ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

Matemática 10º ANO

Novembro 2004

Ficha de Trabalho nº 4 - Conjuntos de pontos e condições. Distância entre dois pontos. Mediatriz de um segmento de recta. Circunferência e circulo. Elipse. 1 – Represente geometricamente:

a) a recta horizontal que contém o ponto de ordenada -2. b) A recta vertical de abcissa 2. c) A bissectriz dos quadrantes pares. d) A recta xy = . e) As coordenadas de um ponto P′ simétrico de em relação: )4;3(P

♦ - ao eixo dos xx . ♦ - ao eixo dos yy. ♦ - à origem do referencial. ♦ - à bissectriz dos quadrantes ímpares. ♦ - à recta 2=y . ♦ - à recta 1−=x .

2 – Indique, em , uma condição que defina o conjunto de pontos a sombreado. 2ℜ

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a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

3 – Represente geometricamente o conjunto de pontos do plano que correspondem às condições:

1 2 a) ≤∧≥ yx 1 2 b) <∨≥ yx 12 3x0 c) ≤≤−∨<≤ y xy ≤≤0 d))

( ) ( 0 0 0 0 e) ≤∧≤∨≥∧≥ yxyx 50 f) xyx =∧<< ( ) ( )042 g) ≥∧≤∨−=∧= yxyyx 2)12( h) −=∨≤∧<∧≥ yxyxy ( ) ( 21011 i) ≤<−∧ )=∨>∧= yxyx

4 – Num referencial cartesiano considere a recta r de equação 3=y .

a) Indique as coordenadas de dois pontos da recta e represente-a geometricamente. b) Dado o ponto , indique a equação da recta : )4;3(A • paralela à recta r e que passa por A; • perpendicular à recta r e que passa por A. c) Averigúe se o ponto pertence ao semiplano . )5;2(P 3>yd) Dado o ponto determine b de modo que ,),2;3( 2 ℜ∈− bbbB rB∈ .

5 - Considere o triângulo [ ]ABC em que )0;5( e )5;0( , )3;1( −CBA .

a) Calcule : - a distância entre os pontos BA e - ACBC e - o perímetro do triângulo.

b) Classifique o triângulo quanto aos lados. c) Averigúe se o triângulo é rectângulo. d) Determine o ponto médio do segmento [ ]BC . e) Escreva uma equação da mediatriz de [ ]AB

6 – Mostre que o triângulo [ é rectângulo e isósceles sendo ]MAR )3;4();1;4();5;2( RAM −−− . 7 – Determine a equação da mediatriz do segmento [ ]AB , sendo : a) )2;4( e )3;1( −− BA b) )8;2( e )4;2( BA 8 – Determine as coordenadas do ponto sabendo que M é o ponto médio de e que: A [AB] a) )3;6( e )5;3( MB b) )1;2( e )0;0( −MB

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9 – Determine:

a) Os pontos do eixo dos xx que distam 5 unidades do ponto de coordenadas )3;1( .

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]b) As coordenadas do ponto do eixo Ox que dista igualmente dos pontos )4;5( e )1;1( .c) As coordenadas do ponto do eixo Oy que pertence à mediatriz de sendo

. [AB

)2;4( e )4;3( −− BAd) Os pontos da recta de equação 4−=y que distam 8 unidades do ponto . )2;2(−Ae) As coordenadas dos pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares cuja distância ao ponto

é 4 unidades. )6;2( 10 – Defina por uma condição o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 3 unidades da recta de equação . 2−=x 11 – Verifique que os pontos )7;11( e )14;4(),10;6( −−−− PNM pertencem a uma circunferência de centro e determine o raio da circunferência. )2;1( −C 12 – Escreva a equação da circunferência com:

a) centro em e raio 5. )3;1( b) centro em e raio )0;0( 33 c) centro em )2;3( − e raio 22 d) centro em (1;2) e contém o ponto )0;3( e) centro em e contém o ponto )5;4( −− )0;2(− f) centro em e passa na origem )6;5(g) centro em e é tangente ao eixo das abcissas.

)1;6( −− h) centro em )4;2( − e é tangente ao eixo das ordenadas.

i) extremos de um diâmetro. )4;10( e )1;2( −− QP 13 – Averigúe se as condições representam equações de circunferências e em caso afirmativo indique o seu centro e raio:

9)3()1( ) 22 −=−+− yxa 22 3 ) yxb −= 43)2()3( ) 22 =−++ yxc

02)2( ) 22 =−+− yxd 02 ) 22 =++ xyxe 0142 ) 22 =+−++ yxyxf024 ) 22 =−−+ xyxg 404822 ) 22 =+−+ yxyxh 1026 ) 22 −−−=− yyxxi

14 – Uma circunferência de equação foi deslocada 2 unidades para a esquerda e, em seguida, 3 unidades para cima.

