A distribuio Binomial Considere um experimento realizado vezes, sob as mesmas condies, com as seguintes caractersticas: 1. cada repetio do experimento (ou ensaio) produz um de dois resultados possveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ie os resultados so dicotmicos. 2. a probabilidade de sucesso, , a mesma em cada repetio do experimento. (Note que ). 3. os ensaios so independentes, ie o resultado de um ensaio no interfere no resultado do outro. As quantidades e so os parmetros da distribuio binomial. O nmero total de sucessos uma varivel aleatria com distribuio binomial com parmetros e e por denotada . A probabilidade de , pode ser encontrada como: (5)

A mdia de um varivel aleatria binomial e a varincia . Para melhor entendimento considere o seguinte exemplo: Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual recessivo), ns encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros so heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino um quarto. (Ento a probabilidade de no ser albino .) Agora considere o mesmo casal com 2 crianas. A chance de que ambas sejam albinas . Da mesma forma, a chance de ambas serem normais . Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser . Alternativamente, poderamos ter usado a formula acima definindo como varivel aleatria X o nmero de crianas albinas, com , , e estaramos interessados em . Se agora considerarmos a famlia com crianas, as probabilidades de existam crianas albinas, em que a probabilidade de albinismo , so dadas por (6)

as quais ficam como segue.

O nmero esperado (ou mdia) de crianas albinas em famlias com 5 crianas para casais heterozigotos para o gene albino . Exerccio: Voc leva sua cadela ao veterinrio e descobre atravs de um exame de ultrasonografia que ela est grvida com uma ninhada de 8 filhotes. a.Qual a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fmeas? b.Qual a probabilidade de que existam um nmero igual de machos e fmeas? c.Qual a probabilidade de que existam mais machos do fmeas?

A distribuio Poisson A distribuio Poisson, e frequentemente usada para modelar o nmero de ocorrncias de um evento por um certo perodo de tempo ou por um certo volume ou por uma certa rea. Por exemplo, para descrever o nmero de nematides encontrados em amostras de solo, o nmero dirio de novos casos de cncer de mama, ou o nmero de clulas contadas usando um hemocitrmetro. O histograma abaixo mostra o nmero de organismos encontrados em cada um de 400 quadrados pequenos.

A distribuio Poisson tem apenas um parmetro, que interpretado como uma taxa mdia de ocorrncia do evento, e a probabilidade de ocorrerem exatamente eventos dada por (7)

em que , e . A varincia de uma Poisson igual sua mdia, . Quando , por exemplo, a distribuio fica assim:

As suposies bsicas para a utilizao do modelo so: 1. as condies do experimento permanecem constantes no decorrer do tempo, ie, a taxa mdia de ocorrncia () constante ao longo do tempo. 2. intervalos de tempo disjuntos so independentes, ie, a informao sobre o nmero de ocorrncias em um perodo nada revela sobre o nmero de ocorrncias em outro perodo. Exemplo: Ver exemplo 4.3.2 pgina 95 da apostila Exerccio: Um investigador est interessado no nmero de ovos depositados por uma espcie de pssaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos. O nmero mdio de ovos por ninho foi 3,8 e a varincia foi 3,1. Porque a varincia aproximadamente igual mdia, ele acha que pode ser razovel descrever o nmero de ovos por ninho como tendo uma distribuio Poisson com mdia 3,8. a.Se esta realmente representa a distribuio populacional, qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais do que 5 ovos? b.Qual seria a probabilidade de no encontrar nenhum ovo num ninho? c.A maior concentrao da distribuio est em torno de que valor?

http://leg.ufpr.br/~silvia/CE701/node34.html

Modelo ou Distribuio de Bernoulli

Quando executamos um experimento (ensaio) do tipo Bernoulli, associado a este ensaio, temos uma varivel aleatria com o seguinte comportamento:

Suponhamos a realizao de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso ( o evento no se realiza).

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1.

Definimos a seguinte v.a. discreta: X : n de sucessos em uma nica tentativa do experimento.

X assume os valores:

1, sucesso X com P(X = 0) = q e P(X = 1) = p. 0, fracasso

Nessas condies a v.a. X tem distribuio de Bernoulli, e sua funo de probabilidade dada por:

P( X x ) p x . q 1- x

Esperana (mdia) e Varincia

Calcularemos a mdia e a varincia da varivel com distribuio de Bernoulli.

