Universidade de Coimbra Faculdade de Ciências e Tecnologia

ENGENHARIA BIOMÉDICA

MODELOS COMPARTIMENTAIS

Bruno Miguel Leitão Mário João Bártolo JBart@portugalmail.pt Joana Marques João Pedro Castro

Coimbra, 2005

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Modelos Compartimentais

Overview

Quando a fisiologia se refere a modelos compartimentais existe desde logo a

rotulagem de modelos que são especificamente derivados de considerações de balanço

de massa, e que visam o estudo quantitativo da cinética de materiais em sistemas

fisiológicos.

Estes referem-se apenas ao estudo de sistemas em tempo não real, isto é, toda a

amostra recolhida não é analisada em tempo real. Ou seja, existe uma recolha de várias

amostras que não igualmente espaçadas no tempo, em que apenas depois da sua análise

se pode concluir qual a melhor para ser modelada, pois estes modelos seguem devidos

critérios, como por exemplo, escolher as amostras em que se verifica uma menor

amplitude do ruído do sinal em análise. Como tal, convém que a amostragem seja feita

de modo a que quando se calcula o espectro de um sinal g (t) se obtenha uma estimativa

desse espectro numa faixa de frequência entre 0 Hz e fa (frequência de amostragem,

número de amostras por segundo) / 2 Hz. Se o sinal g (t) tem componentes com

frequências maiores do que fa / 2, essas componentes não serão estimadas e, o que é

pior, elas degradarão a estimativa dos espectros entre 0 Hz e fa / 2 Hz. Isto deve-se ao

fenómeno denominado aliasing (disfarce) ou dobramento espectral, que ocorre neste

tipo de estimativa quando o espectro do sinal g (t) não está contido na faixa entre 0 Hz e

fa / 2. Ou seja, aliasing (disfarce) ou dobramento espectral, ocorre quando a taxa de

amostragem usada é menor que a taxa de Nyquist do sinal que se está a analisar. Para

evitar que esse fenómeno ocorra é preciso usar uma taxa de amostragem igual ou maior

que a taxa (de amostragem) de Nyquist do sinal que se está a analisar, dada por

(fa)Nyquist = 2 x f máx,

onde f máx é a máxima frequência dos componentes do sinal.

Nos modelos compartimentares o tempo utilizado é contínuo devido a todas as

estimativas e aproximações tradicionalmente realizadas.

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Modelos Compartimentais Lineares

Na fisiologia existem muitos tipos de sinais adquiridos e analisados em tempo

real. No entanto existem outros em que não existe esta possibilidade, tais como sinais de

proteínas, drogas ou outras macromoléculas transportadoras.

Uma vez conhecida, através da análise bioquímica, a concentração de sinais

sobre o tempo, os sinais transportadores podem ser modelados e usados para entender a

sua função fisiológica.

Normalmente a concentração de proteínas, ou drogas, numa amostra são

determinadas utilizando vários tipos de análises bioquímicas ou técnicas de imagiologia.

Todas estas técnicas são muito importantes, pois para se poder aplicar sobre um

sistema um modelo compartimental é necessário que este primeiro seja analisado.

Na nomenclatura da modelação compartimental todas estas aquisições de sinal

são referidas como plano experimental.

Plano Experimental

Definição: É o processo de aquisição dos sinais em estudo nos modelos

compartimentais.

A concentração de proteínas ou drogas numa amostra pode ser determinada

através de diversas técnicas:

1.Tomografia de emissão de positrões

Técnica de medicina nuclear utilizada na avaliação da actividade dos tecidos. A

actividade funcional dos tecidos pode ser comparada com imagens anatómicas obtidas

por TAC ou Ressonância Magnética.

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A Tomografia de Emissão de Positrões (PET - Positron Emission Tomography)

é uma forma de diagnóstico radiofarmacêutica. É uma técnica poderosa cujo

desenvolvimento se deve em grande parte ao CERN e ao Geneva Cantonal Hospital. A

PET permite detectar alterações em tecidos e órgãos, provocadas por estados de doença,

muito antes de aparecerem sintomas sérios. Um radiofármaco que emite positrões, as

antipartículas dos electrões, é

administrado ao doente. Quando se

dá a emissão de positrões, estes são

rapidamente aniquilados com

electrões no corpo do doente. Este

processo liberta dois raios gama que

são detectados, revelando o local exacto onde a aniquilação se deu. A PET permite aos

médicos conhecer com precisão as fronteiras da localização do radiofármaco, sendo

assim possível verificar se tudo está a funcionar apropriadamente. Logicamente, tem

outras aplicações que não só relacionadas com as doenças mas também com

concentrações de diversas componentes da fisiologia humana, como é o caso das

macromoléculas.

2. Cromatografia Líquida de Alta Eficiência

A cromatografia é um método usado para agrupar as diferentes componentes de

uma mistura. Esta técnica funciona graças ao facto das moléculas possuírem em comum

uma propriedade chamada polaridade, e também por tenderem a atraírem-se

mutuamente. Uma molécula polar é simplesmente aquela que possui uma região rica em

electrões e uma outra região que é pobre em electrões. Estas regiões por vezes são

representadas como sendo negativamente e positivamente carregadas, respectivamente.

Moléculas polares são unidas por forças de atracção entre cargas opostas de diferentes

moléculas.

A cromatografia é uma técnica da química analítica utilizada para a separação de

misturas e substâncias. De uma maneira mais completa, a técnica baseia-se no princípio

da adsorção selectiva (que não deve ser confundida com absorção), um tipo de adesão.

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Quando esta técnica foi descoberta por um famoso botânico russo (Tswett), este

separou pigmentos de plantas (clorofilas) adicionando um extracto de folhas verdes em

éter de petróleo sobre uma coluna com carbonato de cálcio em pó num tubo de vidro

vertical. Enquanto a solução percolou através da coluna os componentes individuais da

mistura migraram para baixo em diferentes taxas de velocidade e então a coluna

apresentou-se marcada com gradientes horizontais de cores. A esse gradiente deu-se o

nome de cromatograma.

A cromatografia em coluna usa actualmente uma grande variedade de

adsorventes sólidos, incluindo sílica, alumina e sílica gel. Os líquidos também podem

ser adsorvidos por estes sólidos e assim actuarem como adsorventes – num processo

chamado de cromatografia de partição – que permite aos químicos construir colunas

com propriedades muito diferentes para utilizações particulares. A Cromatografia

Líquida de Alta Eficiência (CLAE, ou HPLC do inglês High Performance Liquid

Chromatography) é uma variável desta técnica que hoje tem um uso bastante comum,

promove a adsorção de líquidos em partículas extremamente pequenas e uniformes para

promover alta sensibilidade. Uma bomba é requerida para levar a mistura até à coluna.

A HPLC é uma técnica muito precisa, utilizada nos segmentos alimentícia,

veterinário, químico, petroquímico e, principalmente, na farmacêutica, para doseamento

de activos e separação de compostos e

impurezas. Com este método detectam-se

impurezas em quantidade muito baixas na

mistura, além de ser possível avaliar se o insumo

sofreu algum tipo degradação, dando origem a

compostos que possam comprometer a

qualidade do produto.

Sendo assim esta técnica aplicada à bioquímica isolando proteínas e outras

macromoléculas.

