [E]
100. [D]
TRIGONOMETRIA ENSINO MDIO
PROFESSOR GILMAR BORNATTO Pgina 29
101. [D]
102. [D]
103. [C]
104. [B]
105. [A]
106. [C]
107. [A]
108. [A]
109. [E]
110. [B]
111. [B]
112. [C]
113. [C]
114. [C]
115. [B]
116. [B]
117. [A]
118. [B]
119. [A]
120. a) 3.sen - 4 .
sen
b) S = { IR | 0 < /6
ou 5/6 < < }
121. F V V V
122. [C]
123. [A]
124. [E]