Matemática e Raciocínio Lógico

MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA

1

[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM

Prezado(a) Aluno(a),

Lembre-se dos motivos que o

levam a estudar para o

concurso. Faa um cronograma de

estudos e avalie constantemente

como est seu desempenho

conforme voc faz exerccios e

questes de provas anteriores.

Planeje o tempo de estudo e de

descanso. Com organizao,

disciplina e fora de vontade

possvel conciliar estudo eficiente

com lazer e trabalho.

Procure resolver todas as questes

da apostila. Em caso de dvida,

use o blog:

(www.valclides.blogspot.com)

ou e-mail:

([email protected]).

Lembre-se de que necessrio

acompanhar todas as aulas, pois

cada uma pode abordar contedos

diferentes.

Bem vindo ao Curso e sucesso em

sua caminhada!

Valclides Guerra

Professor

Matemtica Prof.: Valclides Guerra

Contedo abordado nesta apostila:

1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);

2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros

Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais;

3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,

Problemas do 1 Grau;

4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e

Composta;

5. Porcentagem.


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M A T E M T I C A

1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);

2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros

Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais.

3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,

Problemas do 1 Grau;

4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e

Composta;

5. Porcentagem.

Apresentao

atemtica uma das cincias mais aplicada em

nosso cotidiano. Se prestarmos ateno notaremos que em simples atitudes utilizamos

os nossos conhecimentos bsicos de matemtica, como:

olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,

fazer relao de distncias entre cidades etc. Por tudo

isso, caros estudantes, a Matemtica exercita nossa

mente, nos torna mais racionais. Comeamos ter uma

viso: do espao, das pessoas, dos acontecimentos em

geral, de forma mais ampliada. Portanto, caros

concurseiros, o estudo da Matemtica no uma

OBRIGAO, e sim uma NECESSIDADE.

DICA para resolver problemas

Prezados concurseiros, em concurso

pblico, as questes de Matemtica so quase sempre constitudas por

problemas. O que faz uma boa parte

dos candidatos ter dificuldades para

entender o que, de fato, est sendo

perguntado e o que temos para

podermos garantir a resposta correta e em um curto

espao de tempo. E para resolvermos estes problemas

devemos desenvolver:

Uma boa interpretao de texto procure lembrar se voc j resolveu uma questo correlata e aplique o mesmo mtodo. Primeiro, voc tem de

entender o problema: Qual a incgnita? Quais so

os dados? Quais so as condies? possvel

satisfazer as condies? Elas so suficientes para

determinar a incgnita? Ou so insuficientes? Ou

redundantes? Ou contraditrias? Faa uma figura.

Outra se necessrio, introduza notao adequada.

Separe as condies em partes.

A linguagem Matemtica (construa uma estratgia para resoluo do problema): perceba se

voc pode resolv-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexes entre os

dados. Talvez seja conveniente considerar

problemas auxiliares ou particulares, se uma

conexo no for achada em tempo razovel.

E claro, o conhecimento dos contedos matemticos (execute a estratgia). Frequentemente esta a etapa mais fcil do

problema. Preste ateno s incgnitas e procure

perceber se ser necessrio fazer uso de alguma

frmula.

REVISE examine a soluo obtida e verifique o resultado e o argumento.

RESUMINDO:

1) Ler atentamente o problema;

2) Estabelecer qual a incgnita;

3) Montar uma equao traduzindo os dados do

problema;

4) Resolver a equao;

5) Verificar se a raiz da equao resposta do

problema;

6) Dar a resposta do problema.

Logo, percebemos que resolver problemas depende de um grande esforo pessoal

Simbologia Matemtica mais usual

Na Matemtica, muitas informaes so

apresentadas em forma simblica, o que faz necessrio

conhecermos alguma simbologia bsica, vamos l?

= (igual )

(diferente de)

ou { } (conjunto vazio)

(pertence )

(no pertence )

(est contido)

(no est contido)

(contm)

(no contm)

(existe pelo menos um)

(no existe)

| (existe e nico)

| (tal que / tais que)

(ou)

(e)

BA (interseo dos conjuntos A e B) BA (unio dos conjuntos A e B)

(para todo, qualquer que seja)

(implica)

(implica e a recproca equivalente)

(donde se conclui)

M


3


A CRIAO DOS NMEROS

Os nmeros foram inventados pelos homens. Mas

sua criao no aconteceu de repente surgiu da

necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas l

do primrio?). O homem primitivo, por exemplo,

contava traando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,

fazendo ns em uma corda. Como era difcil contar

quantidades grandes e efetuar clculos com pedras, ns

ou riscos simples, a necessidade de efetuar clculos com

maior rapidez levou o homem a criar smbolos, para

representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os

povos usavam os mesmos smbolos. Vamos conhecer

como alguns povos dessa poca contavam.

A numerao dos romanos Os romanos representavam quantidades usando as

prprias letras de seu alfabeto:

I - valia uma unidade

V - valia cinco unidades

X - representava dez unidades

L - indicava cinqenta unidades

C - valia cem unidades

D - representava quinhentas unidades

M - indicava mil unidades

As quantidades eram representadas colocando se os

smbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte

regra:

Os smbolos iguais juntos, at trs, significava soma de valores:

III = 1 + 1 + 1 = 3

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

CCC = 100 + 100 + 100 = 300

Dois smbolos diferentes juntos, com o nmero menor aparecendo antes do maior, significava

subtrao de valores:

IV = 5 - 1 = 4

XL = 50 - 10 = 40

XC = 100 - 10 = 90

Dois smbolos diferentes juntos, com o maior aparecendo antes do menor, significa soma de

valores:

LX = 50 + 10 = 60

CCXXX = 200 + 30 = 230

DC = 500 + 100 = 600

MMMD = 3.000 + 500 = 3.500

Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um trao horizontal sobre as letras

correspondentes quantidade de milhares:

__

IV = 4.000

_

V = 5.000

_____

XXIII = 23.000

Observao: Os romanos no conheciam um smbolo para representar o nmero zero.

A NUMERAO DOS HINDUS

Foram os hindus que inventaram os smbolos que

usamos at hoje:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Esses smbolos, divulgados pelos rabes, so

conhecidos como algarismos indo-arbicos e com eles

escrevemos todos os nmeros. Mais adiante vamos falar

sobre o sistema de numerao que usamos. Voc sabe,

por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem

diferentes.

NMEROS NATURAIS

Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)

empregamos os nmeros:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Esses nmeros so chamados de nmeros naturais. Existem infinitos nmeros naturais os nmeros que

aparecem juntos, como na seqncia acima so

chamados nmeros consecutivos.

Exemplo: 12 e 13 so consecutivos 13 o sucessor (vem

depois) e 12 o antecessor (vem antes) de 13.

Lembrem-se concurseiros, conjunto dos nmeros

naturais baseado na existncia do ZERO e na

propriedade que todo nmero tem sucessor e antecessor.

Apenas o Zero no tem antecessor.

Observaes:

1) Todo nmero natural tem um sucessor ( o que vem

depois).


4


2) Todo nmero natural tem um antecessor ( o que vem antes), com exceo do zero.

3) Um nmero natural e o seu sucessor so chamados

nmeros consecutivos.

PAR OU IMPAR

Um nmero natural par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou

8.

Os nmeros pares so: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...

Um nmero mpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.

Os nmeros mpares so: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...

Conjuntos Numricos

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Como decorrncia da necessidade de contar objetos

surgiram os nmeros naturais que simbolizado pela

letra N e formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, , ou seja: N = {0; 1; 2; 3; }. Um subconjunto de N muito usado o conjunto dos nmeros naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos nmeros naturais positivos, que

representado por N*.

Observaes:

1) Em N so definidas apenas as operaes de adio e multiplicao, apenas estas so garantidas nas

operaes dentro do conjunto N;

2) Isto fato, pois se a e b so dois nmeros naturais ento a + b e a.b so tambm nmeros naturais. Esta propriedade conhecida como fechamento da

operao;

3) Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adio e 1 para a

multiplicao) para as duas operaes e a

distributiva para a multiplicao em N. Em N a

subtrao no considerada uma operao, pois se

a diferente de zero pertence a N o simtrico -a no

existe em N.

DICCA para o aluno

Caso voc escreva do nmero a at o nmero b,

voc escrever ao todo (b a + 1) nmeros.