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3.Análise Radioimunológica

Porque a maioria de hormonas estão presentes em concentrações extremamente

baixas nos materiais biológicos (≈10-10 M), não podem ser medidas por métodos padrão

tais como a HPLC. Mais a mais, uma hormona é geralmente cercada por quantidades

excessivas de substâncias quimicamente relacionadas, o que poderia interferir com as

técnicas analíticas padrão. Sendo assim, as concentrações de hormonas são medidas

através da Análise Radioimunológica (RIA).

A Análise Radioimunológica é baseada na resposta imunológica. Quando uma

substância estranha, ou antígeno, tal como uma proteína invadem os tecidos de um

vertebrado mais evoluído, o organismo defende-se sintetizando e unindo um anticorpo à

substância invasora. E então células específicas destroem o antígeno marcado. Um

anticorpo de qualquer proteína pode ser preparado pela injecção dessa proteína num

animal experimental.

O princípio da análise radioimunológica envolve a combinação de uma hormona

ou outra proteína de concentração desconhecida (o antígeno) com uma quantidade fixa

de antígeno radioactivo. Uma quantidade fixa de anticorpos é então adicionada, que se

liga a ambos, ao antígeno do radioactivo e ao que não está marcado. As moléculas dos

antígenos e dos anticorpos ligam-se, e precipitam-se para fora da solução. O antígeno

ligado radioactivo é detectado, e é inversamente proporcional ao antígeno não marcado

presente.

4.Isótopos estáveis e radioactivos Tracers

Alternativamente, uma molécula etiquetada, um “tracer”, pode ser introduzida

no corpo para estudar o comportamento da sua molécula endógena correspondente, o

“tracee”. A etiquetagem pode ainda usar um isótopo radioactivo, que não é obviamente

aconselhável utilizar no estudo em humanos, ou um isótopo estável como a leucina

[l3C].

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Ao longo do tempo, as amostras de fluidos tais como o plasma ou a urina são

colectados, e as amostras estáveis são analisadas por espectroscopia mássica para

determinar a concentração do “tracer”.

Em teoria, a aná1ise de isótopos estáveis e radioactivos “tracers” deve conduzir

aos mesmos resultados cinéticos.

5.Plano de amostragem ‘optimal’

Num sistema em tempo – real, é necessário conhecer a frequência de

amostragem de modo a que esta seja pelo menos duas vezes a da largura de banda do

sinal, a taxa de Nyquist, ou seja, deve ser encontrada para impedir o aliasing.

Similarmente, em sistemas farmacocinéticos, um “optimal sampling schedule” deve ser

seguido.

Modelos Cinéticos

Uma vez obtida a cinética das substâncias em estudo, através dos métodos

apresentados no plano experimental, torna-se possível modelar os seus respectivos

comportamentos. As duas classes principais de modelos cinéticos são os modelos não

compartimentais e os modelos compartimentais. Coloca-se então uma pertinente

questão…

O que é um compartimento?

Um compartimento é um espaço conceptual que apresenta um volume finito e

teoricamente mistura muito bem e de forma instantânea os seus conteúdos, que podem

consistir numa, ou mais, e diversas substâncias físico – químicas, sendo que estas

apresentam uma homogeneidade a nível da sua cinética.

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Tipicamente, um compartimento pode corresponder a um tradicional

espaço/volume, tal como uma cubeta ou um tanque, que contivessem um liquido ou gás

e uma outra substância que pudessem ser medidas, ou seja, não tem que ser

necessariamente um espaço fisiológico ou volume físico bem delimitado. Um bom

exemplo de um compartimento fisiológico é a glicose no plasma e no rim.

A substância medida é descrita pela sua quantidade total (massa, volume) num

compartimento, quantidade x, ou seu pela concentração, c ou [x], que é a massa x

dividida pelo volume do compartimento, V:

c = x/V.

Uma básica suposição sobre compartimentos é que toda a nova substância

introduzida num compartimento é misturada instantaneamente com uma outra

quantidade já presente, e que a distribuição dessa mesma substância nesse mesmo

compartimento é uniforme. Isto significa que:

a) Quando é tomada uma amostra dos índices ou conteúdos dos

compartimentos, ou quando alguns dos seus conteúdos são removidos, o volume da

amostra ou o volume removido terá a mesma concentração da substância, não obstante o

método ou a posição da amostragem ou da remoção.

b) Quando um volume de amostra v1 é removido a quantidade da substância

removida é x1 = c v1, onde c = c (t) é a concentração na altura da remoção.

c) Quando uma quantidade x0 é introduzida num compartimento a

concentração c muda do seu valor registado apenas antes da introdução de x0, cp, para c

= [xp + x0] /V (que supõe que a mudança de volume devido à adição é insignificante,

isto é, o volume medido V não se altera).

Um compartimento é dito “input” se a substância puder entrar no

compartimento, mesmo vindo de um outro compartimento, ou de alguma fonte externa

que é frequentemente referida como "ambiente" ou simplesmente como "entrada". Se a

substância puder sair de um compartimento diz-se que existe fluxo ou escoamento.

Define-se que um compartimento está aberto se permitir algum tipo de entrada e que

está fechado se não houver fluxo nesse mesmo compartimento.

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Modelos não compartimentais

Um modelo não compartimental considera as relações input e output de um

sistema alcançado através de um único compartimento acessível. Em que esta relação

entrada – saída é descrita como a saída sendo igual à convolução da entrada com a

resposta a impulso, dada pela fórmula:

( )( ) ( ) ( ) ( )y t u t h t u h tτ τ+∞

−∞= ∗ = −∫ .

Os modelos compartimentais são uma simplificação do organismo e por isto

devem ser aplicados com cautela. Além disso esses modelos são altamente dependentes

da espécie e, embora tenham muitos usos clínicos e fisiológicos, a quantidade de

informações básicas fornecidas, é limitada. Os modelos compartimentais, por exemplo,

não levam em conta a ligação fármaco – proteína, embora possam ser afectados por

esta.

Devido a todas as limitações referidas dos modelos compartimentais, e visando a

obtenção de dados cada vez mais fidedignos, modelos não compartimentais têm sido

desenvolvidos e avaliados. Estas são as principais razões da utilização destes modelos.

Estes são anatómica e fisiologicamente realistas e desenvolvidos com base nos

fluxos sanguíneos e volumes reais dos órgãos. Assim, como descrevem mais

realisticamente a disposição das substâncias em análise em cada tecido ou órgão,

tornam-se demasiadamente complexos a nível matemático, perdendo universalidade.

A principal vantagem destes modelos é a possibilidade de prever o

comportamento farmacocinético de um determinado fármaco no homem, a partir de

dados obtidos em animais e adaptados matematicamente para tal aplicação.

Parâmetros geralmente medidos nos Modelos não Compartimentais

É comum utilizarem-se na farmacocinética aproximações de modelos não

comportamentais para determinar parâmetros modelares independentes.

Visando então agora a sua aplicação na farmacocinética, pode ser dada uma

maior explicitação.

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Em humanos, geralmente, não é possível determinar quantitativamente a

distribuição de um fármaco nos diversos tecidos; assim o que normalmente se faz é

acompanhar a concentração do fármaco no sangue ou no plasma, considerando a

existência de uma relação constante entre as quantidades do fármaco no plasma e no

restante organismo após se completar a distribuição.