2522 =+ yx

Escreva a equação da circunferência obtida. 15 – Considere a expressão . Determine de modo que a expressão represente :

5212822 −=−++ ayxyx a

a) uma circunferência b) um ponto; c) o conjunto vazio. 16 – Considere os pontos . )2;1( e )2;4( ; )0;3( CBA −

a) Escreva a equação da circunferência de centro em C e que contenha o ponto A. b) Averigúe se o ponto pertence ao círculo de centro C e que contém o ponto A. )1;0(c) Averigúe se o ponto )3;71( + pertence à circunferência de diâmetro [ ]. AB

17 – Considere a circunferência de equação . 16222 −=+−+ yxyx

a) Indique dois pontos da circunferência.

b) Determine a posição, relativamente à circunferência, dos pontos )41;1( e )6;1( −−− CB

c) Escreva equações das tangentes à circunferência paralelas aos eixos coordenados. d) Averigúe se a circunferência intersecta a bissectriz dos quadrantes ímpares.

18 – Determine a intersecção, com os eixos coordenados, da circunferência . 16)2()3( 22 =+++ yx Resolva o problema geométrica e algebricamente. 19 – Represente geometricamente as regiões do plano caracterizadas pelas condições:

a) 316)4()4( 22 ≥∧≤−+− yyx b) 54)4( 22 <∧≤+− xyxc) xyyx <∧≥+ 922

d) 121

21 22 ≤+∧<≤− yxx

e) 00422 =∧=−+ yxyx f) 259)3( 2222 ≥+∧≤−+ yxyxg) 259)3( 2222 ≤+∧≤−+ yxyx h) 259)3( 2222 =+∧=−+ yxyxi) 259)3( 2222 =+∨=−+ yxyx j) 041 22 ≥∧≤+≤ xyxk) 119 22 ≤≤−∧−≤ xyx

20 – Escreva condições que definem os conjuntos de pontos das figuras:

a)

b)

c)

d)

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21 – Determine a área sombreada da figura ao lado sabendo que Ox e Oy são eixos de simetria de rectângulo

inscrito na circunf[ ]ABCD erência e A tem as coordenadas

22 – Partindo da circunferência de equação

)3;2(−

11616

22

=+yx

encontre uma equação da figura geométrica que dela se obtém quando cada ponto );( yxM é transformado noutro );( yxM ′′′ em que yyxx 3 e =′=′ .

Terá havido alongamento ou achatamento? Ao longo de que eixo coordenado? Indique o comprimento dos eixos da elipse obtida.

3 – Represente geometricamente e indique os comprimentos dos eixos e as coordenadas dos vértices focos das elipses:

)

2e

a 194

22

=+yx b) 1

2549

22

=+yx

c) 14 22 =+ yx d)

a a equação da elip :

ento do eixo maior 8 unidades. pse.

d) Eixo maior vertical distância focal 24 e cujo comprimento do eixo menor é 10.

– Um ponto da elipse de equação 22 =+ yx ta 3 unidad de um d cos. Quanto d ta do

6 – Represente geometricamente o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos

27 – C (1F

3694 22 =+ yx

e) 10025 22 =+ yx f) 14 22 =+ yx g) 23 22 =+ yx h) 359 22 =+ yx 24 – Escrev se que tem

4

a) Centro em )0;3( e )0;2( , )0;0( VF comprimb) Focos de coordenadas )0;2(± e

c) Centro em )0;4( e )1;3( e )0;0( são pontos da eli

e) Centro na origem, eixo menor de comprimento 4 e contém o ponto )1;3( 25 outro ?

164 dis es os fo is

2

)0;3( e )0;3( −BA é 10.

onsidere uma elipse de focos )0;3( e )0;3 2F e tal que a maior distância e − ntre dois dos seus pontos é 8. Qual das afirmações é verdadeira?

A) A elipse intersecta o eixo dos yy nos pontos )4;0( e )4;0( − ;

B) Uma equação da elipse é: 122

=+yx ; 94

C) ponto )7;0( pertence à elipse; D) O comprimento do eixo menor é 14.

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28 – Caracterize p ção a região sombreada:

or uma condi

29 – Se uma elipse tem equação 12

2

2

2

=+by

ax então a sua área é ba π . Determine a área sombreada

da figura , limitada pela circunferência e a elipse.

F I M