PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO …

ALEPIAssembleia Legislativa do Estado do Piauí

Pós-edital

RACIOCÍNIO LÓGICOPROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO

ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, DIAGRAMAS LÓGICOS, TAUTOLOGIAS, PROPOSIÇÕES

Livro Eletrônico

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemá-tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-ceira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.

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RACIOCÍNIO LÓGICOProblemas de Raciocínio Lógico Envolvendo Estruturas Lógicas, Lógica de

Argumentação, Diagramas Lógicos, Tautologias, ProposiçõesProf. Josimar Padilha

Estruturas Lógicas .....................................................................................5

Apresentação do Professor ..........................................................................5

Parte 01 ....................................................................................................6

Estruturas Lógicas ......................................................................................7

Sentenças Abertas ....................................................................................10

Sentenças Fechadas ..................................................................................14

Proposições ............................................................................................16

Linguagem da Lógica Formal .....................................................................21

Representação das Proposições ..................................................................22

Operadores ou Conectivos Lógicos ..............................................................24

Parte 02 ..................................................................................................44

Tabelas Verdades – Veretativas ...................................................................44

Tabelas – Verdade ....................................................................................52

Conjunção: “ e, mas” símbolo: ^ ................................................................52

Disjunção: “OU” símbolo: ˅ ........................................................................53

Disjunção Exclusiva: “ OU...OU...” símbolo: ˅ ...............................................57

Condicional: “se..., então...” símbolo: → ......................................................60

Bicondicional: “se, e somente se”símbolo: ↔ ................................................65

Negação ou Modificador lógico símbolo: ¬ ou ~ ............................................72

Parte 03 ..................................................................................................90

Proposições Logicamente Equivalentes ...................................................... 111

Parte 04 ................................................................................................ 129

Tautologia, Contradição e Contingência ...................................................... 129







Tautologia ............................................................................................. 129

Contradição ........................................................................................... 130

Contingência .......................................................................................... 131

Parte 05 ................................................................................................ 139

Diagramas Lógicos: Fundamentação Teórica ............................................... 139

Particular Afirmativo: algum A é B ............................................................ 140

Universal Negativo: nenhum A é B ............................................................ 141

Particular Negativo: algum A não é B ........................................................ 142

Universal Afirmativo: todo A é B ............................................................... 143

Aplicação dos Quantificadores Lógicos ....................................................... 143

Negação dos Quantificadores Lógicos ........................................................ 162

Negação das Proposições Categóricas ........................................................ 162

Parte 06 ................................................................................................ 171

Lógica de Argumentação: Analogias, Inferências, Deduções e Conclusões ......... 171

Argumento Lógico .................................................................................. 171

Validade de um Argumento ...................................................................... 184

Questões de Concursos ........................................................................... 195

Gabarito ................................................................................................ 197







ESTRUTURAS LÓGICAS

Assuntos do edital:

Problemas de raciocínio lógico envolvendo estruturas lógicas, lógica de argu-

mentação, diagramas lógicos, tautologias, proposições.

Apresentação do Professor

Olá, aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com

grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantís-

simo com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 17

anos de experiência em aulas presenciais e mais de 08 anos em aulas online, pos-

suo mais de três obras escritas, dentre elas, podemos citar: “RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICO – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm – 2019 – 3ª

Edição; “Mais de 400 QUESTÕES COMENTADAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO – CESPE

– CEBRASPE – 3ª edição- 2019”.

De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca

COPESE-UFPI exige o assunto indicado nesta aula.

No material, iremos responder questões de outras bancas para melhor entender

os assuntos, devido à nossa banca não apresentar muitas questões. Porém, decidi

escolher questões com um nível acima da banca examinadora, para que você tenha

êxito em seu concurso para Assembleia Legislativa do Estado do Piauí.

Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois além de

aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo

interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os me-

lhores métodos de resolução, que no decorrer desses 16 anos como professor, me

dediquei para que meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público, nos

diversos processos seletivos em todo o Brasil.







No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem

dado muito certo, composto por:

• Exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;

• Métodos e dicas de resolução rápida;

• Esquemas estratégicos;

• Questões comentadas; e

• Autoavaliação.

Parte 01

Nessa nossa primeira parte, iremos abordar os seguintes assuntos:

Estruturas Lógicas: sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas,

proposições, linguagem lógica e natural, proposições simples e compostas, opera-

dores lógicos.

Uma brincadeira antes de começarmos, porque nada melhor que o bom ânimo

para uma caminhada pelo mundo da lógica.

Desafio:

Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apa-

nhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem

pagar, informaram:

• “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.

• “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

• “Foi a Mara”, disse Manuel.

• “O Mário está mentindo”, disse Mara.

• “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que

quem entrou sem pagar foi:







a) Mara.

b) Maria.

c) Mário.

d) Manuel.

e) Marcos.

O comentário está no final do módulo. Boa sorte!

Estruturas Lógicas

Meu(minha) querido(a), para que possamos atingir com excelência os resultados

almejados nessa ciência que é conhecida como ciência do raciocínio, é importante

ressaltar, desde o início, que a lógica formal não se ocupa com os conteúdos pen-

sados ou com os objetos referidos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura

e geral dos pensamentos, expressa através da “linguagem”. O objeto da lógica é a

proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo pensa-

mento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.

Sendo assim, daqui em diante não nos será dada a liberdade de interpretarmos

o conteúdo da informação, e sim, a maneira como as informações se relacionam

entre si.

Se eu te falar que na lógica formal o conjunto de proposições abaixo correspon-

de a um raciocínio correto, o que você me diria?

“É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é

vegetal, logo, todo cachorro é vegetal.”

Pois bem, o exemplo acima foi retirado de uma prova para delegado da Polícia

Federal, realizada pela banca CESPE, ou seja, não podemos nos prender ao conte-

údo, e sim, à maneira que as proposições se relacionam.







Isso se prende ao fato de estarmos trabalhando com a lógica formal, você sabia

que o raciocínio lógico é uma ramificação da filosofia? Que a ferramenta de trabalho

nesse conteúdo é o “pensamento”, e a maneira que você expressa o pensamento

é fundamental não só para a filosofia em si, mas para as diversas ciências que in-

tegram o nosso mundo?

Curiosidade: um bom advogado é dotado de um raciocínio lógico bem apurado,

em suas defesas que são argumentos lógicos, constituídos de premissas (pensa-

mentos) e uma tese (pensamento). Temos que tais argumentos serão bem cons-

truídos caso haja uma relação de validade entre as premissas e a conclusão. E

isso se dá pela forma, estrutura que o argumento é construído, proporcionando um

raciocínio correto.

Gosto de falar: “quem fica bom em lógica, fica bom em tudo”, Risos!!!

Você deve estar se perguntando: “Na lógica formal, como posso ler uma senten-

ça e não a interpretar?” Bem, vamos lá: às vezes, nos será dada a oportunidade de

interpretar o conteúdo, em que mostrarei a você nas questões comentadas mais à

frente, onde iremos verificar a presença de ferramentas lógicas para que possamos

analisar o conteúdo.

Bem, mãos à obra: vamos aprender, aqui, alguns conceitos que serão impres-

cindíveis para resolução das questões de concursos.

Primeiro conceito: “SENTENÇA”: Expressão de um pensamento completo, são

compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se

declara sobre o sujeito).

Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença.

• André é uma pessoa que se preocupa com o próximo.

• O estudo de raciocínio lógico não é difícil.







• Que dia você participará de mais uma reunião de estudos?

• Que matéria mais gostosa de estudar!

• Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso.

Dê um exemplo para cada tipo de sentença abaixo:

– Afirmativas;

SentençasEx.:

– Negativas;

Ex.:

Sentenças

– Imperativas;

Ex.:

– Exclamativas;

Ex.:

– Interrogativas.

Ex.:

DICAÉ importante ressaltar que o pensamento será uma sentença quando o mesmo tiver sentido completo, in-dependente do seu tipo.

Vamos, agora, classificar as sentenças quanto a sua interpretação lógica, isto é,

podem ser abertas ou fechadas.







Sentenças Abertas

São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma

mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser

nem V (verdadeira) nem F (falsa).

Iremos observar que são chamadas de abertas porque não são passíveis de

interpretação.

“O sujeito é uma variável que pode ser substituída por um elemento arbitrário,

transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F”.

Observe o exemplo abaixo:

Exemplo: Ela foi a melhor aluna do curso de raciocínio lógico para carreiras tribunais.

Surge a pergunta:

“Por que sentença aberta?”.

Vamos entender o motivo.

Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser interpreta-

dos de duas formas, ou seja, podem ser valorados como (VERDADEIRO) ou (FAL-

SO), conforme os princípios fundamentais da lógica proposicional, que veremos

daqui a pouco.

No exemplo acima, temos um pensamento que não é passível de valoração,

uma vez que não sabemos quem é o sujeito. Desta forma, tais pensamentos são

ditos sentenças abertas.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe

atentamente os exemplos abaixo e as considerações realizadas:

• “Aquele é juiz do TRT da 1.ª Região”, (Quem é ele?)







Não podemos definir quem é o sujeito, ou até mesmo a qual conjunto ele

pertence.

• “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?)

Daí, você me diz:

Professor, o x só pode ser 5, me ensinaram assim nas séries iniciais, pois se

trata de uma equação do 1º grau.

Bem, vamos lá:

Concordo contigo até um certo ponto, pois só podemos dizer que o x é igual a

5 caso estivermos trabalhando com conjuntos numéricos, e indicarmos que x

pertence a um determinado conjunto numérico, pois, até então, não sabemos do

que se trata a incógnita x.

Para melhor compreensão, o conceito matemático de equação é: “toda sentença

matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.”

Que bacana! A matemática nos ajudando a compreender os conceitos lógicos.

Você sabia que a filosofia utilizou os símbolos matemáticos para simbolizar seus

pensamentos? Quando chegarmos em linguagem, você vai ficar surpreso com tan-

tas novidades que farão você entender de uma vez por todas essa ciência denomi-

nada lógica.

“{x ∈ R/ x > 2}”.( Qual o valor de x?)

Nesse exemplo, sabemos que x pertence ao conjunto dos números reais, porém,

não conseguimos definir qual o valor, uma vez que temos uma desigualdade, ou

seja, temos um intervalo de valores como resposta. Neste caso, x pode ser qual-

quer número maior que dois, ou seja, não há um sujeito específico.







• Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA)

Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam

pensamentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal.

É importante ressaltar a seguinte definição: “na comunicação, o elemento fun-

damental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por

um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindo-

-se as interrogativas e exclamativas.”

Bem, podemos inferir que, segundo a banca, uma frase exclamativa se trata de

uma sentença aberta em que não podemos interpretar de maneira lógica, isto é,

como verdadeira ou falsa.

E se eu lhe dissesse que nem sempre isso que foi dito pela banca é verdade, você

acreditaria? Em quê, Padilha? A afirmação feita pela banca em dizer que toda sen-

tença exclamativa é uma sentença aberta.

Observe o exemplo de uma questão realizada pela própria banca, em 2008, em

que vamos analisar somente um item da questão, vejamos:

Exemplo:

Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como

verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o

seguinte diálogo:

(1). Você sabe dividir? — Perguntou Ana.

(2). Claro que sei! — Respondeu Mauro.

(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por

três? — Perguntou Ana.







(4). O resto é dois. — Respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5). Está errado! Você não sabe dividir. — Respondeu Ana.

A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue.

A frase (2) é uma proposição.

Analisando a questão, podemos verificar que se trata de uma conversação a ser

analisada, ou seja, a banca nos dá a oportunidade de analisarmos o diálogo, sendo

assim, vejamos:

Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém, o

número que Ana indica é o 12.111 (11000 + 1100 + 11), que é divisível por 3, em

que o resto é igual a 0 (zero).

Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada.

Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser

valoradas da seguinte forma:

(1). Você sabe dividir? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(2). Claro que sei! (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de

acordo com o diálogo) — respondeu Mauro.

(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por

três? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(4). O resto é dois. (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo

com o diálogo) — respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5). Está errado! Você não sabe dividir. (Sentença fechada (verdadeira) – proposi-

ção – pode ser valorada de acordo com o diálogo) — respondeu Ana.

Gostaria que analisássemos apenas a segunda frase, uma vez que as demais serão

vistas mais à frente, ok?

Quando Mauro afirma: “ Claro que sei! ”, temos uma sentença exclamativa, porém,

quando temos a oportunidade de analisar o conteúdo, o que não é comum na lógica







formal, podemos inferir que de acordo com os cálculos realizados, o resto da divi-

são não é 2(dois), e sim, 0(zero), o que faz termos a certeza que ele não sabe

dividir e que, consequentemente, sua frase exclamativa é falsa, isto é, podemos

valorar essa sentença.

Que legal, uma situação em que muitos iriam afirmar que a frase dois seria uma

sentença aberta, o que na verdade não é. Beleza? Gostou?

