m/h= S- St- t

30km/h=150-75kmt-0,5 =(30)km.(t-0,5)/h=75km t-0,5=2,5 Fsica- Cinemtica

5=75 30 t=3,0h

ttotal= t1+ t2+ t3=(1+0,5+1)h -110m/s= -x-350mt -90m/s= x-450mt -110.t=(-x-350) -90.t=x-450 -1(-x-350)=(110t)-1 x=-90t+450 0 0,5 t0 0 x=90t+450 60m S0C BC 240m moveis se InerteInerte 410m AB VerificamosIIento em qual posio 0mIIISSA 100mA SVrel (A,C) no instante t= x=+110t-350 t=7s A 70m SSC IS0 -40m A os x encontraro CSAfinal C xA inicial ttotal=2,5h 0 VA VVelocidade 60m x40m Sfinalx 40m A B Inerte BVrel (a,b) Ainicial Inerte A p CVInerte rel V Vrel BBA Vab A VBA Ddc B V V Inerte V Arel rel

Relativa Considerando duas partculas (A e B) movendo numa mesma trajetria e com velocidades escalares VA e VB . Agora imaginemos uma situao: elas se movendo no mesmo sentido, porm a partcula A com velocidade VA, move-se mais velozmente (temos que o mdulo da velocidade VA maior que o de VB), bem, se analisarmos tal situao e adotarmos a partcula B como referencial, percebemos que a partcula A em relao a B move-se com uma velocidade diferente de VA, tal velocidade chamamos velocidade relativa. Temos que o mdulo da Velocidade relativa Vrel(A,B) igual a subtrao do modulo duas velocidades (VA e VB) :. Assim temos:

Vrel=|VA|-| VB| Imaginemos agora que B tem a velocidade escalar igual a primeira situao, porm o sentido mudou, temos a seguinte situao :

Vrel=|Va|+| Vb| Quando descrevemos um movimento relativo, entre dois ou mais mveis, temos que tomar um deles como referncia inercial, o que significa que tal mvel permanece parado em relao a si mesmo, enquanto os outros se aproximam ou se distanciam dele com certa velocidade relativa. Assim sendo, adotemos B como referencial inerte no primeiro caso (onde as duas partculas se movem no mesmo sentido e trajetria, porm com velocidades diferentes), Logo A, se moveria com Vrel(A,B) em relao a B(que o referencial), (Subtrao das velocidades)

No segundo caso (em que A se move num sentido e B noutro), teramos: Usando B como referencial inercial, teremos que A se moveria com Vrel(A,B) em relao a B(que o referencial): (Soma das velocidades) Renato Vincius Turtienski Possa

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Movimento Relativo Uniforme Consideremos novamente as partculas A e B, suponhamos que estejam numa mesma trajetria e que eles mantenham suas velocidades constantes uma em relao outra, logo ter uma velocidade relativa, executando assim um movimento relativo uniforme de A para B ou de B para A, aproximando-se ou afastando-se uma do outra. Podemos estabelecer a seguinte expresso pra esse movimento: Vrel=s(relativo)t Exemplo: Temos duas partculas movendo numa mesma trajetria, porm em sentidos oposto, as chamemos de C e D; a partcula C se desloca com uma velocidade VC de 100m/s, enquanto a partcula D se desloca com velocidade VD=60m/s, elas esto a uma distncia p de 3,2km, quanto tempo demorar para que as partculas se encontrem, e qual o deslocamento da partcula C?e da partcula D?

Temos um movimento relativo, ento h uma velocidade relativa qual uma partcula se desloca em relao outra, tal velocidade se da com a soma de VC e VD: VC+VD=100m/s+60m/s=160m/s O espao relativo inicial entre C e D p, e equivale 3200m, queremos encontrar o instante que a distncia entre as partculas seja nula, bem: Se usarmos um referencial inerte (poderemos usar tanto C ou D) faamos uma pergunta; quanto tempo demorar para que C(no caso de D ser o referencial), alcanar D com uma velocidade de 160m/s a uma distncia de 3200 m? Temos ento que C tem que percorrer uma distncia de 3200m com uma velocidade de 160m/s: V= st 160m/s= 3200mt t=3200160/s=20s

O tempo para que as duas partculas se encontrem de 20s, bem, agora queremos saber a espao percorrido por C at esse encontro, podemos perceber que por C ter uma velocidade maior (em relao a um observador fixo no solo) percorrer um espao maior que D. Renato Vincius Turtienski Possa