O conceito de compartimento em farmacocinética é essencial e foi desenvolvido

para fornecer as bases para quantificação dos processos farmacocinéticos; ele representa

uma maneira simplificada mas extremamente útil na abordagem dos processos de

distribuição dos medicamentos no organismo. Como, por outras palavras, anteriormente

dito um compartimento é um espaço imaginário matemático, usualmente representado

na literatura farmacológica como uma "caixa" reservatório; quando o medicamento é

introduzido num compartimento ele é rápida e homogeneamente distribuído em todo o

espaço.

Os compartimentos são frequentemente designados como compartimento

"vascular" ou compartimento "tecidual", mas estas correlações são frágeis e não devem

ser literalmente aceitas. A estes compartimentos também podem ser atribuídos volumes

reais (em litros, por exemplo), mas estes volumes também são fictícios e não

correspondem ao volume real de nenhum dos tecidos ou órgãos corporais. Devemos

sempre ter em mente que a interpretação dos modelos farmacocinéticos devem ser feitos

com cautela, por serem derivados de modelos matemáticos e não da anatomia e

fisiologia.

Volume de distribuição e volume aparente de distribuição

O processo de distribuição de um fármaco pode ser quantificado, através do

conceito de compartimento através do volume de distribuição, que avalia a extensão da

distribuição da substância activa, além do plasma. Assumindo que o corpo consiste num

único compartimento, e conhecendo a dose administrada por via endovenosa e a sua

concentração dosada no sangue, o volume do compartimento, denominado “volume

aparente de distribuição” (VD), pode ser determinado por substituição nos termos da

equação que se segue:

Concentração = Quantidade que se torna Volume = Quantidade Volume Concentração

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Assim,

VD = D onde: D = Dose e C = Concentração

Então, o volume de distribuição é simplesmente uma constante de proporcionalidade

fictícia, um conceito matemático, utilizado para explicar as concentrações observadas

dos medicamentos com base na quantidade de fármaco conhecida presentemente no

organismo. Ele fornece uma estimativa da extensão do tecido extravascular que faz a

captação dos medicamentos; descreve a relação entre a quantidade de fármaco em todo

o organismo e a quantidade existente no plasma. Domingues, criador deste conceito

define-o como o volume no qual o fármaco se deve dissolver para que a sua

concentração se iguale à do plasma. Nesta definição a concentração plasmática do

fármaco é aquela observada após a absorção e distribuição e antes da eliminação.

Quando VD é pequeno, a captação pelos tecidos é limitada; já valores grandes de VD

indicam uma ampla distribuição para os tecidos.

Em farmacocinética clínica, o VD é um importante parâmetro, empregado na

determinação de doses e intervalos de doses dos medicamentos.

Ou seja, depois de toda esta explicitação, como forma de definição tem-se que:

O volume aparente de distribuição, VD, é uma constante de proporcionalidade

que relaciona a concentração da droga no sangue ou no plasma com a quantidade da

droga no corpo. Sendo que é calculado como a razão da dose intravenosa com a

concentração inicial da droga imediatamente após a injecção intravenosa mas antes de

qualquer quantidade da droga ser eliminada:

VD = dose / concentração inicial

Meia – vida biológica (t1/2)

A meia – vida é um conceito cronológico e indica o tempo em que uma grandeza

considerada se reduz à metade do seu valor. Em farmacocinética esta representa o

tempo gasto para que a concentração plasmática ou a quantidade original de um

fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a

uma meia – vida, a concentração decresce em 50% do valor que tinha no início do

período. Este conceito é operacionalizado pela observação da concentração no plasma.

Para a maioria dos fármacos, a meia vida é constante numa larga faixa de

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concentrações. Já o termo vida – média exprime a duração média da concentração e não

na sua meia – vida.

O tempo de meia – vida ou t1/2 é um importante parâmetro farmacocinético. A

caracterização de um evento farmacocinético pelo valor da meia vida possibilita uma

estimativa da rapidez com que o processo ocorre, originando dados importantes para a

interpretação dos efeitos terapêuticos ou tóxicos dos fármacos, da duração do efeito

farmacológico e do regime posológico adequado.

O conhecimento do t1/2 também é de grande utilidade para se conseguir alcançar

a concentração plasmática média no equilíbrio (Css), após doses repetidas em intervalos

que representam a meia – vida; a Css é a concentração do estado de equilíbrio,

orientadora do regime posológico e é obtida quando se administra um medicamento em

doses repetidas, a intervalos regulares. Tal repetição, permite a manutenção desse platô

de concentração constante, por reposição da parte do fármaco que está sendo eliminado.

Diz-se que a concentração do estado de equilíbrio (Css) é alcançada após 4-6 intervalos

de meia – vida; o paciente alcançará 50% de equilíbrio dinâmico após uma meia vida do

fármaco, 75% de equilíbrio dinâmico após duas meias – vidas, 87,5% após três meias

vidas e 94% após quatro meias – vidas.

A mais importante meia – vida em farmacocinética é aquela que descreve o

processo de eliminação ou remoção do fármaco do corpo. Esta "meia vida de

eliminação", frequentemente abreviada na literatura como t1/2β, indica como será a

velocidade de desaparecimento do fármaco após administração de uma dose única ou

após o término de um longo período de terapia; normalmente esta também ocorre num

período de tempo que varia de 4 a 6 meias – vidas do fármaco.

Também é aqui necessário lembrar que os valores tabelados de t1/2 (como os de

VD) são usualmente valores médios representativos, que como noutros eventos

fisiológicos e farmacocinéticos irão variar de pessoa para pessoa e podem ser

influenciados por muitos factores. O t1/2 para um dado fármaco pode variar

temporalmente mesmo num mesmo indivíduo.

O tempo de meia – vida de uma molécula, pode ser facilmente determinado

através da graficação do logaritmo da concentração do plasma versus tempo. Desde que

o valor próprio seja o declive da linha de uma exponencial i, tem-se:

λi = 0.693 / t1/2i.

Depuração ("Clearance")

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Clearance é um termo inglês usado universalmente para indicar a remoção

completa de determinada substância de um volume específico de sangue na unidade de

tempo. Depuração é o termo em português que mais se aproxima do sentido do termo

em inglês.

No nível mais simples, a depuração de um fármaco do organismo pode ser

compreendida como a taxa de eliminação por todas as vias, normalizada para a

concentração do fármaco (C) num líquido biológico:

Depuração = Taxa de eliminação/C

Os princípios de depuração dos fármacos são semelhantes àqueles da fisiologia

renal, onde, por exemplo a depuração da creatinina é definida como a taxa de

eliminação da creatinina na urina em relação à sua concentração no plasma.

É importante notar que a depuração não indica a quantidade do fármaco que está

a ser removida, mas sim, o volume de líquido biológico, como o sangue ou o plasma, do

qual o fármaco teria sido totalmente removido. O clearance é expresso em volume por

unidade de tempo (ml/min ou L/h).

A depuração por vários órgãos de eliminação é aditiva. A eliminação de um

fármaco pode ser o resultado de processos que ocorrem no rim, fígado e outros órgãos.

A divisão da taxa de eliminação por cada órgão pela concentração plasmática do

fármaco, por exemplo, fornece as respectivas depurações em cada um destes órgãos;

estas quando somadas representam a depuração sistémica total.

