Potencial Elétrico

Imagine um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de prova q em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de sinais entre as duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento, e conseqüentemente Energia Cinética.

Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpo adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia Potencial

Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por .

A unidade usada para a é o joule (J).

Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático).

De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:

Logo:

A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C).

Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os potenciais criados por cada carga, ou seja:

Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, que são linhas ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam um mesmo potencial.

Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas equipotenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente em função do aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas dimensões, pois caso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam representados por esferas ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for a casca, maior seu potencial).

 

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24 - potencial eletrico

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(Parte 1 de 2)

Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 14:49 H

19 - Potencial Elétrico

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003

Cap. 26 - Potencial Elétrico Cap. 30 - Potencial Elétrico

Cap. 28 - Energia

Potencial Elétrica e Potencial Elétrico

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTULO 26 - POTENCIAL ELÉTRICO

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 26 – Potencial Elétrico 2

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3 CAPÍTULO 30 - POTENCIAL ELÉTRICO

[Início documento]

04. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a energia potencial elétrica do sistema seja nula.

(Pág. 72)

Solução. Considere o esquema abaixo:

Energia potencial elétrica nula:

q q qq

12121323230qqxqqqqqqxqqd++++= (1)

Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico 3

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 20,5 cmx≈

[Início seção] [Início documento]

08. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma descarga elétrica durante uma

(Pág. 72)

tempestade é 1,2 × 109 V. De quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se move entre esses pontos? Dê a sua resposta entre (a) joules e (b) elétron-volts. Solução.

A variação da energia potencial elétrica sofrida por um elétron para ir do ponto 1 ao ponto 2, ΔU12, é dada pela Eq. (1), em que W12 é o trabalho realizado pela força elétrica que age sobre o elétron no percurso 1 → 2.

(1) 1212UWΔ=−

A diferença de potencial elétrico entre os pontos 1 e 2 é dada por (2), em que q0 é a carga transportada no percurso 1 → 2.

0 WV q

Δ=− (2)

[Início seção] [Início documento]

13. Uma partícula de carga (positiva) Q está em uma posição fixa P. Uma segunda partícula, de massa m e carga (negativa) −q se move com velocidade constante em um círculo de raio r1, com centro em P. Deduza uma expressão para o trabalho W que precisa ser realizado por um agente

(Pág. 72)

externo sobre a segunda partícula para aumentar o raio do círculo, centrado em P para r2.

Solução. Considere o esquema a seguir:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Quando a carga −q é transferida da órbita r1 para r2, há variação (positiva) de energia potencial elétrica e (negativa) de energia cinética, ou seja, ocorre variação da energia mecânica do sistema.

Como este é conservativo, a variação da energia mecânica é causada pelo trabalho (W) de uma força externa resultante, que desejamos determinar.

kQ q kQ q Wm v mv

kQq kQqWm v mv

⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎟ (1)

O movimento da carga −q na órbita circular de raio r é governado pela força de atração em relação à carga Q. Essa força elétrica (F) age como força centrípeta (Fc). Logo:

= (2)

2 kQqmv r Substituindo-se (2) em (1):

kQq kQq kQq kQq kQq kQqW

kQqW

Como r2 > r1, teremos W > 0. Ou seja, um agente externo deverá realizar trabalho positivo sobre o sistema para levá-lo do estado 1 para o estado 2.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 73)

16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga σ = 0,12 μC/m2. A que distância estão as superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 48 V?

Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico 5

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

B d ds

O módulo do campo elétrico gerado por uma placa infinita, que possui densidade de carga homogênea σ, é dado por:

Ou seja, o campo elétrico gerado por essa placa é constante. A diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais A e B localizadas nas proximidades da placa, sendo que B está mais próxima da placa, vale:

AB B A A WVV V dqq

1 cos

AB A A A Vq d d E ds E dsq

AB A VE ds EΔ= =∫

Logo:

ABAB AB VVVd E ε σ σ

7,1 mmd≈ [Início seção] [Início documento]

18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um campo elétrico de 1,92 × 105

(Pág. 73)

N/C é mantido entre duas placas separadas por 1,5 cm. Encontre a diferença de potencial entre as placas.

Solução.

Considere o seguinte esquema da situação, em que a carga de prova q0 será transportada da placa negativa (A) para a placa positiva (B):

Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico 6

d F

A diferença de potencial entre as placas corresponde ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova em seu movimento de uma placa à outra, dividido pela carga de prova.

