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MODELOS MISTOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA
ANÃLISE DE GRANDES DEFORMAÇOES
Elson Magalhães Toledo
TESE SUB~IBTIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAJvl..AS DE
PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇAO DO
GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.Sc.).
Aprovada por:
elson Francisco Favilla Ebecken Presidente
Edison Castro Prates de Lima
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JANEIRO DE 1980
TOLEDO, ELSON MAGALHÃES Modelos Mistos de Elementos Finitos para
Análise de Grandes Deformações IRio de Janei rol 1980. -
VIII, 80p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 1980 ..
Tese - Universidade Federal do Rio de Ja neiro. Faculdade de Engenharia
1. Elasticidade, Modelos Mistos, Grandes Deformações I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
lll
A Regina
Aos Meus Pais
lV
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Nelson Francisco Favilla Ebecken, p~
la orientação, amizade e constante estímulo.
Aos Professores da COPPE/UFRJ, na pessoa de seu
Diretor Paulo Alcântara Gomes, pelos ensinamentos ministrados.
A Abimael F.D. Loula pela amizade e colaboração.
Ao Laboratório de Cálculo do CBPF pelas condições
oferecidas na etapa final desse trabalho.
Aos funcionários da Biblioteca Central do Centro
de Tecnologia da UFRJ pela atenção.
A CAPES-CNPq e a Universidade Federal de Juiz de
Fora pelo apoio financeiro.
A Helena Santos de Oliveira pelo esmerado traba
lho de datilografia.
V
SUMÁRIO
No presente trabalho pretende-se estudar o probl~
ma de grandes deformações de meios contínuos através de modelos
de elementos finitos mistos. Para tal deriva-se um princípio v~
riacional incremental tipo Reissner a partir do princípio da ener
gia potencial incremental. A análise se vale de formulação La
grangeana total e é aplicada a problemas de estado plano de ten
sões e estado plano de deformações e sólidos axissimétricos.
O processo de solução é puramente incremental e in
cremental com verificação de equilíbrio.
Consideram-se equações constitutivas de materiais
elásticos e hiperelásticos incompressíveis do tipo Mooney-Rivli~
O elemento implementado é do tipo isoparamétrito,
aproximando-se tanto as tensões como os deslocamentos pela mesma
função.
Alguns resultados sao apresentados e comparados
com outras aproximações.
V~
ABSTRACT
In the present work finite elastiéity problerns
are studied through the use of an isopararnetric rnixed elernent in
wich stresses and displacernents are approxirnated by the sarne in
terpolation functions.
This finite elernent rnodel is derived frorn a Reiss
ner-type incremental variational principle based on an incremen
tal potential energy principle.
A total Lagrangian forrnulation is used to analyse
axisyrnrnetric solids, plane stress and plane strain problerns.
Two types of solution are available: a purely in
cremental solution and .an incremental scherne with equilibriurn
checking.
Constitutive equations for elastic and incornpres
sible Mooney-Rivlin type rnaterials are considered.
Sorne results are presented and cornpared with other
solutions.
I
II
Vll
fNDICE
- INTRODUÇÃO ........................................ . 1
- MATERIAIS ELÁSTICOS LINEARES ...................... . 4
2.1 - Procedimentos Incrementais .. ... . . . . ........ .. 4
2.2 - Forma Incremental do Princípio da Energia Po-
tencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 - Forma Incremental do Princípio Variacional de
Hellinger-Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 - Modelo Discreto . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . 16
2.4.1 - Estado Plano de Tensões .. . . .... .... .. 21
2.4.2 - Sólido Axissimétrico ................. 23
III - MATERIAIS HIPERELÁSTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IV
3. 1 - In tradução .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 26
3.2 - Problemas de Estado Plano de Tensões .. ....... 33
3.3 - Estado Plano de Deformação..................... 36
3.3.1 - Equação Constitutiva 36
3.3.2 - Forma Incremental do Princípio da Ener gia Potencial ....................... --:- 38
3.3.3 - Forma Incremental do Princípio Vatia-cional de Hellinger-Reissner ... ...... 40
3.3.4 - Modelo.Discreto . . .. . . .. . .. . . .. . . . . . .. 43
- RESULTADOS E COMPARAÇÕES .......................... . 46
4.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. .. . . . . . . 46
4. 2 - Viga em Balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 - Casca Esférica Abatida ....................... 50
4.4 - Membrana de Material Hiperelistico Incompressi
ve 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
4. 5 - Membrana com Furo Circular . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 56
4.6 - Cilindro de Comprimento Infinito .. .. ..... .... 62
viii
V - CONCLUSÕES ..•.•••.••••.•••••••••••••••••••••••• 69
BIBLIOGRAFIA • • • . . . • • • • . • • • • • • . • • • • • . • . • • • • • . • . • • • • • • • 72
NOTAÇAO • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . 7 7
1
I - INTRODUÇÃO
O Método dos Elementos Finitos, modelo deslocame~
to encontra-se atualmente bem estabelecido e amplamente difundi
do no estudo de estruturas de comportamento linear. Entretanto,
a necessidade de se considerarem modelos mais realísticos e, de
se efetuarem análises cada vez mais precisas de determinados com
portamentos estruturais críticos determinou a extensão desse me
todo para o tratamento de problemas envolvendo não linearidades.
Dessa forma, a solução dos problemas da elastici
dade finita por intermédio do Método dos Elementos Finitos tem si
do extensivamente desenvolvida com o uso de modelos de desloca-
mentas i,s,s,11 Nesses estudos vale-se quase sempre de urna forma
modificada do princípio dos deslocamentos virtuais que conduz a
um procedimento incremental.
Apesar dos modelos mistos e híbridos fornecerem ex
celentes aproximações quando aplicados a análise linear 32 i 2º, 37 •"'
um reduzido número de publicações e encontrado na literatura
utilizando essas formulações no tratamento de problemas envolven
do comportamentos não lineares físico ou geométrico.
No entanto, algumas refe,rências empregam es
ses modelos para tratar de não linearidade geornétrica 36 • 27• 40 , in
cluindo-se análise de estabilidade elástica 38 e, materiais não li
neares 24 •
A referência [7] apresenta um desenvolvimento uni
ficado de formas incrementais dos diversos princípios variacio
nais associados aos modelos de elementos finitos,sendo essas for
mas derivadas diretamente de urna expressão incremental do princf
2
pio dos deslocamentos virtuais.
Através.· dir segunda variação dos funcionais asso
ciados a esses modelos ,Pian e Tong 29 desenvolvem formas incremen
tais que são interpretadas como um sistema de equações diferen
ciais ordinárias,tendo como variável independente um parâmetro
de carregamento.
Mais recentemente em [2] , aplica-se um modelo mis
to derivado de um princípio variacional incremental, tipo Reissner,
a corpos de materiais hiperelásticos incompressíveis sujeitos a
grandes deformações. A análise desses problemas tem sido desen
volvida em [1, 6, 8, 11, 14, 15] empregando-se modelos de deslo
camentos.
Ainda com relação aos materiais hiperelásticos i~
compressíveis merecem ser destacadas as contribuições de Argy
ris 33, 3'+, 39
No presente trabalho, valendo-se de uma formula
ção Lagrangeana total, a análise de problemas de elasticidade fl
nita de materiais elásticos lineares e hiperelásticos incompres
síveis é conduzida por elementos mistos isoparamétricos, deriva
dos de uma forma incremental do princípio variacional de Reissner.
A partir do princípio dos deslocamentos virtuais
deriva-se no Capítulo I, para o caso de materiais elásticos li
neares, a forma do princípio variacional incremental utilizada,
bem como sua consequente aplicação no contexto do Método dos Ele
mentas Finitos.
No Capítulo seguinte,analisa-se para os materiais
incompressíveis a classe particular de problemas em que a pres
são hidrostática pode ser eliminada da formulação (estado plano
3
de tensão}.
Em seguida, obtém-se o princípio variacional para
os casos em que essa variável deve ser considerada como uma in
cógnita adicional.
Ressaltam-se, nas formulações desenvolvidas os te~
mos que permitem efetuar para cada incremento de. carga.correções
iterativas de modo a evitar que a resposta obtida se afaste da
solução exata.
No Capítulo IV comparam-se alguns resultados nume
ricos com outras aproximações e, finalmente, algumas conclusões
são apresentadas no Capítulo V.
4
II - MATERIAIS ELÁSTICOS LINEARES
2 .1 - PROCEDIMENTOS INCREMENTAIS
Os procedimentos incrementais fornecem uma alter
nativa que tem se mostrado de grande utilidade na análise pelo
Método dos Elementos Finito~,de problemas envolvendo grandes de~
locamento s, grandes deformações e relações constitutivas di ver
sas.
Valendo-se de uma formulação Lagrangeana total,d~
senvolve-se a seguir uma forma incremental do princípio variacio
nal de Hellinger-Reissner aplicado .a materiais de comportamento
elástico. A aplicação da técnica do Método dos Ele.mentas Fini
tos a esse princípio,por intermédio de aproximações adequadas p~
ra os campos de tensões e deslocamentos no domínio considerado,
permite estabelecer um procedimento incremental para a resolução
dos problemas mencionados.