O nosso objetivo, aqui, é fazer de você um(a) candidato(a) competitivo(a), e

isso só será possível quando soubermos o conteúdo e seus detalhes.

• Você não vai tirar férias este ano de novo? (FRASE INTERROGATIVA)

As frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como

valorá-las. Nas diversas provas realizadas, desde 2008, não vi nenhuma frase in-

terrogativa possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.

• Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. (FRASE INTER-

ROGATIVA)

As frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como va-

lorá-las. Nas diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase impera-

tiva possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.

Sentenças Fechadas

Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos de forma excludente

entender de forma simples as sentenças fechadas.

Bem, podemos definir que se tratam de pensamentos completos, aos quais

podemos determinar o sujeito.







As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras

ou falsas, porém, nunca ambas.

Aí, você me pergunta:

Josimar, como funciona essa questão de valoração de um pensamento (sentença

fechada)?

Bem, antes de explicar, gostaria de lhe dizer que existem 03 (três leis ou prin-

cípios) que regem os pensamentos fechados, que daqui a pouco iremos chamar de

proposição.

Quais são esses princípios? Vou descrevê-los, abaixo:

• Princípio do Terceiro excluído;

• Princípio da Não contradição; e

• Princípio da Identidade.

Por enquanto, não vou defini-los, porém, quando falarmos de proposições, apro-

fundaremos em seus conceitos e exemplificaremos. Aguarde!

Voltando em valorações lógicas, quero dizer que temos apenas dois valores para

um pensamento, pois estamos trabalhando dentro da lógica bivalente, não me inte-

ressa a validade do pensamento, apenas a sua forma. Isso quer dizer, novamente,

que não iremos valorar os pensamentos pelo conteúdo, a não ser que a questão

nos permita fazer.

Exemplo de sentenças fechadas:

• Mariana foi aprovada em química geral (pode ser V ou F)

• O vereador Vitor não participou do esquema. (pode ser V ou F)







DICAUm bom indício que o conteúdo está sendo analisado é quando temos a sentença dentro das aspas.Ex.: “Esta frase é falsa”; (sentença aberta).“O governo brasileiro está fragilizado devido à corrup-ção”. (sentença fechada).

Proposições

Pela definição, podemos dizer que proposição é uma sentença (afirmativa ou

negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de

sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valo-

ração (verdadeiro ou falso).

Também podemos falar que esta valoração é chamada de valor-lógico, ou

valor-verdade.

Na verdade, podemos então inferir que as sentenças fechadas são denominadas

de proposições, beleza?

A partir do diagrama que criei abaixo, acredito que possamos ter uma ideia

geral de como entendermos os pensamentos (sentenças):

Vejamos o diagrama (esquema):







Você deve estar se perguntando: “O que seriam expressões”? Bem, podemos

dizer que são frases que não possuem sentido completo.

Por exemplo: “dois terços”, ou seja, não temos um sujeito e um predicado.

Seria interessante, agora, citarmos quais são os princípios fundamentais da

lógica proposicional na lógica bivalente e defini-los:

• O princípio da identidade afirma que todo o enunciado da forma p ⊃ p é

verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.

Quer dizer que se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será sem-

pre verdadeiro.

• O princípio da não contradição afirma que todo o enunciado da forma p

∧¬p é falso, ou seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório.

Temos, agora, que um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e fal-

so, simultaneamente.

• O princípio do terceiro excluído afirma que todo o enunciado da forma p

∨ ¬ p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.

Neste princípio, temos que não possuímos uma terceira valoração, caso exista

deve ser excluída.

Na lógica proposicional bivalente, podemos citar uma questão bem bacana para

entendermos mais um pouco a diferença entre sentenças abertas e proposições

(sentenças fechadas).

Temos uma questão que deixa claro a diferença entre proposições e sentenças

abertas, no concurso para o cargo de analista do SEBRAE, onde a banca realizou a

seguinte afirmação a ser julgada:







Questão 1 (CESPE/SEBRAE/ANALISTA) A seguinte proposição “Ninguém ensina

ninguém” é um exemplo de sentença aberta.

Errado.

Olha só que interessante, pois a banca exige do(a) candidato(a) uma diferenciação

entre os conceitos já citados, em que muitos iriam ficar interpretando a frase suge-

rida. O que se deve perceber é que quando o CESPE cita que a proposição “Nin-

guém...” é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que uma

proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há

como se valorar). Desta forma, temos a certeza de que o item está errado.

Questão 2 (FCC/SFASP/AGENTE FISCAL RENDAS) Considere as seguintes frases:

Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

(x+y) / 5 é um número inteiro.

João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS.

a) I é uma sentença aberta.

b) II é uma sentença aberta.

c) I e II são sentenças abertas.

d) I e III são sentenças abertas.

e) II e III são sentenças abertas.







Letra c.

No item I, temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o

melhor jogador do mundo em 2005, logo, a sentença é aberta;

No item II, vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua

resultado inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos (5 + 10)/5 = 3 (3 pertence aos inteiros);

pode acontecer o mesmo com x= 20 e y=10, temos (20 + 10) = 15 etc., logo, a

sentença é aberta;

No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem

é o secretário da Fazenda do estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da

Silva.

Questão 3 (FCC/SFASP/AGENTE FISCAL RENDAS/ADAPTADA) Das quatro frases

abaixo, três delas tem uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma

delas não tem essa característica.

Que belo dia!

Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.

O jogo terminou empatado?

Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a

a) IV.

b) III.

c) I.

d) II.







Letra d.

Das frases acima, temos quatro sentenças:

I – Que Belo dia! – Não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa

– não há como valorar.

II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa – há

como valorar.

III – O jogo terminou empatado? – Sentença interrogativa – não há como valo-

rar.

IV – Escreva uma poesia. – Sentença imperativa – não há como valorar.

Dentre as quatro, apenas uma pode ser valorada, logo, temos uma proposição.

Neste caso, trata-se da segunda frase.

Questão 4 (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) Na lógica de primeira ordem, uma

proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um nú-

mero finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando

são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a

proposição “Para qualquer x, tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando

x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por

exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

�( )� A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para

todos os valores de x que estão no conjunto

�( )� A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é

verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.







Errado.

O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½, a desigual-

dade torna-se falsa. Por exemplo: “ ∀ x2 > x = V”

(½)2 > ½ ¼ > ½ (E).

O segundo item está errado, pois se verificarmos os elementos do conjunto, eles

não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é di-

visível por 2, porém, não é divisível por 3. O número 15 é divisível por 3, mas não

é divisível por 2. Logo, o item está errado. Para que o item estivesse certo, a sen-

tença deveria ser: “Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3”.

Questão 5 (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) A frase “Quanto subiu o percentual

de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma

proposição.

Certo.

O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interro-

gativa. O item está certo.

Linguagem da Lógica Formal

Curiosidade!

Linguagem da lógica formal?







Você sabia que este assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde

os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos

escritos de Frege, no século XIX. Quando surgiram as primeiras linguagens formais

(Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente

“realista” e “normativo”.

Primeiramente, é importante entender a necessidade de saber ler e escrever na

lógica formal, uma vez que a filosofia utiliza linguagem própria para expressar seus

pensamentos, ou seja, simbolizar as proposições.

Nessa minha caminhada como professor, nos últimos anos percebi que muitos

alunos possuem muita dificuldade em interpretar as questões, bem como identi-

ficar qual o método mais adequado a ser utilizado na referida questão. Daí me

perguntava, por quê?

A resposta é simples e direta, a pessoa não consegue entender o que está

escrito, logo, fica quase impossível responder.

Muitos alunos me dizem bem assim: - “Padilha, eu usei a minha lógica”, então

lhe faço uma pergunta: “Essa sua lógica estava discriminada no edital?”. Com

certeza a reação não é a melhor possível, lamentável.

Mas, chegou a nossa hora, concorda? Agora, sim, vamos aprender o primeiro

passo na lógica formal, que é saber transcrever da linguagem natural (língua

portuguesa) para a linguagem da lógica formal.

Para iniciarmos, vamos primeiramente falar de proposições simples e compostas,

pois elas que vão fazer parte da construção do raciocínio, inclusive temos que saber

que as proposições possuem representação.

Representação das Proposições

As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou

minúsculas.







Exemplo:

p: As praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites.

q: O mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo.

r: Alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos.

Por mais que pareça simples, teremos, mais à frente, várias questões comen-

tadas de concursos que exigem do(a) candidato(a) a diferença entre proposições

simples e compostas, e nesses últimos anos, tem aumentado o número de questões.

Diga-se de passagem, temos algumas bem difíceis.

Vamos, então, entender essa diferença.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam

apenas um pensamento.

Uma dica legal é você perceber que temos apenas uma ação, ou seja, apenas

um sujeito (podendo ser simples ou composto), um verbo e um predicado.

• Ex.: Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável.

• Ex.: João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: podemos defini-las como sendo proposições

que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser

chamadas de fórmulas proposicionais, ou apenas fórmulas.

Uma dica legal é você perceber que temos mais uma ação, ou seja, apenas um

sujeito (podendo ser simples ou composto), mais de um verbo e um predicado.

Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o

universo.







É importante lembrar que as proposições compostas precisam de uma ferra-

menta denominada de “operador lógico”. O que vêm a ser operadores lógicos?

Vamos, então, para mais uma definição importantíssima nessa nossa caminha-

da lógica.

Operadores ou Conectivos Lógicos

Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples já vistas

para formarem novas proposições, as proposições compostas.

Vou lhe apresentar um quadro com os operadores lógicos:

Nesses últimos concursos, observei que tem sido constante alguns termos que

indicam operadores lógicos, principalmente quando se trata do operador condicional.

Vejamos:

Condicional:

“Se...então...” pode ser escrito: quando, quem, aquele, como, todo etc. Na verdade,

pode ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição.

Conjunção:

“e” pode ter situações que não aparece operador, porém, temos que interpretar que

está implícito. Veja os exemplos retirados de provas recentes: “Não basta a mulher







de César ser honesta, ela precisa parecer honesta”, “Não sou traficante, sou usu-

ário”. Para resolver os itens, é necessário que o(a) candidato(a) interprete que se

trata de proposição composta, operada por um conectivo de conjunção “e”.

Bicondicional:

“Se, e somente se” pode ser interpretado: “assim como”.

Como sabemos que a nossa ferramenta de trabalho é o pensamento (propo-

sição), devemos ter muito cuidado com a maneira que transcrevemos da linguagem

natural para a linguagem da lógica formal, pois se simbolizarmos de maneira errônea,

estaremos comprometendo todo o conjunto de pensamentos.

Com essa preocupação e quando chegarmos mais à frente, na análise de um

argumento, poderemos evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das

proposições envolvidas na linguagem da lógica formal.

Os operadores são responsáveis em construir os pensamentos de maneira for-

mal, então, teremos uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua

força. Vejamos:

A “ordem de precedência” para os conectivos (traz o sentido principal da frase)

• bicondicional

• condicional

• conjunção e disjunção/disjunção exclusiva

• negação

Portanto, o conectivo mais “forte” é o bicondicional, e o mais “fraco” é a negação.

Na linguagem da lógica formal, qual a importância dos parênteses e como utilizá-lo?

O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita

qualquer tipo de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir.







I – p → (r ∧ s).

II – (p → r) ∧ s.

III – r → ((p ∧ s) → q).

IV – (r → p) ∧ (s → q).

A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o →. A proposição II

é uma conjunção, pois o conectivo principal é o ∧. Então, I e II não têm o mesmo

significado, apesar de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos,

na mesma ordem. O mesmo acontece com os exemplos III e IV.

Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as pro-

posições colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade.

Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas conven-

ções, cujas mais importantes são:

A “ordem de precedência” para os conectivos é: ~ depois de ∧, depois de ∨, depois

de →, depois de , esta ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco”

é ~, e o mais “forte” é o .

Observe a proposição: r ∧ p s → q

Portanto, essa proposição é bicondicional, e jamais uma condicional ou uma con-

junção. Mas, para que se converta o seu sentido em uma condicional, os parênteses

são obrigatórios.

((r ∧ p) s) → q)

Por analogia, podemos ter uma conjunção.

r ∧ (p (s → q))

O que você acha de várias questões comentadas? Então, vamos lá, para que

você aprenda de forma definitiva os assuntos até aqui apresentados.







É importante conhecer alguns símbolos matemáticos, uma vez que a filosofia –

Lógica Formal – utiliza para sua linguagem.

Questão 6 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “A aprovação em um

concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos” pode ser sim-

bolicamente representada pela expressão lógica P→ Q, em que P e Q são proposi-

ções adequadamente escolhidas.







Errado.

A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento

adequado de estudos” corresponde a uma proposição simples, pois temos apenas

um pensamento.

Questão 7 (CESPE/STJ/2015) Designando por p e q as proposições “Mariana tem

tempo suficiente para estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respec-

tivamente, então a proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e

não será aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬p ^ ¬q.

Certo.

A questão exige do(a) candidato(a) uma interpretação quanto à linguagem da ló-

gica formal, isto é, transcrever da linguagem natural para linguagem da lógica

formal.

“Mariana não tem tempo suficiente para estudar (¬p ) e (^) não será aprovada

nesta disciplina (¬q)” é equivalente a escrever a ¬p ^ ¬q.

Questão 8 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “A vida é curta e a mor-

te é certa” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, em

que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.







Certo.

A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente represen-

tada pela expressão lógica P ^ Q, uma vez que temos uma proposição composta

conjuntiva, podendo ser representada por P ^ Q.

Questão 9 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “Somente por meio da

educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de

cidadania” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q ^ R,

em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas.

Errado.

A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer

e desenvolver um sentimento de cidadania” representa uma proposição simples,

logo, temos sua representação por apenas uma letra, e não conforme o item su-

geriu.

CONSIDERE O DIÁLOGO ABAIXO:

– Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!

– Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a

declaração de Mário.

Questão 10 (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o

indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.







Certo.

A banca, mais uma vez, exige do(a) candidato(a) uma interpretação quanto a

linguagem da lógica formal. A proposição “Aquele que trabalha com o que gosta

está sempre de férias” tem o mesmo significado de uma proposição condicional “Se

o indivíduo trabalha com que gosta, então ele trabalha com que gosta”. O item está

certo, pois o termo “aquele” tem o mesmo significado do termo “ se...,então ...”.

Questão 11 (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então

ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.

Errado.

De acordo com a proposição (declaração) feita por Mário, temos que se trata de

uma condicional, em que a mesma não possui a propriedade comutativa, ou seja,

P → Q equivalente (não tem o mesmo significado) Q → P.

Aí, você me pergunta: “O que é a propriedade comutativa?”.

Bem, esse assunto será visto mais à frente com profundidade, se trata de uma das

Leis de Equivalências lógicas, porém, vou lhe adiantar que o único operador lógico

que não permite trocar de posição suas proposições simples é o conectivo condicio-

nal. Logo, podemos inferir que:

P → Q ≠ Q → P.

Como sabemos, agora, que não é permitida a comutação, pois as interpretações

não são as mesmas, temos que o item está errado.







DICA O único operador lógico que não permite trocar de po-sição (comutar) suas proposições simples é o conectivo condicional. P → Q ≠ Q → P.

Questão 12 (CESPE/STF/2013) A sentença: “Um governo efetivo precisa de re-

gras rígidas, de tribunais que desempenhem suas funções com seriedade e cele-

ridade e de um sistema punitivo rigoroso” pode ser corretamente representada

pela expressão (P ∧ Q) ∧ R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente

escolhidas.

Errado.

Essa questão é interessante, pois se trata de uma proposição simples, e não com-

posta, uma vez que temos apenas um verbo que liga o sujeito ao predicado. É bom

ficar esperto(a), pois temos muitas questões dessa forma em que o(a) aluno(a)

pensa que por ser grande a proposição, ela tem que ser composta.

Questão 13 (CESPE/STF/2013) A sentença “um ensino dedicado à formação de

técnicos negligencia a formação de cientistas” constitui uma proposição simples.

Certo.

Temos, novamente,, uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode

ser interpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo, é uma propo-

sição simples.







Questão 14 (CESPE/STF/2013) A sentença “A indicação de juízes para o STF deve

ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência

na magistratura” pode ser corretamente representada na forma P → Q, em que P e

Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas.

Errado.

Novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser in-

terpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa. Logo, é uma proposição

simples. A maneira que a banca simbolizou está considerando a proposição como

composta, uma vez que temos a presença de um operador lógico condicional, que

indicaria mais de uma proposição sendo conectada.

Questão 15 (CESPE/SEBRAE/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do Sebrae”

é uma proposição simples.

Certo.

O item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição sim-

ples). Podemos observar que a proposição possui sujeito composto.

Questão 16 (CESPE/SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto

viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições

simples relacionadas por um conectivo de conjunção.







Certo.

O item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um

conectivo de conjunção “e”.

Questão 17 (CESPE/PRODEST/TÉCNICO EM INFORMÁTICA/ADAPTADA) Consi-

dere a seguinte lista de frases e julgue o item.

I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.

II – Qual é o horário do filme?

III – O Brasil é pentacampeão de futebol.

IV – Que belas flores!

V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.

Nesta Lista, há exatamente 4 proposições

Certo.

Nesta questão acima, temos as proposições:

– Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pen-

samento).

– Qual é o horário do filme? ( sentença)

– O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).

– Que belas flores! ( sentença)

– Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições - 2 pensamen-

tos)

Logo, temos 4 proposições.







Questão 18 (CESPE/STF/TÉCNICO JUDICIÁRIO) Filho meu, ouve minhas palavras

e atenta para meu conselho.

A resposta branda acalma o coração irado.

O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.

Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.

Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo

conectivo de conjunção.

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Letra b.

�a) Errada. Uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são propo-

sições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo, podemos afirmar que não é

uma proposição.

�b) Certa. Uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

�c) Errada. Pois temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

d) Errada. Uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conec-

tadas por um conectivo condicional “Se..., então...”.

Questão 19 (CESPE/SEBRAE/ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os

itens subsequentes.

A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.







A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de

proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo

de conjunção.

Certo.

O primeiro item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa

(proposição simples).

O segundo item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas)

por um conectivo de conjunção “e”.

Questão 20 (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES/2008) Proposições

são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não

cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente

simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são

conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A ∧ B é uma proposição

composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos,

será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V, e va-

lor lógico V se A for F. A expressão A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F se

ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B tem

valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as

seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição

necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência

de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese,

e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por consequência

das premissas.







Considerando as informações acima, julgue o item.

Considere a seguinte lista de sentenças:

I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui

são, respectivamente, x e y.

IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é

proposição.

Errado.

A primeira sentença é interrogativa, logo, não pode ser valorada, ou seja, é uma

sentença aberta.

A segunda frase é uma proposição, pois pode ser valorada, isto é, verdadeira ou

falsa.

A terceira frase é uma sentença aberta, pois não se sabe o valor de x e y.

A quarta frase é uma proposição, pois possui interpretação lógica.

Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬, ∧ e→

são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então,

respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por

meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas

(F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atri-

buída às letras proposicionais.

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras







P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem os conectivos

lógicos “ou”, “e”, “se ...,então” e “não”, respectivamente. Com base nessas infor-

mações, julgue os itens seguintes.

Questão 21 (CESPE/2008) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o

cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P ∧ (¬R).

Certo.

O item está certo, pois temos o conectivo de conjunção representado pela palavra

“mas”, e o segundo conjuntivo negativo: ¬R. Desta forma, a simbolização está de

acordo.

Questão 22 (CESPE/2008) A proposição “Se o país é próspero, então todos os

trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q → S.

Certo.

O item está certo, pois temos como um operador condicional que opera as propo-

sições “Q” e “S”, nesta ordem, porque não podemos esquecer que o condicional é

o único que possui a propriedade comutativa.







Questão 23 (CESPE/2008) A proposição “O país ser próspero e todos os trabalha-

dores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado”

pode ser representada simbolicamente por (Q∧ S) → P.

Errado.

DICAComo já sabemos que o único operador lógico que não permite trocar de posição (comutar) suas proposições simples é o conectivo condicional. P → Q ≠ Q → P.O conectivo condicional é o que nos traz mais surpre-sas, logo, tenho mais uma dica importante para você:Tomando a proposição P → Q como exemplo, podemos dar nomes às suas proposições simples, observe:P(antecedente) → Q(consequente), nesta ordem.

A partir da dica acima, ficou fácil, pois a proposição: “O país ser próspero e todos

os trabalhadores terem emprego” é o consequente, ou seja, temos uma proposição

condicional e o antecedente é a proposição “Nesse país o direito e respeitado”.

Desta forma, o item está errado, pois o conectivo condicional não possui a proprie-

dade conotativa, ou seja, (Q∧S) → P não é equivalente a P → (Q∧ S).

Questão 24 (CESPE/BANCO DO BRASIL/2007) Na lista de frases apresentadas

abaixo, há exatamente três proposições.

– “A frase dentro destas aspas é uma mentira”

– A expressão X + Y é positiva

– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira

– O que é isto?







Errado.

Gostaria que você ficasse bem atento(a) agora ao comentário sobre a primeira

sentença, pois teremos uma interpretação bem interessante:

Temos quatro sentenças:

“A frase dentro destas aspas é uma mentira”: esta frase não possui uma inter-

pretação lógica (V ou F), pois se valorarmos como verdadeira, ela se tornará falsa,

uma vez que informa que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar-se-á

verdadeira, e assim por diante. Logo, é uma sentença aberta.

DICANessa questão, é necessário analisar o conteúdo da in-formação, e isso fica claro uma vez que a sentença se encontra dentro de aspas. Não se esqueça, pois se não analisar o conteúdo, teremos uma proposição e, na verdade, o pensamento é aberto.

A expressão X + Y é positiva: esta frase não possui uma interpretação lógica (V

ou F), pois não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: Se X = 1 e Y = 2, temos

que 1 + 2 = 3 (positivo), mas se tivermos X = –1 e Y = –3, temos que –1+(–3) =

–4 (negativo). Logo, é uma sentença aberta.

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira: esta frase possui uma inter-

pretação lógica, uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasilei-

ra, sendo falsa a frase. Logo, é uma proposição.

O que é isto? Esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata-se

de uma sentença interrogativa, a qual não pode ser valorada. Logo, é uma sentença

aberta, e o item está errado.







Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.

P: O homem precisa de limites.

Q: A justiça deve ser severa.

R: A repressão ao crime é importante.

S: A liberdade é fundamental.

Com base nessas informações, julgue os itens.

Questão 25 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A liberdade é fundamental,

mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente representada por P∧ ¬S.

Errado.

O item está errado, pois se trata se uma proposição conjuntiva em que o primeiro

conjuntivo é “A liberdade é fundamental” e como segundo conjuntivo “O homem

precisa de limites” é representado simbolicamente por S ∧ P.

Na próxima aula, veremos mais sobre os termos “primeiro conjuntivo” e “segundo

conjuntivo”, não se preocupe, será na aula de tabelas-verdade.

Questão 26 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A repressão ao crime é impor-

tante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente representada por R→ Q.

Errado.

O item está errado, pois se trata se uma proposição condicional em que o antece-

dente é a proposição “a justiça deve ser severa” e o consequente é a proposição “A

repressão ao crime é importante”. É importante ressaltar que a proposição condi-

cional é a única que não possui a propriedade comutativa, isto é, a representação

simbólica certa é Q → R.







DICAVale a pena ressaltar que a partícula “se” anuncia o

antecedente, independentemente de como esteja es-

crito na linguagem natural, enquanto o termo “então”

anuncia o consequente, ok?

Questão 27 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça não deve ser

severa nem a liberdade fundamental, então repressão ao crime não é importante”,

pode ser corretamente representada por (¬Q) ∧ (¬S) →¬R.

Certo.

O item está certo, pois se trata de uma proposição condicional em que o antece-

dente é a proposição composta, “a justiça não deve ser severa nem a liberdade

fundamental”, e o consequente é a proposição negativa, “A repressão ao crime não

é importante”.

O termo “nem” é a contração do “e” com o “não”.

Questão 28 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Ou o homem não precisa de

limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa”, pode

ser corretamente representada por ((¬P) ∧ (¬R)) ∨ Q.

Errado.

Esse item é bem tranquilo, e está errado, pois trata-se uma proposição disjuntiva

exclusiva, isto é, “ou...ou...”, em que o conectivo correto seria ∨.







Questão 29 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça deve ser severa,

então o homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por Q → P.

Certo.

O item está certo, pois se trata de uma proposição condicional em que o antece-

dente é a proposição “a justiça deve ser severa”, e o consequente é a proposição

“O homem precisa de limites”.

Para finalizarmos a nossa série de questões comentadas, quero apresentar um

comentário de uma questão muito bem-feita pela banca VUNESP. Vamos fazer que

vale a pena, ok?

Questão 30 (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP/2013) Em um reino distante, um homem

cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada,

o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denomi-

nadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora

da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a

sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por

outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira.

Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua

asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a

execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o

prisioneiro teria proferido.







a) “Está chovendo forte”.

b) “O carrasco não vai me executar”.

c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”.

d) “Dois mais dois é igual a cinco”.

e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”.

Letra e.

A banca VUNESP exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e

sentenças abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de ma-

neira concreta os princípios fundamentais da lógica proposicional.

Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro. Se proferis-

se uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na forca da verdade, mas,

por outro lado, se a sentença fosse falsa, deveria ser enforcado na forca da men-

tira. À primeira vista, temos uma interpretação que tal situação é absurda, porém,

quando analisamos pelo ponto de vista lógico, podemos interpretar que existem

pensamentos passíveis de valoração (V ou F) dentro da lógica bivalente e pensa-

mentos completos que não possuem interpretação, ou seja, sentenças abertas.