Exemplo: de 23 a 58 = 58 23 + 1 = 36.

Caso voc escreva os nmeros existentes entre a e

b, voc escrever ao todo (b a 1) nmeros.

Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 23 1 = 34.

De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes

como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1

a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.

De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes

como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes

como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo

aparece 3000 vezes.

De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10n 1

vezes como unidade, 10n 1 vezes como dezena e

10n 1 vezes como centena.

01) A diferena entre o menor nmero de trs algarismo

e o maior nmero de dois algarismos :

a) 5

b) 3 c) 1

d) 2

e) 4

02) Quantos nmeros da sucesso de nmeros inteiros

existem de 12 a 98

a) 87

b) 86

c) 88

d) 85

e) 110

GABARITO: 01) C 02) A

CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Interseo do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Chama-se o conjunto dos nmeros inteiros,

representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; }

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notveis que possuem notao prpria para represent-

los:

a) Conjunto dos inteiros no negativos:

Z+ = {0; 1; 2; 3; }


5


b) Conjunto dos inteiros no positivos:

Z- = {; -3; -2; -1; 0}

c) Conjunto dos inteiros no nulos:

Z* = {, -3; -2; -1; 1; 2; 3; }

d) Conjunto dos inteiros positivos:

Z+* = {1; 2; 3; }

e) Conjunto dos inteiros negativos:

Z-* = {; -3; -2; -1}

Note que Z+ = N e, por essa razo, N um subconjunto

de Z.

Observaes:

1) No conjunto Z, alm das operaes e suas

propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simtrico ou oposto para a adio. Isto

: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma

que a + (-a) = 0;

2) Devido a este fato podemos definir a operao de

subtrao em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b

pertencente a Z;

3) Note que a noo de inverso no existe em Z. Em

outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente

de 1 e de -1, 1/q no existe em Z;

4) Por esta razo no podemos definir diviso no

conjunto dos nmeros inteiros;

5) Outro conceito importante que podemos extrair do

conjunto Z o de divisor. Isto , o inteiro a

divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se

existe um inteiro c tal que b = ca;

6) Os nmeros inteiros podem ser representados por

pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos

um ponto de origem, o zero, e sua esquerda

associam-se ordenadamente os inteiros negativos e

sua direita os inteiros positivos, separados por

intervalos de mesmo comprimento;

7) Cada ponto da reta orientada denominado de

abscissa;

8) Em Z podemos introduzir o conceito de mdulo ou

valor absoluto: |x| = x se x 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrncia da

definio temos que |x| 0 para qualquer nmero inteiro.

A ordem dos inteiros:

H uma classe de inteiros, chamada classe dos

inteiros positivos (ou classe dos nmeros naturais), que

goza das seguintes propriedades:

A soma de dois inteiros positivos um inteiro positivo;

O produto de dois inteiros positivos um inteiro positivo;

Para cada inteiro A, uma e somente uma das

seguintes alternativas verdadeira, ou A = 0, ou A

negativo, ou A positivo (lei da tricotomia).

Definimos as relaes , , por:

A > B (A maior do que B) se e s se A - B positivo

A < B (A menor do que B) se e s se B > A

A B (A maior ou igual a B) se e s se A > B ou A = B

A B (A menor ou igual a B) se e s se A < B ou A = B

claro que A positivo se e s se A > 0.

Multiplicao de Nmeros Inteiros

O conjunto dos nmeros inteiros

surgiu da necessidade de o homem manipular valores negativos,

relacionados a assuntos comerciais

e financeiros. Nesse conjunto, cada

nmero inteiro positivo possui sua representao

negativa. Na multiplicao de nmeros inteiros, devemos

seguir algumas condies de acordo com o sinal dos

nmeros. Nessas operaes o jogo de sinal usado de

forma sistemtica, de acordo com o seguinte quadro de

sinais:

( + ) . ( + ) = +

( + ) . ( ) = ( ) . ( + ) = ( ) . ( ) = +

Os dois nmeros possuem o mesmo sinal.

Nmero positivo multiplicado por nmero positivo

(+ 3) . (+ 7) = + 21

(+ 5) . (+ 9) = +45

(+ 21) . (+ 10) = + 210

(+ 4) . (+ 9) = +36

(+ 8) . (+ 10) = +80

(+ 22) . (+ 5 ) = +110

Nmero negativo multiplicado por nmero negativo

( 9) . ( 5) = + 45


6


(12) . ( 4) = + 48 ( 3) . ( 7) = +21 ( 8) . ( 9) = +72 ( 10) . ( 7) = +70 (12) . (5) = +60

Os dois nmeros possuem sinais diferentes.

Nmero positivo multiplicado por negativo e vice-versa:

(+ 7) . ( 9) = 63 ( 4) . (+ 7) = 28 ( 6) . (+ 7) = 42 (+ 8) . ( 6) = 48 (+ 6) . ( 5) = 30 (120) . (+ 3) = 360

Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da multiplicao o nmero 1 (um). Veja:

(+ 1 ) . ( + 96) = + 96

(1) . (98) = + 98 ( 14) . (+ 1) = 14 (1) . (+ 9) = 9 (+ 2) . (+ 1) = +2

(32) . (1) = +32

Podemos verificar que na multiplicao de nmeros inteiros ao multiplicamos nmeros com sinais iguais,

temos que o resultado um nmero positivo, e quando

multiplicamos nmeros com sinais diferentes, o resultado

um nmero negativo.

MDULO:

Definimos o mdulo ou valor absoluto do inteiro A,

representado por A

, pondo:

0,

0,

AseA

AseAA

DIVISIBILIDADE:

Um inteiro A divisvel por um inteiro B se e s

existe um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso,

dizemos que A mltiplo de B, ou que B divide A, e

escrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que

so divisveis por 2 e de mpares os que no so

divisveis por 2.

EX.: n2 , com n inteiro (par)

12n , com n inteiro (mpar)

CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

DIVISIBILIDADE POR 2:

Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja,

termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.


Um nmero divisvel por 3 se a soma de seus

algarismos divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 4 se o nmero formado

pelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4

ou terminar em 00.

DIVISIBILIDADE POR 5 :

Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimo

algarismo 0 (zero) ou 5.


Um nmero divisvel por 6 se par e a soma de

seus algarismos divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimo

algarismo, subtrado do nmero sem o ltimo

algarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se o

nmero obtido ainda for grande, repete-se o

processo at que se possa verificar a diviso por 7.


Um nmero divisvel por 8 se o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8

ou terminar em 000.


Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus

algarismos um nmero divisvel por 9.


Um nmero divisvel por 10 se termina com o

algarismo 0 (zero).


Um nmero divisvel por 11 se a soma dos

algarismos de ordem par Sp menos a soma dos


7


algarismos de ordem mpar Si um nmero divisvel por 11 ou igual a zero.


Um nmero divisvel por 12 quando divisvel

por trs e quatro ao mesmo tempo.


Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4

vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem

o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel

por 13. Se o nmero obtido ainda for grande,

repete-se o processo at que se possa verificar a

diviso por 13. Este critrio semelhante quele

dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que

no presente caso utilizamos a soma ao invs de

subtrao.


Um nmero divisvel por 15 quando divisvel

por trs e cinco ao mesmo tempo.


Um nmero divisvel por 16 se o nmero formado

pelos seus quatro ltimos algarismos divisvel por

16 ou terminar em 0000.

NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS:

Nmero Primo: um nmero inteiro p > 1 primo se s

divisvel por 1 e por ele prprio. A diviso por um

nmero no resulta em um nmero natural (ou inteiro).

Para saber se um nmero grande primo, basta dividi-lo sucessivamente pelos nmeros primos at que o

quociente seja menor ou igual ao seu divisor.

Os primeiros nmeros primos so:

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 um

nmero primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 um

nmero primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo.

Observaes:

=> 1 no um nmero primo, porque ele tem apenas

um divisor que ele mesmo.

=> 2 o nico nmero primo que par.

Reconhecimento de um nmero primo:

Para saber se um nmero primo, dividimos esse nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at

que tenhamos:

=> ou uma diviso com resto zero e neste caso o

nmero no primo,

=> ou uma diviso com quociente menor que o divisor

e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero

primo.