Cl Total = Cl renal + Cl hepático + Cl outros*

*Refere-se a vias de excreção como lágrimas, saliva, suor e fezes

Quando o fármaco é parcial ou totalmente excretado pelos rins sem sofrer

alterações, o clearance renal pode ser calculado dividindo-se a velocidade de excreção

urinária (mg/min) pela sua concentração sanguínea (mg/ml). O clearance de creatinina é

um índice da função renal porque esta substância endógena sofre filtração glomerular

completa e a sua secreção e reabsorção tubulares são mínimas; desta forma pode

também ser utilizado na avaliação do clearance renal de fármacos.

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Modelos Compartimentais

Um modelo compartimental é governado pela lei da conservação de massa *, e é

descrito por equações diferenciais ordinárias. Este tipo de modelo é um sistema com

múltiplos “input” e múltiplos “output”.

* Lei da Conservação de Massa: O peso dos produtos finais de uma reacção,

incluindo os gases, é igual ao peso da totalidade dos reagentes iniciais.

Não é por acaso que estes se regem pela lei da conservação de massa e por estas

equações, pois todos os fluxos entre compartimentos, já anteriormente referidos, são

descritos em função da variação da massa nesses mesmos compartimentos. Sendo que

todos as medidas feitas, posteriormente, são representadas em função de concentrações.

Um modelo compartimental é um sistema que contém um ou mais

compartimentos que podem estar conectados entre si, isto é, pode existir um processo

pelo qual a substância que sai de um compartimento entra num outro compartimento.

Diz-se que um sistema compartimental está aberto se permitir algum tipo de entrada

externa e diz-se fechado se não existir fluxo externo nos compartimentos, isto é, para

fora do sistema. Os sistemas fechados permitem apenas fluxos provenientes de

compartimentos individuais do sistema quanto muito para outros compartimentos desse

mesmo sistema.

O estudo de modelos compartimentais é simplificado assumindo que o fluxo dos

compartimentos é linear. Esta suposição é indicada matematicamente por uma equação

diferencial linear de primeira ordem: a taxa de mudança da concentração ou da

quantidade de uma substância num compartimento devido a um processo contínuo de

remoção é

ck = -kc ou xk = -rx,

onde as constantes k, ou r, são as taxas a que a concentração ou a quantidade diminuem,

respectivamente.

Um tanque com uma mistura uniforme e uma taxa de fluxo constante será linear

em relação à concentração, e em relação à quantidade se o volume total do tanque

permanecer constante.

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Como já foi dito, o conceito de compartimento é fundamental em

farmacocinética. Ele representa uma maneira simplificada mas extremamente útil na

abordagem da compreensão dos processos de distribuição dos medicamentos no

organismo humano. O corpo pode ser representado como uma série, ou sistemas, de

compartimentos que se comunicam reversivelmente entre si. Um compartimento não é

uma região anatómica ou fisiológica real, mas é considerada como um tecido ou grupo

de tecidos que devem possuir fluxo sanguíneo e afinidade por fármacos similares.

Dentro de cada compartimento considera-se que o fármaco se distribua uniformemente;

a mistura do fármaco dentro do compartimento é rápida e homogénea, tanto que a sua

concentração é representada como uma concentração média e cada molécula do fármaco

possui igual probabilidade de sair do compartimento. Modelos compartimentais são

baseados em hipóteses lineares usando equações diferenciais e, embora os

compartimentos farmacocinéticos não corresponda a nenhuma das entidades anatómicas

actuais, o compartimento, todavia, apresenta dimensões numéricas de volume (ml, litro)

como se fossem um volume real.

Conceptualmente, fármacos movem-se para dentro e para fora dos

compartimentos. Velocidades constantes são usadas para representar a velocidade total

do processo de entrada e saída do fármaco do compartimento. O modelo é um sistema

aberto desde que o fármaco possa ser eliminado deste sistema.

O emprego de modelos compartimentais em farmacocinética leva, geralmente,

implícita a suposição de que os processos que se estudam, ou o fluxo dos fármacos até

ao compartimento, se desenvolvem segundo cinética de primeira ordem. Por exemplo, o

resumo dos processos que retiram medicamentos do organismo irreversivelmente, pode

caracterizar-se por uma constante de velocidade de eliminação de primeira ordem

cinética, que compreenderia a excreção urinária, a biotransformação e outros processos

que contribuem na retirada do fármaco do organismo.

A cinética de primeira ordem implica que a velocidade na qual se produz um

processo é proporcional à quantidade ou concentração do fármaco existente no

compartimento no qual se desenvolve. Assim, se é grande a quantidade de medicamento

no organismo também é, ou será, alta a velocidade de eliminação. Por outro lado, a

eliminação diminuirá proporcionalmente com a redução da quantidade ou concentração.

Também a transferência do medicamento de um compartimento para outro pode

obedecer à cinética de primeira ordem e o mesmo ocorre com a maioria dos processos

que os fármacos experimentam no organismo. Em geral, alguns deles não são

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estritamente de primeira ordem, como por exemplo a biotransformação, a secreção

tubular ou a transferência através de uma membrana quando processos activos estão

envolvidos. Estes podem obedecer a uma cinética mais complexa, como por exemplo a

processos enzimáticos regidos pela equação de Michaelis-Menten. No entanto, as

concentrações de fármaco com as quais normalmente se trabalha em farmacocinética

(terapêuticas) aparecem na maioria das vezes como de primeira ordem.

Assim, pode-se dizer que os processos farmacocinéticos correspondem a uma

cinética linear. Uma consequência desta linearidade é o facto de que a área sob a curva

(ASC) de concentração plasmática vs tempo, após a injecção por via intravenosa, é uma

função linear da dose administrada.

Os modelos compartimentais consistem num ou mais compartimentos

periféricos conectados a um compartimento central. O compartimento central é

representado pelo plasma e tecidos altamente perfundidos. Assim, quando uma dose

intravenosa do fármaco é administrada, ela entra directamente no compartimento central

e também é deste compartimento que ocorre a sua eliminação, uma vez que é no

compartimento central que se encontram os órgãos envolvidos na eliminação,

primariamente rins e fígado, e tecidos altamente perfundidos.

Modelos de um, dois ou mais compartimentos são descritos e, normalmente,

representados (desenhados) esquematicamente por caixas reservatórios. Esta

representação permite uma representação visual da velocidade do processo, identifica

quantas constantes farmacocinéticas serão necessárias para descrevê-lo adequadamente

e, o mais importante, extrai equações diferenciais para descrever alterações na

concentração do fármaco em cada compartimento.

Modelo aberto de um compartimento

É o modelo compartimental mais simples e pode representar fármacos que após

administração, se distribuem através da via circulatória para todos os tecidos e se

equilibram rapidamente em todo o organismo.

O modelo monocompartimental descreve muitas vezes adequadamente as

alterações sofridas ao longo do tempo, na concentração plasmática ou na excreção

urinária de fármacos que após a administração, se distribuem rapidamente entre o

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plasma e os tecidos. Admitir a existência de tal modelo não implica, necessariamente

presumir que as concentrações plasmáticas e tissular do fármaco sejam as mesmas,

porém é essencial que as alterações que ocorrem no plasma reflictam aquelas nos níveis

tissulares do fármaco, ou seja que exista uma relação constante entre estas duas

variáveis.

Como já anteriormente discutido, nos modelos compartimentais presume-se que

o movimento do fármaco através destes siga a chamada cinética de primeira ordem,

significando que a velocidade do processo seja proporcional à quantidade de fármaco

presente. Assim, para descrever a eliminação do fármaco de um compartimento é

conveniente usar métodos de cálculo diferencial e integral.