Nesse caso, o prisioneiro ao proferir a sentença deixou o carrasco completamente

sem saber o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do

prisioneiro, ou seja, uma sentença que não conduzia a forca da verdade nem a

forca da mentira, sendo, dessa forma, a execução cancelada. Bem, isto se deve ao

fato de que a sentença se tratava de um pensamento completo que não era nem

verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA.

Analisando as opções, devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro pro-

feriu, proporcionando sua absolvição.







�a) Errada. “Está chovendo forte”. É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou

falsa, seria executado de qualquer forma.

�b) Errada. “O carrasco não vai me executar”. É uma proposição, pois possui valo-

ração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira.

�c) Errada. “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. É uma

proposição, pois possui valoração, no caso verdadeira, seria executado na forca da

verdade.

�d) Errada. “Dois mais dois é igual a cinco”. É uma proposição, pois possui valoração,

no caso falsa, seria executado na forca da mentira.

e) Certa. “Serei enforcado na forca da mentira”. A sentença não é nem verdadeira

e nem falsa. Pois se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa, e se

tentarmos valorar como falsa, se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração –

sentença aberta.

Parte 02Tabelas Verdades – Veretativas

Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entender como se constrói uma

tabela-verdade, porém, vamos entender porque se chama tabela-verdade.

As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição

simples ou composta, sabendo que na lógica bivalente as valorações possíveis,

valores lógicos, que nós temos são:

(V): verdade ou (F): falso

Daí surge a pergunta: “Só temos esses dois valores?” Bem, vamos lá. Para que

possamos valorar as proposições simples ou compostas, temos que entender que

as únicas possibilidades são essas, então, não custa apresentar a você as três leis

do pensamento ou os princípios fundamentais da lógica proposicional.







A lógica, como a ciência do raciocínio ou do pensamento, possui exatamente

três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para

que o pensar se desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento rece-

beram, tradicionalmente, os nomes de princípio de identidade, princípio de contra-

dição (por vezes, princípio de não contradição) e princípio do terceiro excluído.

Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos.

No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:

• O princípio de identidade afirma que se qualquer enunciado é verdadeiro,

então ele é verdadeiro, se for falso, será falso. Não pode estar alternando sua

valoração, isto é, sua interpretação.

• O princípio da não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser

verdadeiro e falso. Do ponto de vista lógico, é impossível uma afirmação ser

simultaneamente verdadeira e falsa.

• O princípio do terceiro excluído afirma que um enunciado ou é verdadei-

ro, ou é falso. Não temos como ter um terceiro valor, caso exista, deverá ser

excluído.

Partindo desse pressuposto que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou fal-

so, vamos aprender a construir as tabelas-verdade.

O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada tabela, pois bem,

para isso, temos que saber se temos uma proposição simples ou composta.

Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja,

“n” pensamentos simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas. A base é o nú-

mero 2, por se tratar da lógica bivalente, e “n” significa o número de proposições

simples.

N. de linhas = 2n (Proposições).







Como construir uma tabela verdade?

Vejamos os casos abaixo:

• Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição P?

Já vimos que as proposições são representadas por letras, nesse caso, temos

uma variável proposicional, ou seja, “n” é igual a 1. Então, o número de linhas será

dado por:

2 n= 21= 2 linhas.

Sabendo, agora, que temos 02 linhas, podemos construir a tabela:

P

• Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta

P ˄ Q?

Sabendo que as proposições são representadas por letras e que temos, nesse

caso, duas variáveis proposicionais, ou seja, “n” é igual a 2, então o número de

linhas será dado por:

2 n= 22= 4 linhas.

Sabendo agora que temos 04 linhas, podemos construir a tabela em que as

duas primeiras colunas são as proposições simples e a terceira coluna será a pro-

posição composta:

P Q �(P ˄ Q)








�(P ˄ Q) ˅ R?

Nesse caso, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais,

é igual a 3, ou seja, n = 3, então, o número de linhas:

2 n =2 3= 8 linhas

P Q R �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) ˅ R


�(P ˄ Q) ˅ �(R ˄ S)?

Agora, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais,

é igual a 4, ou seja, n = 4, então, o número de linhas:

2 n =2 4= 16 linhas







P Q R S �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) ˅ �(R ˄ S)

E agora surge outra pergunta:

Como preencher as tabelas?

Vamos aprender como valorar as proposições simples em uma tabela verdade,

ou seja, as primeiras colunas.

Para as tabelas-verdade abaixo, teremos:

• Para 01(uma) proposição: n=1







PVF

Preencher a coluna

alternando verdadeira

(V) e uma falsa (F).

• Para duas proposições: n=2

P

V V

VVF

F

FF

Q �(P ˄ Q)

Alternando

de uma em

uma. V, F, V, F

Alternando

de duas em

duas. V, V depois

F, F...

• Para três proposições simples: n=3

PV V V

VV

V

V

V VF

F

F

F F

F

Q R �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) ˅ R

VV

V

F

F

FFF

F

Alternando de qua-tro em quatro: V, V, V, V, F, F, F, F....

Alternando de duas em duas. V V de-pois FF ....

Alternandode uma em uma: V, F, V, F, V, F....







• Para quatro proposições simples: n=4

P

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

FF

F

F

F

F

F

F

F

Q R S �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) �(P ˄ Q) ˅ �(R ˄ S)

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

FF

F

Alternandode uma em uma: V, F, V, F, V, F....

Alternando de duas em duas. V V de-pois FF ....

Alternandode quatro em quatro: V, V, V, V, F, F, F, F....

Alternando de oito em oito: V, V, V, V, V, V, V, V, F, F, F, F, F, F, F, F

Agora que aprendemos como preencher a parte inicial da tabela verdade, podemos

dar início às tabelas-verdade para cada um dos operadores lógicos.

Vamos pensar da seguinte maneira. É como se fossem as tabuadas na mate-

mática, para cada operador matemático, você lembra? Tínhamos as tabuadas da

soma, subtração, multiplicação e divisão. Partindo do mesmo princípio, em que

para cada operador lógico, terá sua tabela.







Antes de darmos início às tabelas para cada operador, vejamos dois exemplos

de concursos do assunto já visto.

Questão 31 (CESPE/TCU/ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R representam

proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que constroem novas

proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional

que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas

(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos.

Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.

O número de valorações possíveis para (Q ˄ ¬R) ¬ P é inferior a 9.

Certo.

Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis)

que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a

2n, logo temos: 23 = 8. Sendo assim, temos que 8 é inferior a 9.

Questão 32 (CESPE/TRT-5) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas,

então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A → B) ⇔ (C → D) será

superior a 15.

Certo.

Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis)

que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n,

logo, temos: 24 = 16. Sendo assim, temos que 16 é superior a 15.







Tabelas – Verdade

Conjunção: “ e, mas” símbolo: ˄

Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições

quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “e”.

Exemplo:

• A: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)

• B: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)

Tabela Verdade

A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada

linha da tabela verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.

No operador conjuntivo (e), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à

interseção (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor

V (pertence) e quando tiver o valor F (não pertence ao conjunto).

O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se

encontra na interseção, logo, será verdadeiro.







O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou

seja, não se encontra na interseção, logo, será falso.

O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja,

não se encontra na interseção, logo, será falso.

O elemento referente à quarta linha não pertence a A e não pertence a B, ou


Resumindo, na conjunção só será verdadeiro se tudo for verdadeiro.

DICAO operador “e” tem o sentido de “ambos”, “simulta-neidade”, “ao mesmo tempo”.O operador “e” em operações de conjuntos dá ideia de “intersecção”, e uma ideia de “multiplicação”.

Disjunção: “OU” símbolo: ˅

Vamos para o próximo operador lógico e sua tabela verdade. Agora é a nossa

disjunção inclusiva, que é uma proposição composta formada por duas proposições

simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.

Tabela Verdade

P Q P v Q

V V V

V F V

F V V

F F F









No operador disjuntivo (ou), só será verdadeiro se os elementos pertencerem

à união (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V

(pertence) e quando tiver o valor F (não pertence ao conjunto).


encontra na interseção, logo, será verdadeiro.


seja, não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.


não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.



Resumindo, na disjunção só será verdadeiro se pelos menos uma proposição for

verdadeira.

O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.

O operador “ou”, em operações de conjuntos, dá ideia de União e uma ideia

de Soma.

Vejamos como o assunto é cobrado em prova. É importante observar que na

tabela verdade construída pela banca, os valores estão invertidos, mas isso não é

problema, pois o que importa é que tenhamos todas as possibilidades.







Questão 33 (FUNIVERSA/POLÍCIA CIVIL-DF) Os valores lógicos – verdadeiro e

falso – podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana.

As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade,

como exemplificado abaixo:

A B A e B

Falso Falso Falso

Falso Verdadeiro Falso

Verdadeiro Falso Falso

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-

-verdade.

Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respecti-

vamente, falsos, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é

falso.

II – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respec-

tivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é

verdadeiro.

III – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respec-

tivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expres-

são é verdadeiro.

IV – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A ou (B e C)], são, respec-

tivamente, verdadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão

é falso







a) Todas as afirmativas estão erradas.

b) Há apenas uma afirmativa certa.

c) Há apenas duas afirmativas certas.

d) Há apenas três afirmativas certas.

e) Todas as afirmativas estão certas.

Letra c.

Esta questão trata apenas da aplicação da tabela verdade, logo, é importante

copiar as tabelas em uma folha para acompanhar as operações. Com o tempo, por

meio da prática, se tornará comum.

I – Certo. A ^B ^C ⇒F ^F ^ V = F

No item acima, operamos na conjunção F com F, que será falso e, consequente-

mente, operamos na conjunção com V resultando em F.

II – Certo. A v B v C⇒ F v V v F = V

No item acima, operamos na disjunção F com V, que será falso.

III – Errado. [A ^ (B V C)] ⇒ [F ^ ( V v V )] = F

No item acima, operamos a disjunção que está entre parênteses, que será

verdadeiro e, consequentemente, operamos com F pela conjunção, resultando em F.

IV – Errado. [A ou (B e C)] ⇒[ V v (F ^ F)] = V

No item acima, operamos o que está entre parênteses pela conjunção que será falso

e, consequentemente, operamos pela disjunção, que será verdadeiro.







Disjunção Exclusiva: “ OU...OU...” símbolo: ˅

Temos, agora, o nosso terceiro operador lógico, denominado de disjunção ex-

clusiva. A proposição composta formada por duas proposições simples que estejam

ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”

Tabela Verdade

R S R v S

V V F

V F V

F V V

F F F



No operador disjunção (ou..ou..) exclusiva, só será verdadeiro se os elementos

não pertencerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos, pertencerem à

área hachurada no diagrama. Isto quer dizer que quando tiver o valor V (pertence)

e quando tiver o valor F (pertence ao conjunto).


encontra na interseção, logo, será falso.


seja, não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.








não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.



Resumindo, na disjunção exclusiva só será verdadeiro se os valores das propo-

sições forem diferentes.

Vejamos mais uma questão envolvendo o operador acima:

Questão 34 (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o

mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais

velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos

são, respectivamente:

a) Caio e José

b) Caio e Adriano

c) Adriano e Caio

d) Adriano e José

e) José e Adriano

Letra b.

Agora, iremos utilizar um pouco dos conhecimentos adquiridos no primeiro módulo,

onde tratamos da linguagem.

Iremos simbolizar as proposições acima, para ficar mais fácil.

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V







Obs.:� Você deve ter percebido o sinal de verdade ao final de cada proposição com-

posta, isto é devido porque partimos de verdades para chegarmos em uma

verdade. Esse raciocínio ficará mais claro nos módulos posteriores, quando

falarmos de inferências lógicas, ok? Por enquanto, vamos ficar por aqui, pois

o nosso foco são as tabelas-verdade.

Aplicando mão da observação acima, temos que todas as proposições são verda-

deiras, logo, iremos valorá-las com “V” e, aplicando a tabela verdade do conectivo

utilizado (ou...ou...) nas proposições P1 e P2, iremos valorando as proposições

simples que as compõem.

Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros, temos que valo-

rar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjun-

ção exclusiva. Então, teremos:

F V

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. = V

F V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V

Na proposição composta P1, podemos ter 02 possibilidades de acordo com o opera-

dor “ou...ou...”, isto é, os valores devem ser diferentes, mas se começarmos com F

e V respectivamente, iremos perceber que chegaremos em uma contradição, logo,

ao colocarmos F e V, conforme ilustrado acima, chegaremos na resposta certa.

Desta forma, podemos concluir que o mais velho é Caio, e o mais moço é Adriano.

DICAO operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou ou-tro, e não ambos”.







O operador “ou...ou...” em operações de conjuntos dá ideia de União dos exclusivos e uma ideia da soma dos exclusivos.Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo, é co-mum adicionar no final a expressão: “mas não os dois”.

Condicional: “se..., então...” símbolo: →

Agora, é muito importante sua atenção, pois iremos estudar o principal dos

operadores lógicos, ou seja, o CONDICIONAL, isso pela incidência em questões de

concursos públicos e também pela sua complexidade

Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposi-

ções que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “se..., então...”/“quando”,

“ aquele”, “como” etc.

Para melhor compreensão, iremos continuar lançando mão dos conhecimentos

de teoria de conjuntos.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias

de natureza lógica, que são fundamentais para a matemática e o desenvolvimen-

to do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por A → B pode ser

interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A ⊂ B, em que A

é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e B é o conjunto cujos objetos

cumprem a condição b.







A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

No operador condicional (Se..., então...), será verdadeiro se os elementos cum-

prirem a condição determinada pela inclusão A ⊂ B, ou seja, apenas 03 elementos

“a, b e c” podem existir de acordo com o diagrama acima. Vejamos:

O elemento referente à primeira linha indica que se pertence a A, então per-

tence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo elemen-

to a, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer. No diagrama, não temos elemento

representando essa possibilidade, logo, será falso.

O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então

pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo ele-

mento b, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo ele-

mento c, logo, será verdadeiro.

Em uma proposição condicional, não existe a possibilidade de termos a primei-

ra verdadeira e a segunda falsa, então, se sabemos que a primeira é verdadeira,

a segunda, por dedução, deverá ser considerada verdadeira, e se sabemos que a

segunda é falsa, a primeira deverá ser considerada falsa.

Note, também, que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como dedu-

zir o valor-lógico da segunda e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos

como deduzir o valor-lógico da primeira. Veja:







É importantíssimo! Temos alguns termos que indicam as proposições simples

em uma proposição condicional. Tem acontecido demais em concursos, em que a

banca não cita o nome do operador, e sim, os termos escritos abaixo:

(AB)↘ConsequenteAntecedente

↘

Além desses termos, é importante guardar as condições que existem nas pro-

posições condicionais.

Condição suficiente: condição que vai do antecedente para o consequente.

Condição necessária: condição que vai do consequente para o antecedente.

Antecedente Consequente

Vejamos um exemplo simples:

Ex: Se o dia estiver claro, então José vai à praia.

Temos que:

O dia estar claro é condição suficiente para José ir à praia.

ou

José ir à praia é condição necessária para o dia estar claro

O operador “Se...., então...” dá ideia de inclusão de dois conjuntos, em que, pq

p q.

Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não

pode (comutar), ou seja, se eu falar: “Se estudo, então eu passo”, não é o mesmo

que falar: “ Se eu passei, então estudei”. Do ponto de vista lógico, essas duas







proposições não possuem as mesmas interpretações, isto é, as valorações nas

tabelas-verdade são diferentes. Isso fica claro com os valores expressos nas linhas

2 e 3.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos:

p → q ≠ q→ p

Resumindo, na condicional só será FALSO se tivermos verdade no antecedente

e falso no consequente.

Uma brincadeira que gosto de fazer é a seguinte: V → F (Vera Fischer).

Questão 35 (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é flo-

rido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a) O jardim é florido e o gato mia.

b) O jardim é florido e o gato não mia.

c) O jardim não é florido e o gato mia.







d) O jardim não é florido e o gato não mia.

e) Se o passarinho canta então o gato não mi.

Letra c.

Partindo do princípio de que todas as proposições são verdadeiras, temos:

V V (V)

P1: O jardim não é florido O gato mia

F F (V)

P2: O jardim é florido passarinho não canta

P3: O passarinho canta (V)

Para que possamos fazer essa questão, uma boa sugestão é que iniciemos pela

proposição simples (P3) como verdadeira.

Partindo da premissa P3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais

proposições simples, de acordo com a tabela verdade da condicional, analisando as

respostas:

Se a proposição P3 é verdadeira, então o consequente de P2 será falso. Se o con-

sequente de P2 é falso, então o antecedente será falso.

Se o antecedente da proposição P2 é falso, então o antecedente da proposição P1

é verdadeiro.

Dessa forma, temos as valorações das proposições simples, agora, é só procurar

a resposta, e o importante é perceber que nas alternativas temos o operador de

conjunção, que deverá ser também analisado.

�a) Errada. O jardim é florido e o gato mia.

F ^V = F

�b) Errada. O jardim é florido e o gato não mia.

F ^ F = F







�c) Certo. O jardim não é florido e o gato mia.

V ^ V = V

�d) Errado. O jardim não é florido e o gato não mia.

V ^ F = F

�e) Errado. Se o passarinho canta, então o gato não mia.

V → F = F

Obs.:� Você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar

o item verdadeiro.

Bicondicional: “se, e somente se”símbolo: ↔

Temos, agora, o operador bicondicional, que será identificado pelo termo “se,

e somente se”. A proposição composta formada por duas proposições que estejam

ligadas por esse conectivo.

Vejamos um exemplo.

Exemplo:

A: Gosto de lógica analítica.

B: Gosto de estatística inferencial.

A proposição bicondicional ‘A se, e somente se, B’ pode ser escrita como:

A ↔ B: Gosto de lógica analítica se, e somente se, gosto de estatística infe-

rencial.

Quando declaramos uma proposição bicondicional, devemos de acordo com os

axiomas da lógica aceitar como verdadeiro que: Se é verdade que “gosto de lógica

inferencial”, obrigatoriamente, é verdade que “gosto de estatística inferencial”. Se for

verdade que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente, é verdade que gosto

de lógica analítica. Se for falso que gosto de lógica inferencial, obrigatoriamente é







falso que gosto de estatística inferencial e, se é falso que gosto de estatística infe-

rencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica analítica. Qualquer outra

possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo repre-

sentam esta situação.

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

No operador bicondicional (se, e somente se), será verdadeiro se os elementos

cumprirem a condição determinada pela inclusão (A B) ∩ (B A), ou seja,

os conjuntos são iguais, pois o conjunto A está contido em B e, simultaneamente,

B está contido em A, conforme o diagrama acima. Vejamos como interpretar as

tabelas:

O elemento referente à primeira linha indica que se pertence ao conjunto A,

então pertence ao conjunto B, ou seja, isso acontece uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, é representado pelo elemento “a”, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, não temos elemento representando essa possibilidade, logo,

será falso.







O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, não temos elemento representando essa possibilidade, logo,

será falso.

O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso acontece uma vez que os conjuntos são iguais. No

diagrama, é representado pelo elemento “b”, logo, será verdadeiro.

Obs.:� Na proposição bicondicional, se a primeira das duas proposições simples que

a compõem for verdadeira, a segunda será verdadeira, e se a primeira for

falsa, a segunda será falsa.

Quando temos:

V V

FF

P → Q P Q

e

Q P Q P

Logo, P=Q P⇔Q

Uma aplicação deste conceito:

Questão 36 (FCC/TRF-1) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos

livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,







a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.

b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.

c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.

e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa

Letra c.

Considerando as proposições:

Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres.

Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas.

Tomando como proposições:

P: Todos nossos atos tem causas.

Q: Não há atos livres.

(P→Q) ^( Q→P) podemos inferir que P⇔Q.

Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições simples

P e Q, em que podemos concluir que 2 (duas) condicionais produzem uma bicon-

dicional.

“Todos os nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.”

Dessa ideia, temos mais um conceito a ser mostrado, que é o seguinte:

P é condição necessária e suficiente para Q

Temos as duas condições, simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional.

DICATemos que observar que em muitas questões de con-cursos públicos os conectivos lógicos: condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem







formal (seu significado), mas por meio de condições impostas às proposições simples que compõem uma sentença composta.

Questão 37 (EPPGG/MP/ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária

para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para

Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos

não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à

Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Letra c.

Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos

a uma conclusão verdadeira.

É importante que você já saiba as tabelas-verdade anteriores, pois iremos utilizá-las.

cc

(F) (F)

P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V)

(V) (V)

P2: Helena não ir à Holanda Carlos ir ao Canadá (V)

(F) (V)







P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V)

(F) (F)

P4: Helena ir à Holanda Alexandre ir à Alemanha (V)

Logo, partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-

-verdade, valoramos as proposições simples.

Nesse momento, só quero que você se importe com a construção das proposições,

pois quanto as valorações, veremos uma maneira mais prática de preencher.

Depois de valorada a proposição acima novamente, chamo a atenção para observar

que nas opções temos operadores lógicos, que devem ser levados em conta.

Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção verdadeira,

temos:

�a) Errada. Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai

à Alemanha.

V – ^ F ^ V = F

�b) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

F ^ V ^V = F

c) Certa. Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

V – ^ V ^V = V

d) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à

Alemanha.

F ^ F ^ F = F

e) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

F ^F ^ F = F







Questão 38 (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para

Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que

Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando

Carmem canta,

a) Denise não dança ou Ana não chora.

b) Nem Beto bebe nem Denise dança.

c) Beto bebe e Ana chora.

d) Beto não bebe ou Ana não chora

e) Denise dança e Beto não bebe

Letra c.

Observe que as proposições abaixo são construídas por intermédio das condições

estudadas, logo, fique atento(a) a: condição suficiente, condição necessária e a

condição necessária e suficiente.

Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegar-

mos a uma conclusão verdadeira.

P1: Carmem cantar Beto beber (V)

P2: Beto beber Denise dançar (V)

P3: Denise dançar ⇔Ana chorar (V)

P4: Carmem cantar (V)

Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-ver-

dade da condicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma dica é

você começar sempre de uma proposição simples, caso tenhamos.







(V) (V)

P1: Carmem cantar Beto beber (V)

(V) (V)

P2: Beto beber Denise dançar (V)

(V) (V)

P3: Denise dançar ⇔ Ana chorar (V)

(V)

P4: Carmem cantar (V)

Com valores adquiridos por intermédio das tabelas-verdade, que nessa altura do

campeonato você já sabe, podemos analisar os itens propostos pela questão para

se chegar a uma opção verdadeira, vejamos:

(F) v (F) = F

a) Errada. Denise não dança ou Ana não chora

(F) ^ (F) = F

b) Errada. Nem Beto nem Denise dançam

(V) ^ (V) = V

c) Certa. Beto bebe e Ana chora

(F) ^ (F) = F

�d) Errada. Beto não bebe e Ana não chora

(V) ^ (F) = F

e) Errada. Denise dança e Beto não bebe.

Negação ou Modificador lógico símbolo: ¬ ou ~

p ~ p ou ¬ p

V F

F V







Bem, até que enfim, o nosso último operador lógico.

O “não” é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma propo-

sição, muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos

representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬),

antes da letra que representa a proposição.

As maneiras que aparecem nas provas, fique ligado(a)!

Proposição p Proposição ¬p

A corrupção tem destruído o País.

A corrupção não tem destruído o País.

Não é verdade que a corrupção tem destruído o País.

É falso que a corrupção tem destruído o País.

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p,

é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A morte é certa Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A morte não é certa Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p,

é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A vida não é curta. Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A vida é curta. Falso

Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas

e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de

lógica proposicional.







P Q R

1 V V V

2 F V V

3 V F V

4 F F V

5 V V F

6 F V F

7 V F F

8 F F F

A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P,

Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente,

aos valores lógicos verdadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando

os conectivos lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos.

Questão 39 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela-verdade

referente à proposição lógica PV (Q ⇔ R) quando representada na posição horizontal

é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

P V (Q ⇔ R) V V V F V F V V

Certo.

Vamos construir a tabela-verdade:

P Q R Q ⇔ R P V (Q ⇔ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F V







F F V F F

V V F F V

F V F F F

V F F V V

F F F V V

Observe que na 4ª coluna temos uma bicondicional operando as proposições da 2ª

e 3ª colunas. Na bicondicional, só será verdade se os valores forem iguais.

Observe que na 5ª e última coluna iremos operar a 1ª com a 4ª coluna com o

conectivo de disjunção (ou), em que para ser verdade, basta uma verdade.

Questão 40 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela-verdade

referente à proposição lógica P→ (Q ^ R) quando representada na posição horizontal

é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

P → (Q ^ R) V V F F V F V V

Errado.

P Q R Q ^ R P → (Q ^ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F F

F F V F V

V V F F F

F V F F V

V F F F F

F F F F V







Observe que na 4ª coluna temos uma conjunção operando as proposições da 2ª e

3ª colunas. Na conjunção só será verdade se os valores forem verdadeiros.

Observe que na 5ª coluna temos uma condicional operando as proposições da 1ª

e 4ª colunas. Na condicional só será falsa se o antecedente for verdadeiro e o

consequente for falso.

O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às

quartas, quintas e sextas–feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos

outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-

-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana.

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.

Questão 41 (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu

dia de mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira.

Certo.

Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

Cássio V V F F F V V

Cássia F F V V V V F

Se analisarmos a terça feira segundo o item propõe, temos que:

Cássio na terça-feira (fala a verdade) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se

ele fala a verdade nesse dia, então deverá mentir na quarta-feira, o que realmente

acontece, segundo podemos observar no quadro acima.

Cássia na terça-feira (fala mentira) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ela

fala mentiras nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta-feira, o que real-

mente acontece, segundo podemos observar no quadro acima.







Questão 42 (CESPE/MI/2013) Na terça–feira, Cássia disse que iria ao supermer-

cado no sábado e na quarta-feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso,

a proposição “Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz” é

verdadeira.

Certo.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo.




A proposição: “Cássia foi ao supermercado no sábado será falsa (F)”, pois foi dito

em uma terça-feira.

A proposição: “comprará arroz será verdadeira (V)”, pois foi dito em uma quarta-

-feira.

Valorando as proposições, podemos aplicar na proposição composta abaixo:

“Cássia foi ao supermercado no sábado (F) → comprar arroz (V) = VERDADEIRO.

Questão 43 (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta–feira, Cássio disser a Cássia:

“Se eu te amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama

Cássia.

Errado.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo.










Em uma sexta–feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo, a afir-

mação dita por ele deve ser valorada como falsa.

Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F

Temos uma proposição composta condicional, e para que ela seja falsa, o antece-

dente tem que ser verdadeiro e o consequente falso, assim:

Cássio: eu te amasse(V) → eu não iria embora (F) = F

Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora.

Questão 44 (CESPE/TRE–RJ/2012) Se as proposições “Eu não registrei minha

candidatura dentro do prazo” e “Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas

eleições” forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do

valor lógico da proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa”.

Errado.

Simbolizando convenientemente a proposição P, temos:

(BFL ¬ C E) (¬ RC ¬ C C)

Primeira possibilidade:

Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como V (verdadei-

ra).

(V F) (F V/F ) = F

F V = F

Segunda possibilidade:







Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como F (falsa).

( F F) (F V/F ) = F

V V = V

Podemos concluir que a proposição P pode ser verdadeira ou falsa.

Questão 45 (CESPE/INSS/2008) Para a simbolização apresentada acima e seus

correspondentes valores lógicos, a proposição B C é V.

Errado.

Podemos, nessa questão, valorar as proposições de acordo com o art. 5º da Cons-

tituição Federal, ou seja, nesse caso, temos que interpretar o conteúdo da infor-

mação.

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa).

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição ver-

dadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será

extraditado. = (proposição falsa)

Tabela do operador condicional (relembrando!):

P Q P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade) vistos anteriormente, temos que

a proposição implicativa (condicional) B C, segundo os valores dados acima:

B C; V F é Falsa.







Questão 46 (CESPE/INSS/2008) De acordo com a notação apresentada acima,

é correto afirmar que a proposição (¬A) ∨ (¬C) tem valor lógico F.

Errado.

Valorando as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Federal, temos:

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa)

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição ver-

dadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será

extraditado. = (proposição falsa)

Tabela do operador disjuntivo (relembrando):

P Q P ∨ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade), temos que a proposição disjun-

tiva (¬A) ∨ (¬C), segundo os valores dados acima:

(¬A) ∨ (¬C)

(¬F) ∨ (¬F)

(V) ∨ (V) é verdadeiro.

Questão 47 (CESPE/PRF/AGENTE DE POLÍCIA) Em um posto de fiscalização da

PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas

de identificação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como

ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis.







Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas

as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par.

Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta

das placas.

a) I, II e V.

b) I, III e IV.

c) I, III e V.

d) II, III e IV.

e) II, IV e V.

Letra c.

A questão em lide é superinteressante, pois se refere à aplicação de conceitos de

lógica proposicional, aplicação de tabelas-verdade, em que devemos primeiramen-

te interpretar uma sentença.

No comando, o trecho: “Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte

informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado

por quatro algarismos, é par” será interpretada do ponto de vista lógico. Sendo

assim, temos uma proposição composta condicional.

Representação da proposição:

P: todas as três letras forem vogais.

Q: o número formado por quatro algarismos, é par.

A proposição P → Q é verdadeira de acordo com os axiomas da lógica, ou seja, sua

tabela–verdade( relembrando):







P Q P → QV V V

V F F

F V V

F F V

Segundo o comando da questão, temos ainda o trecho: “Para verificar se essa in-

formação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas”, ou seja, com

auxílio das placas, verificaremos se a informação é verdadeira.

De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:

[todas as três letras forem vogais] [o número formado por quatro algarismos é par]

V V/F (?) = V/F(?)

A primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença (aberta) não é verdadeira

nem falsa, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um re-

sultado que não é nem verdadeiro, nem falso, logo, temos de retirar a tinta da

placa para verificar se a sentença é verdadeira.








[todas as três letras forem vogais] [o número formado por quatro algaris-mos é par]

F V =V

A primeira sentença é falsa e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores

pelo conectivo condicional, temos um resultado que é verdadeiro, logo, não é ne-

cessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença

é verdadeira.



V/F(?) V/F(?) = V/F(?)

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é uma

sentença aberta (não é falsa nem verdadeira), assim, operando os valores pelo

conectivo condicional, temos um resultado que é indeterminado (nem verdadeiro

nem falso), logo, é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para

verificar se a sentença é verdadeira.









V/F(?) V = V

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é verda-

deira, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado

verdadeiro independente do valor da primeira sentença (antecedente), logo, não

é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a

sentença é verdadeira.


[todas as três letras forem vogais] →[o número formado por quatro algarismos é par]

V/F(?) → F = V/F(?)

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é falsa, as-

sim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não

é nem verdadeiro, nem falso, logo, é necessário retirar a tinta dos caracteres

ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.

Questão 48 (CESPE/TRE-PE/2016) Considerando que p, q, r e s sejam proposições

nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a

sentença apresentada seja verdadeira.







a) ~(p ∨ r) ∧ (q ∧ r) ∨ q

b) ~s ∨ q

c) ~(~q ∨ q)

d) ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ r) ∧ (~r ∧ s)] ∨ (~p ∨ s)

e) (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~s)

Letra d.

Sabendo que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras

e q e r sejam falsas, iremos substituir as valorações nas alternativas e encontrar

uma sentença verdadeira.

~(p ∨ r) ∧ (q ∧ r) ∨ q

~(V ˅ F) ˄ (F ˄ F) ˅ F

~( V) ˄ ( F) ˅ F

F ˄ F ˅ F = F

~s ˅ q

~(V) ˅ (F)

F ˅ F = F

~(~q ˅ q)

~(V ˅ F)

~( V) = F

~[(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ r) ˄ (~r ˄ s)] ˅ (~p ˅ s)

~( ( F ˅ F) ˄ (V ˅ F) ˄ ( V ˄ V)) ˅ ( F ˅ V)

~( F ˄ V ˄ V )

~( F) = V







Questão 49 (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Um estudante de direito, com o obje-

tivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava,

por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava

por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por

exemplo:

P: Cometeu o crime A.

Q: Cometeu o crime B.

R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.

S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.

Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B,

lembrou que ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então,

independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a propo-

sição R ∧ S → Q será sempre falsa.

Errado.

Dadas as proposições:




Sabendo que as proposições R e S se referem à mesma pessoa, temos uma

contradição, ou seja, a proposição R ∧ S será sempre falsa, pois quando R for

verdadeiro, S será falso, e vice-versa.

A proposição R ∧ S → Q é uma condicional, logo, se o antecedente “R ∧ S” é sempre

falso, podemos inferir, independentemente do valor lógico da proposição Q (V/F),

que a proposição composta será sempre verdadeira.







Questão 50 (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Um estudante de direito, com o obje-

tivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava,

por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vincu-

lava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava,

por exemplo:

P: Cometeu o crime A.




Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B,

lembrou que ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente

encarcerado nem poderá pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma

(P ∧ Q) → ((~R) ∨ (~S)).

Errado.

Na proposição composta condicional, o consequente está simbolizado erradamente,

pois o operador lógico não é uma disjunção (ou), e sim, uma conjunção (e).

Questão 51 (VUNESP/POLICIA CIVIL-SP/2013) André tem um conjunto de cartas.

Cada carta tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal

na outra. André dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas:

cisne, gato, número 7 e número 10, como se mostra:







André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal

mamífero”.

Para verificar se a afirmação de André está correta, é

a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.

b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.

c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.

d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.

e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.

Letra c.

A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a

proposição condicional:

P: “Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal ma-

mífero”.

De acordo com a tabela-verdade da condicional, temos:

P Q P → Q

V V V

V F F

F V V

F F V







Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação

seja verdadeira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P

verdadeira:

Figura A:

Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos:

P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal ma-

mífero”(F)] = (F/V)

Neste caso, temos que virar a carta A, pois não temos a certeza de que a pro-

posição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela pode

ser verdadeira ou falsa.

Figura B:


P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal ma-

mífero” (V)] = (V)

Neste caso, não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza que a propo-

sição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre

será verdadeira.







Figura C:


P: [face de uma carta há um número par (F)] → [no verso há um animal mamífe-

ro” (V/F)] = (V)

Neste caso, não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza que a propo-

sição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre

será verdadeira.

Figura D:


P: [face de uma carta há um número par (V)] → [no verso há um animal mamífe-

ro” (V/F)] = (V/F)

Neste caso, temos que virar a carta D, pois não temos a certeza que a proposi-

ção P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela pode ser

verdadeira ou falsa.

Parte 03

Nessa parte, iremos abordar os seguintes assuntos:

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (simples e compostas) e EQUIVALÊNCIAS

LÓGICAS: construção e aplicações das tabelas-verdade para demonstrar os







conceitos citados e resoluções de questões de concursos públicos por métodos

práticos e eficientes.

Negação de Proposições Compostas

Como já vimos antes, uma proposição é a expressão de um pensamento com-

pleto que pode ser valorado, ou seja, ser verdadeiro ou falso. No caso de uma pro-

posição composta, podemos construir sua tabela verdade de acordo com o número

de proposições simples, assunto já visto em módulos anteriores.

Na língua corrente, português, sabemos que possuímos os advérbios de negação

“não, nem, nunca, jamais, de modo algum, de forma nenhuma, tampouco, ...” que

modificam o sentido da proposição. Na lógica formal, temos uma outra interpre-

tação quanto à negação, o que traz algumas dúvidas no início, pois o estudante

analisa como se fosse do ponto de vista comum, e, na verdade, não é assim.

Para que duas proposições sejam opostas, temos o seguinte raciocínio: uma

proposição é a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições

simples e os resultados das tabelas-verdade são contrários, ou seja, o nosso refe-

rencial para que duas proposições sejam opostas não é o que está escrito, e sim,

os resultados de suas tabelas-verdade. Não podemos esquecer que as proposições

simples que formam as proposições compostas devem ser as mesmas, e que os

resultados de suas tabelas sejam totalmente opostos.

Vejamos, abaixo, as principais negações utilizadas nas provas de concursos públicos:

AFI

RM

AÇ

ÃO

A B A ∧ B A ∨ B AB A↔B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V







NEG

AÇ

ÃO

¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou

A ∨ B

F F F F F F

F V V F V V

V F V F F V

V V V V F F

Podemos observar os resultados das tabelas-verdade das proposições compostas:

• A ∧ B e ¬A ∨ ¬B: valorações totalmente contrárias;

• A ∨ B e ¬A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;

• A B e A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;

• A ↔ B e (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou A ∨ B: valorações totalmente contrá-

rias;

É importante ressaltar que podemos ter inúmeras negações, uma vez que podemos

construir enésimas tabelas-verdade, porém, para concursos públicos, se você sou-

ber as quatro acima, é o suficiente.

Para melhor assimilação, vejamos alguns exemplos de negações de proposições

compostas.

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO

P ∧ QEx.: O Brasil possui uma economia forte e é um grande produtor de mer-cadorias.

¬P ∨ ¬QEx.: O Brasil não possui uma economia forte ou não é um grande produtor de mercadorias.

P ∨ QEx.: As leis brasileiras são ineficazes ou as pessoas não respeitam suas leis.

¬P ∧ ¬QEx.: As leis brasileiras são eficazes e as pessoas respeitam suas leis.







P QEx.: Se o cidadão for educado, então a sociedade alcançará sua autonomia.

P ∧ ¬QEx.: O cidadão é educado e a sociedade não possui sua autonomia.

P ↔ QEx.: Eu te darei um beijo, se e somente, eu ficar apaixonado por você.

(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P)Ex.: Eu te darei um beijo e não fico apaixonado por você, ou fico apaixonado por você e não te darei um beijo.OUOu eu te darei um beijo, ou eu ficarei apaixonado por você.

DICANo exemplo, letra “b” acima, você deve estar se per-guntando: a proposição P: As leis brasileiras são ine-ficazes, e Q: As pessoas não respeitam suas leis, não possuem o símbolo de negação, uma vez que as sen-tenças são negativas.Quero deixar claro que uma proposição pode ser uma afirmação ou uma negação, logo, não fique limitado pensando que, se uma frase é uma negação, será ne-cessário na simbologia colocar o símbolo (~ ou ¬) de negação.Em concursos recentes, isso tem sido frequente, e mui-tos alunos têm errado, pois pensam que porque a sen-tença tem uma negação, se torna necessário um sím-bolo de negação, o que não é verdade, uma vez que se você tiver uma negação, é só fazer sua afirmação, que é o contrário.

Questão 52 (SOLDADO COMBATENTE BM/2018) Em um teste de aptidão física

de dois soldados, X e Y, um sargento afirmou aos seus superiores que “ou o soldado

X foi aprovado ou o soldado Y foi reprovado”. A negação dessa afirmação é







a) “O soldado X foi reprovado e o soldado Y foi reprovado”.

b) “O soldado X foi aprovado ou o soldado Y foi aprovado”.

c) “O soldado X foi aprovado e o soldado Y foi aprovado”.

d) “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado Y foi reprovado”.

e) “Se o soldado X foi reprovado, então o soldado Y foi reprovado”.

Letra d.

A negação da proposição A v B (disjunção exclusiva) é A ↔ B (bicondicional), uma

vez que elas produzem tabelas-verdade opostas.

Desta forma, a negação será “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado

Y foi reprovado”.

Questão 53 (IBFC/2017) Considerando a frase “João comprou um notebook e não

comprou um celular”, a negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico pro-

posicional é:

a) João não comprou um notebook e comprou um celular

b) João não comprou um notebook ou comprou um celular

c) João comprou um notebook ou comprou um celular

d) João não comprou um notebook e não comprou um celular

e) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular

Letra b.

Como já vimos, duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando

são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-







-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para

que você entenda melhor:

A: João comprou um notebook

B: João não comprou um celular

A ^ B: “João comprou um notebook e não comprou um celular”.

Representando adequadamente as proposições, podemos demonstrar por

tabela:

A B ¬A ¬B A ^ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V

Podemos inferir que a proposição:

¬A ∨ ¬B: “João não comprou um notebook ou comprou um celular”.

De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma

das proposições e o conectivo “e” vira “ou”.

Questão 54 (IBFC/2017) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase

“Ana é dentista ou não fez universidade” é:

a) Ana não é dentista ou fez universidade

b) Ana não é dentista e não fez universidade

c) Ana não é dentista e fez universidade

d) Ana é dentista ou fez universidade

e) Se Ana é dentista, então não fez universidade.







Letra c.

Como já vimos, duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando

são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-

-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para

que você entenda melhor:

A: Ana é dentista

B: Ana não fez universidade

A ∨ B: “Ana é dentista ou não fez universidade”


tabela:

A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ^ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V


¬A ^¬B: “Ana não é dentista e fez universidade”.


das proposições e o conectivo “ou” vira “e”.

Questão 55 (IBFC/2016) A negação da frase “O Sol é uma estrela e a Lua não é

um planeta”, de acordo com a equivalência lógica, a frase é:

a) O Sol não é uma estrela e a Lua é um planeta.

b) O Sol não é uma estrela ou a Lua não é um planeta.







c) O Sol é uma estrela ou a Lua é um planeta.

d) O Sol é uma estrela ou a Lua não é um planeta.

e) O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta.

Letra e.

Mais uma vez temos que duas proposições são compostas, uma é a negação da

outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de

suas tabelas-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição

acima para que você entenda melhor:

A: Sol é uma estrela

B: Lua não é um planeta

A ^ B: “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”


tabela:

A B ¬A ¬B A ^ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V


¬A ∨ ¬B: “O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta”.


das proposições e o conectivo “e” vira “ou”.







Questão 56 (ESAF/ANAC/ANALISTA/2016) A negação da proposição “se choveu,

então o voo vai atrasar” pode ser logicamente descrita por:

a) não choveu e o voo não vai atrasar.

b) choveu e o voo não vai atrasar.

c) não choveu ou o voo não vai atrasar.

d) se não choveu, então o voo não vai atrasar.

e) choveu ou o voo não vai atrasar.

Letra b.

Temos uma questão que trata de estruturas lógicas, especificamente, uma negação

de proposições compostas. Sabemos que duas proposições são compostas, uma

será a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples

e os resultados de suas tabelas-verdade são contrárias. Sendo assim, temos que

a proposição: “se choveu, então o voo vai atrasar” é uma proposição condicional,

logo: (A B): se choveu, então o voo vai atrasar. A negação será: (A ˄ ~B): choveu

e o voo não vai atrasar, ou seja, mantém o antecedente e nega o consequente.

Questão 57 (FUNAI/ESAF/2016) Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação

de “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” é:

a) o Piauí não faz parte do NE.

b) o Paraná faz parte do NE.

c) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE.

d) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.

e) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE.







Letra d.

A negação da proposição composta: “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz

parte do NE” será “O Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE”, uma

vez que os resultados de suas tabelas-verdade são contrários.

Questão 58 (CESGRANRIO/IBGE/AGENTE DE PESQUISA E MAPEAMENTO/2016)

Maria disse que sua família possui um único carro. Se Maria mentiu, então a sua

família

a) não possui carro, ou possui mais de um carro.

b) não possui carro.

c) possui outro tipo de veículo.

d) não gosta de carros.

e) possui mais de um carro.

Letra a.

Sabendo que:

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA

Afirmação Negação

X – >A X – ≤A

X – <A X≥A

X – = A X – ≠ A

A questão afirma que Maria mentiu, logo, temos de negar o que Maria disse:

“sua família possui um único carro”.







O raciocínio será o seguinte: A negação de não ter um único carro significa dizer

que a quantidade de carros dever ser diferente de 1 (um), ou seja, pode ser zero

(não ter carro) ou pode ser maior que um (mais de um carro).

Questão 59 (FUNIVERSA/SESIPE/AGENTE PENITENCIÁRIO/2015) Considere

que a proposição “O agente Pedro nasceu em Brasília e cuida do serviço de vigilância”

seja escrita simbolicamente na forma P ∧ Q. Nesse caso, é correto afirmar que a

negativa dessa proposição é simbolizada na forma ¬P ∧ ¬Q, isto é: “O agente Pedro

não nasceu em Brasília nem cuida do serviço de vigilância”.

Errado.

Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas

pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem

contrárias.

Afirmação Negação

P ∧ Q“O agente Pedro nasceu em Brasília e cuida do serviço de vigilância”

¬P V ¬Q“O agente Pedro não nasceu em Brasília ou não cuida do serviço de vigilância”.

Questão 60 (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) Um casal está no

supermercado fazendo compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos com-

prar macarrão ou arroz integral”. A esposa negando a afirmação diz:

a) se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.

b) não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral.

c) se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.







d) não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral.

e) se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral.

Letra d.

A negação da proposição composta A ˅ B é dada por ¬A ˄ ¬B, pois possuem

interpretações contrárias (tabelas-verdade). Desta forma, a negação de “Vamos

comprar macarrão ou arroz integral” é dada por “Não vamos comprar macarrão e

não vamos comprar arroz integral”.

Questão 61 (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) Dois amigos esta-

vam conversando sobre exercícios físicos quando um deles disse: “Se você fizer

esteira, então você emagrecerá e melhorará o condicionamento físico”. O outro

amigo, para negar a afirmação, deverá dizer:

a) faça esteira e você não emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.

b) faça esteira e você não emagrecerá ou não melhorará o condicionamento físico.

c) se você fizer esteira e não emagrecer, então não vai melhorar o condicionamento

físico.

d) faça esteira e você emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.

e) se você fizer esteira e emagrecer, então não melhorará o condicionamento físico.

Letra b.

Temos uma proposição composta condicional, em que a negação é dada por p ˄ ¬q,

isto é, afirma o antecedente e nega o consequente. Duas proposições compostas,

uma é a negação da outra, quando forem formadas pelas mesmas proposições







simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários. Desta forma,

a negação da proposição será: faça esteira e você não emagrecerá ou não melhorará

o condicionamento físico.

Questão 62 (CESPE/MPENAP/2015) Considerando a proposição P: “Se João se

esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.

A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou

o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.

Errado.

Você deve ter percebido que nessas primeiras questões temos mostrado também

por tabelas-verdade, porém, é interessante você guardar as leis, ok? Mas estou

colocando sempre as tabelas para que você não se esqueça das tabelas, que serão

fundamentais nos próximos módulos.

A B ¬ A ¬ B A B ¬ A ^ B

V V F F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V F

Temos que as duas últimas colunas não produzem resultados contrários.

A negação da condicional é A B igual a A ^ ¬ B

Questão 63 (CESPE/ANTAQ 2014) Uma negação correta da proposição “Acredito

que estou certo” seria “Acredito que não estou certo”.







Errado.

É uma proposição simples, em que possuímos um sujeito e um predicado, logo,

é importante ressaltar que a ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação

do sujeito, logo, a negação certa será: “não acredito que estou certo”.

Questão 64 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A

negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa

por “O tribunal entende que o réu não tem culpa”.

Errado.

A proposição “o tribunal entende que o réu tem culpa” é uma proposição simples

em que possuímos um sujeito e um predicado, logo, é importante ressaltar que a

ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação do sujeito. Desta forma,

a negação será: “O tribunal não entende que o réu tem culpa”.


negação da proposição “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética”

pode ser expressa por “Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem

atuação antiética”.

Errado.

No item acima, temos uma proposição composta disjuntiva em que a negação de A

˅ B será (¬A ˄ ¬ B), uma vez que essas duas proposições são formadas pelas mesmas

proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários.







Desta forma, vamos conferir se o item está de acordo:

Afirmação: “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética.”

Negação: “Um empresário não tem atuação antieconômica e não tem atuação

antiética.”

Considere a proposição P a seguir.

P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por

corroer a legitimidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos.

Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes.

Questão 66 (CESPE/TCDF/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A

negação da proposição “Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não conde-

namos a corrupção por corroer a legitimidade da democracia” está expressa corre-

tamente por “Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade

da democracia”.

Certo.

O item está de acordo, uma vez que a negação da proposição:

“Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por

corroer a legitimidade da democracia.” (¬ A ˅¬ B)

“Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democra-

cia”. ( A ˄ B)

Questão 67 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “A licitação anterior não

pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa







por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a adminis-

tração”.

Errado.

É importante ressaltar que se trata de uma proposição simples, ou seja, apenas

com pensamento. Desta forma, a negação da proposição será: “A licitação anterior

pode ser repetida sem prejuízo para a administração”. Devemos negar o pensa-

mento principal.

Questão 68 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “Não apareceram inte-

ressados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a admi-

nistração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação

anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

Certo.

Duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são formadas

pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são

contrárias. Nesse caso, temos: ¬A ˄ ¬B e sua negação A ˅ B.

Representando adequadamente as proposições, temos:

A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ^ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V







Questão 69 (CESPE/POLÍCIA CIVIL-CE/2012) O exercício da atividade policial

exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda,

conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas

leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições

seguintes.

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma

decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma

decisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se

deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem

informações precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue o item a seguir.

A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treina-

mento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao

tomar decisões”.

Letra c.

A negação da proposição condicional P4 “Se teve treinamento adequado e se dedicou

nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões” será a

negação de uma proposição condicional A B, que é dada por A ^¬ B, isso porque

as proposições compostas produzem tabelas-verdade opostas. Sendo assim, temos

que afirmar o antecedente e negar o consequente.

Logo, a negação será: “Teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas

o policial não tem informações precisas ao tomar decisões”.







Questão 70 (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Um jovem, ao ser flagrado no

aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais

conforme o esquema a seguir:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga

e a teria escondido.

Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a

droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir.

A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a

“Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga

ou não a escondi”.

Letra c.

Temos uma proposição condicional A B, que a negação será A ^ ~B.

[(eu fosse traficante)] [(estaria levando uma grande quantidade de droga ^ a

teria escondido)]

Afirma o antecedente e nega o consequente, logo, temos como negação a proposi-

ção: “Sou traficante e não estou levando uma grande quantidade de drogas ou não

teria escondido”

Questão 71 (CESPE/TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem

sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra

de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos,

correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo:







P: O vereador Vitor não participou do esquema.

Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às pre-

missas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sa-

bia do esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do

esquema, mas não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não

foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposi-

ções lógicas.

A negação da proposição “Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo,

também não poderei concorrer a nenhum cargo” estará corretamente expressa

por “Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a

algum cargo”.

Letra e.

No item, temos a negação de uma proposição condicional A B, será A ^ ~B.

Dessa forma, a negação proposta pelo item não está de acordo.

Questão 72 (CESPE/PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião

ou Falcão – ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado

constatou os seguintes fatos:







F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.

F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com

Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens

subsequentes, com base nas regras de dedução.