Fsica- Cinemtica Bem, A velocidade de C relativa ao solo (referencial fixo ao solo) VC, logo temos que durante 20s, C em relao ao solo manteve uma velocidade de 100 m/s. :.100m/s.20s=2000m Agora sabemos que C percorreu 2000m ao encontro de D, podemos concluir ento que os 1200m que faltam para completar 3,2km foram percorridos por D. :. C percorreu 2000m e D 1200m. Vamos comprovar? A velocidade de D em relao ao solo VD, logo temos que D percorre 20s como uma velocidade de 60m/s: .:20s.60m/s=1200m. Exerccios 1) (Renato Brito) O esquema representa o instante inicial(t=0s) da perseguio entre trs veculos A,B, e C, que se deslocam com velocidades 40m/s, 10m/s e 50m/s, respectivamente. Determine aps quanto tempo o veculo A se encontrar exatamente entre os veculos B e C?(lembrem-se: importante adotar um referencial)

2) (Renato Brito)No esquema a seguir, os mveis A,B e C deslocam-se com velocidades respectivamente 30m/s, 50m/s e 60 m/s, numa mesma rodovia, de mo dupla

A partir desse instante, quantos metros o mvel C dever percorrer, para que se posicione exatamente entre os mveis A e B, a meia distncia deles? 3) (Saraeva)Uma Lancha a motor que vai rio acima se encontra com uma balsa que flutua rio abaixo.Passada uma hora depois deste encontro, o motor da lancha parou. A reparao do motor durou 30 minutos e durante todo esse tempo a lancha seguiu livremente a correnteza do rio. Concertado o motor, a lancha comeou a ir rio abaixo com a mesma velocidade com relao correnteza e alcanou a balsa a uma distncia S=7,5Km do ponto de seu primeiro encontro. Determinar a velocidade da correnteza do rio, considerando-a constante. Renato Vincius Turtienski Possa

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4) (Renato Turtienski) Dois trens eltricos saem de Tangamandapio a Terra do Nunca com um intervalo t=30min, o primeiro chega ao destino em 4h, o segundo chega em 5h, a distncia entre Tangamandapio a Terra do Nunca de 600km.Bem, em qual instante aps a partida do primeiro trem a distncia dos trens ser de 150km(as velocidades dos trens durante o trajeto constante- considerem que os trens saem com velocidade de Tangamandapio). Uma vida no questionada no merece ser vivida.-Plato :-D, at a prxima!!!

Respostas Obs:Como nos exerccio no exposto se temos que considerar os carros como corpos extensos ou partculas (e tambm no passados a medida de nenhum mvel a ns), consideremos os mveis de todos os exerccios como partculas(ponto material): 1)Bem analisemos o carro A: O carro A em relao ao carro B, tem uma velocidade relativa Vrel (A,B)=(40-10)m/s=30m/s O carro A em relao ao carro C, tem uma velocidade relativa Vrel(A,C)=(40-50)m/s=-10m/s Temos que o carro A ultrapassar B ficando a uma distncia x, tal distncia, A ficar tambm do carro C. Bem usando o B como referencial inerte, temos: Instante t=0

Instante t=intervalo de tempo em que A est x metros de B

Temos que A se move com Vrel(A,B) em relao a B, ele percorre 40m, ultrapassa B, e percorre mais uma distncia em metros igual a x; bem, temos que saber o instante t em que isso ocorre. Temos que: Vrel(A,B)=s(relativo)t'-t Renato Vincius Turtienski Possa

Fsica- Cinemtica Vrel(A,B)=30m/s s(relativo)=(sfinal-sinicial)m=(x-(-40))m I 30=(x-(-40))t' x=30t-40

Bem agora consideremos C o referencial inerte em relao a A: Instante t=0

O carro A se afasta do Carro C com velocidade Vrel(A,C)=-10m/s, ele se encontra inicialmente 60m afastado de C, e tem que se afastar mais x, como o C referencial inercial, o que estiver a esquerda dele ter valor negativo: Instante t=intervalo de tempo em que A est x+100 metros de C

Temos que A se move com Vrel(A,C) em relao a C, ele est numa posio inicial -60m, e se afasta uma distncia de valor x; bem, temos que saber o instante t em que isso ocorre. Temos que: Vrel(A,C)=s(relativo)t' Vrel(A,C)=-10m/s s(relativo)= (sfinal-sinicial)m=(-x-(-100))m -10=(-x-(-100))t' (-1)-x=-10t-100(-1)

II x=10t+100

Como x(I) igual a x(II), temos: 30t-40=10t+100 t=7s 30t-10t=100+40 30t-10t=100+40

Mostrarei mais uma maneira de resolver a questo: Considerando agora as funes horrio dos mveis, temos : SA=40t(espao percorrido pelo carro A, a cada segundo sua posio varia 40m) SB=10t(espao percorrido pelo carro B, a cada segundo sua posio varia 10m) SC=50t(espao percorrido pelo carro C, a cada segundo sua posio varia 50m) Bem, temos:

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Podemos considerar qualquer um dos carros como espao zero, e desse ponto, associarmos os movimentos dos carros: Considerando B no instante t0 o referencial inerte, podemos descrever os movimentos dessa forma: Sa=40t-40(o Carro A est 40m atrs do referencial inercial B) Sb=10t (o Carro B est 0m de sua posio no instante t0=0 ) Sc=50t+60(o Carro C est 60m a frente do referencial inercial B)

Agora pensamos (no desenharei, ento imaginemos): O carro A ultrapassar B, ficando entre B e C, e a distncia que ele ficar de B, ele ficar de C. Bem, pensamos dessa maneira; a posio que o carro A tomar nesse instante t a partir do referencial B ser positiva, pois ele estar na frente de B(lembrando que A est 40m atrs de B no instante t0=0), logo podemos perceber que, se subtramos a posio de A, SA, no instante t pela posio de B, SB, teremos a distncia que se encontra A de B em t, essa distncia tem que ser igual a distncia que C se encontra de A nesse mesmo instante t, assim a posio de C, SC, subtrada de SA,tem que ser igual a diferena de SA por SB: Temos : SASB (distncia de A para B) =SC-SA (distncia de C para A) Substituindo as funes horrias nessa expresso, temos: (40t-40)-(10t)=(50t+60)-(40t-40) 30t-40=50t+60-40t+40 30t+40t-50t=40+60+40 20t=140 t=7s Tirando a prova real: Para verificarmos se o valor de 7s corresponde ao intervalo de tempo que o carro A levar para ficar a meia distncia de B e C: Renato Vincius Turtienski Possa

Fsica- Cinemtica Consideramos novamente a posio de B no instante t0=0, como sendo o a posio S0=0, nas nossas coordenadas, no intervalo t0, sabemos que A est 40m atrs de B, logo se encontra na posio -40m, e C est 60m a frente de B, logo se encontra na posio 60m, e B est na posio S0. Agora faamos as funes horrio novamente dos mveis (quantos metros eles se movem a cada instante): SA(t)=40t-40 SB(t)=10t SC(t)=50t+60 SA(7)=40(7)-40=280-40=240m SB(7)=10(7)=70m SC(7)=50(7)+60=350+60=410m

No quadro II vemos quais posies os carros ocupam em relao a S0 no instante t=7s. Percebe-se que em relao a S0, esto B a 70m, A, 240m, e C a 410m. Bem, para sabermos qual a distncia de B para A basta subtramos a suas posies, como A est a frente de B, faamos: A posio de A menos a posio de B, temos: 240m-70m=170m Agora queremos saber se essa mesma distncia (170m) A tem em relao a C, Como C est frente de A, subtramos sua posio em relao posio de A. Temos: 410m-240m=170m Ento no instante t=7s, A se encontra exatamente entre B e C, que esto afastados por uma distncia de 170m+170m=340m. 2)Anlogo ao primeiro exerccio, mas devemos prestar ateno aos movimentos dos carros(No farei figuras nesse exerccio). Analisemos o carro C: C se move a uma velocidade relativa a B Vrel(C,B)=(60+50)m/s=110m/s C se move a uma velocidade relativa a A Vrel(C,A)=(60+30)m/s=90m/s

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Fsica- Cinemtica C se encontra a 350m de B, ele passar por B, e percorrer uma distncia x, tal distncia ele ficar de A tambm, usando B como referencial a posio que C tomar por passar por B ser negativa (segundo nosso eixo de coordenadas, a velocidade ser negativa). Temos: Vrel(C,B)= s(relativo)t s(relativo)=Sfinal-Sinicial=(-x-350)m Faamos em relao a A tambm, Usando A como referencial inerte, temos que C est a 450m da posio de A, e C tem velocidade Vrel(C,A)=-90m/s.C ficar a frente em uma posio x de A: Temos: Vrel(C,A)= s(relativo)t s(relativo)=Sfinal-Sinicial=(x-450)m Como o carro C se encontrar do carro B e do A a uma distncia x(essa distncia ter o mesmo valor para o A o B) num mesmo instante t, podemos dizer que x(I)=x(II): +110t-350=-90t+450 200t=800 t=4s

