Nmeros ComplexosQuantas vezes ao calcularmos o valor de = b2-4ac
na resoluo da equao do segundo grau, e nos deparamos com um valor
negativo ( Neste caso sempre dizemos ser impossvel a raiz no
universo Quando estudamos o conjunto dos nmeros naturais percebemos
a necessidade de novos nmeros ao efetuarmos subtraes como 3-5,
assim foi criado o conjunto dos nmeros inteiros. Mas, ao efetuarmos
divises como 3:2, teve a necessidade de criar outro conjunto , dos
nmeros racionais, e para superar outro obstculo, construiu-se o
conjunto dos nmeros reais. Como em no suficiente para calcularmos
razes quadradas, quartas de nmeros negativos, a surge o conjunto
dos nmeros complexos.
Definio: todo nmero da forma a+bi tal que a e b so nmeros reais
e i a unidade imaginria. Definimos i, como um nmero no-real,
denominado unidade imaginria, que satisfaz a seguinte condio: i2 =
i x i = -1
Nmero Complexo Real: Um nmero complexo a + bi, {a,b} se e
somente se a parte imaginria b = 0.
real
Em geral, todo nmero real a um nmero complexo com a + 0i (b=0),
assim temos que todo nmero real est contido no conjunto dos nmeros
complexos. Nmero Complexo Imaginrio: Um nmero complexo a + bi,
{a,b} imaginrio, se e somente se, b 0. Exemplo: 5 + 3i b=30 ,
Igualdade entre Nmeros Complexos: Sejam a + bi e c + di, nmeros
complexos, com {a,b,c, d } , eles so considerados iguais se a=c e
b=d. Nmeros Complexos Conjugados: O conjugado de um nmero complexo
z= a + bi , {a,b} , o nmero z*= a bi.
Adio de Nmeros Complexos: Sejam Z1= a + bi e Z2= c + di nmeros
complexos, defini-se sua soma como: Z1+Z2= (a + c) + (b + d)i
Propriedades da Adio de Nmeros Complexos: Associativa: (Z1 + Z2)
+ Z3 = Z1 + ( Z2 + Z3), {Z1, Z2 ,Z3} . Comutativa: Z1 + Z2 = Z2 +
Z1, {Z1, Z2} . Elemento Neutro: Existe um e, e , tal que Z + e = e
+ Z = Z, Z . O nmero e = 0 + 0i denominado elemento neutro da adio
de nmeros complexos. Elemento Oposto: Para cada nmero complexo Z,
existe um nmero complexo W, tal que, Z + W = W + Z = 0 + 0i Os
nmeros Z= a + bi e W= -a bi so denominados nmeros opostos.
Subtrao de Nmeros Complexos: Sejam Z1 = a + bi e Z2= c + di, {a,
b, c, d} , define-se Z1 Z2 = Z1+ ( -Z2 ) = a + bi + (-c di) = (a c)
+ (b d)i. Multiplicao de Nmeros Complexos: Sejam Z1 = a + bi e Z2=
c + di, {a, b, c, d} , define-se Z1. Z2 = (a.c b.d) + (a.d +
b.c)i.
Propriedades da Multiplicao: Associativa: (Z1. Z2).Z3 =
Z1.(Z2.Z3), {Z1, Z2 ,Z3} . Comutativa: Z1. Z2= Z2.Z1, {Z1, Z2 }
.
Elemento Neutro: Existe U, U , tal que Z.U = U.Z = Z, Z O nmero
complexo U= 1 + 0i denominado elemento neutro da multiplicao de
nmeros complexos. Elemento Inverso: Para cada nmero complexo Z, Z
que Z.V = V.Z = 1 + 0i.
+ 0i, existe o nmero complexo V tal
Distributiva: Para efetuarmos a multiplicao de nmeros complexos
de uma forma mais simples, podemos utilizar a propriedade
distributiva. Exemplo: Seja Z1= 3 + 2i e Z2= 5 + 4i Z1.Z2= (3 + 2i)
. (5 + 4i) = 15 + 12i + 10i + 8i2= 15 + 12i + 10i 8= = 7 + 22i.
Diviso de Nmeros Complexos: O quociente de um nmero complexo Z por
um complexo no-nulo W o nmero complexo K se, e somente se, K.W = Z
Z/W=K K .W = Z
Potncias de Nmeros Complexos: W0 = 1 W1= W Wn = W.W.W.W...W (n
fatores) W-n = 1/ W n , W 0
Propriedades das Potncias de Nmeros Complexos: Wn. Wm = W n + m
Wn : Wm = W n - m (W n)m = W n.m (W.V)n = W n . Vn (W / V)n = W n /
Vn Teorema: Existem quatro e somente quatro valores para potencias
de i com expoentes inteiros. So eles: io = 1
i1 = i i2 = -1 i3 = -i
Consequncias: Para o clculo da potncia in com n inteiro e n 4,
divide-se n por 4, obtendo-se resto inteiro. Tem-se ento in=
ir.
Representao Geometrica de um Numero Complexo: Considerando o 2
conjunto dos nmeros complexos e o 2. Seja a funo f: , definida por
f(x+Yi) = (X, Y).
Obs: O eixo das ordenadas chamado de eixo imaginrio, e o eixo
das abscissas chamado de eixo real.
Representao Trigonomtrica de um Nmero Complexo: Da interpretao
geomtrica temos que:
z = .(cos + i. sen )
Que chamada de forma trigonomtrica ou forma polar do nmero
complexo Z.
Multiplicao de um Nmero Complexo na forma Trigonomtrica:
Diviso de um Nmero Complexo na forma Trigonomtrica:
Potenciao de um Nmero Complexo na forma Trigonomtrica:
Radiciao de um Nmero Complexo na forma Trigonomtrica:
Mdulo de um Nmero Complexo: O mdulo de um nmero complexo z= x +
Yi, {x,y} , a distancia do (x, y) ao ponto (0,0) do plano de
Argaud-Gauss. = |Z| = a2+b2