Exemplos:

1) O nmero 161:

No par, portanto no divisvel por 2;

1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;

No termina em 00, nem os dois ltimos

algarismos pode ser dividido por 4, logo no

divisvel por 4;

No termina em 0 nem em 5, portanto no

divisvel por 5;

Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161

divisvel por 7, e portanto no um nmero primo.

2) O nmero 113:

No par, portanto no divisvel por 2;

1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;

No termina em 00, nem os dois ltimos

algarismos pode ser dividido por 4, logo no

divisvel por 4;

No termina em 0 nem em 5, portanto no

divisvel por 5;

Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)

ainda maior que o divisor (7).

Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10)

menor que o divisor (11), e alm disso o resto

diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 um

nmero primo.

Decomposio em fatores primos

Todo nmero natural, maior que 1, pode ser

decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposio do nmero 24 num produto:


8


24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

Nmero Composto: todo nmero que possui mais de

dois divisores.Todo o nmero natural (diferente de 1)

escreve-se de forma nica como um produto de nmeros

primos. Este Teorema conhecido por Teorema

Fundamental da Aritmtica.

Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 um

nmero composto.

Dois nmeros naturais a e b so primos entre si, se mdc(a, b)=1.

Quaisquer dois nmeros primos so primos entre si, mas o recproco no verdadeiro.

NMEROS PRIMOS ENTRE SI:

Dizemos que A e B so primos entre si se e s se

MDC[A, B] = 1.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA:

fcil obter MDC e MMC de nmeros dados, se

conhecermos suas decomposies em fatores

primos. fcil perceber que os fatores do MDC so

os fatores dos nmeros tomados sempre com o menor

dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes.

Todo nmero A maior que um, ou primo ou pode

ser representado como um produto de fatores primos.

FATORAO

a decomposio de um nmero em um produto de

fatores primos.

Existe um dispositivo prtico para fatorar um

nmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar

esse dispositivo:

1) dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;

2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor

divisor primo desse quociente e assim

sucessivamente at obter o quociente 1.

A figura a baixo mostra a fatorao do nmero 630.

Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Vejamos a decomposio dos nmeros 28 e 200:

28 2 200 2

14 2 100 2

7 7 50 2

1 28 = 22 x 7 25 5

5 5

5 1 200 = 23 x 52

A DIVISO DE INTEIROS:

O resultado da diviso de dois nmeros inteiros,

dividendo e divisor, nem sempre um nmero inteiro.

Ao maior nmero inteiro menor do que a diviso chama-

se quociente a diferena entre o dividendo e o produto

do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se

que:

D = q d + r, com 0 r < d

Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado

4,428... , e por isso o quociente desta diviso 4. O resto

igual a 31 7 4 = 3.

Dizemos ento que na diviso de D por d o quociente q

e o resto r, D chamado de dividendo e d de divisor.

DIVISORES DE UM NMERO NATURAL

MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Um inteiro positivo d o MDC dos inteiros A e B

(usaremos a notao d = MDC[A, B]) se e s se possui

as seguintes propriedades:

a) d|a e d|b (d um divisor comum de A e B)

b) Se C|A e C|B, ento C|d (isto todo divisor comum de A e B tambm divide d)

Teorema: Se A e B so inteiros no nulos

simultaneamente, ento MDC[A, B] existe e nico.

OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.

Propriedades do MDC:


9


MDC(a, b) = MDC(b, a). MDC(a, b) = MDC(a, b). MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|). MDC(a, 0) = |a|.

MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.

O ALGORITMO DE EUCLIDES:

O processo que usamos para determinar o MDC de

dois inteiros, no nulos simultaneamente o algoritmo de Euclides.

a) Dados A e B, dividimos A por B

b) Depois dividimos B pelo resto desta diviso R1

c) Depois dividimos R1 pelo resto desta ltima diviso

R2 e assim sucessivamente.

d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC

procurado ser o ltimo divisor, isto :

q q2 q3 ... qn qn+1

A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B]

R1 R2 R3 R4 ... 0

DICA para o aluno

Clculo do nmero de divisores:

o produto de todos os expoentes acrescido de

uma unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente

Multiplicamos o resultado obtido.

Clculo do nmero de divisores mpares:

o produto dos expoentes de fatores mpares

acrescido de uma unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar

Multiplicamos o resultado obtido

Clculo do nmero de divisores pares:

o produto dos expoentes de fatores mpares

acrescidos de uma unidade cada um,

multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores

pares sem acrescentar a unidade.

Fatora-se o nmero

Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar

Multiplicamos o resultado obtido, tambm pelos expoentes de fator par

01) O nmero de divisores de 120 :

a) 12

b) 14

c) 16

d) 20

e) 25

02) Determinar o nmero N, sabendo-se que ele admite 8

divisores e que da forma: N = 2.3x.

a) 10

b) 15

c) 32

d) 54

e) 24

03) Calcular o valor de m na expresso 2m + 1.3.5,

sabendo-se que este produto indicado resulta da

decomposio de um nmero que possui 16 divisores.

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para

que o nmero N tenha 20 divisores.

a) 648

b) 448

c) 243 d) 824

e) 100

GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A


10


MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

Definio: O mnimo mltiplo comum de dois ou mais

nmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferente

de zero.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}

M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }

MMC (3, 4) = 12

PROCESSOS PARA O CLUCULO DO MMC

1 Processo: Decomposio de fatores primos em separado

a) Decompem-se os nmeros em fatores primos;

b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e

no comuns elevados ao maior de seus expoentes;

2 Processo: Decomposio de fatores primos em

conjunto.

a) Decompem-se em fatores primos, dividindo os

nmeros pelos fatores comuns e no comuns.

b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e

no comuns.

CONSEQUNCIAS DO MMC

1) O MMC entre dois nmeros primos entre si igual

ao produto entre eles.

MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300

MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36

2) O MMC entre dois ou mais nmeros, em que o

maior mltiplo dos menores, o maior nmero.

MMC (40, 120) = 120

MMC (50, 150, 300) = 300

3) Os mltiplos comuns de dois ou mais nmeros so

os mltiplos do MMC entre esses nmeros.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}

MMC (3, 4) = 12

M(3) M(4) = M(12)

4) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais

nmeros por um mesmo nmero, o MMC entre eles ficar multiplicado ou dividido, respectivamente,

por esse mesmo nmero.

MMC (12, 18) = 36

Multiplicando-se os nmeros por 4, o MMC ficar

multiplicado por 4.

MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144

Dividindo-se os nmeros por 3, o MMC ficar

dividido por 3.

Importante:

MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Interseo dos conjuntos: Naturais, Inteiros e

Racionais.

O conjunto dos nmeros racionais, simbolizado

pela letra Q, o conjunto dos nmeros que podem ser

escritos na forma de uma frao p/q, com p e q inteiros

quaisquer e q diferente de zero:

Como todo nmero inteiro pode ser escrito na forma p/1, ento Z um subconjunto de Q. Valem

tambm para os conjuntos dos nmeros racionais as

notaes Q* (conjunto dos nmeros racionais no nulos),

Q+ (conjunto dos nmeros racionais no negativos) e Q-

(conjunto dos nmeros racionais no positivos).

Observaes:

a) So vlidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos nmeros inteiros;

b) Alm disso, vlida a propriedade simtrico ou inverso para a multiplicao. Isto , para todo a/b

pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em

Q tal que (a/b).(b/a) = 1;


11


c) Decorre da propriedade acima que possvel definir a operao de diviso em Q* da seguinte forma

(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d

pertencente a Q;

ADIO E SUBTRAO DE FRAES COM

DENOMINADORES IGUAIS

Conserva-se o denominador, adicionando ou

subtraindo os numeradores.

20

1

20

753

20

7

20

5

20

3

ADIO E SUBTRAO DE FRAES COM

DENOMINADORES DIFERENTES

Substituem-se as fraes dadas por outras,

equivalentes, cujo denominador ser o MMC dos

denominadores dados:

12

5

12

69212)2,4,6(

2

1

4

3

6

1mmc

MULTIPLICAO DE FRAES

Para multiplicar duas ou mais fraes, deve-se:

1) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo

numerador.

2) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo

denominador.

20

16

120

6

645

132

6

1

4

3

5

2porndosimplifica

DIVISO ENVOLVENDO FRAES

Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dos

nmeros envolvidos uma frao devemos multiplicar o

primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo

(divisor).