Modelos multicompartimentais

Num modelo multicompartimental o fármaco distribui-se em várias velocidades

dentro de diferentes grupos de tecidos. Aqueles que apresentam elevado fluxo

sanguíneo podem equilibrar-se com o compartimento plasmático, assim somado ao

sangue compõem o compartimento central. Enquanto esta distribuição inicial do

fármaco é efectuada, o fármaco é libertado para um ou mais compartimentos periféricos

compostos de grupos de tecidos com menor fluxo sanguíneo e afinidade pelo fármaco.

Esta diferença é que leva à aparência não linear da curva de concentração sanguínea do

fármaco em escala logarítmica vs tempo. Após o equilíbrio do fármaco nestes tecidos

periféricos a curva reflecte, então, a eliminação de primeira ordem do fármaco para fora

do organismo.

Com o objectivo de aplicar a análise cinética em modelos multicompartimentais,

deve-se assumir que a velocidade geral do processo de passagem do fármaco entre os

compartimentos é de primeira ordem. Com base nesta suposição a curva de nível

plasmático por tempo para um fármaco que segue um modelo multicompartimental é

melhor descrito pelo somatório de vários processos com velocidade de primeira ordem.

Modelo de dois compartimentos

Apesar de extremamente útil para muitos objectivos, o modelo de um

compartimento muitas vezes não se aplica ao perfil do movimento de fármacos pelo

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organismo. A maioria destes casos pode ser resolvida aplicando-se um modelo um

pouco mais complexo, porém mais realístico, o de dois compartimentos.

Neste, quando o fármaco é introduzido directamente no compartimento central,

o nível sanguíneo cai de maneira bifásica. A rápida queda inicial representa a

distribuição do fármaco do compartimento central para o periférico, embora a sua

eliminação comece a ocorrer desde que é introduzido no organismo. Num certo

momento, é atingido um "pseudo-equilíbrio" de distribuição entre o compartimento

central e o compartimento periférico; isto ocorre quando a razão do fármaco entre os

compartimentos se aproxima de um valor constante, mantido durante a segunda fase,

mais lenta do declínio da concentração sanguínea do fármaco, a qual reflecte

principalmente a sua eliminação. Durante essa segunda fase, a perda do fármaco pelo

organismo é descrita por um processo monoexponencial indicativo da homogeneidade

cinética entre os níveis do fármaco em todos os líquidos e tecidos do organismo.

A descrição de equações matemáticas deste modelo, como era de se esperar,

apresenta maior complexidade.

Aspectos

Identificabilidade Modelar

Muitas vezes, apenas alguma e limitada informação está disponível para poder

estudar a dinâmica intrínseca de sistemas farmacocinéticos sob condições operacionais

normais. Como tal, antes de prosseguir para qualquer tipo de experiência é necessário

analisar se teoricamente é possível obter estimativas únicas de todos os parâmetros

modelares desconhecidos – identificabilidade teórica. Mesmo que teoricamente isto se

verifique, em termos práticos uma estimativa de parâmetros pode não apresentar

resultados aceitáveis – identificabilidade prática.

Identificabilidade Teórica

Um modelo pode ser unicamente identificável, não – unicamente identificável

ou não identificável. Se o modelo for unicamente identificável, existe uma única

18

solução para os parâmetros. Se for não – unicamente identificável podem existir várias

mas finitas soluções para um ou mais parâmetros. Se for não identificável, um ou mais

parâmetros podem possuir infinitas soluções.

Um método para testar a identificabilidade teórica é através de uma matriz de

aproximação de uma função de transferência. Depois de todos os cálculos necessários

efectuados chegamos ao Jacobiano da matriz:

111111

1

11

1

11

1

1

( )

p

rmn n

p

rmrm

p

rm rmn n

p

kk

G kk k

kk

k k

ββ

α α

ββ

α α

∂∂

∂∂ ∂ ∂

= ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂

K

M M

L

MM

LM M

O modelo é identificável se e apenas se a ordem do Jacobiano da matriz for igual

a p.

Identificabilidade prática

Mesmo que um sistema seja teoricamente identificável, pode não ser

praticamente identificável. Limitações como imperfeições no teste de sinal, erros de

medida, e erros na estrutura modelar podem levar a mais do que uma estimativa de

parâmetros.

19

Estimativa não-linear dos mínimos quadrados

Os modelos compartimentais requerem uma estimativa não-linear dos mínimos

quadrados porque são não-lineares nos parâmetros k. Só se os parâmetros de estado

c(t,k) puderem ser observados é que o problema se pode transformar num de estimatva

linear.

O problema da estimativa paramétrica para este modelo não-linear pode ser

formulado da seguinte maneira:

[ ][ ]

[ ]

0 0( , ) ( , ), ( ), ; , ( , )

( , ) ( , );( , ) ( , ) ( ), 1, 2,...,

( , ), ( ), 0l l l

c t k j c t k u t t k c c t k

y t k g c t k kz t k y t k e t l mh c t k u t k

= =

=

= + =

≥

&

onde ( , )lz t k representa o ruído e se relaciona com ( )ly t , variável independente do

ruído, e ( )le t é o erro associado à medição na amostra t. De notar que, apesar das

equações acima apresentadas serem lineares o modelo é não-linear, pois y(t,k) é uma

função não-linear de k. Esta situação leva a que não exista uma solução analítica

explicita, sendo portanto necessária uma aproximação iterativa como a aproximação

sensitiva, baseada no cálculo computacional de derivadas parciais. Para cada iteração do

vector paramétrico k a matriz de covariância ˆ( )V k (utilizada na validação do modelo)

pode ser aproximada a 1

1ˆ ˆ ˆ( ) ( , ) ( ) ( , )TV k S t k R t S t k−

− ≅ onde

0 1 0 1

0 0

1 , ,

1 , ,

ˆ ˆ( , ) ( , )

ˆ( , )ˆ ˆ( , ) ( , )

n n

pk t k t

pk t k t

y t k y t kk k

S t k

y t k y t kk k

∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂

∂ ∂

K

M O M

L

Cada elemento da diagonal, ˆ( , )iiv t k , dá-nos uma estimativa da variância

associada ao parâmetro ik . Então, a precisão com que este parâmetro pode ser estimado

20

pode ser expressa como ˆ ˆ( ) ( , )i iiprecision k v t k= . Esta precisão pode ainda ser

expressa como o coeficiente de variação, ˆ( , )ˆ( ) 100ˆ

iii

i

v t kCV k

k= × .

Em contraste com a estimação paramétrica linear, é necessário que os

parâmetros estimadores iniciais 0k do vector k , sejam fornecidos.

Tabelas de amostragem

Na aquisição de dados tradicional, é necessário utilizar uma frequência de

amostragem de pelo menos o dobro da largura de banda do sinal – taxa de Nyquist –

para que não exista ‘aliasing’ no sinal de saída. Da mesma forma, as tabelas com os

dados de amostragem a serem estimados por um modelo compartimental têm de ser

representadas de modo a evitar estimativas paramétricas associadas a grandes

coeficientes de variação.

Uma ‘Optimal Sampling Schedule’(OTA) é aquela em que se obtém uma

máxima precisão das estimativas paramétricas do modelo, sob as limitações práticas da

aquisição de amostras. (Exemplo: limite físico do número de amostras sanguíneas que

se podem tirar a um recém-nascido)

Uma OTA calcula-se assumindo que o modelo compartimental descreve um

sistema amostrado várias vezes, em que os parâmetros são unicamente identificáveis e

em que algumas estimativas a priori estão disponíveis.

