Matriz de Admitância e Cálculo de Redes

Joinville, 22 de Abril de 2013

Matriz de Admitância e Fatoração LU

Escopo dos Tópicos AbordadosMatriz de Admitância e Cálculo de Redes – Matriz de Admitância;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU;

2

Resolução das Equações NodaisResolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:– Consiste em fatorar a matriz Y barra em uma matriz triangular inferior L

(de Lower) e uma matriz triangular superior (Upper):

3

Resolução das Equações NodaisResolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:– A decomposição LU é obtida via eliminação de Gauss;– Tem como vantagem a propriedade que a decomposição de uma

matriz em matrizes triangulares superior e inferior é única. Assim, se Y barra não muda, não é necessário realizar a eliminação de Gauss novamente.

– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são

sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.

4

Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são

sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.

– Decomponha a matriz abaixo via fatoração LU:

5

=Y

Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são

sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.

6

Eliminação de Gauss da coluna 1: Formação das colunas 1 e 2 de L:

=Y

=)1(Y

Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são

sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.

7

Eliminação de Gauss da coluna 2: Formação da coluna 3 de L:

==UY )2(

=)1(Y

Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:

– A matriz Y barra é obtida decomposta em LU via eliminação de Gauss:

– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta:

– Em seguida a equação via substituição reversa:

8

Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:

– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta:

9

Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:– Em seguida a equação via substituição reversa:

10

Resolução das Equações NodaisDesta forma, havendo mudanças no vetor de injeção de correntes (geração) e não havendo mudanças estruturais no sistema (na matriz Ybarra) aproveitam-se os valores da decomposição LU:

– Resolvendo a equação via substituição direta:

– Em seguida a equação via substituição reversa:

11

Resolução das Equações NodaisResolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU:– Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4

incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a um sistema de uma equação e uma variável;

– A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da equação, que é substituída novamente no conjunto de equações a fim de se calcular o restante das incógnitas;

12

Resolução das Equações NodaisResolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU:– Iniciando pela eliminação de Gauss:

13

Resolução das Equações NodaisResolução via eliminação de Gauss para o exemplo:

Passo 1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô Y11:

14

Resolução das Equações NodaisResolução via eliminação de Gauss para o exemplo:

Passo 2) multipliquepor Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das

equações 2, 3 e 4:

15

(1)

(2)

(3)

(4)

(2’)

Resolução das Equações NodaisPasso 2) :

16

(1)

(2)

(3)

(4)

(2’)

(3’)

(4’)

Resolução das Equações NodaisReescrevendo em forma compacta:

De forma genérica:

17

(2’)

(3’)

(4’)

(1’)

Resolução das Equações NodaisApós o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis:Sistema original:

Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:

18

Resolução das Equações NodaisGraficamente, após o passo 1, o nó 1 foi eliminado, resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a referência:

19

Resolução das Equações NodaisRealizando eliminações sucessivas através das equações genéricas, elimina-se V2:

Resultando no sistema:

20

Resolução das Equações NodaisGraficamente, elimina-se V2:

Resultando no sistema:

21

Resolução das Equações NodaisProsseguindo com a eliminação, elimina-se V3:

Resultando no sistema onde se obtém V4:

22

Resolução das Equações NodaisPor substituição reversa, a partir do valor de V4, calcula-se V3, V2 e V1:

23

Resolução das Equações Nodais

Passos que devem ser realizados para a Solução das equações via fatoração LU:

24

Resolução das Equações NodaisAproveitando as colunas da eliminação de Gauss para a formação da matriz L da fatoração triangular LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz U

é dada pela última matriz da eliminação de Gauss:

– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.25

Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:Passo 1: coluna 1 de L é a coluna 1 da matriz do sistema original:

Matriz L extrutura completa: Obs - neste momento existe apenas a coluna 1 de L:

26

I

Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 2: coluna 2 de L é a coluna 2 da matriz obtida via eliminação do

Nó 1 via eliminação de Gauss:– Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:

– Coluna 2 da matriz L:

27

I

Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 3: coluna 3 de L é a coluna 3 da matriz obtida via eliminação do

nó 2 via eliminação de Gauss:– Elimina-se V2:

– Coluna 3 da matriz L:

28

I

Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 4: coluna 4 é a coluna 4 da matriz obtida via eliminação do nó 3

via eliminação de Gauss:– Elimina-se V3:

– Coluna 4 da matriz L:

29

I

Resolução das Equações NodaisPasso 5: matrizes U e L estão formadas e prontas para serem utilizadas na solução do sistema:

– Matriz L:

30

I

'1'

2'

3'

4

VVVV

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Resolução das Equações NodaisRelembrando: de posse das matrizes L e U encontra-s a solução do sistema ( YbarraV=I) via substituição direta e reversa

– Resolvendo a equação via substituição direta:

– Em seguida a equação via substituição reversa:

31

YbarraV=I

Resolução das Equações NodaisA partir das matrizes L e U, pode-se alterar o vetor de injeção de correntes e solucionar diversos casos:– Resolvendo a equação via substituição direta a partir da matriz L:

– Em seguida, a equação via substituição reversa:

32

I

Resolução das Equações NodaisResolvendo a equação via substituição reversa a partir da matriz U:

33

'V

Resolução das Equações NodaisExemplo de solução a partir da fatoração LU:– Escolha de qualquer vetor de corrente – emulando um redespacho de

geração elétrica:– Uso da Matriz L para solução via substituição direta:

34

Resolução das Equações NodaisExemplo de solução a partir das fatoração LU:– Uso da Matriz U para solução via substituição reversa:

35