6

72

12

14

4

7

3

2

7

4

3

2porndosimplifica

NMEROS MISTOS

Nmero misto um nmero racional escrito na

forma da soma de sua parte inteira com a sua parte fracionria (esta sempre uma frao prpria). Os

nmeros mistos tambm se podem escrever como fraes

imprprias.

Exemplos:

Como vemos nos exemplos acima, para transformar

um nmero misto na frao imprpria correspondente

multiplica-se o nmero da frente pelo denominador e o

resultado soma-se ao numerador, formando o numerador

da frao. Para transformar uma frao imprpria em um nmero misto, faa a diviso inteira do numerador pelo

denominador. O quociente ser o primeiro nmero, o

resto ser o novo numerador e denominador permanece.

Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 d 1 e sobra 2. Assim

temos que 5/3 =1 e 5/3 Os nmeros mistos so prticos

quando se deseja marcar a frao na reta numerada. Para

faz-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois

acrescenta-se a parte fracionria, assim, para localizar na

reta a frao atravs do seu nmero misto 1 , vai-se at

o 1 e acrescenta-se o .

Dzimas peridicas

Todo nmero racional p/q pode ser escrito como um

nmero decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma

dzima peridica (1/3 = 0,333). Veremos como transformar dzima em frao!!!

Como dito, h fraes que no possuem representaes

decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e

infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de

numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas.


12


Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa

dzima.

As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples

e dzimas peridicas compostas. Exemplos:

So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo

apresenta-se logo aps a vrgula.

So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre o

perodo e a vrgula existe uma parte no peridica.

Observaes:

Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e o perodo. Exclumos

portanto da parte no peridica o inteiro.

Podemos representar uma dzima peridica das seguintes

maneiras:

Geratriz de uma dzima peridica

possvel determinar a frao (nmero racional)

que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos

esta frao de geratriz da dzima peridica. Procedimentos para determinao da geratriz de uma

dzima:

Dzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que

tem para numerador o perodo e para denominador tantos

noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

Dzima Composta:

A geratriz de uma dzima composta uma frao da

forma , onde

n a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os

algarismos da parte no peridica.

Exemplos:

DICA para o aluno

No faa contas com dzimas peridicas. Substitua

todas elas por fraes geratrizes antes de fazer

qualquer clculo.

NMEROS IRRACIONAIS

um numero irracional. = 3,141592 ...

O nmero irracional aquele que no admite a

representao em forma de frao (contrrio dos

nmeros racionais) e tambm quando escrito na forma de

decimal ele um nmero infinito e no peridico.

Exemplo:

0,232355525447... infinito e no dzima peridica (pois os algarismos depois da vrgula no repetem periodicamente), ento irracional.


13


2,102030569... no admite representao fracionria, pois no dzima peridica.

Se calcularmos em uma calculadora veremos que 2, 3, so valores que representam nmeros irracionais.

A representao do conjunto dos irracionais feita pela

letra I maiscula.

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

O conjunto dos nmeros reais, representado por IR,

a unio entre os conjuntos dos nmeros racionais, Q, e

dos irracionais. Portanto, os nmeros naturais, inteiros,

racionais e irracionais so todos, nmeros reais.

R* conjunto dos nmeros reais no nulos.

R+ conjunto dos nmeros reais positivos e o zero.

R*+ conjunto dos nmeros reais positivos.

R - conjunto dos nmeros reais negativos e o zero.

R*- conjunto dos nmeros reais negativos menos o

zero.

INTERVALO REAL

Ainda, caros estudantes, para complementar o

assunto sobre Conjuntos Numricos veremos a parte de

intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.

Perceba que entre dois nmeros inteiros existem infinitos

nmeros reais. Por exemplo, entre os nmeros 1 e 2

existem vrios nmeros reais tais como: 1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever

todos os nmeros entre, por exemplo, 1 e 2, representa

um intervalo de tais nmeros onde, se inclui os extremos,

considera-se fechado e se no inclui, considera-se aberto.

Os intervalos podem ser classificados em abertos,

fechados e semi abertos (fechados ou abertos esquerda

ou direita).

Notao em smbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes [" e "] para indicar que um dos extremos do intervalo parte

deste intervalo e os parnteses ( e ) ou, tambm, os colchetes invertidos ] e [" para indicar o contrrio. Assim, por exemplo, dados a e b nmeros

reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o

conjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no faz parte do intervalo.

Representao de um intervalo na reta real

Um intervalo representado na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha vazia para indicar que um dos pontos extremos no pertence ao intervalo e de uma

bolinha cheia para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar

os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b a:

[a,b] = {x R | a x b}

b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de

comprimento finito c = b a:

[a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b}

c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita de

comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b a:

]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}

e) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:


14


]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}

f) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:

]-,b] = (-,b] = {x R | x b}

g) Intervalo fechado esquerda de comprimento infinito:

[a,+) = [a,+[ = {x R | a x}

h) Intervalo aberto esquerda de comprimento

infinito:

]a,+[ = (a,+) = {x R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-,+[ = (-,+) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento nulo e o intervalo fechado,

ento a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.

Vejamos mais exemplos:

Unio e Interseco de Intervalos

Como intervalos so conjuntos natural que as

operaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se

de um procedimento muito comum na resoluo de

alguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva de realizar essas operaes atravs da representao

grfica dos intervalos envolvidos. Vamos um exemplo

prtico de como efetuar tais operaes.

Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 x 6} e B = (1,+) =

{x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A B.

Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os

pontos que so extremos ou origens dos intervalos em

uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,

traamos os intervalos que representam graficamente os

conjuntos A e B. E, por fim, s utilizar a definio de

unio e interseco para determinar os trechos que esto

em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos

dois intervalos, respectivamente. Veja a soluo de A B na figura a seguir e de onde tambm facilmente

observado o resultado de A U B:

A B = {x R | 1 < x 6} e A U B = {x R | -1 x}

EXPRESSES NUMRICAS

As expresses numricas podem ser definidas

atravs de um conjunto de operaes fundamentais. As operaes que podemos encontrar so: radiciao,

potenciao, multiplicao, diviso, adio e subtrao.

Como uma expresso numrica formada por mais de

uma operao, devemos saber que resolvemos

primeiramente as potncias e as razes (na ordem que

aparecerem), depois a multiplicao ou diviso (na

ordem) e por ltimo, adio e subtrao (na ordem).

comum o aparecimento de sinais nas expresses

numricas, eles possuem o objetivo de organizar as

expresses, como: ( ) parnteses, [ ] colchetes e {} chaves, e so utilizados para dar preferncia para

algumas operaes. Quando aparecerem em uma

expresso numrica devemos elimin-los, essa

eliminao ir acontecer na seguinte ordem: parnteses,

colchetes e, por ltimo, as chaves.

Exemplo 1:

62 : ( 5 + 3) [ 2 * ( 1 + 3 1) 16 : ( 1 + 3)] =

elimine parnteses.

62 : ( 2) [ 2 * (2 1) 16 : 2] = continue eliminando os parnteses.

62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 2] = resolva as potncias dentro do colchetes.

62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 4] =


15


resolva as operaes de multiplicao e diviso nos colchetes.

62 : ( 2) [ 2 4] = 62 : ( 2) [ 6] = elimine o colchete. 62 : ( 2) + 6 = efetue a diviso. 31 + 6 = 37 efetue a adio.

O valor numrico da expresso 37.

Lembrem-se, em expresses numricas com sinais

associativos de:

1) Parnteses ( ) 2) Colchetes [ ]

3) Chaves { }

efetuam-se, primeiro as operaes dentro deles, na ordem

mostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade

das operaes.

Exemplo 2:

36 + 2.{25 + [ 18 (5 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} =

= 36 +2.34 =

= 36 + 68 = 104

Exemplo 3:

[(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 = = [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 = =[(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 =

= [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3

Exemplo 4:

QUESTES

01) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A

primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,

em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se

as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma

parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda

torneira encher o restante do tanque em A) 14 horas.

B) 10 horas.

C) 7 horas.

D) 8,5 horas.

E) 8 horas.