Teoricamente, uma OTA pode ser calculada minimizando uma função escalar da

inversa da matriz de informação de Fischer. Uma boa aproximação de minimização é a

‘D-optimal design approach’, que se baseia no 2det ( , , )J k SSσ , isto é, no

determinante da matriz de informação de Fischer 2( , , )J k SSσ . Esta matriz é função

dos valores dos parâmetros, variância do erro e número de tabelas de amostragem onde

cada elemento pode ser calculado através de:

2 0 02

1 1 0

( ) ( )1( , , ) , , 1...( )

m nl l

ijl l i j

y t y tJ k SS i j pt k kσ

σσ= =

∂ ∂= =

∂ ∂∑∑

21

Na prática, existe uma minimização dos coeficientes de variação ( ijk ) pelas

amostras durante a zona mais acentuada da curva de saída até que um estado constante é

atingido. Esta amostragem leva à minimização do número de exponenciais (cuja soma

compõe um modelo compartimental) que servem os dados adquiridos.

Validação do modelo

A validação de um modelo envolve a análise dos resultados da identificação

paramétrica e a plausibilidade do modelo, de modo a escolher um bom modelo.

Para um modelo ser válido deve respeitar as seguintes três medidas de validade:

- os coeficientes de variação associados devem ter tamanho razoável (<100%);

- deve seguir o critério de informação de Akaike (AIC):

2

20

1 ˆln ( ) ( , ) 2( )

N

l ll l

AIC N z t y t k ptσ=

= − + ∑

onde N é o número de dados e p o número de parâmetros. O melhor modelo é aquele

que apresenta o menor valor de AIC;

- as estatísticas residuais (estimam o ruído no sistema) devem parecer-se com o ruído.

Para um modelo ser plausível, os parâmetros estimados e derivados, e o número

de compartimentos adequados à representação do sistema deve ser aceitável para o

sistema fisiológico em estudo.

22

Teste de stress farmacológico usando “closed-loop drug

delivery”

Nesta parte da apresentação do trabalho iremos focar a nossa atenção na

aplicação de farmacocinéticos em “closed-loop drug delivery” (CLDD). Esta forma de

administração de fármacos é caracterizada pelo uso de um algoritmo ou controlador

baseado na teoria de controlo que, tal como o nome indica, irá ajustar os valores de

fármaco administrado ao doente consoante a necessidade/resposta. É de referir que o

fármaco poderá ser administrado através de uma bomba de infusão.

Farmacocinetica e Farmacodinâmica

A cinética envolvida na farmacocinética é descrita como sendo o transporte de

fármacos para o local de acção. Após esse período de transporte irá existir uma resposta

farmacológica como consequência do aparecimento de fármaco na zona de acção –

farmacodinâmica.

Para ser possível a acção do fármaco é necessário existirem os denominados

receptores tais como enzimas, neurotransmissores, canais iónicos, colesterol e a

bicamada lipidica. Só desta forma a droga é reconhecida de forma a produzir a sua

terapêutica associada ou uma acção tóxica.

Esta relação entre o fármaco e o receptor é normalmente considerada como

sendo reversível. De acordo com a lei da acção de massas uma molécula de fármaco [D]

ira interagir com o receptor em apenas um sítio de ligação [R], de forma a produzir uma

resposta farmacológica. Esta teoria – “occupation theory” – é representada pela seguinte

equação:

23

A taxa de associação (TA) da formação do complexo droga/receptor é descrita

por:

TA = 1[ ][ ]k D R

A taxa de dissociação (TD) é descrita por:

TD = 2[ ]k DR

Num possível estado de equilíbrio a taxa de associação iguala a taxa de

dissociação. Desta forma a constante de equilíbrio DK pode ser determinada através da

equação de massas:

2

1

[ ][ ][ ]D

k D RKk DR

= =

Usando a teoria de ocupação é possível afirmar que existem três diferentes tipos

de respostas farmacológicas no sitio do receptor. Um fármaco denominado Agonista é

caracterizado por obter uma resposta farmacológica máxima quando interage com o

receptor. Já o Antagonista não promove qualquer resposta farmacológica, inibindo

também o receptor de interagir com outro agente farmacológico. Antagonista parcial é a

forma intermédia de acção de um fármaco e respectiva interacção com o receptor.

É de salientar que existem sinais de feedback farmacodinâmicos de extrema

importância visto por vezes não ser possível a quantificação da resposta farmacológica.

Os sinais vitais dos batimentos cardíacos, a pressão sanguínea, a temperatura, a

respiração e a saturação de oxigénio arterial são alguns exemplos de sinais de feedback

para um CLDD.

Onde 1k é a constante da taxa de associação expressa em unidade inversa do produto da concentração e do tempo

Onde 2k é a constante da taxa de dissociação expresso em unidades inversas do tempo.

24

( ) ic p d

KG s K K ss

= + +

Teoria de Controlo

Na teoria de controlo, a saída y(t) de uma planta h(t) é comparada a um sinal de

entrada de referência u(t). É possível diminuir o erro entre os dois sinais através de um

algoritmo de controlo associado a um controlador cg (t) . Num sistema CLDD são

utilizadas estas estratégias de controlo, parte integrante e necessária desse mesmo

sistema.

Note-se que um sistema “closed-loop” constituído por um controlar PID e uma

planta H(s) só será estável se todos os pólos do sistema da função de transferência tiver

parte reais negativas.

Este tipo de estratégia de controlo também se encontra presente em controladores PID

(proportional-integral-derivative). Tal como o nome indica, um controlador PID possuiu

uma função de transferência ( )cG s , um ganho proporcional pK , um termo de integração

iKs

e um termo de derivação dK s .

25

De forma a construir um controlador PID robusto é necessário seguir uma série

de passos, descritos de seguida:

1 – Especificar o tempo de amostragem do sistema e seleccionar a frequência.

2 – Usar a função ITAE (“integral of time multiplied by absolute error”) para calcular

os coeficientes PID.

3 – Seleccionar um pré-filtro ( )pG s para eliminar os zeros na função de transferência do

sistema “closed-loop”.

Significância

Nos dias de hoje o sistema “closed-loop” é utilizado por anestesistas,

cardiologistas e em problemas endócrinos. No entanto, o primeiro a obter a aprovação

FDA (“Food and Drug Administration”) desenvolvido pela “Gensia Automedics”.

Através de novos métodos científicos é possível encontrar alternativas a métodos

mais complexos e desgastantes para o paciente. Iremos tomar como exemplo doença da

artéria coronária que corresponde a 25% da taxa anual de morte nos países

desenvolvidos.

Para prevermos uma possível isquemia do miocárdio, os métodos mais comuns

ate então eram o de provocar um teste de stress através do exercício físico e a técnica

invasiva da cavidade do átrio do coração. No entanto estes métodos são pouco toleráveis

e o uso de agentes farmacológicos é então, cada vez mais, uma alternativa.

Como agentes de stress farmacológicos temos o “isopoterenol”, a “dobutamine”

e o “diprydamole”. Por estas moléculas não serem totalmente equilibradas causando

26

efeitos secundários indesejáveis foi necessário desenvolver um agente de stress

alternativo.