AB B A A WVV V dqq

1 cos

AB A A A Vq d d E ds E dsq

2,9 kVABVΔ≈

[Início seção] [Início documento]

20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, cuja densidade de carga é uniforme, tem direção radial e seu módulo é

()304rqrERπε=, sendo q a carga total na esfera e r a distância ao centro desta. (a) Determine o potencial V(r) dentro da esfera, considerando V = 0 em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto da superfície e outro centro da esfera? Se q for positiva, que ponto possui maior potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r do centro, sendo r < R, é dado por ( )2 qR r

(Pág. 73)

onde o zero do potencial foi arbitrado em r = ∞. Por que este resultado difere do que foi apresentado no item (a)?

Solução.

(a) Considere o esquema abaixo, em que os pontos C, S e P estão localizados no centro, na superfície e no interior da esfera, a uma distância r do centro, respectivamente:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

ds= dr

A diferença de potencial entre os pontos P e C vale:

CP P C C VVVdΔ=−=−∫Es

Considerando o potencial nulo no centro da esfera, teremos:

0 cos0

Neste caso, como o valor de referência do potencial é no centro da esfera ( e não no infinito), os vetores ds (deslocamento a partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a partir de r = 0) são idênticos (ds = dr) 2

(b) A diferença de potencial entre S e C vale: 2

08CSqVRπεΔ=−

Como ΔVCS é negativo, isto significa que indo do centro para a superfície da esfera o potencial elétrico diminui se a carga da esfera for positiva. Logo, o centro da esfera apresenta maior potencial

(c) Com V = 0 no infinito, o cálculo de V(r) é feito da seguinte forma:

ext int..SP

O cálculo deve ser feito em duas etapas, pois o comportamento do campo elétrico no interior da esfera é diferente do comportamento no exterior.

() ext int0 cos180 . .cos180SP

() ext int..SP

Neste caso, como o valor de referência do potencial é no infinito, os vetores ds (deslocamento a partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a partir de r = 0) possuem sentido contrário (ds = −dr).

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES r R qd r qVr rRπε πε∞=− −∫∫ dr r R

q rV

Após o desenvolvimento da equação acima, a resposta será obtida.

qR r VRπε−=

O valor de V(r) obtido no item (a) difere do valor acima devido à mudança observada na posição de referência onde V = 0.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 74)

28. Suponha que a carga negativa de uma moeda de cobre tenha sido removida para uma grande distância da Terra - talvez uma galáxia distante - e que a carga positiva foi distribuída uniformemente na superfície do nosso planeta. De quanto mudaria o potencial elétrico na superfície da Terra? (Veja o Exemplo 2 no Cap. 27)

Solução.

O planeta Terra apresenta um campo elétrico E de módulo igual a 150 N/C, que aponta diretamente para baixo, ortogonalmente à sua superfície. Como a Terra pode ser considerada uma esfera condutora, esse campo é gerado por uma distribuição de cargas negativas distribuídas homogeneamente sobre sua superfície. Próximo à superfície do planeta, considerada plana, o campo elétrico vale:

Logo:

O potencial elétrico na superfície e no exterior da Terra é o mesmo que seria produzido se a carga QT fosse puntiforme e localizada no centro do planeta, ou seja:

Na superfície, o potencial vale:

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Portanto, mudanças na carga total da superfície do planeta acarretam variações no potencial elétrico em sua superfície. A moeda de cobre citada no enunciado do problema, de massa igual a 3,1 g, possui número de átomos de cobre igual a:

Na expressão acima, NA é o número de Avogadro, m é a massa da moeda de cobre, fornecida no Exemplo citado no enunciado, e M é a massa molar do cobre. A carga positiva presente na moeda

QM é igual ao produto de N, do número de prótons por átomo Z e da carga do próton +e:

Ao distribuir a carga QM sobre a superfície da Terra, o novo potencial será devido à carga Q = QT + QM. Portanto, a variação no potencial elétrico será igual a:

193 MVVΔ≈ [Início seção] [Início documento]

35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r) para pontos no eixo vertical, considerando r >> d, é dado por

(Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo.)

(Pág. 74)

Solução.

