MATEMÁTICA 8º ANOENSINO FUNDAMENTAL

PROF. CARLOS ALBERTO B. BASTOS

PROF. EMERSON MARÃO

PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

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Unidade IIILetras que representam números, uma nova forma de calcular!

CONTEÚDOS E HABILIDADES

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Aula 31.1ConteúdoRevisão e Avaliação

REVISÃO 1

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Expressões Algébricas – definição e aplicaçõesExpressões Algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.Por exemplo:

A expressão que representa a área de um retângulo:

Área = b • a

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A expressão algébrica que representa o perímetro desse retângulo é 2a + 2b.

REVISÃO 1

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As VariáveisSão essas letras que aparecem em uma expressão algébrica, e representam um valor desconhecido.Por exemplo:

1. A diferença entre o número x e o número 7;x — 7

2. A soma do número m com o triplo do número n;m — 3n

REVISÃO 1

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Escreva a expressão algébrica que traduz as seguintes sentenças do dia a dia.

a) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100.

b) A diferença entre 75 e o triplo de um número natural resulta em 30.

c) O triplo de um número subtraído de duas unidades é igual a esse número acrescido de dez unidades.

REVISÃO 1

8

Por exemplo:

Expressões algébricas

Valor numérico de uma expressão algébrica

Para x = 3, temos:x2 — 2x + 2 =32 — 2 • 3 + 2 =9 — 6 + 2 = +5

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Monômio – é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.

A parte numérica também é chamada de coeficiente.

parte numérica (número)

parte literal (letra)2x→

→

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O número zero é chamado de monômio nulo.

x = 1x → coeficiente é 1

–y = –1y → coeficiente é –1

REVISÃO 1

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Por exemplo:Monômio Coeficiente 2x 2

3ab 3

–5x2 –5

1 a2b2c 1 2 2Termos Semelhantes – são termos que possuem as partes literais (letras) iguais.

REVISÃO 1

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Adição ou subtração de Monômios– Adiciona ou subtrai monômios semelhantes3ab + ab = 4ab2x2 y + 3x2 y – x2 y = 4x2 y

Multiplicação de Monômios2x2 y • 5xy3 z = 2 • 5 • x2 + 1 y1 + 3 = 10x3 y4 z

Divisão de Monômio12x9 : 3x4 = 4x9 — 4 = 4x5

–30x4 y3 z : 5x2 y = –6x4 — 2 y3 — 1 z1 — 0 = –6x2 y2 z

REVISÃO 1

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PolinômioÉ uma expressão algébrica racional inteira.

Exemplos:

1 termo – monômio 2x2 y 2 termos – binômios 2x2 y + 3x 3 termos – trinômios 4x2 + 4x + 1 4 termos – polinômios x4 + x3 +x2 + x + 1

REVISÃO 1

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Polinômios – adição e subtraçãoSoma-se ou subtrai-se os termos semelhantes.

(4x2 + 3xy + y2) + (–3x2 + 4xy) + (x2 – y2) =

(4x2 – 3x2 + x2) + (3xy + 4xy) + (y2 – y2) =

= 2x2 + 7xy + 0z

REVISÃO 1

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Multiplicação de Polinômios

(5x + 1) • (3x – 5) = 15x2 – 22x – 5

(x2 – 3x + 5) • (x3 – 2x) = x5 – 3x4 + 3x3 + 6x2 – 10x

REVISÃO 1

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Divisão de PolinômiosColoca todos os termos em ordem decrescente.Completa os termos que não existem com zero, e efetua a divisão normalmente.

1° Caso: Divisão de Polinômio por Monômio(15x4 – 21x3 + 12x2) : (3x2) = 5x2 – 7x1 + 4

REVISÃO 2

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2° Caso: Divisão de Polinômio por Polinômio

(5x3 – 3x2 + 2x – 3) : (x – 1) =5x2 + 2x + 4 → quociente+ 1 → resto

(6x4 – 5x3 + 12x2 – 4x + 3) : (3x2 – x + 1) =(2x2 – x + 3) → quociente0 → resto

REVISÃO 1

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Produto Notável

Quadrado da soma de dois números(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrado da diferença entre dois números(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

REVISÃO 2

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Produto da soma pela diferença de dois números(a + b) • (a – b) = a2 – b2

Fatoração de PolinômiosFator Comum

ax + x = x • (a + b), onde x é o fator comum.10a + 5b = 5 • (2a + b), onde 5 é o fator comum.3x2 + 6xy = 3x • (1x + 2y), onde 3x é o fator comum.