É dentro deste contexto que aparece a “catecholamine arbutamine”. Este

fármaco consegue induzir uma estimulação mais equilibrada a nível chronotropic

(afecta a velocidade ou a taxa) e inotropic (afecta as contracções musculares).

‘Closed-loop drug infusion’ em testes de stress farmacológico

O sistema GenESA CLDD, de natureza diagnostica, foi desenvolvido para

analisar a resposta cardíaca de um paciente à administração do agente de stress

farmacológico arbutamina. O modelo matemático baseado neste modelo

farmacodinâmico é o seguinte:

0 1 2( ) ( 1) ( 2) .inf( )HRa t HRa t HRa t kα α α β+ − + − =

onde HRa(t) representa o aumento da resposta cardíaca, inf representa a taxa de infusão,

α0 é assumido como igual a 1 e α1, α2 e β são constantes.

Este sistema utiliza um algoritmo de controlo PI (‘proportional-integral’) e

várias leis empíricas para regular o aumento da resposta cardíaca durante a

administração de arbutamina.

27

Modelo Compartimental Não-Linear

O transporte de um determinado fármaco pode ser descrito através de um

modelo linear. Para este tipo de análise linear assumimos que os parâmetros

farmacocinéticos não se alteram com a dose do fármaco.

No entanto, experimentalmente observou-se, que para maiores doses de fármaco,

existem desvios em relação ao modelo linear.

Este comportamento não-linear é denominado ‘dose-dependent kinetics’.

A equação básica de descrição do transporte de fármaco (determinada pelo

principio de balanço de massas) é:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

N N

i ij ij Xj j

j i

q t R t R t tµ= =

≠

= + − +∑ ∑

Como vimos anteriormente o fluxo no modelo linear dependia de taxas de

difusão assumidas como constantes. Este deverá em certas situações ser substituído por

funções que variam com o parâmetro tempo, definindo assim modelos não-lineares.

Os modelos lineares mais analisados são os de ‘Michaelis-Menten (M-M)’ e

relação bilinear, tendo ambos, características baseadas nos processos biológicos em que

foram observados.

Modelo Compartimental Não-Linear – ‘Michaelis-Menten’

Este modelo é baseado na análise da interacção entre enzima E, e substrato S, da

qual resulta um produto P.

A enzima (proteína) é o catalisador do mecanismo que aumenta a taxa,

velocidade de reacção sem que sofra alterações estruturais no decorrer do processo.

O mecanismo enzima substrato esquematizado

28

[ ] 0d ES

dt=

O mecanismo enzima-substrato esquematizado

Num primeiro passo a enzima liga-se a um substrato (1), diminui a energia de

transacção de estado (consumo energético menor) (2) e cataliza a reacção (3).

Definição

A equação que descreve o processo segundo as suas concentrações é

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 1

4 2

k k

k kE S E S E P → →+ +← ←

onde ES representa o complexo enzima-substrato, 3k é a taxa de associação do

complexo, 4k é a taxa de dissociação, e 1k é a taxa constante do catalisador. A

constante 2k é assumida neste processo como irrelevante (aproximadamente 0). Nesta

relação assume-se que maior a quantidade de complexo ES formada, mais rapidamente

ES é dissociado (Briggs-Haldane).

Então, o complexo ES é primeiro composto e rapidamente atinge um estado de

equilíbrio no qual se mantém constante.

A formação do complexo ES, no tempo é dada pela derivada

[ ] [ ][ ] [ ]3 4 1( )d E S

k E S k k E Sd t

= − +

Num estado de equilíbrio, isto é , temos que

[ ] [ ][ ]3

4 1

kES E Sk k

= +

,de onde podemos tirar a constante mk (constante de Michaelis)

visto que 3

4 1

1

m

kk k k

= +

.

29

Agora, temos de lidar com a dificuldade que representa [E] ser a concentração

de enzima livre (‘uncomplexed’) e esta usualmente é desconhecida. O valor

normalmente conhecido é a concentração total da enzima [ ]tE , mas

[ ] [ ] [ ]tE E ES= −

usando as equações já demonstradas podemos concluir que

[ ][ ] [ ][ ][ ] t

m m

E ES ES SES

k k= −

da qual resulta que

[ ][ ][ ][ ]

t

m

E SES

S k=

+

A velocidade de reacção é dada por 1[ ]V k ES= , reagrupando as equações

anteriores resulta [ ][ ][ ]1 t

m

k E SV

S k=

+

Numa situação de saturação, cada molécula de enzima está ocupada por outra de

substrato. Nesta situação a velocidade é máxima, e podemos reescrever a equação desta

forma [ ][ ]

max

m

V SV

S k=

+.

Nos termos de uma função não-linear (modelo compartimental), podemos

descrever o fluxo como velocidade (unidades de massa/unidade tempo) e usar a mesma

forma da equação

É razoável assumir, que este tipo de mecanismo possa saturar. O gráfico

seguinte demonstra a relação velocidade, concentração de substrato.

Curva de Michaelis-Menten

( ) ( )( )

max ii j

i m

V q tR t

q t k=

+

30

Cálculo de parâmetros

A equação ( ) ( )( )

max ii j

i m

V q tR t

q t k=

+, substituindo a equação básica de descrição do

transporte de fármaco descrita no início do capítulo, condiciona o cálculo dos

parâmetros deste sistema. Uma variação mínima nos dados da solução, ou em relação

aos valores inicias do sistema, implica uma mudança drástica nos resultados calculáveis.

Um método alternativo de caracterizar os dois parâmetros vmax e Km , envolve o

uso de um modelo compartimental linear.

Neste método usa-se uma aproximação, através de constantes que definem o

fluxo para diferentes doses de fármaco.

Gráfico Lineweaver-Burk

Para lidar com os dados experimentais podemos escrever a equação anterior

como

Numa situação experimental podemos medir v em função de [S]. Se analisarmos

o gráfico 1/v por 1/[S] devemos ter um resultado linear com uma inclinação, KM/vmax e

interceptar 1/vmax.

No entanto os erros na medição, associados aos erros de dados, não tornam este

método recomendado visto que o método acaba por incrementar o erro.

31

Exemplo da saturação

Como exemplo da dinâmica de Michaelis-Menten, vamos analisar o efeito

glicose/insulina. Nos animais é muito importante a função regulatória que permite a

manutenção dos níveis de glicose em limites bastante estreitos. A conservação dos

níveis de glicose nestes valores é conseguida através das hormonas insulina e glucagon.

O esquema seguinte representa o processo pelo qual a manutenção dos níveis de

glicose é conseguida.

De acordo com a hipótese, o transporte de insulina do plasma para a linfa

(derivado do fluido intersticial) é facilitado devido aos receptores de insulina

periféricos. Sendo a hipótese proposta verdadeira, este mecanismo poderia estar

associado a estados patológicos, i.e., defeitos na taxa de transporte poderiam explicar a

intolerância à glicose (incapacidade de processar a glicose), diabetes, e outras doenças

onde se manifeste a resistência à insulina.

Nível de glicose aumenta após a

refeição

Produção de glucagon por parte do pâncreas – induz

libertação de glicose para o fluxo sanguíneo e gliconeogenese

Diminuição do nível de glicose após algumas horas

Absorção nas células é promovida pela

insulina

32

2 21 1 02 12 2( ) ( ) ( ) ( )c t k c t k k c t= − +

21k

2 ( )c t

1( )c t

12k

02k

De acordo com este modelo, a insulina do plasma é transportada para o fluido

intersticial segundo uma taxa constante 12k .

