Mat Fin_aula 00_OK

MATEMTICA FINANCEIRA PARA TCU PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 0 Apresentao .................................................................................................................................. 2

Juros Simples - Introduo ....................................................................................................... 3

Juros ................................................................................................................................................... 3

Formas de Representao da Taxa de Juros ...................................................................... 5

Elementos da Operao de Juros ............................................................................................ 5

Regimes de Capitalizao .......................................................................................................... 6

Capitalizao Simples .................................................................................................................. 7

Capitalizao Composta .............................................................................................................. 7

Juros Simples .................................................................................................................................. 8

Homogeneizao entre a taxa e o prazo de capitalizao .......................................... 10

Taxas Proporcionais .................................................................................................................... 10

Juros Simples Ordinrios (Comerciais) e Exatos ............................................................ 11

Modelos de questes resolvidas CESPE ......................................................................................... 13

Relao das questes comentadas ...................................................................................................... 15

Gabarito .............................................................................................................................................. 16



Apresentao Ol, pessoal! Tudo bem com vocs? Esta a aula demonstrativa de Matemtica Financeira para o concurso do TCU, organizado pelo CESPE-UnB. Para quem ainda no me conhece, meu nome Guilherme Neves. Sou professor de Raciocnio Lgico, Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica. Sou autor do livro Raciocnio Lgico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar a minha predileo. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de comear o meu curso de Bacharelado em Matemtica na UFPE). No nosso curso, alm de ter acesso teoria completa e muitos exerccios resolvidos, voc poder tirar as suas dvidas no nosso frum. Nesta aula, que demonstrativa, aprenderemos os conceitos iniciais sobre capitalizao e juros. Resolveremos alguns exerccios recentes do CESPE tambm. Esta aula, por ser demonstrativa, ser bem mais curta que as posteriores. Nossas aulas tero uma mdia de 60 pginas. Seguiremos o seguinte cronograma: Aula 0 Juros Simples (introduo) Aula 1 Porcentagem Aula 2 Juros Simples e Desconto Simples Aula 3 Juros Compostos e Desconto Composto Aula 4 Rendas Certas e Taxa Interna de Retorno Bom, no temos muito tempo para conversar, certo? Ento vamos comear e correr contra o tempo. Tenho certeza absoluta que se voc estudar com afinco as nossas aulas, resolver todos os exerccios e tirar suas dvidas, voc ter plenas condies de acertar todas as questes de Matemtica Financeira. Vamos em frente, rumo ao TCU!



Juros Simples - Introduo A Matemtica Financeira uma cincia que no se preocupa apenas com o clculo dos juros simples e compostos. Esta a funo de um dos captulos iniciais da matemtica comercial. A Matemtica Financeira o elo entre os mtodos matemticos e os fenmenos financeiro-econmicos. uma cincia que se preocupa com a construo de modelos gerais, representao de variveis monetrias na linha do tempo. Matemtica Financeira a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicao, avaliao de investimentos e captao de recursos. A operao bsica da matemtica financeira a operao de emprstimo. Algum dispe de certo capital, empresta-o por certo perodo de tempo. Aps esse perodo, recebe o seu capital acrescido de uma remunerao pelo emprstimo. A essa remunerao denominamos juro. Existem diversas razes que justificam o pagamento dos juros na operao de emprstimo. O primeiro deles o custo de oportunidade. Obviamente, quando algum disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixar de investir o capital em outros projetos. Portanto, o no-uso deste capital dever ser remunerado. Deve-se levar em considerao a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preos causado pela inflao, quem empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que ser responsvel por preservar o valor do dinheiro no tempo o juro. Os bancos em geral tm despesas administrativas e obviamente tm o interesse de repassar essas despesas para os devedores. Um aspecto de destaque o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valorao que fazemos de algo est diretamente associada ao momento em que ocorre. Juros O juro o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. o custo do capital de terceiros colocado nossa disposio.

Algum que dispe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo perodo de tempo, e aps esse perodo recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido dever ser remunerado. Essa remunerao chamada de juro.



Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado perodo de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos no s da quantia emprestada, como tambm de um acrscimo que compense a no-utilizao do capital financeiro, por nossa parte, durante o perodo em que foi emprestado.

A soma capital + juros chamada de montante e ser representada por M.

= +

= +

Os juros so fixados atravs de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, ms, bimestre, trimestre, semestre, ano,... . Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. O elemento que faz a equivalncia dos valores ao longo do tempo o juro, que representa a remunerao do capital. Exemplo:

= 24% = 24%. .

= 6% = 6%. .

= 3,5% = 3,5%. .

Veremos ao longo deste curso, que no permitido em Matemtica Financeira operar com quantias em pocas diferentes. O objetivo da Matemtica Financeira permitir a comparao de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparao destes valores a taxa de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao ms no uso do cheque especial. E em determinado ms, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ 15.000,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um ms para saldar a dvida? Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, alm de devolver o principal, deve-se remunerar o capital. E quanto ser a remunerao? Quem responder essa pergunta a taxa de juros. Se a taxa de juros de 6% ao ms e a quantia emprestada de R$ 15.000,00, ento para saldar a dvida deve-se pagar os R$ 15.000,00 e mais



os juros cobrados pelo banco. O juro que dever ser pago daqui a um ms ser 6% de R$ 15.000,00. Ou seja,

= 6%15.000 =6

100 15.000 = 900

O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dvida igual a 15.000 + 900 = 15.900. Formas de Representao da Taxa de Juros importante observar que no clculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em frao decimal para permitir a operao. Assim, as taxas de juros tero duas representaes: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de frao decimal (taxa unitria): $

%&&= 0,06

A representao em percentagem a comumente utilizada; entretanto, todos os clculos e desenvolvimentos de frmulas sero feitos atravs da notao em frao decimal. Elementos da Operao de Juros Na situao descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operao de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao ms no uso do cheque especial. E em determinado ms, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ 15.000,00. Que valor Alberto deve depositar na sua conta daqui a um ms para saldar a dvida? Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisio, valor vista. No nosso exemplo, o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco. Temos ento, no nosso problema, que o capital igual a R$ 15.000,00.

= '(. ))), )) Juros (J) Tambm chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetrio, durante certo tempo, cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor denominado juro. Pelos clculos que fizemos:

= *)), ))



Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente dever explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um emprstimo e o gerente diz: - Ok! O seu emprstimo foi liberado! E a taxa de juros que ns cobramos de apenas 8%. Ora, a informao desse gerente est incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... timo! E se essa taxa de juros for ao dia? PSSIMO! Portanto, perceba que a indicao da unidade da taxa de juros FUNDAMENTAL. Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NMERO DE PERODOS. No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nmero de perodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situao. Toma-se um emprstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dvida, o seu n, ou seja, o seu tempo no ser igual a 6. O seu tempo ser igual a 3!!! Pois a taxa bimestral, e em um perodo de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal e Alberto usou o cheque especial durante apenas um ms. Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. o valor de resgate. Obviamente o montante maior do que o capital inicial. O montante , em suma, o capital mais os juros.

= + As operaes de emprstimo so feitas geralmente por intermdio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no emprstimo. Regimes de Capitalizao Denominamos regimes de capitalizao aos diferentes processos como os juros so gerados e agregados ao capital aplicado. Os juros so normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de clculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por perodo, por vrios intervalos ou perodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenes de clculo, chamadas de regimes de capitalizao: capitalizao simples (juros simples) e capitalizao composta (juros compostos). A definio e a frmula que demos para MONTANTE, independe do processo de capitalizao. Ou seja, no interessa se o regime adotado o simples ou o composto, sempre teremos:

= +



Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalizao. Capitalizao Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos. Nessa hiptese, os juros pagos de cada perodo so calculados sempre em funo do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numrico visando a fixao desse conceito. Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de aplicao. Como a prpria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado R$ 10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial. Os juros gerados no primeiro ano so +&

%&& 10.000 = ,. ))).

Os juros gerados no segundo ano so +&%&&

10.000 = ,. ))).

Os juros gerados no terceiro ano so +&%&&

10.000 = ,. ))).