A forma mais direta de cálculo do potencial no ponto P devido às três cargas é por meio da soma dos potenciais gerados por cada uma dessas cargas. Considerando-se no esquema acima como 1, 2 e 3 as cargas superior, do meio e inferior, teremos:

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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico 1 r d r d r d r r dqqV qr rd dV

⎡⎤+−=⎢+−⎣⎦⎥ (1)

r d r dπε

A Eq. (1) corresponde ao valor exato do potencial no ponto P gerado pelas três cargas. Para obtermos a expressão do potencial para pontos onde r >> d, é preciso aproximar o denominador do termo entre colchetes para r3, o que significa fazer r + d ≈ r e r − d ≈ r, e truncar em algum ponto a soma que aparece no numerador do mesmo termo. Se o truncamento resultar em r2, o resultado será: 2

qrqVrrπεπε≈= (2)

A Eq. (2) corresponde ao potencial de apenas uma carga pontual q a uma distância r dessa carga. Neste caso, percebemos que o truncamento foi exagerado, pois não existem traços da presença do dipolo na expressão resultante. Aproximando-se o numerador do termo entre colchetes de (1) para r2 + 2rd, teremos:

Podemos também acatar a sugestão dada no enunciado do problema e considerar o potencial elétrico no ponto P como sendo o resultado da sobreposição do potencial elétrico produzido pelo dipolo (cargas das extremidades do arranjo) e potencial da carga central (+q).

(3) dipqVVV=+

Na Seção 30.6 do livro, é feito o cálculo do potencial gerado por um dipolo, sendo que para r >> d, o resultado é:

qdVrθπε≈ (4)

Na Eq. (4), θ é o ângulo entre a linha que une as cargas do dipolo e a linha que une o centro do dipolo ao ponto P. No presente caso, θ = 0. Substituindo-se (4) em (3), teremos:

[Início seção] [Início documento]

38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES unidade de área) é dada por σ = k/r3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por

(Pág. 75)

Solução. Considere o esquema abaixo:

q a b dθ rdθ dr

Elemento de carga no anel:

dA r σ==

rdrdrθ=

2 kdrddq r

θ= (1) (2) Qd=∫q

Carga total no anel:

Substituindo-se (1) em (2): 2

20ba d rQd q k

Potencial elétrico no centro do anel:

dqVdVrπε==∫∫ (3)

Substituindo-se (1) em (3): 2 kdV r πdrθπε=∫∫

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ab a b π ε π

O termo entre colchetes é a carga total Q:

[Início seção] [Início documento]

40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94 × 10-19 J sobre um elétron no campo ilustrado na Fig. 37, para mover o elétron desde A até B, ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de potencial elétrico (a) VB − VA, (b) VC − VA e (c) VC − VB?

(Pág. 75)

Solução. (a)

(b) Neste caso, o elétron é transportado entre as mesmas superfícies equipotenciais do item (a). Logo:

(c) Como o elétron permanece na mesma superfície equipotencial, não há variação de potencial elétrico.

0BCVΔ=

[Início seção] [Início documento]

51. Em um bastão fino de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem

(x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por λ = kx, sendo k uma constante. (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine

V no ponto P do eixo y. (b) Determine a componente vertical Ey do campo elétrico em P, utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto. (c) Por que a componente horizontal

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Ex do campo elétrico em P não pode ser encontrada usando o resultado de (a)? A que distância do bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade esquerda do bastão?

(Pág. 76)

Solução. Considere o esquema abaixo:

dx x y dE θθ ry x dq P

(a) Elemento de potencial (dV) gerado pelo elemento de carga (dq):

(1)

dq dqdV r yxπε πε== +

Elemento de carga (dq):

dq kxdx λ==

(2) dqkxdx=

Substituindo-se (2) em (1):

(b)

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sencosddEdEθθ=−+Eij (3)

Cálculo direto de V Módulo do elemento de campo elétrico:

dqdErπε= (4)

014 Substituindo-se (2) em (4):

kxdxdEyxπε=+ (5)

sen xyx θ = +

(7)

(8)

Substituindo-se (5), (6) e (7) em (3):

kx dx ky xdxd

yx yxπε πε=− +++ Eij

LLk x dx ky xdxd yx yxπε πε== − +++∫∫ ∫E i j

L ykL ky y yL yLπε πε

Nesta expressão, pode-se ver que :

(c) Não há dependência de V em relação a x na resposta do item (a). (d) Potencial na extremidade esquerda do bastão, usando a resposta do item (a), com y = 0:

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