Se o transporte ocorre apenas por difusão, ambas as constantes são diferentes de

0.No entanto se o transporte (plasma/fluido intersticial) é facilitado por receptores de

insulina periféricos então 12k é igual a 0 e 21k decresce com o aumento de insulina. A

degradação de insulina após a sua ligação ao seu receptor na células do fluido

intersticial é representada por 02k .

Relação Bilinear

Como alternativa podemos descrever um fluxo através de uma relação bilinear.

Desta forma, o fluxo é proporcional ao produto de duas funções pela seguinte forma

( ) ( ) ( )ij ij a iR t b q t q t=

equação na qual ijb representa uma constante.

Este mecanismo foi usado para descrever a dependência da glicose no transporte

da insulina, situação que vamos analisar.

1( )u t

33

Fígado

r(t)

g(t)

i(t)3k

2k

1k

4k

5k

6k

Tecidos periféricos

Células pancreáticas beta

Tecidos utilizadores glicose

Distribution kinetics

Distribution kinetics

Exemplo (dependência da glicose no transporte da insulina)

O investigador Richard Bergman, publicou o primeiro artigo descrevendo o que

ficou conhecido como o ‘minimal model of insulin sensibility’. Com este trabalho

pretendia quantificar a influência do decréscimo da sensibilidade periférica à insulina,

quando um organismo é exposto a uma determinada quantidade de glicose.

O modelo é baseado em amostras de insulina e de glicose no plasma obtidas

através de uma injecção de glicose intravenosa (‘intravenous glucose tolerance test’,

IVGTT). Tenta caracterizar a súbita, multifaseada resposta secretora de insulina a uma

injecção de glicose.

O sistema de regulação de glicose no sangue pode ser simplificado, excluindo os

efeitos do glucagon e separando o processo em dois subsistemas.

a)

i(t)

g(t)

b)

34

Para este modelo, é assumido que a insulina tem uma função que impele a

entrada num compartimento remoto, r(t), com uma taxa constante de 2k , e é retirada

deste compartimento a uma taxa de 3k . É também assumido que a assimilação de

glicose nos tecidos é directamente dependente da insulina neste compartimento

(segundo uma taxa de 4k r(t)g(t)). Esta relação bilinear é consistente com a existência de

um compartimento remoto, intimamente relacionada com a acção da insulina e aumento

da mobilidade de glicose através da membrana celular.

A análise feita ao esquema acima projectado conclui que o fluxo de glicose é a

diferença entre o balanço da glicose hepática, b(t), e o desaparecimento de glicose nos

tecidos periféricos ( )pu t

0 5 6( ) [ ( )] ( )b t B k k r t g t= − +

0B é o valor esperado quando a concentração de glicose é extrapolada a zero. 6k é a

constante que representa a dependência directa de produção de glicose no fígado com a

insulina no compartimento remoto.

Podemos escrever das relações anteriores e mediante o esquema que

1 4( ) [ ( )] ( )pu t k k r t g t= +

Podemos então concluir que o fluxo de glicose é

( ) ( ) ( )pg t b t u t= − .

Do esquema anterior podemos também determinar uma expressão para o fluxo

de insulina no compartimento remoto

2 3( ) ( ) ( )r t k i t k r t= −

Através de simplificações matemáticas e introduzindo uma nova variável de

estado x(t), sempre de acordo com o esquema acima disposto temos

4 6( ) ( ) ( )x t k k r t= +

considerando 2 3p k= − e 3 2 4 6( )p k k k= + podemos reescrever as equações anteriores

como

2 3( ) ( ) ( )x t p x t p i t= +

Também segundo algumas alterações podemos reescrever g(t)

1 4( ) [ ( )] ( )g t p x t g t p= − + ,

35

onde 1 1 5( )p k k= − + e 4 0p B= . Assumindo também 5p como a concentração inicial de

glicose podemos concluir que estas duas equações representam o modelo minimal.

Através da função de transferência previamente estudada, pode ser demonstrado

que o modelo minimal é a priori identificável pelos parâmetros

1 2 3 4 5[ ]Tp p p p p p=

O modelo é usado para caracterizar a sensibilidade à insulina. A efectividade de

glicose E(t), é definida como o desaparecimento de glicose devido a um aumento da

concentração de glicose no plasma. ( )( )( )

g tE tg t∂

≡ −∂

Este valor pode também ser calculado pela seguinte expressão

1( ) ( )E t x t p= −

A sensibilidade à insulina, é então definida, numa situação estável, como a

influência da insulina no mecanismo de processamento da glicose e no seu próprio

desaparecimento.

SEI

SE

ESi

∂≡∂

usando as relações previamente estabelecidas concluímos que a sensibilidade à insulina

pode também ser descrita pela relação 3

2I

pSp−

=

Este modelo foi validade experimentalmente em alguns animais.

Como demonstrado, este modelo permite que os dados relativos à glicose no

plasma sejam relacionados com a insulina no plasma (como input). Foi também

demonstrada a existência de uma relação hiperbólica entre ambos (estudo realizado pelo

investigador Daniel Porte). Assim quando a sensibilidade à insulina é grande, grandes

variações nas sensibilidades à insulina deverão resultar em pequenas variações no

mecanismo, pelo contrário e quando a sensibilidade é baixa, pequenas variações

deverão desde logo induzir maiores variações no processo.

36

Conclusão

Vimos como os modelos compartimentais, podem ilustrar e traduzir

matematicamente fluxos não-lineares. Um modelo compartimental não-linear adquire

principalmente funções como as enunciadas anteriormente, isto é, Michaelis-Menten ou

relação bilinear. O fluxo resultante da dinâmica de Michaelis-Menten satura quando

analisadas doses elevadas e o resultante de relação bilinear, é baseado na relação de

duas funções.

A dinâmica de Michaelis-Menten é baseada na análise da cinética do mecanismo

enzima-substrato. A equação não-linear resultante usa a mesma forma que a equação

que descreve a cinética das enzimas.

Infelizmente, quando um destes fluxos é incluído num modelo compartimental, uma

estimativa dos parâmetros do sistema torna-se condicionada. Portanto, é aconselhado

um processo alternativo para o cálculo dos parâmetros do sistema. Uma aproximação a

um modelo linear é uma alternativa.

A relação bilinear é um processo que descreve a dependência do transporte de

glicose na insulina num compartimento remoto, r(t). Neste mecanismo é assumido que a

absorção de glicose pelos tecidos está directamente relacionada com a insulina num

compartimento remoto. Da mesma forma que se assume que a produção de glicose no

fígado também esteja directamente relacionada com a insulina. Estas relações bilineares

são decisivas na formação de modelos minimais de sensibilidade de insulina que

quantificam a influência da insulina na tolerância do organismo à insulina.

37

Implementação em Simulink

Modelo matemático que representa a variação de [ES] ao longo do tempo:

3 4[ ] [ ][ ] [ ] [ ]cat

d ES k E S k ES k ESdt

= − −

Simulink

0.3

kcat

0.5

k4

Scope

3

S

Product

1s

Integrador ES

2

E

0.5

k3

38

Resultados

Como era de esperar, verifica-se que quanto mais ES se forma, mais ES se

dissocia. O complexo [ES] tem um crescimento muito acentuado nos primeiros

instantes, mas rapidamente atinge um estado em que se torna constante – saturação.