Considere-se o movimento genérico de um corpo, co
mo indicado na Figura 2.1
Durante o movimento,a area e o volume desse corpo
variam continuamente , denotando-se por e ºv ,
tv , t+lltv os valores dessas grandezas nos tempos O , t e· ,t+ilt
respectivamente.
dividida em:
Além disso supõe-se a superfície externa,
0 s parte do contorno onde sao prescritas as forças de o superfície
0 s parte do contorno onde se prescrevem os deslocamen-u tos
ºx •x t+dt, 2' 2 1 2
o A
ºv CONFIGURAÇÃO NO TEMPO ó
tv CONFIGURAÇÃO
NO TEMPO t
Flgura2.LMovimento de um corpo em um slstemo de coordenadas cartesianas
CONFIGURAÇÃO NO TEMPO ltAt
ºx t- t-+ôt· 1 , X 1 , XI
, '
1
crição
t+6 t X·
l
6
Utilizando-se coordenadas cartesianas para ades-
do movimento desse corpo e, denotando por o t x. ' x.
l l e
as coordenadas de um ponto P , respectivamente no tempo
zero, t e t + 6t , com i = 1, 2, 3 tem-se as relações:
onde t u. l
e t+l\t u.
l
t+t,t X- =
l
o t+l\t X- + U-
l l
t o X- = X- + t u.
l l l
(2. 1)
(2.2)
sao as componentes cartesianas dos desloca
mentas desse ponto, em t e t + l\t .
O incremento de deslocamento do tempo t ao tem
po t + 6t e dado por:
u. l
t+l\t u. l
t u. l
e 2. 3)
O que se pretende de um procedimento incremental no estudo do mo
vimento de um corpo.como o da Figura 2.1,é a determinação das con
figurações de equilíbrio desse corpo em intervalos discretos de
tempo, O , 6 t , 2 6 t , . . . , t e t + li t .
Assumindo que as soluções em todos ·inte.rvalos do
tempo O ao temno t , inclusive, tenham sido encontradas, nro
cura-se estabelecer um processo que permita determinar a solução
para o instant"e t + l\t , seguinte. A aplicação sucessiva desse
processo permite a de~erminação de todas configurações de equilf
brio desejadas.
7
2. 2 - FORMA INCREMENTAL DO PRINCIPIO DA ENERGIA POTENCIAL
A condição de equilíbrio de um corpo na configur~
çao de tempo t + tt , referida a sua geometria indeforrnada,pode
ser expressa pelo Princípio dos Deslocamentos Virtuais que se es
creve 13, 8 :
sendo:
onde:
t+L\t . R
t+ttS. _ o lJ
t+tt8 __ 6 t+ttE .. ºdv = o lJ o lJ
(2.4)
e z. s)
- trabalho virtual das forças externas
- cornponen tes do 2 9 tensor de tensões de Pio
la-Ki rchhoff
- componentes do tensor de deformação de
Green-Lagrange
Forças de superfície e de volume respect! varnente.
Todas as grandezas definidas corno atuantes na con
figuração de tempo t + tt , são medidas com relação ao estado ini
cial, indeformado (t = O) , que e a configuração de referência
de urna formulação Lagrangeana total.
8
O tensor de deformação utilizado e definido por
suas componentes como 13 :
onde:
t+lltE .. o l)
= 1 ct+lltu .. + t+lltu .. + t+lltuk . t+lltuk .) 2 01,J OJ,l O ,l O,}
t+llt u .. = o l,J
't+llt a U.
a x. o J
l
sendo todas as outras derivadas obtidas de modo análogo.
(2.6)
(2. 7)
Em virtude da escolha da configuração indeformada
como referência para exprimir a condição de equilíbrio anós a de
formacão, torna-se necessário a definição dos tensores de defor
mação e de tensão medidos com relação a essa configuração.
O uso das deformações de Green-Lagrange, já defi
nidas anteriormente na. equação (2.6), decorre desse fato. Com re
lação as tensões, o segundo tensor de Piola-Kirchhoff aparece co
mo uma alternativa para essa definição. A relação entre esse ten
sor e o tensor de tensões de Cauchy expressa em termos de suas
componentes é dada por13:
t+llt cr . • = Jl
1 F t+lltS F det F j1 o !k ki (2. 8)
com
(2.9)
onde:
9
t+L\t a .. - componentes do tensor de tensões de Cauchy em Jl
t + L\t
Fki - componentes do gradiente da deformação entre as con figurações de tempo zero e t + L\t
O princípio dos deslocamentos virtuais apresenta
do~na equaçao (2. 4) é inteiramente geral, sendo válido para pro
blemas envolvendo grandes deslocamentos e grandes deformações,
não contendo nenhuma limitação com relação as equaçoes constitu
tivas. Deve-se esclarecer no entanto que no presente .estudo a
análise fica restrita a consideração de cargas externas conserva
tivas.
Como na expressao (2.4), as tensões t+i1t 8 _. o lJ e as
deformações t+LltE .. o lJ
não são conhecidas, efetuam-se as seguintes
decomposições incrementais:
t+i1t 5 _. = o lJ
t+L\tE .. = o lJ
t s .. + s .. o lJ o lJ
t E .. + o lJ
E .. o lJ
(2.10)
(2.11)
onde t E .. o lJ
e t s .. o lJ
sao respectivamente as deformações e as ten
soes, previamente determinadas, atuantes no instante t As de
mais parcelas, S .. , E .. , representam os incrementas dessas o lJ o lJ
grandezas entre as configurações de tempo t e t + L\t
Com essas decomposições e notando-se que
cS t+L\tE .. o lJ
cS E .. o lJ (2.12)
obtem-se,a partir de (2.4),uma forma incremental do Princípio dos
10
Deslocamentos Virtuais que se exprime por:
s. . éi O 1]
E .. 0 dV O 1]
t s . . éi O 1]
E .. 0 dV O 1]
(2.13)
A aplicação do Método dos Elementos Finitos, mod~
lo deslocamento, a formas linearizadas de (2.13) tem permitido a
obtenção de soluções aproximadas de diversos problemas da elasti
cidade não-1 inea r 1• 3, 5,G,a,i,;i7 .•
Definindo-se uma função energia de deformação in
cremental 0
A , tal que
ou
3 A (E .. ) O O 1] 3 E ..
O 1]
éi 0
A ( E .. ) O 1]
= s .. O 1]
(2.14a)
S. . éi E .. O 1] O 1]
(2.14b)
e, admitindo-se a existência de um potencial para as forças ex
ternas, a equação (2.13) se escreve:
(2.15)
onde
( E '+ ts E .. - - t+L'ltp uk) 0 dV -o ij) o i.j o lJ o k t+L'ltT u · ºds·
o k k a
(2.16)
11
A equaçao (2.15) representa uma forma incremental
do princípio da energia potencial para o caso de materiais elás
ticos.
2.3 - FORMA INCREMENTAL DO PRINC!PIO VARIACIONAL DE HELLINGER
REISSNER •
As relações deslocamento-deformação na configura
çao de tempo t + 6t podem ser incrementalmente decompostas co
mo is :
onde:
t E .. + o lJ
E .. ;;; o lJ
t 1 .. o lJ
t t 1 .. + fl .. + 1. · + fl· ·
o lJ o lJ o lJ o lJ (2.17)
(2.18a)
1-. • !2 ( u .. + u .. + tuk. uk . + tuk . uk .) o lJ o l 'J o J , l o 'l o , J o 'J o , l
(2.18b)
t 1 t t onij - 2 e uk . ouk,j) o ,l
(2.19a)
- 1 (ouk i uk .) onij "Z , o , J (2.19b)
Para obter um princípio variacional incremental no
qual estejam sujeitos a variações,os incrementas de deslocamen
tos e de tensões, introduz-se inicialmente a relação (2.17) em
(2.16) utilizando a técnica dos multiplicadores de Lagrange~
Dessa forma,obtem-se um novo funcional:
12
11*=!:,11 p p
(2.20)
Em 11* os multiplicadores de Lagrange, represenp
tados na expressao anterior por À .• , devem ser lJ
tratados
grandezas adicionais sujeitas a variações ou seja:
fornece:
6 11 * = p d
que leva a:
11 * p 11 * ( E . . , À • • , uk) p o lJ lJ
A condição de estacionaridade de
d 11 * p E ..
o lJ
6 11 * p
d 11 * 6 E .. + cl p
o lJ À .• lJ
o
ó À .• lJ
11 * p
= o
como
(2.21)
(2.22)
(2.23)
º 11; = I º + tS .. - À •• ) ó E .. O lJ 1J O lJ
ºdv+Í ). .. ó( l!, .. + n--) 0 dv-J, lJ o lJ o lJ V °v
-I °v
(tE .. + E .. - tl!, .. -0tn
1.3. - l!, .. - n- .) ó À-. 0 dv -
O 1J O 1J O lJ O 1J O 1J lJ
- J t+t:,tr ou ºdv -o k k
ºv
t+t:,tT ' ºdS o k u ~ o o (2.24)
Considerando-se, sem perda de generalidade, a si-
metria dos multiplicadores À. . , redefinindo lJ
13
À •. + À .. À-. ; lJ Jl lJ 2
(2.25)
e, aplic2nclo o teorema da divergência sobre o -segundo teJOmo,. da· expres s ao
(2.24},levando em conta aue o u ; o k ºs t em u, em-se:
º 11· - I p - o V
+ tS. . - À .. ) o E. . o dV -o lJ lJ o lJ
-I ºv
+ t ~\j + t+l\t
À-.) n. _ t+lltr J o uk ºd s CJ uk . o ,l lJ o J o k s
CJ
t Ek· . + ( t+ l\t
À- .) . - t+l\trJ a u ºdv ; J ,J ouk,i lJ ,J o k k
V
ºdv +
o (2.26)
onde n. o 'J
sao os cossenos diretores da normal ao contorno do cor
po considerado, na configuração indeformada.