02) (UPENET) O Quntuplo de um nmero, dividido

por este nmero aumentado de duas unidades, d

quociente 3 e deixa resto 2. Qual este nmero?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

03) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A caixa dgua de um edifcio foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao sndico que trocasse as

bombas, pois as atuais esto obsoletas. As bombas

compradas pelo sndico enchem o reservatrio

muito mais rpido e com baixo consumo de

energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de

gua sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8

horas. Um porteiro por displicncia liga as duas

simultaneamente para encher essa caixa de gua. Estando a caixa dgua vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham o

reservatrio.

A) 167 minutos.

B) 163 minutos.

C) 150 minutos.

D) 156 minutos.

E) 160 minutos.

04) (UPENET) Num salo de cabeleireiro, 2/4 das

mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,

morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360

igual a

A) 60

B) 50 C) 6


16


D) 5 E) 4

06) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Rebeca faz um desafio a Letcia: Qual a tera parte de 3

12 + 3

10?. Assinale a alternativa que

corresponde resposta CORRETA de Letcia.

A) 11 x 311

B) 12 x 312

C) 10 x 39

D) 6 x 35

E) 8 x 37

07) A expresso igual a:

A) 0

B) 9

C) 3 D) 3

08) Calculando-se os dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtm-se:

A) 95

B) 87

C) 84

D) 21

E) 16,8

09) Qual o valor de a + b, se a/b a frao irredutvel

equivalente a ?

A) 42/9

B) 21/9 C) 21

D) 42

10) (UPENET 2009 PMPE) Carlos e Pedro so alunos muito aplicados em matemtica. Certo dia,

Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a

seguinte questo: Determine o algarismo das

unidades do nmero (8325474)642. Pedro resolveu o

problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o

resultado a que Pedro chegou?

A) 4

B) 2 C) 5

D) 6

E) 1

11) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma

Universidade composto por 43 membros com

direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15

diretores de Centros, 8 representantes dos

professores. Para que haja votao de um projeto na

reunio, necessrio que esteja presente, pelo

menos, um membro de cada uma das trs representaes. Se a nica informao que o Reitor

da Universidade tem, durante cada reunio do

Conselho, o nmero de pessoas presentes, para ter

certeza de que o projeto em pauta na reunio ser votado, necessrio que a informao do nmero

de pessoas presentes seja, no mnimo, de:

A) 15 pessoas.

B) 3 pessoas.

C) 20 pessoas.

D) 35 pessoas.

E) 36 pessoas.

12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez compras

em 5 lojas do Shopping Center. Em cada uma

gastou a metade do que possua e pagou, na sada, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Aps as

despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte

reais). Quanto Eduarda possua antes de fazer as

compras?

A) R$ 820,00

B) R$ 1 102,00

C) R$ 502,00

D) R$ 704,00

E) R$ 602,00

13) (UPENET 2009 PREFEITURA DE RECIFE) Numa escola, os alunos da 8 srie vo realizar uma

observao num poo com o caminhar de lesmas.

Observou-se que, em mdia, uma lesma sobe dois

metros por dia, pra um pouquinho e cai um metro.

Supondo que o poo tenha sete metros de

profundidade e que uma lesma esteja no fundo

deste poo, para chegar no topo deste poo, essa

lesma levar

A) 4 dias.

B) 5 dias.

C) 6 dias.

D) 7 dias. E) 8 dias.

14) (UPENET 2009 PREFEITURA DE SURUBIM) A calculadora de Juliana bem

diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o

nmero escrito no visor e a tecla T, que apaga o

algarismo das unidades do nmero escrito no visor.

Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor

e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,

teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se

apertamos D, depois T, em seguida D, depois T, teremos o nmero

A) 96

B) 98

C) 123

D) 79

E) 99

15) (UPENET 2009 PMPE) Uma livraria pretende fazer seu balano anual. Pedro e Joo so os

contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem

juntos no servio, eles fariam o balano em 6 dias,

porm, se Joo trabalhar sozinho, realizar o servio em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,

trabalhando sozinho, concluir o balano?


17


A) 15 B) 13

C) 9

D) 8

E) 20

16) (UPENET 2009 PMPE) Um nmero composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do

algarismo das dezenas com o algarismo das

unidades 8 e que, subtraindo-se o nmero do

nmero formado, permutando-se o algarismo das

unidades com o das dezenas, o resto dessa subtrao um nmero terminado em 6.

CORRETO afirmar que o produto dos algarismos

das dezenas com o das unidades do nmero

A) 40

B) 30

C) 45

D) 21

E) 12

17) (UPENET 2009 PMPE) Carlos disse a Renato que era capaz de acertar um nmero que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato

achou graa e disse: pensei em um nmero. Ento,

Carlos disse: some ao nmero pensado o nmero 5,

multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto.

Informe o resultado das operaes, e Renato

afirmou 80. Carlos, ento, informou corretamente o

nmero que Renato havia pensado. O produto dos

algarismos do nmero que Renato pensou igual a

A) 12

B) 15

C) 10

D) 48 E) 50

18) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Uma Padaria promove as seguintes ofertas relativas a

manteigas da mesma marca:

Assinale a alternativa CORRETA.

A) A oferta I a melhor.

B) A oferta II a melhor. C) A oferta III a melhor.

D) As ofertas I e III so iguais.

E) As ofertas II e III so iguais.

19) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A soma de trs nmeros naturais consecutivos

sempre um nmero

A) par.

B) mpar.

C) primo.

D) quadrado perfeito.

E) mltiplo de 3.

Texto para as questes 20 e 21

O Programa Nacional do Livro Didtico e o

Programa Nacional do Livro Didtico para o Ensino

Mdio so realizados pela ECT em parceria com o Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educao.

A operao consiste na entrega, todos os anos, de

100 milhes de livros didticos a escolas pblicas de

ensino fundamental e mdio de todo o Brasil, volume equivalente metade de toda a produo grfica do

Brasil. Para a distribuio desses livros so realizadas

viagens de carretas das editoras para os centros de

tratamento da empresa instalados em pontos estratgicos

do pas. Nessas unidades, as encomendas so tratadas e,

depois, entregues nas escolas. Internet: (com adaptaes).

QUESTO 22

20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e

13% dos livros didticos sejam 7/40 distribudos,

respectivamente, para as regies Nordeste e Norte,

ento a quantidade, em milhes, de livros didticos

destinada a essas duas regies pelos programas

mencionados no texto

A) superior a 15 e inferior a 25.

B) superior a 25 e inferior a 35. C) superior a 35 e inferior a 45.

D) superior a 45.

E) inferior a 15.

21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3

carretas faam, repetidamente, viagem de ida e

volta entre determinada editora e um centro de

tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,

respectivamente, e, ao completar um percurso de

ida e volta, elas retomem imediatamente esse

percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem

simultaneamente da editora, ento elas voltaro a partir juntas novamente dessa editora aps

A) 45 dias.

B) 60 dias.

C) 10 dias.

D) 15 dias.

E) 30 dias.

22) (FCC - 2010 - TRT - 12 Regio (SC) - Tcnico

Judicirio - rea Administrativa) Sistematicamente, dois funcionrios de uma

empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados,

domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010

ambos cumpriram horas-extras, uma outra provvel

coincidncia de horrios das suas horas-extras

ocorrer em

a) 9 de dezembro de 2010.

b) 15 de dezembro de 2010.

c) 14 de janeiro de 2011.

d) 12 de fevereiro de 2011.


18


e) 12 de maro 2011.

23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria Pblica) Duas polias conectadas por uma correia

tm comprimentos de 12 cm e 22 cm.

O menor nmero de voltas completas que a polia

menor deve dar para que a polia maior d um

nmero inteiro de voltas a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) Um agente administrativo foi incumbido de tirar

cpias das 255 pginas de um texto. Para tal ele s

dispe de uma impressora que apresenta o seguinte

defeito: apenas nas pginas de nmeros 8, 16, 24,

32, ... (mltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as pginas do

texto aparecem destaques na cor vermelha, ento,

ao tirar uma nica cpia do texto, o nmero de

pginas que sero impressas sem essa falha

a) 226

b) 225

c) 224

d) 223

e) 222

25) (FCC - 2004 - TRT - 22 Regio (PI) - Tcnico Judicirio) Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a

um mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias e

Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004

ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel

encontro dos dois nesse restaurante ocorrer em

a) 9 de dezembro de 2004.

b) 10 de dezembro de 2004.

c) 8 de janeiro de 2005.

d) 9 de janeiro de 2005.

e) 10 de janeiro de 2005.