REVISÃO 2

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Fator comum

REVISÃO 2

21

Vejamos outros exemplos...

4a – 8 = 4 • (a – 2)

ap + bp + cp = p • (a + b + c)

xyz + yz + z = z • (xy + y + 1)

REVISÃO 2

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Por Agrupamento

ax + bx + ay + by

x(a + b) + y(a + b)

(a + b) + (x + y)

REVISÃO 2

23

Outros exemplos:

Ex.: 1.

a2 + ab + ac + bc

a • (a + b) + c • (a + b)

(a + b) • (a + c)

REVISÃO 2

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Ex.: 2.

ab + a + b + 1

a • (b + 1) + (b + 1)

(b + 1) • (a + 1)

REVISÃO 2

25

Ex.: 3.

ab + an + bm + mn

a • (b + n) + m • (b + n)

(b + n) • (a + m)

REVISÃO 2

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Trinômio do quadrado perfeito

Produto Notável – desenvolve os termos do parêntesis...

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

REVISÃO 2

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Trinômio do Quadrado Perfeito – faz o processo inverso.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

REVISÃO 2

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PRODUTO NOTÁVEL QUADRADO DA SOMA

4x2 + 20xy + 25y2

(2 x + 5 y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2

√x2 = x

√4 = 2

4x2 25y2

√25 = 5

√ y2 = y

+ 2 • 2 • 5 • x • y +

REVISÃO 2

29

Trinômio do quadrado perfeito

REVISÃO 2

30

Diferença de dois quadrados(a2 — b2) = (a + b) • (a — b)

REVISÃO 2

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PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS

TERMOS (PRODUTO NOTÁVEL)

9x8 – 36y10

(3x4 + 6y5) • (3x4 – 6y5)

2√x8 = x2 = x4

2√9 = 38

9x8

3x4 6y5

36y10

2√y10 = y2 = y5

2√36 = 610

REVISÃO 2

32

Segundo o diagrama que elaboramos, o primeiro passo é calcular a raiz quadrada de 9x8 e de 36y10.

Em seguida, uma vez conhecidos os valores correspondentes às raízes, escrevemos as mesmas como forma de produto da soma pela diferença entre dois termos.

REVISÃO 2

33

Diferença entre o quadrado de dois termos

REVISÃO 2

34

a) (81x2 – 169y12) =

b)

c)

4 9

2564

425

x4

49a8

y12

b6

–

–

=

=

REVISÃO 2

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Frações Algébricas

3x4y

ab – 1

3a2 + 2 a

x2 – 4x + 5 2x + 4

; ; ; ;

REVISÃO 2

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Frações Algébricas: Operações1° Caso: Denominadores Iguais– Soma ou subtrai e repete o denominador.Por exemplo:

3xx + 1

3x2

x + 1

5xyx2 – y2

3xyx2 – y2

8xyx2 – y2

5xy + 3xy x2 – y2

3x2 + 3x x + 1

3x • (x + 1) x + 1

+

+ = =

= = = 3x.

REVISÃO 2

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2° Caso: Denominadores Diferentes– transforma no mesmo denominador e, depois, efetua a soma ou subtração.

Por exemplo:1x2

2a b

3b a

2x

2a • a + 3b • b ab

2a2 + 3b2

ab

1 + 2x – 3x2

x2+

x x

::

+ = =

– 3 =

REVISÃO 2

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Por exemplo:

3ax2by

3ax2by

1218

a2b b

xxy2

4ab9xy

4ab9xy

2a2

3y2

3 • 4 • a • a • b • x2 • 9 • b • x • y • y

•

•

• •=

=

= →

REVISÃO 2

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Divisão de frações algébricas

a3

b2

a3

b2

a2

b3

b3

a2• = ab=: