MECÂNICA DOS SÓLIDOS (CINEMÁTICA) – ENSINO MÉDIO

3

VELOCIDADE

(módulo)

ACELERAÇÃO CONSTANTE

(a = constante)

VARIÁVEL

(v = variável)

TRAJETÓRIA RETILÍNEA

4

TIPO DE

MRUV v ∆S

PROGRESSIVO

(+) (+)

RETRÓGRADO

(-) (-)

CRITÉRIO: Quanto ao sentido do MRUV

5

CRITÉRIO: Quanto a variação de velocidade do MUV

TIPO DE

MUV

V

(velocidade)

a

(aceleração)

VELOCIDADE

ACELERADO

(+) (+) AUMENTA

(-) (-) RETARDADO

(+) (-) DIMINUI

(-) (+)

6

NOME DA

EQUAÇÃO

EQUAÇÃO OBSERVAÇÃO

EQUAÇÃO DA

ACELERAÇÃO

Permite calcular a

aceleração.

EQUAÇÃO

HORÁRIA DAS

VELOCIDADES

Permite calcular a

velocidade em função

do tempo.

EQUAÇÃO

HORÁRIA DOS

ESPAÇOS

Permite calcular a

posição em função do

tempo.

EQUAÇÃO DE

TORRICELLI

Permite calcular a

velocidade em função

do espaço.

tv

a

tavv .0

200 2

ta

tvSS

Savv 220

2

7

EQUAÇÃO DA ACELERAÇÃO

tv

a

0

0

ttvv

a

8

EQUAÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES

tv

a

tavv .0

0

0

ttvv

a

00

t

vva

00 t

tvv

a 00 t. vva

v = velocidade (m/s)

v0 = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s²)

t = tempo (s)

9

EQUAÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS

t

v

v0 = b

v = B

h = t

gráficoAs

hbB

Agráfico .2

)(

hbB

S .2

)(

th

B

0 v b

v

tvv

S .2

)( 0

10

tavv .0

tvv

S .2

)( 0 t

vatvSS .

2)( 00

0

0SSS e:

tatv

SS .2

)2( 00

2)2( 2

00

attvSS

222 2

00

attvSS

200 2

ta

tvSS

200 2

ta

tvSS

S = posição (m)

S0 = posição inicial (m)

v0 = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s²)

t = tempo (s)

11

EQUAÇÃO DE TORRICELLI

tavv .02

02 ).( tavv

220

20

2 ....2 tatavvv

).2

(2 20

20

2 ta

tvavv

12

).2

(2 20

20

2 ta

tvavv

200 2

ta

tvSS 200 2

ta

tvSS

Sta

tv 20 2

0SSS

Savv 220

2

20 2

ta

tvS

13

Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em

Faenza, perto de Modigliana, que então integrava os Estados

Pontifícios. Formou-se no colégio jesuíta de sua cidade e, na

Universidade de Roma, foi aluno de Bonaventura Cavalieri. Em

1641 escreveu um tratado sobre mecânica, De motu gravium

naturaliter descendentium et proiectorum (Sobre o movimento

dos corpos pesados naturalmente descendentes e projetados),

brilhante comentário ao terceiro diálogo dos discursos de

Galileu. No mesmo ano, foi convidado a radicar-se em Florença

para trabalhar como secretário e assistente de Galileu, função

que exerceu por apenas três meses devido à morte do

astrônomo.

Foi então nomeado para substituir o mestre como matemático

do grão-duque da Toscana e professor de matemática da

academia florentina. Retomando uma idéia de Galileu, Torricelli

realizou experimentos com um tubo parcialmente cheio de

mercúrio, no interior do qual conseguiu, pela primeira vez, fazer

vácuo. Depois de várias experiências, concluiu que as variações

na altura da coluna de mercúrio eram causadas por mudanças

na pressão atmosférica. Estava inventado o barômetro de

mercúrio, que a princípio chamou-se "tubo de Torricelli".

Ocupado com a matemática, especialmente com o estudo da

ciclóide, Torricelli nunca publicou suas experiências físicas. Na

obra Opera geométrica (1644), no entanto, incluiu as

descobertas sobre o movimento dos fluidos e a trajetória dos

projéteis. Torricelli morreu em Florença, em 25 de outubro de 1647.

Entre suas contribuições

mais importantes para a

física, Torricelli inventou o

barômetro, aperfeiçoou o

telescópio e construiu um

tipo rudimentar de

microscópio. Em

matemática, entre outras

descobertas, enunciou o

teorema que permite

determinar o centro de

gravidade de qualquer figura

geométrica por meio da relação de duas integrais.