Como as variações
arbitrárias e independentes, para
cessário que se cumpram:
o E. . , o o lJ
À .. e o uk sao lJ
em ºv
que (2.26) seja satisfeita é ne
tE .. + E .. o lJ o lJ
a A o E ..
o lJ
t + s .. o lJ
t t == i .. + n-. + i .. + ri-. o lJ o lJ o lJ o lJ
( t+l\t Àk . . + uk . À .. ) . ;
J 'J o , l lJ 'J t+l\tp
o k
(2.27)
(2.28)
(2. 29a)
14
e em ºs (J
t+lit n. (;\kJ. + uk . À •• )
o J o 'l lJ (2.29b)
As expressoes (2.27) e (2.14a) permitem identifi-
caro significado físico dos multiplicadores de Lagrange
Conclue-se então que:
"·. ; t+lits .. lJ o lJ
À .• lJ
(2.30)
Dessa forma as equaçoes (2. 27) a (2. 29) obtidas da
condição de estacionaridade de TI* são respectivamente, as equ~ p
ções constitutivas conforme definidas em (2.14a), as relações
deslocamento-deformação e as condições de equilíbrio no domínio
e no contorno.
A utilização de uma função energia de deformação
complementar incremental dada por:
OB ( S .. )
o lJ S.. E ..
o lJ o lJ ºA ( E .. )
o lJ
juntamente com a relação (2.30), na expressao de
(2.31)
TI* P . .-'
permite
que se elimine o campo de deformações das variáveis desse funcio
nal.
Obtem-se dessa forma um funcional que contem como
variáveis o campo de incremento de deslocamentos e de tensões.
- J ºs a
15
OB ( S .. ) + tS. . Il. . + S. . t .. } o dV -
o lJ o lJ o lJ o lJ o lJ
- J tpk u. 0d~ + J s.. n-.
0dv O K O lJ O lJ
ºv ºv
i .. 0 dv -o lJ
{2.32)
onde as parcelas nao sujeitas a variações foram eliminadas e:
t t ,Q,. • + Il ..
o lJ o lJ (2.33)
Para o caso de materiais lineares:
(2.34)
A condição de estacionaridade desse funcional,re
presenta o que se convencionou denominar de forma incremental do
princípio variacional de Hellinger-Reissner, isto e:
Nas aplicações do Método dos Elementos Finitos a
esse princípio variacional, a Última integral da expressao de
6 rrR, termo incremental de terceira ordem, e desprezada obtend~
se assim, uma forma linearizada de (2.32). Além disso, os dois
termos entre colchetes dessa equação, possibilitam, que se façam
em cada incremento, iterações de modo a evitar que a solução ob
tida se afaste da solução exata. Desta forma, e possível, neste
caso, verificar o equilíbrio e a compatibilidade das deformações.
16
Neste trabalho, desenvolveu-se um processo pura
mente incremental e um processo incremental com verificação do
equilíbrio, utilizando
t:, 'TTR = J (-°v
- J ºs o
ºdv -
(2.36)
para a solução puramente incremental, e com ó 'TTR da expressao
anterior acrescido do termo:
( t - tp ) o S .. 1.. 0
k uk dV -o lJ o lJ
(2.37)
para a solução incremental-iterativa com verificação do equilíbrio.
No entanto; importante notar que procedimentos
iterativos envolvendo verificações na compatibilidade das defor
mações tornam-se convenientes quando durante a anilise se utili
zam grandes incrementas.
A referência [27] apresenta excelentes resultados
obtidos em casos onde se pretende a solução para um determinado
nível de carregamento, aplicando-se um Único incremento de carg~
2.4 - MODELO DISCRETO
Fazendo uso da notação matricial, o funcional da
equaçao (2.36) com a parcela apresentada em (2.37), pode seres
crito como:
Í', 1T = R I ~
ºV L
17
B ( S) + ST ~ + tST n - PT u 0 dV -O- O- 0- O- 0- O-
(2.38)
Na presente análise, valeu-se de elementos isopa
ramétricos utilizando-se as mesmas funções de interpolação que
aproximam a geometria.para expandir os incrementas de deslocamen
tos e de tensões.
por:
onde:
Estas expansoes sao representadas matricialmente
u = N V e
v - vetor dos incrementas dos deslocamentos nodais
E - vetor dos incrementas das tensões nodais
Dessa forma tem-se que:
e u' = ~~NL V
(2.39)
(2.40)
Considerando-se um Único ,elemento a, intro.dução de
(2.39) e (2.40) em (2.3.8),conduz a:
= -
- J ºv
ou seja:
= -
onde:
k -o
o9 =
Iº V
tg =
Iº V
18
0 dv - J ºv
f = Jo
AT
V
~ = Io AT
V
J ºv
D A ºdv .Q- -
tB o-L
0 dv
= J tBT ts tB o-NL o- o-NL
ºv
NT p ºdv +
Iº NT
o-so
NT tp 0 dv + Jo NT
O-s
Iº tB t- 0 dv r = s o-NL O-
V
(2.41)
(2.42)
(2. 43a)
e 2 . 4 3b)
ºdv (2.43c)
T ºd s (2.43d) O- o
tT ºd s (2.43e) o- o
(2.43f)
19
A condição de estacionaridade de 6 TIR fornece:
r o T k o V q + tg r o ~ -a - O- - -
+ + ;
l g - f o o o o o
(2.44)
Definindo-se .os parâmetros nodais .para o no
1 (v~) por: -l
V~ - r -l - L9i'.i
vlT -iJ
A equaçao (2.45) toma a seguinte forma
(2.45)
(2.46)
quando se pretende efetuar verificações de equilíbrio em cada 1n
cremento e
(k * + k *) v* - q * ; O -O -O O-
(2.47)
para a solução puramente incremental.
Estas equações são estendidas a todo o domínio,s~
mando-se as contribuições de cada elemento, e resolvidas em cada
incremento e/ou iteração segundo os processos usuais.
Para o estudo de estados planos de tensões e. de.
sólidos axissimétricos, optou-se por elementos isoparamétricos qu~
dráticos com oito pontos nodais ,como na Figura 2.2.
20
6
)(s. 5
2
7 8
4
Figura 2. 2 _ E lamento isoparamétrico quadrático
\ .
-Nesse caso:
e
::Senào N i
V Yz ...
~T oPs j
O cálculo de derivadas do tipo
a N. 1 =
o 1, a N.
o l o xl
a função de interpolação para o no 1
(2.48a)
(2.48b)
(2.49)
e obtido a
partir das derivadas com relação as coordenadas locais (!; ' 11),
21
utilizando-se uma matriz Jacobiana, ou seja:
-d a ºx
1 a o Xz a
a o xl
ai; ai; ~
1 (2.50) = det F
a o a o a xl Xz d
a o Xz an an d Tl
onde:
det F = (2.51)
2.4.1 - Estado Plano de Tensões
Nesse caso temos para um no 1
J Ul l v. = > (2.52a) -l
l 1
uz ' J . l
r 05
11 l (2.52b)
o~i = < o5 z 2 >
l .0512 j.
l
As matrizes de interpolaçio A e N , como usuaL
sao convenientemente formadas de suas submatrizes A. -l
e N. -l
A matriz que relaciona a parte linear dos incre
mentas de deformaçio com os incrementas de deslocamentos nodais
é obtida por:
22
~ . onde para um no generico 1 tem-se:
tx N o 1,1 o i,l ' '
(2.53a)
-------------------------------'-------------------------------=
' ' ' ' ' -------------------------------'-------------------------------
onde:
t N . t N xl 1 · 2 + xl 2 · 1 o ' o l, o ' o l,
N . . = o l,J
'
a N. l
o d x. J
(2.53b)
(2.54)
Da mesma forma a matriz tB e composta das subrnatrizes o-NL
nidas corno:
N. l , O o l, . _______ , ______ _ . '
N ' O Ü i,l 1·
-------,-------
l O ,,N.
1·•
o l, _______ , ______ _ O ' N.
. 1 --o 1 '2 ,
Para estado plano de tensões
(2. 55)
e sao defi
23
t osll
t oS12 o o
t oS21
t oSzz o o
ts = (2.56) o-o o t
osll t oS12
o o t oS21
t os22
t-
l'.'11 l (2.57) s = os22 o-
t 1 L ºs, 2 J
2.4.2 - Sólido Axissimétrico
Na análise de sólidos axissimétricos,os veto-
res dos incrementas de deslocamentos e de tens6es nodais sio:
(2.58a)
r osll
1 1
oS22
~Ei = (2.58b)
oS12
l oS33 1
24
As matrizes de e ficam então
Í tx N. ' tx N. J o 1,1 o 1,1 ! o 2,1 o 1,1
1 ---------------------------1---------------------------N. 2 O 1,
N. 2 O 1,
---------------------------:---------------------------tx N- + t N o 1,1 o 1,2 oxl,2 o i,l
' t t ' Xz 2 N. 1 + Xz 1 N. 2 ! O , O 1, O , O 1,
' ' ---------------------------t---------------------------
l 1
í N. : O
1-º-1,l-t-------' O N.