Bom, sabemos que aps 4s, C se encontrar entre A e B, a uma mesma distncia de ambos, sabemos tambm, que a velocidade do carro C igual a 60m/s em referncia ao solo, logo podemos concluir que o espao que C percorrer de 60m a cada segundo e para o instante 4s temos: Sc=60.4=240m. :.A distncia que C percorrer para se encontrar exatamente entre A e B, a meia distncia dos dois, ser de 240m. Podemos resolver o exerccio tambm da seguinte maneira Consideremos a posio de um dos carros no instante t=0s como o referencial inercial, podemos considerar qualquer um dos trs moveis; usemos ento o C, pois ele ficar entre o A e B(no farei desenhos novamente). Montamos as funes horrio dos mveis: SA(t)=30t-450 SB(t)=50t-350 Sc(t)=-60t A posio que C tomar subtrada pela distncia que A tomar, ter que ser igual a subtrao da distncia de SB por SC: Sc-SA=SB-SC -60t-30t+450=50t-350+60t -200t=800 t=4s

A cada segundo C move-se 60m,ento: 60m/s.4s=240m Renato Vincius Turtienski Possa

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Ou at mesmo: SC (t)=-60t Sc(t)=-60t0 0

SC (0)=-60t Sc(4)=-60.40

SC =0m Sc=-240m0

sC=|Sc- SC |=| -240-0|=|-240|=240m :.A distncia que C percorrer para se encontrar exatamente entre A e B, a meia distncia dos dois, ser de 240m. 3) Consideremos o instante em que o barco a motor se encontra com a balsa t0. Temos que nesse instante, como o barco se move contra a correnteza, sua velocidade se d pela subtrao da velocidade dele VB pela da correnteza VC (soma vetorial), chamaremos de Velocidade resultante Vres:

Vres=VB-VC J a balsa se movimenta com a velocidade da correnteza VC. Do instante t0 ao instante t1, no qual o motor do barco para de funcionar decorre uma hora. Meia hora passada para o concerto do motor, nomeamos esse instante de t2, nessa meia hora o barco se movimenta com velocidade Vres= VC. Aps o concerto do motor, o barco se movimenta com Vres=VB+VC, pois seu movimento agora a favor da correnteza (somatria de vetores), chamemos o instante em que o barco e a balsa se encontram novamente de t3:

Bem, queremos saber quanto vale VC, para isso vamos determinar que o referencial inerte seja o barco a motor, lembrando que em todos os instantes Renato Vincius Turtienski Possa

Fsica- Cinemtica a balsa se locomover com velocidade VC para um observador na margem do rio. Temos que a velocidade relativa Vrel dos dois mveis do instante t0 ao instante t1 igual: Vrel=Vres+VC VB=s(relativo)1 Vemos que no intervalo de uma hora (de t0 a t1), a balsa se move em relao ao barco com velocidade VB(lembrando que tal velocidade a balsa est sobre o barco que o referencial inercial, mas para um observador na margem do rio sua velocidade ser VC). Do instante t1 ao t2(intervalo de meia hora), podemos ver que a velocidade relativa dos moveis zero, estando em repouso um em relao ao outro (os dois mveis se movem com mesma velocidade, na mesma trajetria e sentido) demonstremos: Vrel= Vres-VC Vrel= VC-VC Vrel=0 Vrel= VB-VC +VC Vrel= VB

Logo no h um distanciamento nem uma aproximao: Bem, do intervalo de tempo t2 ao t3, temos que a velocidade que a balsa se move em relao ao barco Vrel, os dois mveis se movem no mesmo sentido e trajetria; temos uma subtrao de velocidades. Vrel=Vres-VC Vrel= VB+VC-VC Vrel=VB