Os juros gerados no quarto ano so +&%&&

10.000 = ,. ))).

Os juros gerados no quinto ano so +&%&&

10.000 = ,. ))).

Na CAPITALIZAO SIMPLES os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante aps os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Concluso: o montante igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante o capital inicial mais o juro). Capitalizao Composta No regime de capitalizao composta, o juro gerado em cada perodo agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o prximo perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros. Imagine a seguinte situao: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao.



Os juros gerados no primeiro ano so +&%&&

10.000 = 2.000 e o montante aps

o primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000. Os juros gerados no segundo ano so +&

%&& 12.000 = 2.400 e o montante aps

o segundo ano 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano so +&

%&& 14.400 = 2.880 e o montante aps o

terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano so +&

%&& 17.280 = 3.456 e o montante aps o

quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736. Os juros gerados no quinto ano so +&

%&& 20.736 = 4.147,20 e o montante aps

o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Observao: Se a operao de juros for efetuada em apenas um perodo, o montante ser igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parssemos a aplicao no primeiro ms, teramos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalizao. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Juros Simples Como vimos anteriormente, juros simples so aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar sua base de clculo os juros auferidos nos perodos anteriores. Ou seja, os juros no so capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a frmula de juros simples. Imagine que voc aplique R$ 5.000,00 taxa de juros simples de 3% ao ms. Ento, ao final do primeiro ms de aplicao, o juro produzido ser:

3%5.000 =3

100 5.000 = 150

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro ms, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalizao simples, os juros produzidos em cada perodo so sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.



A partir desse exemplo, fcil compreender a frmula para o clculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notaes: C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicao J juro simples produzido durante o perodo de aplicao. M montante ao final da aplicao O juro produzido no primeiro perodo de aplicao igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n perodos de aplicao ser:

(1) E, lembrando tambm que o montante a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte frmula abaixo:

(2)

Substituindo a frmula (1) na frmula (2), temos ento a seguinte expresso:

Em lgebra, significa , portanto,

Colocando o C em evidncia,

(3) de suma importncia memorizar as trs frmulas abaixo.

(1)

(2)

(3) E devemos estar atentos ao seguinte fato:

J C i n=

M C J= +

M C C i n= +

C 1 C

1M C C i n= +

(1 )M C i n= +

J C i n=

M C J= +

(1 )M C i n= +

J



Deve-se utilizar a taxa na forma unitria. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30% , utilizamos /&

%&&= 0,30.

Homogeneizao entre a taxa e o prazo de capitalizao A taxa de juros dever estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalizao. Ou seja, deve existir concordncia entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo dever ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo dever ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Exemplos i=3% a.m. n=150 dias. A taxa est expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordncia entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. O ms comercial de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30.

= 150 =150

3 = 5

i=3% a.m. n= 5 meses Para efetuar a transformao da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais. Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para um mesmo perodo, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalizao simples, taxas proporcionais so equivalentes. Taxas Proporcionais Duas taxas so proporcionais quando a razo entre elas igual razo entre os respectivos perodos expressos na mesma unidade de tempo. A definio de taxas proporcionais no est condicionada ao regime de capitalizao. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de capitalizao simples quanto no regime de capitalizao composta. O fato importante que no regime de capitalizao simples as taxas proporcionais so equivalentes.



Simbolicamente, dizemos que a taxa % referente ao perodo % proporcional taxa + referente ao perodo + se

%

+=%

+

Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital aplicado a uma taxa de 3% ao ms por 12 meses. Neste exemplo,dizemos que 3% ao ms proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano o mesmo que 12 meses, tem-se:

2%

24%=

1

12

Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 ano 12 vezes maior do que o perodo de 1 ms, ento a taxa anual proporcional 12 vezes maior do que a taxa mensal. Exemplo: Determinar a taxa diria proporcional a 3% ao ms. Aplicando a definio de taxas proporcionais (lembre-se que o ms comercial possui 30 dias).

1

2=30

1

3%

2=30

1

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

2 30 = 3% 1

2 =3%

30= 0,1%

Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 dia 30 vezes menor do que o perodo de 1 ms, ento a taxa diria proporcional 30 vezes menor.