GRÁFICO DE ACELERAÇÃO (a) VERSUS TEMPO (t)

v

t t1

0

0aa

t

0

t2

t1 t2 t3

t3

a

0a

)(a

)(a

14

15

t t1

a

0

t2 t3

a

{ {

ah

tb

hbAgráfico

.taAgráfico .

tavtv

a

.

gráficoAv

16

GRÁFICOS DE VELOCIDADE (v) VERSUS TEMPO

(t)

t

t1

v

0 t2

v1

v2

tvϴ

0vb

tavv .0

{ xmby .

atv

tgm

0vb am

17

t

v

v0 = 0

tav .

t

v v0

tavv .0

0

MÓVEL PARTIU DO

REPOUSO

18

GRÁFICOS DE ESPAÇO (s) VERSUS TEMPO (t)

200 2

ta

tvss

20 BxAxyy

{

t

s

t

s 0a

0a

19

t

s 0a

t1 t2 t3

{ { MÓVEL EM

REPOUSO

(v = 0)

20

t

s 0a

t1 t2 t3

{ { MÓVEL EM

REPOUSO

(v = 0)

21

A partir dos gráficos (unidades SI) abaixo representados de um

móvel em MUV, determine:

a) Os valores da velocidade inicial, posição inicial e da aceleração

do móvel.

b) As equações horárias de velocidade e de espaço.

c) A velocidade, a posição, deslocamento escalar e o tipo de MUV

no instante 10 segundos.

GRÁFICO (1) GRÁFICO (2) GRÁFICO (3)

22

00 s

2/2 sma

tv

a

smvst

vt

/105

00 00

00 v

móvel partiu da origem

dos espaços.

móvel partiu do repouso.

ssm

a5

/)010(

2/2 sma

23

200 2

ta

tvss

2º-

tavv .0

2

00

a

vtv .20 tv .2

2

0

0

0

0

a

v

s

2

22

00 tts

2ts (SI)

(SI)

24

1º- c)

tv .2 10.2v smv /20

2º-

2ts 2)10(s ms 100

3º-

0sss 0100s

ms 100

25

4º-

smv /202/2 sma

{ Movimento progressivo, pois:

v(+).

Movimento acelerado, pois, a

velocidade e a aceleração

apresentam o mesmo sinal.

O móvel afasta-se da

origem dos espaços

aumentando

progressivamente sua

velocidade.

26

27

Um móvel em MRUV parte a 100m da origem

com velocidade de 40 m/s e (5s) depois sal

velocidade é igual a (30m/s). Determine:

a) A aceleração.

b) As equações horárias de velocidade e dos

espaços.

c) A velocidade, posição, deslocamento

escalar e o tipo de MUV no instante 10 s.

d) O instante em que o móvel entra em

repouso e a respectiva distância da origem.

e) Faça um esboço dos gráficos do

movimento.

28

Um caminhão em MRUV parte a 50 m da

origem e apresenta os seguintes gráficos.

Determine a velocidade, a posição, o

deslocamento escalar e o tipo de MRUV no

instante (8s).

a

(m/s²)

t (s)

5

t (s)

v

(m/s)

10

29

A posição de uma partícula que se move ao

longo do eixo (x) é dada pela equação abaixo

transcrita. Qual a velocidade da partícula no

instante 3,5 s?

)(5,220200 2 SIttx

30

Um pequeno barco navega em uma baía sem

correntezas segundo um MRUV e

apresentando o gráfico de (S) versus (t)

abaixo representado, obtenha o valor da

aceleração do móvel.

31

Um trem de metrô parte de uma estação com

aceleração uniforme até atingir, após (10s) a

velocidade de (90 km/h), a qual é mantida por

(30 s), para então desacelerar uniformemente

durante (10 s) até parar na estação seguinte.

a) Represente graficamente a velocidade em

função do tempo.

b) Calcule a distância entre as duas estações.

c) Calcule a velocidade média do trem nesse

percurso.

32

Dois automóveis partem no mesmo instante de uma

cidade (A) para outra (B). O primeiro parte com

velocidade constante de 48 km/h e o segundo parte

do repouso com aceleração de 30 km/h² . Sabendo

que o segundo automóvel chegou uma hora antes, na

frente do primeiro. Qual a distância entre as cidades

(A) e (B)?

a) 240 km.

b) 120 km.

c) 80 km.

d) 40 km.

e) n.d.a.

33

Numa linha de metrô, duas estações distam 300

metros, uma da outra. O trem do metrô atinge no

máximo uma velocidade de 20 m/s, sua aceleração e

desaceleração são de módulo igual a 5 . Qual será o

menor intervalo de tempo para que o trem percorra a

distância entre as estações (A) e (B)?

a) 40s

b) 30s

c) 19 s

d) 20 s

e) n.d.a.

34

Um trem movendo-se com velocidade de 72 km/h é freado até o

repouso com desaceleração constante. Esse movimento

retardado desenvolve-se em (1/6) de minuto. Qual o módulo da

taxa de desaceleração?

a) 5 m/s²

b) 4 m/s

c) 3m/s²

d) 2 m/s

e) n.d.a.

35