2 1 o 1,
•! 1 _______ ,l ______ _
'
N. 2 : N. 1 o l' ' o l' ' ' --------' -------
N. 1
As matrizes ts o-
' ' ' o
t~ e S o-
o
(2.59)
(2.60)
tem a seguinte forma:
25
\ ;s11 t o o o
1 os12
t t o o o os21 os22
ts o-
o o t osll
t os12 o (2.61)
o o t os21
t os22 o
l o o o o t os33 J
psn l t os22
t-(2.62) s =
o-t os1z
l ;s33
Todas as integrações indicadas foram, como usual
em elementos isoparamétricos, efetuadas numericamente pelo méto
do de integração de Gauss.
26
III - MATERIAIS HIPERELÁSTICOS
3.1 - INTRODUÇÃO
Em decorrência dos materiais de que sao constituí
dos, alguns corpos ao se deformarem, sofrem apenas pequenas vari~
çoes em seus volumes. Como consequência natural, tais materiais
podem ser considerados incompressíveis.
A hipótese de incompressibilidade apresenta-se c~
mo a forma mais conveniente e que melhor se adapta ao estudo des
ses problemas.
A anilise de deformações finitas em corpos incom
pressíveis,constitue uma importante parte da elasticidade finita,
ji que nas aplicações, e frequente encontri-los submetidos a gran
des deformações. Como exemplo, citam-se as borrachas naturais e
sintéticas que compõem as membranas de balões infliveis de gran
des altitudes e alguns propelentes sólidos.
Além da preservaçao de volume nos materiais incom
pressíveis,o estado de deformação não se altera quando se adicio
na às tensões atuantes.um estado de tensão associado a uma varia
ção de volume. Dessa forma, as deformações determinam as ten
soes a menos de um escalar que é reconhecido como uma pressao
hidrostitica.
A condição de incompressibilidade se escreve:
det F; 1 (3. 1)
sendo as componentes de F definidas em (2.9). Esta expressao
conduz a algumas simplificações na obtenção da solução analítica
27
de problemas da elasticidade finita. Entretanto, isto nao ocor
re quando se utiliza o Método dos Elementos Finitos na determina
ção de soluções aproximadas.
Conclue-se da expressao (3.1) que as deformações
nos corpos constituídos de materiais incompressíveis, se limitam
a classe de movimentos isocóricos.
Pode-se exprimir a equaçao (3.1) em termos do ter
ceiro invariante do tensor de deformação (C) definido
por:
( 3. 2 a)
Tem-se então que:
de t C = I 3 = 1 ( 3 . 3)
Com o objetivo de ilustrar a verificação da res
trição (3.3) para o caso do neoprene, apreseritam-se nas Figuras
(3.1) os resultados experimentais, obtidos nor Alexanderl2 .. Nes
tas figuras, indicam~se a variação de r 3 e de cr 1 com a defo~
maçao.em uma película submetida a uma solicitação axial.
Em consequência da definição desses materiais co
mo hiperelásticos, o estado de tensões pode ser obtido por deri
vação de uma função potencial W , que representa a energia de
deformação.relativa a configuração atual por unidade de volume
indeformado, isto é:
s = aw ôE (3.4a)
.• ·;,. -
5.
4.
3.
2.
1.
.. o o
1.0
28
r, 1.2 '
'
,gs=· -"º'-º"' -e---_J,~---0-------.,,,-----,;----"''--1.o.,, o o
0.8 0- EXPERIMENTAL
0.6
E,-. ·0.4 '---1----+---+---+---+---....... --....... ---1----'-'•
1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 3.8 4.2
Figuro 3.L Verificação do hipótese de incompressibilidade do neoprene
o RESULTADOS EXPERIMENTAIS
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o o o o
2.0 4.0 6.0 8.0
Figuro 3.1 (o)_ Diagramo tensão - deformação
,o
o
f, 1.
ou tendo em vista que:
29
C=2•E+I
aw s = 2 ac
(3.4b)
(3.4c)
onde as componentes de S sao as tensões do 29 tensor de Piola
Kirchhoff referidas à confiQuracão inicial. ~.- .;,
Considerando-se isotropia, pode-se demonstrar que
W e função somente dos invariantes do tensor C , ou seja:
onde·:
(3.6a)
(3.6b)
det e (3.6c)
sao os invariantes de C e tr C denota o traço do tensor C .
Dessa forma, a equaçao (3.4) fica:
( 3. 7)
Para os materiais hiperelásticos incompressíveis
a equaçao (3.3), tratad~ como uma restrição na expressão de W ,
permite que se escreva:
30
(3.8)
A introdução da expressao (3.8) em (3.7) ,conduz a:
(3.9)
onde se utilizaram a-s derivadas dos invariantes de C que sao da-
das por:
I I - C 1
(det C) c- 1
(3.10a)
(3.10b)
(3.10c)
Nas expressoes (3. 4b), (3. 9) e (3 .10) o tensor iden
tidade e representado por I
-Várias aproximações de W (I 1 , I 2) , para mate-
riais específicos, são propostas nas referências [1, 12] . Como
exemplo citam-se as seguintes funções:
a) Estatística_ou_Neo-Hookeana
w = e cr1
- 3) (3.lla)
31
b) Mooney-Rivlin
c) Isihara,_Hashitsurne_e_Tatibana_ou_de_três_!~!~2~
I ( _l_)
3
(3.llb)
(3.llc)
(3. lld)
(3.lle)
Na Figura 3.2, apresenta-se urna cornparaçao entre
algumas dessas aproximações, com os resultados experimentais ob
tidos por Treloar em testes uniaxiais com borrachas sulfurosas.
-Utiliza-se no presente trabalho,a função W pr~
posta por Mooney, que é usualmente denominada de função de Moo
ney-Rivlin, dada pela relação (3.llb).
A equaçao (3.llb) tem sido a mais amplamente di
fundida e utilizada para os materiais incompressíveis.
Essa expressão tem-se mostrado bastante apropria
da para certas borrachas naturais e· vulcanizadas, quando em regi_
32
me de grandes deformações, Entretanto para deformações superio
res a 450 a 500% pode-se notar urna discrepância entre as experiêg
cias e os resultados obtidos com a utilização dessa. aproximação
para W.
ü,< Kg/cm 2 )
200
180
160
-3 TERMOS
140
120
100
80
60 o-TRELOAR
40
20
o ~---c:'::---c:t:---c--:->:----='::---:c+:----+-_. 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 60 7.0 &,
Flguro3.2_ Teste Uniaxial de uma borroéhll sulfurosa
33
A introdução de (3.llb) na expressao das tensões
(equação (3. 9)), conduz a:
s
ou, em componentes:
-1 2 cl I + 2 Cz (Il I + C) + h C . (3 .12a)
s .. lJ
-1 2 c1 ó .. + 2 c
2 cr 1 ó .. + e .. ) + h e.. (3.12b)
lJ lJ lJ lJ
onde ó .. denota o delta de Kronecker. lJ
3.2 - PROBLEMAS DE ESTADO PLANO DE TENSÕES
Tratando-se de estado plano de tensões, nao se con
sidera a pressão hidrostática como uma variável adicional do pr~
blema, já que pode-se eliminá-la da expressão (3.12), a partir
da consideração de que a tensão normal ao plano s33 e nula.
Assim matricialmente a relação (3.12) fica:
o l
(3.13)
onde já foi levado em conta que no tensor de deformação C
(3.14)
34
Além disso, a condição de incompressibilidade fornece:
que permite eliminar de (3.13) a variável c33 .
Dessa forma, deriva-se de (3.13) uma equaçao cons
titutiva incremental expressa por:
a s .. S .. ; lJ E
o lJ a Eki o ki (3.16)
A e q uaç ao ( 3 . 16) é matricialmente representada por 3•8
:
;
sendo D-l o-
avaliado no tempo t por:
D-l ; 4 C O- 1 C33 <2 C33 cn - c12 cll
SIMfTRICA Cfz
(3.17)
)
O - 1 O
+ - 1 o o +
o o l 1
35
+
SIMETRICA ClZ
o - 2 o - z czz c2
'12 : 33
+ ccn + Czzl -2 (3.18) - 2 o o + C33 - z cn ClZ
o o - 0.5 Ciz c12 - 2 -2 C33
A inversão de (3.17) fornece:
E = D S O- O- O-
(3 .19a)
ou em componentes:
(3.19b)
Uma vez obtida a relação entre os incrementas de
tensão e de deformação (equação (3.19)), a análise de problemas
de estado plano de tensões envolvendo materiais hiperelásticos
incompressíveis, é conduzida através da forma incremental do prig
cípio variacional de Hellinger-Réissner conforme apresentada na
equaçao (2.36).
Apenas um procedimento puramente incremental foi
considerado.
36
Procedendo-se a discretização do contínuo por
meio das expansões (2.39), deriva-se um sistema de equação idên
tico ao apresentado na equação (2.44).
Conclue-se então que a Única diferença entre a
formulação apresentada no Capítulo II e a aqui desenvolvida, se
relaciona com a matriz D , que neste caso deverá ser obtida a O-
partir da inversão de (3.18).
B importante ressaltar que em qualquer outro tipo
de problema que nao de estado ~lano de tensão, a pressão hi
drostática não pode ser eliminada da expressão (3.12).