2 =

1

30=3%

30= 0,1%

Juros Simples Ordinrios (Comerciais) e Exatos Na prtica, usualmente, adotado o juro simples ordinrio (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente usado quando para isso for expresso explicitamente na operao.



Os juros so considerados ordinrios ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinrios, consideramos que todos os meses tm 30 dias e o ano tem 360 dias.

Juros exatos so aqueles em que se utiliza o calendrio civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o ms tem 31 dias deveremos considerar o total e no 30 dias.

Para facilitar o clculo de juros nestas modalidades, fundamental efetuarmos o clculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diria devemos dividir a taxa anual pelo nmero total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).

Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou no bissexto no caso de juros exatos.

Podemos criar dois processos mnemnicos para saber quais anos so bissextos ou no.

Para comear, os anos bissextos obrigatoriamente so pares.

Um ano dito bissexto se for mltiplo de 4, exceto os que so mltiplos de 100, a no ser que sejam mltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um nmero divisvel por 4 basta dividir os ltimos dois dgitos do nmero por 4.

Assim, 1998 no divisvel por 4 e, portanto, no bissexto.

Uma maneira mais ldica de memorizar o seguinte:

Os anos pares ou so anos de Olimpada ou so anos de Copa do Mundo.

Os anos bissextos so os anos de Olimpadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da Frana, o ano no foi bissexto.



Modelos de questes resolvidas CESPE

01. (BRB 2011/CESPE-UnB) Acerca de juros e taxas de juros, julgue o item a seguir.

Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituio financeira, pelo prazo de 2 anos, taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicao, por mais 2 anos e nas mesmas condies iniciais, ento, ao final desses 4 anos, esse investidor receber o montante de R$ 580,00. Resoluo Temos duas aplicaes em juros simples. O capital da segunda aplicao ser o montante da primeira. Na primeira aplicao, temos uma quantia de R$ 500,00, ou seja, = 500, aplicada durante 2 anos taxa de juros simples de 4% ao ano. Vamos calcular o juro. Observe que como a unidade de tempo a mesma unidade da taxa (ano), no precisamos realizar converses.

=

% = 500 4

100 2

% = 40

O capital aplicado foi de R$ 500,00 e o juro auferido no perodo foi de R$ 40,00. Portanto, o montante da primeira aplicao de 500+40 = 540 reais. Aplicaremos esses 540 reais por mais 2 anos mesma taxa de juros simples de 4% ao ano.

+ = 540 4

100 2 = 43,20

Destarte, o montante obtido de 540 + 43,20 = 583,20 reais. O enunciado disse que o montante obtido de R$ 580,00, logo o item est errado.



02. (FUB 2011/CESPE-UnB) Com relao ao regime de juros simples, julgue o item a seguir.

Uma aplicao de R$ 1.000,00 taxa de 1,2% ao ms, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00. Resoluo Questo bem direta. Temos que observar que a taxa mensal e o tempo foi dado em dias. Temos duas opes: converter a taxa mensal para taxa diria ou converter o tempo em dias para ms. O ms comercial tem 30 dias. Para transformar o tempo de 24 dias para ms, devemos dividir por 30, assim:

= 24 =24

30 =

4

5

Agora podemos calcular o juro auferido.

= = 1.000 1,2

1004

5= 9,60

O item est errado. Ficamos por aqui. Na aula 2 voltaremos a falar em juros simples e resolveremos muito mais questes. Um forte abrao, Guilherme Neves.



Relao das questes comentadas

01. (BRB 2011/CESPE-UnB) Acerca de juros e taxas de juros, julgue o item a seguir.

Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituio financeira, pelo prazo de 2 anos, taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicao, por mais 2 anos e nas mesmas condies iniciais, ento, ao final desses 4 anos, esse investidor receber o montante de R$ 580,00.

02. (FUB 2011/CESPE-UnB) Com relao ao regime de juros simples, julgue o item a seguir.

Uma aplicao de R$ 1.000,00 taxa de 1,2% ao ms, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00.



Gabarito

01. Errado

02. Errado

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