26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Tcnico Judicirio - rea Administrativa) Um mdico receitou dois

remdios a um paciente: um para ser tomado a cada

12 horas e outro a cada 15 horas. Se s 14 horas do

dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os

remdios, ele voltou a tom-los juntos novamente

s

a) 17 horas do dia 11/10/2000.

b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.

d) 2 horas do dia 13/10/2000.

e) 6 horas do dia 13/10/2000.

27) Num reservatrio h duas torneiras, a primeira

enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porm

h um sifo que o esvazia em 12 horas.

Funcionando as torneiras e o sifo simultaneamente

em quanto tempo o reservatrio se encher?

a) 3h

b) 2h24min c) 5h

d) 1h30min

e) 2h30min

28) (TRT 24 REGIO 2011 - FCC) Todos os 72

funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional

do Trabalho de Mato Grosso do Sul devero ser

divididos em grupos, a fim de se submeterem a

exames mdicos de rotina. Sabe-se que: o nmero de funcionrios do sexo feminino igual

a 80% do nmero dos do sexo masculino; cada grupo dever ser composto por pessoas de um

mesmo sexo; todos os grupos devero ter o mesmo nmero de

funcionrios; o total de grupos deve ser o menor possvel; a equipe mdica responsvel pelos exames atender

a um nico grupo por dia.

Nessas condies, correto afirmar que:

A) no total, sero formados 10 grupos. B) cada grupo formado ser composto de 6

funcionrios. C) sero necessrios 9 dias para atender a todos os

grupos. D) para atender aos grupos de funcionrios do sexo

feminino sero usados 5 dias. E) para atender aos grupos de funcionrios do sexo

masculino sero usados 6 dias.

29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm

e comprimento 200cm, um construtor pretende

colocar peas de mrmore quadradas do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peas que ele

pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortar

nenhuma pea :

A) 420

B) 500

C) 525

D) 575

E) 600

30) Sejam os nmeros A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O

MDC e o MMC entre A e B valem,

respectivamente: A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52

B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5


19


C) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 D) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5

E) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52

31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os

valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, so:

A) a = 2 e b = 3.

B) a = 3 e b = 1.

C) a = 0 e b = 2.

D) a = 3 e b = 2.

E) a = 2 e b = 2.

32) Se p e q so nmeros naturais distintos e primos,

ento o MDC(p, q) + MMC(p, q) igual a:

A) p + q

B) pq

C) pq + 1

D) 2

E) nda

33) O mximo divisor comum dos nmeros 36, 48, 72,

:

A) 36 B) 48

C) 72

D) 144

E) 12

34) Considerando os nmeros 68 e 36, responda V para

verdadeiro e F para falso:

A) que 4 o mximo divisor comum de 36 e 68.

B) que 17 o mximo divisor comum de 36 e 68.

C) que 4 o mnimo divisor comum de 36 e 68.

D) que 612 o mximo mltiplo comum de 36 e E.

E) que 2 o mnimo mltiplo comum de 36 e 68. F) que 0 um mltiplo comum de 36 e 68.

GABARITO:

1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A

8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D

15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B

22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C

29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV

EQUAES DO 1 GRAU

As equaes do primeiro grau so aquelas que

podem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em que a e b so constantes reais, com a diferente de 0, e x a

varivel. A resoluo desse tipo de equao

fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a

seguir.

Adicionando um mesmo nmero a ambos os membros de uma equao, ou subtraindo um mesmo

nmero de ambos os membros, a igualdade se mantm.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros de

uma equao por um mesmo nmero no-nulo, a

igualdade se mantm.

Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:

Seja a equao:

Seja a equao:

Seja a equao:

Membros de uma equao Numa equao a expresso situada esquerda da

igualdade chamada de 1 membro da equao, e a

expresso situada direita da igualdade, de 2 membro

da equao.

Exemplo:

- 3x + 12 = 2x - 9 1 membro 2 membro

Cada uma das parcelas que compem um membro de

uma equao chamada termo da equao.

4x 9 = 1 2x Termos:


20


Varivel (ou incgnita) de uma equao: Os elementos desconhecidos de uma equao so chamados de

variveis ou incgnitas.

Exemplos:

A equao x + 5 = 18 tem uma incgnita: x

A equao x 3 = y + 2 tem duas incgnitas: x e y A equao a 3b + c = 0 tem trs incgnitas: a, b e c

Cada um dos valores que, colocados no lugar da

incgnita, transforma a equao em uma sentena verdadeira chamado de raiz da equao. Para

verificarmos se um dado nmero ou no raiz de uma

equao, basta substituirmos a incgnita por esse nmero

e observarmos se a sentena obtida ou no verdadeira.

1 exemplo: verificar se trs raiz de 5x 3 = 2x + 6

2 exemplo: verificar se -2 raiz de x 3x = x 6

O princpio aditivo e o princpio multiplicativo servem

para facilitar o entendimento da soluo de uma equao,

mas para resolv-la existe um mtodo simples e prtico

que o seguinte:

Resolver a equao 5x 8 = 12 + x

Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam varivel, e no segundo membro os termos

que no apresentam varivel. Os termos que mudam de

membro tm os sinais trocados.

5x 8 = 12 + x 5x x = 12 + 8

Calculamos a somas algbricas de cada termo: 4.x = 20

Quando se passa de um membro para o outro se usa a

operao inversa, ou seja, o que est multiplicando passa

dividindo e o que est dividindo passa multiplicando. O que est adicionando passa subtraindo e o que est

subtraindo passa adicionando. O nmero 4 no primeiro

membro est multiplicando o x ento ele passar dividindo no segundo membro.

SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU

COM DUAS VARIVEIS

Um sistema de equaes com duas variveis, x e y,

um conjunto de equaes do tipo

ax + by = c (a, b, c R)

ou de equaes redutveis a esta forma.

Exemplo:

Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y

satisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmo

tempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o nico

par ordenado capaz de satisfazer s duas equaes

simultaneamente :

(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1

Resoluo algbrica

Dentre os vrios mtodos de resoluo algbrica

aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois:

mtodo da adio mtodo da substituio Para exemplific-los, resolveremos o sistema

seguinte pelos dois mtodos:

A) Mtodo da Adio

1 passo: Multiplicamos as equaes por nmeros

escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em

uma das variveis. No caso, poderemos multiplicar a

equao (I) por -2:


21


Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos.

2 passo: Somamos membro a membro as equaes

encontradas:

A varivel y foi cancelada restando apenas a

varivel x na ltima equao.

3 passo: Resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel:

-1x = -2

x = 2

4 passo: O valor da varivel encontrada substitudo

numa das equaes iniciais que contenha tambm a outra

varivel e, ento, resolvemos a equao resultante:

2x + y = 7

2(2) + y = 7

4 + y = 7

y = 7 -4 y = 3

5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

B) Mtodo da Substituio

1 passo: Isolamos uma das variveis em uma das

equaes dadas:

2 passo: a varivel isolada substituda na outra

equao e, ento, resolvemos a equao resultante que

tem somente uma varivel:

3x +2y = 12

3x + 2(7 - 2x) = 12 3x +14 - 4x = 12

3x 4x = 12- 14 -1x = -2

x = 2

3 passo: Levamos o valor encontrado para a equao

que tem a varivel isolada e calculamos o valor desta:

y = 7 -2x

y = 7 -2 (2)

y = 7 -4

y = 3

4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:

S = {(2; 3)}

QUESTES

01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua

criao 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que o

nmero de ps dos animais igual a 400,

CORRETO afirmar que o criador tem

A) 25 porcos.

B) 50 porcos.

C) 35 porcos.

D) 42 porcos.

E) 55 porcos.

02) (UPENET) Um copo cheio de gua pesa 325g. Se jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para

180g. O peso do copo vazio de

A) 20g

B) 25g

C) 35g

D) 40g

E) 45g

03) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA MUNICIPAL) Em um concurso pblico, numa

prova de 50 quesitos, um candidato obtm 110

pontos. Sabendo-se que em cada questo correta o candidato ganha 3 pontos, e a cada questo

incorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que o

nmero de questes que o candidato acertou

A) mpar.

B) divisvel por 5.

C) mltiplo de 4.

D) divisvel por 9.

E) mltiplo de 7.

04) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL

OOLLIINNDDAA) Luis foi farmcia e anotou os preos dos remdios que pretendia levar. Chegando em

casa, deu o seguinte problema ao seu irmo:

- o preo do remdio A somado ao preo do remdio

B totalizou R$ 98,00;

- o preo do remdio B somado ao preo do remdio

C totalizou R$ 130,00;

- o preo do remdio C somado ao preo do remdio

A totalizou R$ 100,00.

Partindo desses dados, quanto qual a diferena de

preos entre os remdios C e A?

A) 14 B) 23

C) 32

D) 45

E) 56


22


05) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Numa corrida de aventura, as equipes so formadas

por trs atletas. completado 1/2 da trajetria

estabelecida para o ciclismo, passa o seu basto

para o segundo atleta que completar mais 1/4 do

total do percurso, quando foi advertido pelo seu

tcnico para que se poupasse, uma vez que o

terceiro atleta no poder finalizar os 1.500m de

natao, pois est contundido atleta) ter que

finalizar o restante desta prova. Nesse contexto,

conclui

A) 6.000m. B) 5.000m.

C) 4.500m.

D) 6.500m.

E) 5.500m.

06) (UPENET 2009 PMPE) A Polcia Militar de Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo

que uma parte utiliza como combustvel gasolina, e

o restante, bicombustvel, que funciona com lcool

e gasolina. O novo comandante determinou que,

neste total de 1500 carros, 80% dos carros a gasolina e 60% dos bicombustveis sofressem uma

converso para tambm funcionar a gs. Sabendo-

se que, aps a converso, 840 do total de carros

passaram a utilizar dois e somente dois tipos de

combustvel, CORRETO afirmar que o nmero de

carros que permaneceram consumindo somente

gasolina igual a

A) 600

B) 200

C) 120

D) 400

E) 500

07) (UPENET 2009 PMPE) Resolvendo o sistema abaixo, CORRETO afirmar que 2xy igual a

A) 12

B) 24

C) 16

D) 20

E) 18

08) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL

OOLLIINNDDAA) Mateus quer fazer uma viagem a p de

630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia,

andar 4 dias a menos para realizar a viagem.

Sendo d o nmero de dias gastos para fazer a viagem e k o nmero de km que caminhou por dia, possvel dizer que k - d igual a

A) 16

B) 17 C) 18

D) 19

E) 20

09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, os

empregados tm direito a descanso remunerado de

um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado

ano, os dias trabalhados e os dias de descanso

somaram 224 dias. Com base nessa situao,

correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias

de descanso desses empregados foi A) superior a 16 e inferior a 20.

B) superior a 20 e inferior a 24.

C) superior a 24.

D) inferior a 12.

E) superior a 12 e inferior a 16.

10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-se

que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de

encomenda do tipo flex correios custem, ao todo,

R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex

correios custem, ao todo, R$ 28,00, correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa

A) R$ 2,40.

B) R$ 3,15.

C) R$ 3,20.

D) R$ 1,20.

E) R$ 2,00.

Em um escritrio, a despesa mensal com os salrios

dos 10 empregados de R$ 7.600,00. Nesse

escritrio, alguns empregados recebem,

individualmente, R$ 600,00 de salrio mensal e os

outros, R$ 1.000,00. QUESTO 32

11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a

crescente demanda de servios, o escritrio triplicar

a quantidade de empregados com salrio de R$

600,00 e duplicar a quantidade de empregados com

salrio de R$ 1.000,00, ento a despesa desse

escritrio com os salrios de seus empregados

passar a ser de

A) R$ 18.800,00.

B) R$ 18.000,00.

C) R$ 18.200,00. D) R$ 18.400,00.

E) R$ 18.600,00.

12) (TRT 24 Regio 2011 MS FCC) Do total de pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal

Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de

certa semana, sabe-se que:

1/5 o fizeram na tera-feira e 1/6 na sexta-feira.

Considerando que o nmero de visitantes da

segunda-feira correspondia a 3/4 do de tera-feira e

que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada

uma, 58 pessoas, ento o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana

um nmero


23


A) divisvel por 48. B) maior que 250.

C) menor que 150.

D) mltiplo de 7.

E) quadrado perfeito.

GABARITO:

1-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D

8-B 9-E 10-A 11-A 12-A

RAZES E PROPORES

Chama-se razo de dois nmeros, dados numa

certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao

quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razo

entre os nmeros a e b pode ser dita razo de a para b e representada como:

b

a ou a : b

Onde a chamado antecedente enquanto b chamado

conseqente da razo dada. Ao representar uma razo

freqentemente simplificamos os seus termos

procurando, sempre que possvel, torn-los inteiros.

Exemplos: A razo entre 3 e 0,75 :

1443

43

4

3

3

75,0

3para

A razo entre e

5

2

6

1

:

12512

5

2

5

6

1

5

2

6

1

para

Proporo: a expresso que indica uma igualdade

entre duas ou mais razes. A proporo d

c

b

a

pode ser

lida como a est para b assim como c est para d e representada como a : b : : c : d. Nesta proporo, os

nmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so os

meios.

OBS: Em toda proporo o produto dos extremos igual

ao produto dos meios.

Quarta proporcional de trs nmeros dados, a, b e c

nesta ordem, o nmero x que completa com os outros

trs uma proporo tal que:

x

c

b

a

Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos

nmeros 3,5 e 15 nesta ordem.

Soluo:

.253

757531553

15

5

3xxxx

x

Proporo contnua aquela que tem meios iguais.

Exemplo:

A proporo 45

15

15

5

contnua, ela tem seus meios iguais a 15.

Numa proporo contnua temos: O valor comum dos

meios chamado mdia proporcional (ou mdia geomtrica) dos extremos.

Ex.: 8 a mdia proporcional entre 4 e 16, pois 16

8

8

4

O ltimo termo chamado terceira proporcional.

Ex.: 7 a terceira proporcional dos nmeros 28 e 14, pois

714

14

28

.

Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs ou

mais razes.

Exemplo:

f

e

d

c

b

a

Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1.

Exemplo:

114

22

11

7

,

ento dizemos que 7 est para 11 na razo inversa de 22 para 14.

Quando duas razes so inversas, qualquer uma delas forma uma proporo com o inverso da outra.

Exemplo:

14

22

11

7e

so razes inversas.

Ento, 11

7

faz proporo com 22

14

(que o inverso de 14

22

)


24


Propriedades das propores

Considere as propores:

1 propriedade: Numa proporo, a soma dos dois

primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim

como a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

e

2 propriedade: Numa proporo, a diferena dos dois

primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim

como a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

e

3 propriedade: Numa proporo, a soma dos

antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim

como cada antecedente est para o seu conseqente.

4 propriedade: Numa proporo, a diferena dos

antecedentes est para a diferena dos conseqentes,

assim como cada antecedente est para o seu

conseqente.

5 propriedade: Numa proporo, o produto dos

antecedentes est para o produto dos conseqentes,

assim como o quadrado de cada antecedente est para

quadrado do seu conseqente.

DIVISO PROPORCIONAL

Grandezas diretamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),

dizemos que estes valores so diretamente

proporcionais aos correspondentes valores da sucesso

(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razes entre

cada valor de uma das sucesses e o valor

correspondente da outra.

so todas iguais, sendo igual a o fator de

proporcionalidade da primeira para a segunda.

Como se pode observar, as sucesses de nmeros

diretamente proporcionais formam propores mltiplas (j vistas no captulo de razes e propores).

Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicas

estudadas no captulo sobre propores para resolver

problemas que envolvam grandezas diretamente

proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos

diferentes de zero, dizemos que estes valores so

inversamente proporcionais aos correspondentes valores

da sucesso (b1, b2, b3, b4, ...), todos tambm diferentes

de zero, quando forem iguais os produtos entre cada

valor de uma das sucesses e o valor correspondente da

outra.

Exemplo:

Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais

aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos

2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.

Relao entre proporo inversa e

proporo direta

Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentes

de zero. Se os nmeros de uma so inversamente

proporcionais aos nmeros da outra, ento os nmeros

de uma delas sero diretamente proporcionais aos

inversos dos nmeros da outra. Esta relao nos permite

trabalhar com sucesses de nmeros inversamente

proporcionais como se fossem diretamente

proporcionais.