3.3 - ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
3.3.1 - Equação Constitutiva
Nos problemas de estado plano de deformação, are
lação entre os incrementas de tensão e de deformação deve .. ser de
rivada da equação [3.12), considerando-se
deformações e da pressão hidrostática (h)
3 S ..
S .. , como função das ]_ J
Tem-se assim que :
s .. = o 1-J
3 S .. ]_ J
3 E .. ]_ J
E .. o 1-J + .. ~ oh (3.20)
Dessa forma:
onde:
s . . = s' . + 0
h t c ~ 1 o 1-J o 1-J o 1-J
s '.. o 1-J
(3.21)
(3.22)
37
sao os incrementas das tens6es de distorçio, sendo 0h o incre
mento na pressao hidrostática entre t e t + ~t .
A inversa de (3.22) fornece:
E .. o lJ
(3.23)
Para problemas de estado plano de deformaçio pod~
se escrever:
e
Assim, a relaçio (3.22) fica:
0511
te, · t 2 t t o 22 oc12 oc12 0C22
05 22 - 2 th te' t t = oc12 ocll + o 11
t t + te,
0512 .SIMlÕTRICA
ocll oc22 o 12 2
o 1 o
1
oEll
+ 4 c 2 1 o o 0E22 (3.24) >
o o - 1
38
3.3.2 - Forma Incremental do Princípio da Energia Potencial
O desenvolvimento de uma forma i~cremental dó pri~
cípio variacional de Hellinger-Reissner, aplicável a análise não
linear geométrica e/ou física.sob a condição de movimento isocó
rico, pode ser derivada a partir do princípio da energia poten
cial total. Esse princípio, aplicado aos materiais incompressi
veis isotrópicos, estabelece que:
(3.25)
com
(3.26)
onde a condição de incompressibilidade é tratada como uma restri
ção e introduzida no funcional, considerando-se a pressão hidros
tática h 2 como um multiplicador de Lagrange. Convém lembrar que
em (3.26) todas as grandezas atuam no instante t + ~t
porem referidas a configuração inicial (t = O).
estando
Ao exprimir as variáveis envolvidas em (3.26) em
termos de seus valores na configuração de tempo t , acrescidas
de seus respectivos incrementos,tem-se:
(3. 2 7)
39
Subtraindo-se de (3.27) a expressao do funcional
da energia potencial, escrito para o instante t , e denotando
por bnp essa diferença, obtém-se:
(3. 28)
onde foram eliminadas todas as expressoes constantes, isto e,nao
sujeitas a variações. Tem-se então, uma forma incremental do
princípio da energia potencial para os materiais incompressíveis:
(3.29)
Sendo a função W analítica na .vizinhança de
t t -E .. e h , a utilização de uma expansão em serie de Taylor em to.!: o lJ
no desse ponto, permite obter uma expressao para o incremento 0
W.
Desprezando-se termos de ordem superior, essa ex
pansao fornece:
W ( E .. , h) o o lJ o =~ E a E .. o ij
lJ
+ 1 "2"
+ aw h + .!. ali o 2
+ .!_ 32 W E. . h 2 h o lJ o a E-. a
lJ (3.30)
Em vista das relações (3.4), (3.lüc) e (3.12) con
clue-se que:
Ow (E .. , h) = ts .. E .. + .!.2 (I3 - 1) h + A' (E .. ) + te~~ E .. oh o lJ o o lJ o lJ o o lJ o lJ o lJ
(3.31)
onde
ou
A' ( E .. ) o lJ
A' ( E .. ) o lJ
40
(~.32a)
(3.32b)
é definida como uma função energia de deformação incremental de
distorção.
Associada a função A' ( E .. ) o lJ define-se também
uma função B ( S! .) , denominada de função energia o lJ
complementar
de deformação incremental de distorção, dada por:
B (S!.) = S!. E .. -A' (E .. ) o lJ o lJ o lJ o lJ (3.33)
A introdução da expressao (3.31) em (3.28) permi
te que (3.29) seja escrito como:
= J í A' e E .. ) + ts. . E .. °v L o iJ o iJ o iJ + .! h e t -1 )J ºd
2 O I 3 + 2 C. . E .. - 1 V
o lJ o lJ
uk 0 dS0
~ estacionário
(3.34)
3.3.3 - Forma Incremental do Principio Variacional de Hellinger
Reissner.
Por intermédio da relaxação das relações desloca
mentos-deformações (equação 2.28) em ~rrp de (3.34), obtém-se o
seguinte funcional:
41
(3.35)
sendo À •• 1. J
os multiplicadores de Lagrange associados a essa re-
1 axação.
A condição de estacionaridade desse funcional
(3.36)
determina de modo análogo ao apresentado no Capítulo II que:
À •• lJ
t s .. + s .. o 1.J o lJ
(3.37a)
ou tendo em vista (3.21):
çao
À-.= ts .. + si.+ h te:~ lJ o 1.J o lJ o o 1.J (3.37b)
A substituição em (3.35) de A' (0Eij) pela fun
B ( S! .) , definida pela relação (3.33), resulta numa forma o lJ
incremental do princípio variacional de Hellinger-Reissner para
o caso de materiais incompressíveis ou seja:
nrrR = J { - B ( S ! . ) + o lJ ºv
( S!. + h te:~) t .. + tS .. oTl1·J· - opk uk} ºdV o lJ o o lJ o 1.J o lJ
- J Tk uk ºdS + [J (ts .. o a 0,. o lJ OS V
a
+ [J ( S'.. + °v o 1.J
+ J ( S! · + o lJ °v
h te:~) 0n1-J. ºdv + estacionário o o 1.J (3.38)
42
onde:
1 t t t t -2 ( u .. + u .. + uk . uk .) Ol,J OJ,l O ,lO ,)
(3.39)
e
tEs .. = ~ D S' o l) ~ o ijkt o k2 (3.40)
sendo que em (3.40) o símbolo ~ deve ser interpretado como um
somatório no qual cada parcela,representa o incremento de defor
mação em cada intervalo de tempo, entre os tempos O e t
Na obtenção de (3.38), considerou-se também are-
1 ação ( 3. 3 7) , que identifica o. significado físico dos multiplica-
dores de Lagrange À •• l)
Uma forma linearizada de (3.38), conveniente a
aplicação do Método dos Elementos Finitos, é obtida não se consi
derando a Última integral dessa expressão.
No princípio variacional apresentado,as integrais
escritas entre colchetes, tornam possível efetuar em cada passo
da solução incremental, três distintas formas de iteração. Tem
se assim, a verificação de equilíbrio e da compatibilidade das
deformações ,derivadas das duas prime.iras dessas integrais, confor
me mencionado no Capítulo II. Além disso, a consideração da Úl
tima dessas integrais, permite que se verifique no decorrer do
processo incremental de resolução, a condição de incompressibill
dade.
Em um procedimento puramente incremental vale-se
do seguinte princípio:
43
{- B ( S! .) + ( S'.. + h te~~) 9, .. + ts .. 0
ni·J· - Pk uk} 0
dV -o lJ o lJ o o lJ o lJ o lJ
(3.41)
3.3.4 - Modelo Discreto
Algumas considerações adicionais devem ser feitas
a respeito da discretização da classe de problemas, em que apre~
são hidrostática é mantida no princípio variacional, como ocorre
em estados plano de deformações.
Nesses casos, os incrementas de tensão que sao ex
pandidos, representam somente as tensões de distorção,devendo os
incrementas totais de tensão serem calculados por:
s. . :; o lJ
t -1 s ! . + e .. 0
h o lJ o lJ
(3.42)
Deve-se ainda adotar uma hipótese para a distri
buição dos incrementas da pressão hidrostática no domínio do ele
menta.
Admitindo-se uma variação quadrática para
grandeza tem-se:
u N v
S ' A O- - )2
o!:!= l'.!h h
onde:
essa
(3.43a)
(3.43b)
(3.43c)
44
S' - vetor dos incrementas de tensão de distorção o-h - vetor dos incrementas nodais de pressão hidrostática
p - vetor dos incrementas nodais das tensões de distorção
A partir das expansoes em (3.43), a condição de
estacionaridade de bnR conforme a equação (3.41), conduz a um
sistema de equações que tem a seguinte forma:
(
k -a o o o ~T
o o o + - f
o o o ~h o
sendo a submatriz ~h dada por:
T ~h
o
o
V
h
tB ºdV o-L
e c e um vetor que contém os termos distintos de
nientemente dispostos, isto e:
t -1 ocll
t -1 c oczz -
t -1 ocl2
o':! o
o = o
o o
(3.44)
(3.45)
conve-
(3.46)
45
Todas as outras submatrizes indicadas na equaçao
(3.44) sao calculadas de modo análogo ao descrito no trecho do
Capítulo II, em que se trata de problemas de estado plano de ten
soes.
Na formulação do modelo desenvolvido, procurou-se
manter o mesmo grau de aproximação na expansão da geometria e das
inc6gnitas nodais, como aconteceu nos modelos apresentados ante
riormente. Entretanto, neste caso, tal procedimento conduziu a
obtenção de matrizes mal condicionadas,o que dificultou a obten~
ção de soluções satisfatórias.
