Lugar Das Raízes

F6D370 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS I

Prof. Carlos Raimundo Erig Lima

6 – LUGAR DAS RAÍZES

6.1 - Introdução

A característica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada está intimamente relacionada à localização dos pólos da malha fechada. Se o sistema tiver um ganho de malha variável, então a localização dos pólos de malha fechada depende do valor do ganho de malha escolhido. É importante, portanto, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s quando o ganho da malha é variado.

Do ponto de vista do projeto, em alguns sistemas o simples ajuste do ganho pode mover os pólos de malha fechada para os locais desejados. Então o problema do projeto pode tornar-se a seleção de um valor de ganho apropriado. Se o ajuste do ganho sozinho não produzir um resultado desejado, o acréscimo de um compensador ao sistema tornar-se-á necessário.

Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica. Para determiná-los, é necessário fatorar o polinômio característico. Em geral, este procedimento é trabalhoso se o grau do polinômio característico for três ou maior. As técnicas clássicas de fatoração de polinômios não são convenientes porque, conforme varia o ganho da função de transferência em malha aberta, devem ser repetidos os cálculos.

Um método simples para determinar as raízes da equação característica foi desenvolvido por W. R. Evans e é extensivamente usado em engenharia de controle. Este método, denominado método do lugar das raízes, é um método pelo qual as raízes da equação característica são



colocadas em um gráfico para todos os valores de um parâmetro do sistema. As raízes correspondentes a um valor particular deste parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante. Note que o parâmetro usualmente é o ganho, porém qualquer outra variável da função de transferência em malha aberta pode ser utilizada. Salvo menção em contrário, é considerado que o ganho da função de transferência em malha aberta é o parâmetro a ser variado através de todos os seus valores, isto é, de zero a infinito.

O lugar das raízes é baseado em uma técnica gráfica para se obter as raízes de um polinômio de coeficientes reais, sendo definido como o lugar geométrico que representa o valor das raízes do polinômio, quando se altera um parâmetro que afeta um ou mais de seus coeficientes. Como as raízes de um polinômio de coeficientes reais podem ser complexas o lugar das raízes pode ser representado por curvas no plano complexo.

No caso de um sistema de controle, genericamente representado pela figura 1, tem-se a seguinte função de transferência em malha fechada:

, [6.1]

cuja equação característica em malha fechada é 1 + KG(s)H(s) = 0.

FIGURA 6.1 - Representação de um sistema de controle com ganho de malha K.

1



Objetiva-se com o lugar das raízes determinar os pólos da função de transferência em malha fechada, ou seja determinar as raízes da equação característica.

Um ponto S1, no plano S, somente pertencerá ao lugar das raízes se a expressão for verdadeira: KG(s)H(s) = -1 [6.2]

Como este ponto esta representado no plano complexo, pode-se dividir a equação [6.2] em uma equação de módulo e outra equação de ângulo:

|KG(s)H(s)| = 1 [6.3]

G(s)H(s) =180(2N+1), N=0,1,2... [6.4]

A equação [6.3] é conhecida como condição de módulo e a equação [6.4] é conhecida como condição de ângulo.

6. 2 Regras para Construção dos Lugares das Raízes

A vantagem do método do lugar das raízes é a facilidade de determinação dos pólos em malha fechada, principalmente em sistemas de ordem superior. Um conjunto de regras permite construir o lugar das raízes de modo rápido.

REGRA 1 - Obtenha a equação característica 1 + G(s)H(s) e rearranje na seguinte forma: ,

de modo que o parâmetro de interesse apareça como um fator multiplicativo. Localize os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo,

2



ou seja os pólos e zeros da função de transferência em malha aberta G(s)H(s).

REGRA 2 - Determine os pontos de partida e de chegada dos lugares das raízes. Os pontos para K= 0 dos lugares das raízes são os pólos em malha aberta e os pontos para K = dos lugares das raízes são os zeros em malha aberta. O lugar das raízes inicia para K= 0 nos pólos de malha aberta e termina para K= nos zeros de malha aberta ou no infinito. O número de zeros em malha aberta e menor ou igual ao número de pólos em malha aberta (m£n). Uma ramo é definido como o lugar de uma raiz quando k varia de 0 à . O lugar das raízes possui n ramos dos quais m terminarão em zeros em malha aberta e n-m terminarão no infinito, seguindo assíntotas.

REGRA 3 - Determine os lugar das raízes sobre o eixo real, determinados pelos pólos e zeros em malha aberta neles contidos. Cada parte do lugar das raízes sobre o eixo real estende-se de um pólo ou zero até outro pólo ou zero. Um ponto sobre o eixo real pertencerá ao lugar das raízes se o número de pólos ou zeros à sua direita for ímpar.

REGRA 4 - Determine as assíntotas dos lugares das raízes. Como n-m

ramos terminam no infinito seguindo assíntotas, n-m assíntotas devem ser determinadas. Os ângulos das assíntotas podem ser dados por:

, com N = 0,1, ..., (n-m -1).

O ponto em que as assíntotas interceptam o eixo real é dado por:

3



.

REGRA 5 - Encontre os pontos de saída e de entrada no eixo real. Se o lugar das raízes estiver entre dois pólos em malha aberta consecutivos, então pelo menos um ponto de saída existe entre estes dois pólos. Considerando a equação característica sob a seguinte forma:

A(s) + KB(s) = 0,

então a localização dos pontos de entrada ou saída é dada por :

;

REGRA 6 - Determine os ângulos de chegada ou de partida dos lugares das raízes nos pólos ou zeros complexos. O ângulo de chegada ou de partida de um pólo ou zero complexo pode ser determinado por:

Ângulo de partida de um pólo = 180 -p+zÂngulo de chegada em um zero = 180 -z+p

p = ângulos relativos a outros pólos.z = ângulos relativos a outros zeros.

REGRA 7 - Determine os pontos onde os lugares das raízes interceptam o eixo imaginário. Estes pontos podem ser encontrados substituindo-se s por jw na equação característica. Igualando-se as partes reais e imaginárias à zero pode-se obter o valor de K e de w.

4



Exemplo 6.1 – Encontre o Lugar das Raízes do sistema da figura 6.1

Figura 6.1 – Sistema sujeito a análise de estabilidade.

Determinação dos pólos e zeros em malha aberta

Zeros em 0 e –5 e pólos em 1+3j, 1 –3j e –6

Lugar das raízes sobre o eixo real

Assíntotas:

Como temos dois zeros e três pólos existe uma assíntota, neste caso sobre o eixo real (um dos ramos começa em –6 e termina e tende ao infinito negativo.

Pontos de entrada de entrada e saída no eixo real

Seja :

s1= 4.1030 , s2= -5.2812 + 2.9146i, s3 = -5.2812 - 2.9146i e s4= -1.5406

Somente s = -1.5406 pode ser ponto de saída.

Ângulos de Partida

5

-5 0-6



O ângulo de partida no pólo 1+3j será:= 180 + 1+2-3-4 = 180+90 + arctan(3/5) -90- arctan(3/6)= 180 + 30.96 – 26.56= 184,39

Interseção com o eixo jw: Para K = 2,38

Cujas raízes são: -6.1646 , -0.1077 + 2.4209j e -0.1077 - 2.4209iO ponto de interseção será em s = 2,42j e –2,42j

Para K = 12

Cujas raízes são: 0, -12.2426 e -3.7574O ponto de intersecção será em s = 0j.

6

rlocus (zpk([1 -5], [-6 1+3j 1-3j],

1))

Documents

Lugar Das Raízes