Diviso em partes proporcionais

1 caso: Diviso em partes diretamente

proporcionais

Dividir um nmero N em partes diretamente

proporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrar

os nmeros A, B, C, ..., tais que:

A + B + C + ... = N


25


EXERCCIO RESOLVIDO

1. Dividir o nmero 72 em trs partes diretamente

proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:

A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72

Portanto:

3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6

valor de A 3p = 3 x 6 = 18

valor de B 4p = 4 x 6 = 24

valor de C 5p = 5 x 6 = 30

Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.

2 caso: Diviso em partes inversamente

proporcionais

Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significa

encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:

a x A = b x B = c x C =... e

A + B + C + ... = N

2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais

aos nmeros 3, 4 e 12. Usando a relao entre

proporo inversa e proporo direta, podemos

afirmar que as partes procuradas sero diretamente

proporcionais a

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador,

teremos:

Desprezar os denominadores (iguais) manter as

propores e ainda simplificar nossos clculos. Ento,

poderemos dividir 72 em partes diretamente

proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,

B e C as trs partes procuradas, teremos:

A = 4p, B = 3p, C = 1p

A + B + C = 72

Logo, 4p + 3p + 1p = 72

Da, 8p = 72

p = 72/8

p = 9

Assim, conclumos que:

A = 4p A = 4 x 9 = 36

B = 3p B = 3 x 9 = 27 e

C = 1p C = 1 x 9 = 9

Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9.

3 caso: Diviso composta direta

Chamamos de diviso composta direta diviso de

um nmero em partes que devem ser diretamente

proporcionais a duas ou mais sucesses de nmeros

dados, cada uma. Para efetuarmos a diviso composta

direta, devemos:

1) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser o

produto dos valores correspondentes das sucesses

dadas;

2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamente

proporcionais aos valores da nova sucesso

encontrada.

3. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser

diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e

tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4,

3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:

A ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p B ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9p C ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p

A + B + C = 270 8p + 9p + 10p = 270 27p = 270 p = 10

A = 8p = 8 x 10 = 80

B = 9p = 9 x 10 = 90 C= 10p = 10 x 10 = 100

Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100.

QUESTES

01) Assinale a opo cujos nmeros sejam diretamente

proporcionais a 2, 3 e 7.

a) 3, 4 e 8.

b) 4, 9 e 49.

c) 6, 9 e 21.

d) 22, 23 e 27.

e) 22, 32 e 72.

02) Assinale a opo cujos nmeros sejam

inversamente proporcionais a 2, 3 e 7.


26


a) 7, 3 e 2. b) 1/7, 1/3 e 1/2.

c) 0,2 , 0,3 e 0,7

d) 6, 14 e 21.

e) 21, 14 e 6.

03) A diviso do nmero de vereadores de determinada

cidade proporcional ao nmero de votos que cada

partido recebe. Na ltima eleio nesta cidade,

concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que

receberam a seguinte votao: A teve 10.000 votos,

B teve 20.000 e C, 40.000. Se o nmero de vereadores dessa cidade 21, quantos deles so do

partido B?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

04) Os nmeros X e Y encontram-se na razo de 5 para

7. Ento, se o valor de X 60 o valor de Y :

a) 84 b) 80

c) 70

d) 65

e) 35

05) Se Y diferente de zero, e se X/Y = 4 , ento a

razo de 2X Y para X, em termos percentuais, igual a:

1) 75%.

2) 25%.

3) 57%.

4) 175%. 5) 200%.

06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio - rea Administrativa) Um total de 141

documentos devem ser catalogados por trs

tcnicos judicirios. Para cumprir a tarefa,

dividiram os documentos entre si, em partes

inversamente proporcionais s suas respectivas

idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condies, o

nmero de documentos que coube ao mais jovem

foi a) 78

b) 63

c) 57

d) 42

e) 36

O enunciado abaixo refere-se s questes 07 e 08.

Na tabela abaixo tm-se as idades e os tempos de

servio de trs soldados na corporao, que devem

dividir entre si um certo nmero de fichas

cadastrais para verificao.

Soldado Idade Tempo servio

Abel 20 3

Daniel 24 4

Manoel 30 5

07) Se o nmero de fichas for 518 e a diviso for feita em partes diretamente proporcionais s suas

respectivas idades, o nmero de fichas que caber a

Abel :

a) 140

b) 148

c) 154

d) 182

e) 210

08) Se o nmero de fichas for 504 e a diviso for feita

em partes diretamente proporcionais s suas

respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio na

corporao, o nmero de fichas que caber a:

a) Daniel 180.

b) Manoel 176

c) Daniel 170

d) Manoel 160

e) Daniel 162.

09) s 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque

continha 9.050 litros de gua. Entretanto, um furo

em sua base fez com que a gua escoasse em vazo constante e, ento s 18 horas do mesmo dia

restavam apenas 8.850 litros de gua em seu

interior. Considerando que o furo no foi

concertado e no foi colocada gua dentro do

tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente

vazio s:

A) 12 horas de 02/06/2007.

B) 10 horas de 02/06/2007.

C) 12 horas de 29/05/2007.

D) 10 horas de 29/05/2007.

GABARITO:

1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A

8-E 9-A

REGRA DE TRS SIMPLES

Regra de trs simples um processo prtico para

resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto,

determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da

mesma espcie em colunas e mantendo na mesma


27


linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou

inversamente proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplo:

1) Com uma rea de absoro de raios solares de

1,2m2, uma lancha com motor movido a energia

solar consegue produzir 400 watts por hora de

energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia produzida?

Soluo: montando a tabela:

rea (m2)

Energia

(Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificao do tipo de relao:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na

coluna que contm o x (2 coluna).

Observe que: Aumentando a rea de absoro, a

energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando -

aumenta), podemos afirmar que as grandezas so

diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos

uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1

coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao

temos:

Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

QUESTES

01) Quatro ces consomem semanalmente 60 kg de

rao. Assim, ao aumentarmos o nmero de ces

em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o ms de 30 dias, ser de:

A) 350

B) 400

C) 450

D) 500

E) 550

02) (CESGRANRIO) Alm da destruio causada pela

lava incandescente, uma erupo vulcnica

provoca, tambm, um grande acmulo de cinzas na

regio atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de cinzas, cobrindo uma rea de 100m2, 8 toneladas.

Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe

uma rea de 200m2 ter uma espessura de quantos

centmetros?

A) 1,6

B) 2,0

C) 3,2

D) 3,6

E) 4,0

03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motos de baixa cilindrada) caram no gosto dos brasileiros

e ganharam as ruas. Isto porque, alm de serem

mais baratas do que um carro popular, so muito

econmicas. Enquanto um carro popular percorre,

em mdia, 15 km com um litro de gasolina, a mdia

de uma motoneta de 40 km por litro.

Considerando-se as mdias apresentadas, que

distncia, em km, um carro popular conseguiria

percorrer com a mesma quantidade de gasolina

necessria para que uma motoneta percorresse 600

km?

A) 120 B) 150

C) 225

D) 300

E) 375

04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de

energia eltrica, uma empresa instalou dois painis

solares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as reas dos

dois painis so diretamente proporcionais a 3 e a 1,

qual a diferena, em m2, entre essas reas?

A) 140 B) 210

C) 280

D) 300

E) 320

05) (CESGRANRIO) Para assistir televiso com

conforto, o telespectador deve estar a certa distncia

da TV. A distncia ideal entre o telespectador e a

TV diretamente proporcional medida da tela. Se,

para uma TV de 20 polegadas, a distncia ideal de

1,5 m, pode-se concluir que a distncia ideal, em

metros, entre o telespectador e uma TV de 32 polegadas de:

A) 1,8


28


B) 2,2 C) 2,4

D) 2,8

E) 3,0

06) (CESGRANRIO) E se todos os carros do mundo fossem movidos a lcool? (...) A implantao de um

programa de lcool to ambicioso precisaria ser

impecvel. (...) Um especialista em agronegcio fez

as contas: para abastecer a atual frota, estimada em

800 milhes de automveis, seriam necessrios 2,5

trilhes de litros anuais de lcool produzidos em 400 milhes de hectares de canaviais. Isto equivale

a cerca de um tero de toda a rea cultivada do

planeta. Revista Superinteressante, maio de 2006. (adapt

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Matemática e Raciocínio Lógico