A forma do sistema de equaçoes geradas, como mos
trado na equaçao (3.44), sugere a utilização de uma técnica de
condensação em relação aos graus de liberdade, relativos aos 1n
crementos de tensão de distorção. Mesmo assim, a alternativa
que parece ser a mais efetiva. para tratar essa classe de proble
mas é a proposta por Pian 2• Nessa referência o modelo desenvol
vide utiliza uma função de interpolação linear para a geometria,
deslocamentos e tensões de distorção, admitindo ainda,que apre!
sao hidrostática seja constante em todo domínio do elemento.
Tal como apresentado no Capítulo IV, essa aproxi
maçao conduz a resultados que se mostram bastante concordantes
com as soluções analíticas.
A expansão dos incrementes de deslocamento ,e de
pressao hidrostática por funções do mesmo grau de aproximação em
modelos de deslocamento, é sugerida em Oden 1 •
46
IV - RESULTADOS E COMPARAÇOES
4.1 - INTRODUÇÃO
O objetivo deste Capítulo é apresentar alguns re
sultados numéricos obtidos com a formulação desenvolvida anteri
ormente e confrontá-los com resultados experimentais e de outras
formulações. Estabelece-se também uma comparação entre os diver
sos procedimentos de análise.
Para o caso de materiais elásticos lineares pode
se adotar um procedimento puramente incremental ou um procedime~
to incremental com verificação de equilíbrio. No estudo de mate
riais hiperelásticos incompressíveis surgem duas alternativas r~
lacionadas com o cálculo das deformações empregadas na equaçao
constitutiva: expressão (3.18) para o caso de problemas de esta
do plano de tensão e (3.24) para problemas de estado plano de de
formação. Essas deformações podem ser determinadas a partir dos
deslocamentos nodais ou dos incrementas de tensões nodais.
4.2 - VIGA EM BALANÇO
Como primeira aplicação analisou-se o comportame~
to de uma viga em balanço submetida a ação de carga concentrada
no bordo livre. A geometria e as propriedades físicas adotadas
são apresentadas na Figura 4.1. A discretização utilizou cin
co elementos isoparamétricos quadráticos de estado plano de ten
são com integração 5 x 5 para todas as submatrizes do sistema
de equações (2.44).
Para efeito de comparaçao considerou-se como solu
çao "exata" a fornecida na referência [17]
0.4
0.3
0.2
0.1
47
DESLOCAMENTO VERTICAL ( S /L) l P= 1831.5 Kg
~--------. t lm
1)----------------~ .. ·+-!I J_ ~6
b =lm
'i = O.
E= 1,2 X 106 t/m2
-- SOLUÇÃO. EXATA + MOO. MISTO - 40 INCREMENTOS
'
• MOO. DESLOCAMENTO - 40 INCREMENTOS a MOO. DESLOCAMENTO - 20 INCREMENTOS " MOO. MISTO - 20 INCREMENTOS
SOLUÇÃO LINEAR-
0.2
• o
• a •
o
0.4
• a
• •
• a a
a
0.6 o.e
•
a
• •
a
a
1.0
•
a
1.2
.. •
• a
a a
1.4
Figuro 4.1-Desloc. Vertical_ Soluções puramente incrementais
•
a
• •
a a
o
1.6 2 · PL (l-v') . EI
0.2
0.1
'
0.2
0.1
DESLOCAMENTO HORIZONTAL(Â)
L
-.. - SOLUÇÃO EXATA
48
+ MOO. MISTO - 40 INCREMENTOS • MOO. DESLOCAMENTO - 40 INCREMENTOS a MOO. DESLOCAMENTO - 20 INCREMENTOS 6 MOO. MISTO - 20 INCREMENTOS
,!-,r
,!-,t
t • ,!- • •
i • e e e ~ "
a
• e
0.2 0.4 0.6 o.e 1.0
tt ,!-
,t
• t ,t
• • • • • • a e e e
e a
1.2 1.4
Figura 4.2 _ Deslocamento Horizontal_ s·oluções • puramente incremental
DESLOCAMENTO HORIZONTAL(.ê.)
L
-- SOLUÇÃO EXATA
• MOO. MISTO - 20 INCREM EN TOS (1 ITERAÇÃO POR INCREMENTO)
• • • • • • •
• •
• •
• •
t t
,t
• • • "
a e
1.6 PC . 2 EI(I-'()
1
• •
•
10.2 0.4 ·o·6 .o.e ' LO 1 :2 '.L4 •r.6 2 2 PI.: (l.y) EI
Figura 4.3_ Deslocamento Horizontal_ Solução incremental/iterativa
0.4
0.3
0.2
0.1
DESLOCAMENTO VERTICAL (S/L)
-- SOLUÇÃO EXATA
49
• MOO. MIST0.20 INCREMENTOS ( 1 ITERAÇÃO POR INCREMENTO)
•
• SOLUÇÃO LINEAR
•
0.2 0.4 0.6 o.a
• •
•
•
•
•
1.0 1.2 1.4
Figura-4.4_Desloc_amento Vertical_ Solução incremental/iterativa
• •
• •
•
. ·~
50
Inicialmente estudou-se a resposta da estrutura
através de soluções puramente incrementais. Nas Figuras 4;1 e
4.2 apresentam-se respectivamente as curvas deslocamento verti
cal (ô) - carga e deslocamento horizontal (ti) - carga, para es
se tipo de solução.
A utilização de apenas 20 incrementos no modelo
misto fornece resultados considerados satisfatórios, o que nao
ocorre com a análise por modelo deslocamento quando se usa o mes
mo número de incrementos.
Mesmo com o aumento do numero de incrementos para
40, a resposta da estrutura obtida pelo modelo deslocamento ain-
da se apresenta bastante afastada da solução exata. Por outro
lado, não se observa melhora significativa ao se elevar o numero
de incrementos de 20 para 40 na análise conduzida pela formulação
mista.
Nas Figuras 4.3 e 4.4 apresentam-se as mesmas cur
vas carga-deslocamento citadas, obtidas por um procedimento in
cremental/iterativo com uma iteração por incremento. Como se po
de notar, tal consideração não alterou sensivelmente a resposta
da estrutura.
4.3 - CASCA ESFfRICA ABATIDA
Estudou-se em seguida a resposta de uma casca es
férica engastada, submetida a açao de carga concentrada axial
(P = 100 .ib) A estrutura foi discretizada com a utilização de
10 elementos isoparamétricos quadráticos de sólido de revolução
com integração 5 x 5 Detalhes da geometria da casca e carac
terísticas físicas do material encontram-se na Figura 4.5. Nes
sa mesma figura e, na Figura 4.6 as soluções obtidas para 40 e
100
75
50
25
P( lb)
h
R = 4.76 ln h = 0.01576 in H = 0.0859 in E=IOpsi '1=0.3 ·
R
~ LINEAR •
•
•
•
•
0.05
51
p
•
•
•
•
• +
• +
• +
• +
• +
• +
• +
+
+
+
+
-- MOO. MISTO _40 INCREMENTOS
+ MOO. DESLOC _20 INCREMENTOS ( NÚMERO MÁXIMO DE ITER. _5)
• MOO. DESLOC. _ 40 INCREMENTOS
0.10 0.15 S (ln)
Figura 4.5_Casca abatida - Deflexao central J
52
P( lb)
•
100
... 75 et-
50 • t
25
~LINEAR
•
+
•
0.05
• +
• + •
-- MOO. DESLOC. _ 20 INCREMENTOS ( N2 MÁXIMO DE ITERAÇÕES: 5)
+
•
0.10
MODELO MISTO_ 60 INCREMENTOS ( lHERAÇÃO/INCREMENTO)
MODELO MISTO_ 60 INCREMENTOS
0.15 !i(ln)
Figura 4.6_ Casca abatida_ Deflexão central
53
80 incrementos pela formulação mista sao confrontadas com asso
luções puramente incremental e, incremental/iterativa com numero
miximo de iterações igual a 5 efetuada por Landau 5•
Fica evidenciado nessas figuras o ~lto grau de
nao linearidade do problema e, o comportamento estivel da prese~
te formulação mesmo para a consideração de apenas 40 incrementos.
Como observado na Figura 4.5, com igual número de
incrementos o modelo deslocamento fornece para esse exemplo uma
resposta bastante afastada da solução incremental/iterativa.
4.4 - MEMBRANA DE MATERIAL HIPERELÃSTICO INCOMPRESS!VEL
Para ilustrar a aplicação da formulação desenvol
vida,analisou-se a membrana da Figura 4.7,que é constituída de
um material hiperelistico incompressível, suposto do tipo Mooney
Rivlin com c1 = 21.605 psi e c2 = 15.747 psi.
A Figura 4.8 mostra a concordãncia entre os resul
tados experimentais e os obtidos por aproximações pelo Método dos
Elementos Finitos com modelos misto e deslocamento, utilizando
se um procedimento puramente incremental com 16 incrementas.
Em seguida são apresentadas na Figura 4.9 a dis
tribuição, ao longo da secção AA, das tensões normais ªx · (Cau
chy). A comparação entre essas tensões reais e as tensões de
Piola-Kirchhoff na secçao BB, obtidas pelas duas formulações, e
indicada na Tabela 4.1
Deve-se ressaltar a grande diferença existente en
tre essas tensões, o que é uma característica dos problemas de
grandes deformações.