Lembrando que ns adotamos o barco como referencial inercial, temos que do instante t0 ao instante t1 a balsa percorre um espao s(relativo) com velocidade VB num intervalo de tempo de uma hora, do instante t1 a t2 no h variao de espao relativo, pois ambos os mveis se movem com velocidade VC no mesmo sentido, gastasse meia hora para o concerto do motor (t1 a t2), logo que o motor acionado a velocidade de aproximao do barco com a balsa VB.Pensamos: se eles se afastaram relativamente s(relativo) e depois ficaram parados, no havendo distanciamento nem aproximao, logo aps voltaram a se mover relativamente com velocidade VB(mas agora com um ao encontro do outro),a mesma velocidade com que se afastaram, e percorreram o mesmo espao que se distanciaram s(relativo); podemos concluir que tempo gasto para que o barco se encontre com a balsa de uma hora tambm, somando o tempo total, vemos que a intervalo de 2,5horas. t0 a t1=1h(t1) t1 a t2=0,5h(t2) t2 a t3=1h(t3) Agora consideremos um observador na margem do rio, no instante t0, ele v o barco e a balsa se encontrarem, para ele, a velocidade com que a balsa se move Vc.Bem, podemos considerar que o espao inicial S0=0 seja o espao que a balsa se encontra com o barco em t0, assim temos que no instante t3(instante que barco e balsa se encontram novamente), a barca ter percorrido uma distncia de 7,5km, consideramos ento tal espao como S. Lembrando que para estar em S a balsa gastou 2,5h, e estava com velocidade igual da correnteza VC. Temos: Renato Vincius Turtienski Possa

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VC=s'(espao percorrido pela balsa)t(tempo do percurso) s(espao percorrido pela balsa)=S-S0=(7,5-0)km=7,5km t(tempo do percurso)= ttotal=2,5h VC=7,5km2,5h=3,0km/h :.A velocidade da correnteza de 3,0km/h. Ao final do exerccio podemos perceber que no seria necessrio nada alm do raciocnio bem empregado. 4)Primeiro temos que saber com quais velocidades os trens se movem: O primeiro trem, ao qual chamaremos de A, completa o percurso de Tangamandapio a Terra do Nunca (600km), em quatro horas. Logo sua velocidade VA ser: VA=600km4h=150km/h O segundo trem, ao qual chamaremos de B, completa o mesmo percurso de 600km, em cinco horas. Logo sua velocidade VB ser: VB=600km5h=120km/h Veremos dois momentos, no primeiro intervalo de tempo t(de t0 a t), somente A se move, sua velocidade em relao ao solo e a B VA. A se afasta s de B com velocidade VA, durante meia hora(0,5h): VA=s t 150=s 0,5 s=75km

No segundo intervalo de tempo t(de t a t), B se move com velocidade VB, eles esto distanciados 75km no instante t, determinamos um dos mveis como referencial inercial, se for A, B se mover com velocidade Vrel(A,B) em relao a A, ou se for B, A se mover com velocidade Vrel(A,B) em relao a B.Bem, sabemos que no instante t, A e B estaro distanciados um espao inicial, ao qual chamaremos de S igual a 75 km, e no instante t A e B estaro distanciados um espao S de 150km. Adotando B como referencial temos que A se locomove com Vrel(A,B): Vrel(A,B)=VA-VB=30km/h, sabemos que: Vrel(A,B)= s' t' s'= S- S t'= t- t Para ns, o instante t o que importa, nele que A e B estaro afastado 150 km um em relao ao outro. Poderamos considerar a variao de tempo total ttotal= t+ t' Como: t'= t- t= 3,0h - 0,5h=2,5h t'= t- t0=0,5h 0h=0,5h Renato Vincius Turtienski Possa

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ttotal= (2,5+0,5)h ttotal= 3,0h Portanto para que A e B tenham uma distncia entre eles de 150 km, o intervalo de tempo ser de 3horas(contado aps a partida de A). Poderamos tambm resolver a questo determinando um referencial inercial ligado ao solo. Ficaria dessa maneira, considerando que o espao inicial seria Tangamandapio: A variao de espao para A no intervalo de tempo t', seria: SA=150t+75 Para B, teramos : SB=120t A diferena de SA por SB tem que ser de 150 km: SA SB=150 150t+75-120t=150 30t=75 t=2,5h t'=t-t0 t'=t(intervalo de tempo percorrido para que A tenha em relao a B uma distncia de 150km) Como se pede o tempo decorrido aps a partida do primeiro trem (trem A), temos que somar t(2,5h) com os trinta minutos (0,5h) gastos no primeiro intervalo de tempo t, logo: ttotal= t+ t' ttotal=(0,5+2,5)h ttotal=3,0h

:.Aps trs horas da partida do primeiro trem, os trens se encontraro um em relao ao outro com uma distncia de 150km. ... E nunca considerem seu estudo como uma obrigao, mas sim como uma oportunidade invejvel de aprender, sobre a influncia libertadora da beleza no domnio do esprito, para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade qual pertencer o seu trabalho futuro. - Albert Einstein Fans. D, at mais... Espero que vocs aproveitem!

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