X P(X) X.P(X) X2.P(X)0 q 0 01 p p p 1 p p

Logo: E(X) = p Var(X) = p p2 = p(1 p) = p.q

Ex. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: n de bolas verdes. Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X). 0 q = 30/50= 3/5Soluo: X = X P(X = x) = (2/5)x.(3/5)1-x 1 p = 20/50 = 2/5

E(X) = p = 2/5

Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25 http://www.inf.ufsc.br/~anaclaudia/ine5108/notas_aula/texto_Bernoulli_Bin.pdfDistribuio Hipergeomtrica Postado por Hipergeomtrica s 16:29 Autores: Ana Paula, Adeildo, Mrcia, Milene

CONCEITO

A Funo Hipergeomtrica de probabilidade usada para calcular a probabilidade de que em uma amostra aleatria de n elementos, selecionados sem substituio , obtm-se k elementos rotulados de sucesso e n-k elentos rotulados de fracasso.Para que isso ocorra, precisa-se obter k sucessos a partir dos r sucessos na populao e n-k fracassos a partir dos N - r fracassos.A Funo Hipergeomtrica de probabilidade fornece f(x), a probabilidade de se obter x sucessos em uma amostra de tamanho n, onde os ensaios no so independentes e a probabilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio. (Anderson,David R.Estatstica aplicada Administrao e Economia p.205).

Para ilustrar, considere uma populao de N objetos, r dos quais tm o atributo A e N- r tm o atributo B. Um grupo de k elementos escolhido ao acaso, sem reposio. Estamos interessados em calcular a probabilidade de que esse grupo contenha x elementos com o atributo A. Pode-se ver facilmente, utilizando o princpio multiplicativo, que essa probabilidade dada por, onde 0 k min ( r,n).

Exemplo: Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens so examinados. O nmero de itens com defeito (atributo A), r, desconhecido, colhemos uma amostra de n itens e determinamos k. Somente para ilustrar, suponha que num lote de N=100 peas, r=10 sejam defeituosas.Escolhendo n=5 peas sem reposio, a probabilidade de no se obter peas defeituosas :

Enquanto a probabilidade de se obter pelo menos uma defeituosa ,P1 + p2+.......+p5= 1-p0 0,426

Pode-se demonstrar que a varivel aleatria X definida acima tem esperana ( valor esperado) e varincia dadas por;

Respectivamente, onde p = r/N a probabilidade de se obter uma pea defeituosa numa nica extrao. Se N for grande, quando comparado com n, ento extraes com ou sem reposio sero praticamente equivalentes, de modo que as probabilidades dadas por:

sero aproximadamente iguais s dadas pela frmula :

Do mesmo modo, os resultados E(x)= np e Var (x)= np (1-p) (N- n)/(N-1)

Consideremos agora o problema de se determinar a probabilidade de ocorrncia de exatamente trs cartas vermelhas em cinco extraes de um baralho comum, sem reposio.Como a carta extrada no volta ao baralho, a probabilidade de aparecer carta vermelha se modifica de uma extrao para outra. Para resolver o problema, basta notar que extrair cinco cartas de um baralho, uma aps outra, sem reposio, equivale a extrair aleatoriamente as cinco cartas de uma vez.Ento, se um baralho comum tem 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas, a presena de trs cartas vermelhas em cinco extraes exige que as outras duas cartas extradas sejam pretas.duas cartas pretas de um baralho comum. Essas possibilidades do um total de (26/3)(26/2) casos favorveis( princpio fundamental da contagem). Por outro lado, podemos extrair cinco cartas de um baralho de 52 cartas de (52/5)maneiras distintas ( casos possveis).Ento, a probabilidade procurada ,

A distribuio hipergeomtrica usada na construo de planos de inspeo por amostragem, em que, de acordo com os resultados da anlise de uma amostra de peas, fazemos inferncias sobre a qualidade de todo o lote. (MORETTI, Pedro A. Estatstica Bsica. 5 Ed.2006. Editora Saraiva)

Mdia e Varincia

A mdia e a varincia da distribuio hipergeomtrica so:

Note-se a analogia com a mdia e a varincia da binomial. Alm disso, quando n muito pequeno em relao a N, a frao (N n / N 1 ) tende para 1 e tende para npq, varincia da binomial.

EXEMPLO:

1. Deve-se construir um comit de quatro pessoas escolhidas entre trs qumicos e cinco fsicos. Determinar a distribuio de probabilidade do nmero de qumicos no comit.

Soluo:Seja X a varivel aleatria nmero de qumicos no comit :

http://estatisticageral.blogspot.com.br/2009/05/distribuicao-hipergeometrica_2815.html