Os resultados da Figura 4.8 e da Tabela 4.1 apre-
54
+-------------11.11'1-----------+
6
7 26
8.9211
27 ' p 1 ~--+-+'ª"--+--4--------_. _______ ...__..__..._2_8.__...., 7,::.. 3"
l Espessura= 0.125
11
P'41,801b
Figuro. 4.7 _ Membrana de material hiperelástico incompressive1-Geometrio e Discretização
p(lb)
41.80
31.35
• 20.90 •
-- EXPERIMENTAL
+ MOO. OESLOC. _ 16 INCREMENTOS
• MOO.MISTO_ 16 INCREMENTOS
10.45
5. 10. u ( in)
Figura 4.8- Deslocamento horizontal no bordo carregado
55
15 .27 13.68
41.31 l---4.C.:3c.:.c.9:..::3 ____ _
42.59 41.03 1---'-'==--------+I
MOO. OESLDCAMENTO MOO. MISTO
Figura 4.9 _ Tensllo <rx real '(psi) na secção A A
~ PIOLA-KIRCHHOFF REAL (CAUCHY)
MODELO MODELO MODELO MODELO õ DESLOCAMENTO MISTO DESLOCAMENTO MISTO
.. 26 52. 5 3. 238. 217.
27 52. 5 5. 2 38. 247.
28 52. 5 8. 238. 204. . .
TABELA 4. 1 - TENSÃO (PSI) NA SECÇÃO BB
56
sentados como modelo deslocamento, foram obtidos com a considera
ção de 4 incrementas e 5 iterações por incremento, ao passo que
no misto valeram-se de 16 incrementas.
Em todos resultados do presente exemplo .utiliza~
ram-se 5 x 5 pontos de integração sendo que, na formulação mi~
ta as deformações necessárias ao cálculo da equação constitutiva
foram determinadas a partir do campo de deslocamentos nodais.
4. 5 - MEMBRANA COM FURO CIRCULAR
Analisou-se também o comportamento da membrana com
furo circular indicada na Figura 4.10. Nesta figura apresentam
se ainda.a malha de elementos finitos e as propriedades físicas
do material. Mostra-se na Figura 4.11,um confronto entre as apr~
ximações para~ a deformada final (p = 90 psi) dessa membra
na.ficando bastante evidente a ocorrência de grandes deformações.
Na referência mencionada nessa figura foi utili
zada: integração 5 x 5 , com 3 incrementas e 5 iterações por in
cremento. Para o modelo misto a carga final foi atingida em 12
incrementas com integração 2 x 2 , sendo, além disso, as defor
maçoes calculadas a partir dos deslocamentos nodais . •
Nas Figuras 4 .. 12 a 4 .14 os deslocamentos hori zon
tais dos nos 5, 19 e 29 obtidos quando se calculam as deforma
çoes a partir dos deslocamentos (MISTO 1) ou a partir dos incre
mentas de tensões nodais (MISTO 2), são comparados com a solução
do modelo deslocamento com o mesmo número de incrementas.
Em seguida representam-se, nas Figuras 4.15 a 4.17,
as soluções puramente incrementais, modelo deslocamento e MISTO
2, e uma solução refinada 6 • Os resultados do modelo deslocamen-
e, =25 psi
c.=7 psi Es pessuro ': 1 "
p=90psi/
57
20"
6" 2011
1011
. 19
Figura 4.10- Membrana com furo circular_ Geometria e Discretização
(ln) 10.
8 ..
6.
4.
2.
O.
--- -
---
CONFIGURAÇÃO INICIAL
---- ---- -
---- - --
----
MODELO DESLOCAMENTO - REF. C 6 J
MODEl:.O MISTO}
-- --------\ \ \ \ \ \
\ \ \
\
O. 2. 10. +----4-----+-----1------4----1-----4---~-1-----1------'I-----+---- (ln)
4. 6. 8. 12. 14. 16. 18. 20.
Figuro 4.11 _ Defor modo poro p = 90psl
,·
Ln 00
59
p( psi)
~. .
60. •
• +
• +
+
SOLUÇÃO PURAMENTE INCREMENTAL _ 6 INCREMENTO$
30. MOO. DESLOCAMENTO
+ MISTO 1
• MISTO 2
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ,u(in)
Figura 4.12- Deslocamento horizontal do nó 29
90.
60.
60.
p(psl)
•
•
2.0
• +
• +
+
SOLUÇÃO PURAMENTE INCREMENTAL_6 INCREMENTOS
MOO. DESLOCAMENTO
+ MISTO 1
• MISTO 2
4.0 6.0 8.0 u (in)
Figura 4.13 _ Deslocamento horizontal do nd 5
--·-
• 1
,
90.
60.
30.
90.
60.
30.
p(psi)
•
•
2.0
60
• +
SOLUÇÃO PURAMENTE INCREMENTAL_6 INCREMENTOS
~~MOO.DESLOCAMENTO
+ MISTO
• MISTO 2
4.0 6.0 e.o u (ln)
Figura 4.14 _ Deslocamento horizontal do·· nó 19
. -p(psl)
-!e
+ MOO. DESLOCAMENTO
• MISTO
MOO. DESLOCAMENTO - (SOLUÇÃO ITERATIVA)
...
2.0 4.0 6.0 e.o 10.0 u (ln)
Figura 4.15_ Deslocamento horizontal da nó 29
90.
60.
30.
90.
60.
30.
p ( ps l)
2. 4.
61
• +
• +
-- MOD. DESLOCAMENTO (SOLUÇÃO ITERATIVA)
+ MOO. DESLOCAMENTO
• MISTO
6. B. u ( 1 n)
Figuro 4.16- Deslocamento horizontal do nó 19
p( psi)
• +
• +
2. 4.
• +
• +
-- MOO. DESLOCAMENTO(SOLUÇÃO ITERATIVA)
+ MOO. DESLOCAMENTO
• MISTO
6. B. u (ln)
Figura 4.17 _ Deslocamento horizontal do nó 5
1 r
62
to neste caso.foram obtidos com integração 5 x 5 , e ,no misto
com integração 2 x 2 .
4.6 - CILINDRO DE COMPRIMENTO INFINITO
Com o objetivo de ilustrar a aplicação da formul~
çao desenvolvida no caso de estado plano de deformação de corpos
de material hiperelástico incompressível, quando a pressão hidra~
tática deve ser considerada como incógnita adicional do problema,
apresenta-se em seguida a análise de um cilindro espesso de com
primento infinito sujeito a açao de uma pressão interna (p = 150 psi) .
Tal como comentado no Capítulo III a solução deste problema se v~
leda alternativa proposta em (2]. Este modelo assume uma varia
ção linear para os campos de incrementas de deslocamento e de ten
são, mantendo constante a pressão hidrostática no domínio do ele
menta.
Posteriormente, os incrementas de tensões nodais
sao condensados estaticamente,resultando como incógnitas do pro~
blema,os inc4 ementos de deslocamentos nodais e a pressao hidros
tática em cada elemento. Todos resultados foram obtidos utili
zando-se, no cálculo das submatrizes da equação (3.44), um esqu~
ma de integração de Gauss com 2 x 2 pontos.
Na Figura 4.18,indicam-se a geometria e a discre
tização adotada, onde são empregados 10 elementos isoparamétri
cos lineares de estado plano de deform~ção.
A escolha desse problema deve-se principalmente ao
fato de existir uma solução analítica conhecidaW.
Assume-se que o material que constitue o cilindro
seja do tipo Mooney-Rivlin com c1 = 80 psi e c2 = 20 psi .
p
63
} 111 T rr1_11~_,,. .h_ 1 _j _j _J .1 .1 .L .L .L...l
SETOR AA
,____R I
SETOR AA
R 1
, 71n
R 2 , '18.6251n
Figuro 4.18 _Cilindto de comprimento Infinito _Geometria e Dlscretização
Convém ressaltar que o uso de elementos de lados
retos,acarreta algum erro na geometria, entretanto tal erro se
torna desprezível a medida que o ângulo a
4.18, é reduzido. O valor adotado, aª sº
guir, conduz a resultados satisfatórios.
indicado na Figura
como mostrado a se-
Na Figura 4.19 observa-se, para a curva pressao
deslocamento do bordo interno, a concordância obtida entre aso
lução exata e a formulação desenvolvida quando atinge-se ,(,pressão,
final (p ª 150 psi) em S, 9 e 29 incrementas.
Indicam-se na Figura 4.20 a convergência da solu
çao apresentada para o deslocamento do bordo interno, a pressao
hidrostática nos elementos 1 e 3 e, a areado elemento 1, que
deve permanecer constante devido a restrição de incompressibili-
+20
150
140
120
100
80
60
40
20
PRESSÃO INTERNA(psl)
/ /
/. /
I /;
1.0 2.0
/ /
/
64
/ /'....--LINEAR
-EXATA
+4
+
•
SOLUÇÕES POR ELEMENTOS FINITOS
3.0
o 29 INCREMENTOS
+ 9 INCREMENTOS
o 5 INCREMENTOS
4.0 5.0 6.0 70 · u (in)
Figuro 4.l9_Deslocomento do bordo interno
1Erro em º/o
4 PRESSÃO HIDROSTÁTICA NO CENTRO 00 ELEMENTO 1
+ DESLOCAMENTO 00 BORDO 1NTERNO
JC PRESSÃO HIDROSTÁTICA NO CENTRO 00 !ELEMENTO 3
o ÁREA DO ELEMENTO 1 {CONDIÇÃO DE INCOMPRESSIBILIDADE)
3 5 9 16 ,n·2 de lncreme·ntos
Figuro 4.20_ Convergencia do solução obtida
150
140
130
120
3 5 9
65
•
A DEFORMAÇÃO ·CALCULADA A PARTIR DOS DESLOCAMENTOS NODAIS
o DEFORMAÇÃO CALCULADA A PARTIR DAS TENSÕES NODAIS
16 29 57 n 2 de in,crementos
Figura 4.21_ Convergencia da deformação circunferencial
30
20
â DEFORMAÇÃO CALCULADA A PARTIR DOS DESLOCAMENTOS NODAIS
O DEFORMAÇÃO CALCULADA A PARTIR DAS TENSÕES NODAIS
1 - .. 3 5 9 16 29 57 n2 de lncrétnéntos
Figura 4.22 _ Convergencla da deformação radial
-240
-220
-200
-180
h(psl)
-EXATA
0 SOLUÇÃO NO CENTRO DOS ELEMENTOS
7.0
66
18.625 ralo(in)
Figura 4.23- Pressão hidrostática
7
6
5
4
3
2
u(in)
- EXATA
o SOLUÇÃO NO CENTRO DO ELEMENTO
d SOLUÇÃO NO CONTORNO
7.0 18.625 raio(ln)
Figura 4.24- Deslocamento ao longo da íispessura
-150
-100
-50
600
500
400
300
200
a;, (psi)
•
- EXATA
o SOLUÇÃO NO CENTRO DO ELEMENTO
67
/J. SOLUÇÃO NO CONTORNO
7.0
Figuro 4.25_ Tensao radial (Cauchy)
CÇ3(psi)
• -- EXATA
18.625 raio(in) •
o SOLUÇÃO NO CENTRO DO ELEMENTO
• SOLUÇÃO NO CONTORNO
L 7.0 18.625 roio(in)
Figura 4.26- Tensão circunferencial (Cauchy)
68
dade.
Em seguida comparam-se, nas Figuras 4.21 e 4.22
respectivamente, a convergência das deformações circunferencial e
radial calculadas a partir dos incrementas de tensão de distor
ção, conforme equação (3.40), e a partir dos deslocamentos nodais.
Observa-se nessas figuras,a acelerada convergen
cia da deformação circunferencial quando calculada pela equação
(3. 40) . Com a utilização do campo de deslocamentos .nodais, não
se obtem convergência para o valor exato desta deformação, mesmo
com 57 incrementas.
Tal característica nao ocorre com relação a defo~
maçao radial. Apesar disto, essas deformações calculadas a par
tir dos incrementas de tensões ou, dos deslocamentos nodais,. am
bas convergem para o valor exato quando se usam 5 7 incremen tos.
Finalmente, apresentam-se nas Figuras 4.23 a 4.26
a distribuição ao longo da espessura da pressão hidrostática, do
deslocamento, e das tensões radial e circunferencial (Cauchy)
Esses resultados, obtidos com a utilização de 5 7 incrementas, se
mostram concordantes com a solução exata.
69
V - CONCLUSÕES
As características principais da formulação discu
tida neste trabalho.foram comentadas durante o desenvolvimento
do texto dos capítulos precedentes. Contudo, tornam-se ainda ne
cessárias algumas observações e conclusões. Apresentam-se tam
bém neste Capítulo sugestões visando a continuidade do presente
trabalho.
A formulação desenvolvida é derivada diretamente
dos princípios da mecãnica do contínuo, não se introduzindo ne
nhuma simplificação no que diz respeito a definição das tensões
e deformações. Utiliza-se desse modo, para as tensões o 29 ten
sor de tensões de Piola-Kirchhoff e, para as deformações D ten
sor de Green-Lagrange. O emprego desses tensores decorre da es
colha da configuração indeformada como configuração de .ref~ren
eia.
Além disso, um princípio variacional tipo -Reiss
ner permite aproximações independentes para os campos de tensão
e deslocamento. Dessa forma evita-se o cálculo das tensões a pa~
tir dos deslocamentos nodais, característica das soluções por mo
delo de deslocamento.
Pretende-se nesse trabalho avaliar a performance
numérica da aproximação fornecida por um prinéípio variacional
tipo Reissner na análise de grandes deformações de corpos de ma
teriais elásticos lineares e hiperelásticos incompressíveis. En
tretanto, é importante notar que, é na teoria de corpos orienta
dos onde são mais exploradas as vantagens das aplicações do Méto
do dos Elementos Finitos por modelos mistos.
70
Para o caso de materiais elásticos lineares asso
luções apresentadas demonstram claramente a superioridade sobre
as obtidas pelo modelo de deslocamento,quando se utilizam proce
dimentos que não efetuem qualquer tipo de verificação.
Tratando-se de materiais hiperelásticos incompre~
síveis.ambas formulações mostram boa concordância com a soluções
exatas e os resultados experimentais, não se notando diferenças
sensíveis entre os dois modelos.
Todavia um procedimento incremental/iterativo in
cluindo todas as possíveis formas de verificação deve ser·exami
nado de modo a se determinar precisamente a importância de cada
uma dessas correções nas soluções de diversos problemas da Mecâ
nica das Estruturas.
Com relação a pressao hidrostática, encontram-se .na
literatura'~•ª modelos, de deslocamento e misto, considerando es
sa pressão constante no domínio do elemento. A aproximação qua
drática adotada para essa variável acarreta problemas de mal con
dicionamento. Entende-se que a influência da escolha do campo de
pressao hidrostática assumido requer um estudo mais detalhado.
Outro aspecto que deve ser considerado, refere-se
a utilização de esquemas diferentes de integração para as subma
trizes das equações (2.44) e (3.44).
O uso de um numero adequado de pontos de integra
çao no cálculo de cada uma dessas submatrizes poderia resultar. em
melhor desempenho do modelo apresentado.
Finalmente.resta analisar a consideração de carr~
gamentos nao conservativos para o estudo de grandes deformações
como as que ocorrem em membranas incompressíveis sujeitas a soli
71
citaç5es normais a sua superfície mfdia ~B.
72
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Energy Principle - Journal of Applied Mechanics - Tran~
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o x. 1
u. 1
t k u. 1.
t u .. o 1. 'J
t x. 1.
t+llt u. 1.
t+llt
t+llt x. l
u .. o 1. 'J
77
NOTAÇAO
- areas do corpo nas configurações de
tempo O , t , e t ,· + li t .
- volumes do corpo nas configurações de
tempo O , t e t + llt.
coordenadas cartesianas nas configur~
ções de tempo O , t e t + llt .
- componentes do vetor de deslocamentos
da configuração de tempo O às confi
guração de tempo t e t + llt .
- incremento da componente de desloca-t+llt t mentas u. = u. u.
l 1. 1.
- componente de deslocamentos do ponto
nodal k na configuração de tempo t.
- derivadas da componente de deslocame~
tos das configurações de tempo t e
t + llt com relação a coordenada 0 x .. J
- derivada do incremento de deslocamen-
tos t x.
J
com e
relação as t+llt x.
J
coordenadas o x. J
- componente do vetor de forças de vol~
me por unidade de volume no tempo
t + llt referidas a cortfigurãção de
tempo O .
t cr .. lJ
t s .. o lJ
t E .. o lJ
J/, •• o lJ
D .. o lJ rs
E , n
t+llt cr .. lJ
t+llts .. o lJ
t+lltE .. o lJ
78
- componente do vetor de forças de su
perfície por unidade de área, no tem
po t + llt referidas à configuração
de tempo O
- componentes do tensor de tensões de
Cauchy nas configurações de tempo t e t + llt .
- componentes do segundo tensor de ten
sões de Piola-Kirchhoff, nas configu
rações de tempo t e t + llt , refe
ridas à configuração de tempo O .
- componentes do tensor de defoTmações
de Green-Lagrange, nas configurações
de tempo t e t + llt , referidas a
configuração de tempo O
- parte linear de E .. o lJ
- parte nao linear de E .. o lJ
- componentes do tensor constitutivo tan
gente no tempo t , referido à confi
guração de tempo O
- matriz e Vetor de tensões do zv ten-
sor de Piola-Kirchhoff, na
çao de tempo t ração de tempo O
- coordenadas locais
referido
configura
à configu-
N. l
E .. o lJ
V
t g
79
- função de interpolação relativa ao po!!_
to nodal i .
- componentes do tensor de deformações
incrementais de Green-Lagrange referi
das ã configuração de tempo O
função energia de deformação incremen
tal.
função energia de deformação comple
mentar incremental.
- vetor dos incrementas de deslocamen
tos nodais.
- vetor dos incrementas das tensões no
dais.
- incremento de pressao hidrostática do
tempo t ao tempo t + 6t .
- pressao hidrostática no tempo t.
- invariantes do tensor C
- vetor dos incrementas de forças nodais
externas.
- vetor de forças nodais externas no tem
po t
F
s ! . o lJ
B ( S ! . ) o lJ
e .. lJ
r
A'
À •• lJ
80
- matriz que relaciona a •parte linear
dos incrementos de deformação com os
incrementos de deslocamentos nodais.
- gradiente da deformação.
- incrementos das tensões de distorção.
função energia complementar de defor
mação incremental de distorção.
- componentes do tensor de deformação de
Green.
- vetor de forças nodais equivalentes a
configuração anterior.
função energia de deformação incremen
tal de distorção.
- multiplicadores de Lagrange.