A negação da proposição F4 é logicamente equivalente à proposição “Não havia

um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de

Gavião”.

Letra e.

A negação da proposição (A v B) é (~A ^ ~B).

A proposição F4 é: “havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi

entregue à mulher de Gavião”.

A negação proposta pelo item é: “Não havia um caixa eletrônico em frente ao ban-

co ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião”.

Dessa forma, percebemos que a negação não está de acordo.

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA


X > A X ≤ A

X < A X ≥ A

X = A X ≠ A








X – > AV

[X < A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X > A é verdadeiro, então X < A é falso.

X – < AV

[X > A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X < A é verdadeiro, então X > A é falso.

X – = AV

X – ≠ AF

Se temos que se X = A é verdadeiro, então X ≠ A é falso.

Questão 73 (CESPE/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Errado.

A negação da sentença “2 + 5 = 9” é “2 + 5 ≠ 9”, sendo assim, temos que o item

está errado.

Questão 74 (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel,

o defensor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.

P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados

em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções

nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.

P2: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de

forma proposital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.

P3: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadas-

trados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de

interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados

por minutos, então não ocorrerá falha técnica na chamada.







P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.

Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital.

Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo.

A negação de P1 é corretamente expressa por “A quantidade de interrupções nas

chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações

é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de

aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”.

Letra e.

É importante ressaltar o seguinte: Negação de uma Sentença

AfirmaçãoX>AX<AX=A

NegaçãoX≤AX≥AX≠A

A negação da proposição P1: “A quantidade de interrupções nas chamadas reali-

zadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes

superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos ca-

dastrados em planos tarifados por minutos” não será “A quantidade de interrupções

nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações

é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de

aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”.

Proposições Logicamente Equivalentes

Agora, vamos tratar de equivalências lógicas, logo, vamos ver qual é a definição:

duas proposições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas







mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos.

Bem tranquilo, ok? Na verdade, é como se tivéssemos o pensamento contrário do

tópico anterior, ou seja, enquanto na negação temos tabelas-verdade contrárias,

aqui na equivalência devemos possuir tabelas-verdade idênticas.

Considerando A e B proposições compostas, representamos simbolicamente

A ⇔ B, em que o símbolo ⇔ significa equivalente.

A ⇔ B

É importante nas provas de concursos públicos guardar algumas leis, ou seja,

proposições compostas logicamente equivalentes que estão sempre presentes.

Principais leis de equivalências lógicas:

• Leis Associativas

– (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).

– (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C).

�(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).

A B C (A ∧B) (A ∧B) ∧C B ∧C A ∧(B ∧C)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

Exemplo:

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)

A: Ronaldo é um aluno comportado.







B: Ronaldo é um aluno educado.

C: Ronaldo passa em concurso público.

(A ∧ B) ∧ C A ∧ (B ∧ C)

José é um aluno comportado e educado, e passa em concurso público.

José é um aluno comportado, e edu-cado e passa em concurso público.

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

A: João é um professor esforçado.

B: José é um aluno dedicado.

C: Josias gosta de estudar.

(A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C)

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado, ou Josias gosta de estudar.

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado ou Josias gosta de estudar.

Obs.:� Podemos observar que na lei associativa são utilizados os operadores “e” e

“ou”, os parênteses mudam de posição, porém, temos as mesmas interpre-

tações (mesmos valores nas tabelas-verdade).

Quase não acontece em provas de concursos públicos.

• Leis Distributivas (importante guardar essa lei)

Vamos construir as tabelas-verdade das leis distributivas para que você possa

entender o motivo de elas serem equivalentes. Claro que nas provas você deve

saber essas leis, pois só estou utilizando as tabelas para aproveitar e treinar um

pouco mais as suas construções.

Veremos, mais à frente, algumas resoluções bem práticas e rápidas por teoria

de conjuntos.







Vamos lá para as demonstrações:

• A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Demonstração: A ∧ (B ∨ C) ⇔ �(A ∧ B) ∨ �(A ∧ C)

A B C B ∨ C A ∧(B ∨C) A ∧B A ∧C (A ∧B) ∨(A ∧C)

V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F

Exemplo:

A ∧ (B ∨ C) ⇔ �(A ∧ B) ∨ �(A ∧ C)

A: Renato gosta de lógica.

B: Renato gosta de português.

C: Renato gosta de matemática.

A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

Renato gosta de lógica e Renato gosta de portu-guês ou matemática

Renato gosta de lógica e Português ou Renato gosta de lógica e matemática

A ∨ (B ∧ C) ⇔ �(A ∨ B) ∧ �(A ∨ C)

A: Renato gosta de lógica.

B: Renato gosta de português.

C: Renato gosta de matemática.







A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Renato gosta de lógica ou Renato gosta de por-tuguês e matemática

Renato gosta de lógica ou português e Renato gosta de Lógica ou matemática

• Lei da Dupla Negação

É importante ressaltar que, na língua portuguesa, quando negamos duas vezes,

estamos ratificando a negação, porém, do ponto de vista lógico, não é bem assim,

isto é: Na lógica formal, se negamos duas vezes, na verdade estamos afirmando.

~(~A) ⇔ A

Demonstração: ~(~A) ⇔ A

A ~A ~(~A)

V F V

F V F

Exemplo:

Proposições Proposições equivalentes

Não é verdade que Reginaldo Aranha não é policial. Reginaldo Aranha é policial.

Veremos, agora, a lei de equivalência mais importante, ou seja, aquela que mais

aparece nas provas de concursos públicos, independente da banca examinadora.

• Equivalência da Condicional

− (A B ⇔ ~A ∨ B)

− (A B ⇔ ~B ~A) – Contra positiva ou contra recíproca

− A B ⇔ ~A ∨ B

Demonstração: A B ⇔ ~A ∨ B







A B ~A AB ~A ∨ B

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as li-

nhas, logo, as proposições A B e ~A ∨ B são proposições logicamente equivalentes,

isto é: A B ⇔ ~A ∨ B.

Exemplo:

A proposição “Se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso” é o

mesmo que “André não é dedicado ou André passa no concurso”.

• A B ⇔ ~B ~A (teorema da contra recíproca ou contrapositiva)

Demonstração: A B ⇔ ~B ~A

A B ~A ~B A B ~B ~A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as

linhas, logo, são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A B ⇔ ~B ~A

Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.

Exemplo:

Dizer que:

Se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica

comprometido.







É logicamente equivalente a dizer que:

Se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia

brasileira não está em crise.

Obs.:� Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inter-

secção das sentenças

� A B ⇔ ~A ∨ B e

� A B ⇔ ~B ~A ,

� Em que podemos concluir: A ∨ B ⇔ ~A B ou A ∨ B ⇔ ~B A.

Vejamos, na tabela abaixo:

A B ~A ~B A ∨ B ~A B ~B A

V V F F V V V

V F F V V V V

F V V F V V V

F F V V F F F

As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as

linhas, logo, as proposições A ∨ B, ~A B e ~B A são proposições logicamente

equivalentes, isto é:

A ∨ B ⇔ ~A B,

A ∨ B ⇔ ~B A e

~A B ⇔ ~B A.

Exemplos:

Proposição Proposição equivalente

Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa. Enny não toma remédio ou fica boa.

Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.







• Lei de Augustus De Morgan (importante guardar essa lei)

− ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨(~B)

Demonstração: ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)

A B A ∧ B ~(A ∧ B ) ~A ~B (~A) ∨ (~B)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V


linhas, logo, as proposições ~(A ∧ B) e (~A) ∨ (~B) são proposições logicamente

equivalentes, isto é: ~(A ∧ B) ⇔ ~A ∨~ B.

– ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)

Demonstração: ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)

A B A ∨ B ~(A ∨ B ) ~A ~B (~A) ∧ (~B)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V


linhas, logo, as proposições ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) são proposições logicamente

equivalentes, isto é: ~(A ∨ B) ⇔ ~A ∧ ~B.

• Equivalência da Bicondicional

[(A B) ∧ (B A)] ⇔ [A ↔ B]







Demonstração

A B AB BA (AB) ∧ (BA) A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V


linhas, logo, as proposições [(A B) ∧ (B A) e [A B] são logicamente equiva-

lentes.

• Lei Comutativa

Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conecti-

vos: conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a proprie-

dade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resul-

tados das tabelas-verdade permanecem idênticos.

Com relação ao conectivo condicional, não ocorre o mesmo, uma vez que os

resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo

condicional não possui a propriedade comutativa.

(A) ∧ (B) ⇔ (B) ∧ (A)

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)

(A) (B) ⇔ (B) ↔ (A)

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)

(A) (B) ⇔ (B) (A)

COMUTAM

NÃO COMUTAM







Questão 75 (CÂMARA DE MARINGÁ-PR/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/2017)

A afirmação “Se o Sol brilha, então é dia” é logicamente equivalente à afirmação

a) “Se o Sol não brilha, então não é dia.”

b) “Se não é dia, então o Sol não brilha.”

c) “É dia e o Sol não brilha.”

d) “Não é dia e o Sol brilha.”

e) “O Sol brilha ou não é dia.”

Letra b.

A proposição composta é uma proposição condicional, assim, temos duas possíveis

equivalências lógicas:

¬B ¬A (Contrapositiva)

¬ A ˅ B{A B

A B: “Se o Sol brilha, então é dia”.

¬B ¬A: “Se não é dia, então o Sol não brilha”

¬ A ˅ B: “O sol não brilha ou é dia”

Nesta questão, a banca utilizou a equivalência contrapositiva.

Questão 76 (TRT–12/ANALISTA JUDICIÁRIO ÁREA ADMINISTRATIVA/2017)

Considere a sentença: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do

Figueirense, então Joana é torcedora da Chapecoense”.







Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:

a) Se Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense, então

Joana não é torcedora da Chapecoense.

b) Se Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense, então

Joana não é torcedora da Chapecoense.

c) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é

torcedora da Chapecoense.

d) Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí

e Marcela é torcedora do Figueirense.

e) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense e Joana é

torcedora da Chapecoense.

Letra c.




¬ A ˅ B{A B

A B: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, en-

tão Joana é torcedora da Chapecoense”.

¬B ¬A: “Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor

do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense”.

¬A ˅ B: “Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou

Joana é torcedora da Chapecoense”.







As três proposições acima são equivalentes, a alternativa certa está indicada pela

proposição composta disjuntiva.


proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Se um empresário não

mereceu receber a gratidão da sociedade, então as ações de tal empresário não

contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social”.

Certo.

Dada a proposição condicional:

P1: (As ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empre-

gos da estrutura social) (tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.)




¬ A ˅ B{A B

O item sugere a equivalência “contrapositiva” (Se um empresário não mereceu re-

ceber a gratidão da sociedade), então, as ações de tal empresário não contribuíram

para a manutenção de certos empregos da estrutura social.

Questão 78 (POLÍCIA CIENTÍFICA-PE/2016) Assinale a opção que é logica mente

equivalente à proposição “Ele é suspeito também de ter cometido outros dois

esquartejamentos, já que foram encontrados vídeos em que ele supostamente

aparece executando os crimes”:







a) Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os

dois esquartejamentos, ele é suspeito também de ter come tido esses crimes.

b) Ele não é suspeito de outros dois esquartejamentos, já que não foram encontrados

vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes.

c) Se não foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando

os dois esquartejamentos, ele não é suspeito desses cri mes.

d) Como ele é suspeito de ter cometido também dois esquartejamentos, foram

encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os crimes.

e) Foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os

dois esquartejamentos, pois ele é também suspeito de ter cometido esses crimes.

Letra a.

Temos uma proposição condicional em que o antecedente “foram encontrados víde-

os em que ele supostamente aparece executando os cri mes” e o consequente “Ele

é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos”. É importante

ressaltar que o CESPE tem o costume de escrever na linguagem natural uma pro-

posição condicional começando pelo consequente, porém, não podemos esquecer

que a proposição condi cional é a única que não comuta.

Uma representação logicamente equivalente, a proposição proposta pela questão é:

Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os cri-

mes, então ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos.

É importante ressaltar que o CESPE usou o termo “já que” para anun ciar o antecedente.

Questão 79 (INSS/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL SERVIÇO SOCIAL/2016)

Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente.







Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a propo-

sição simples “João não é saudável” e que p q, então o valor lógico da proposição

“João não é fumante, logo ele é saudável” será ver dadeiro.

Errado.

Nesta questão, temos uma aplicação de equivalência lógica

Representando as proposições, temos:

A: Se João é fumante, então João não é saudável

B: Se João não é fumante, então ele é saudável

Podemos inferir que as proposições não são equivalentes, pois segundo a lei con-

dicional, teremos:


¬ A ˅ B

{A B

Questão 80 (MP/ENAP/2015) A proposição “João não se esforça o bastante ou

João conseguirá o que desejar” é logicamente equivalente à proposição P.

Certo.

A proposição composta: “João não se esforça o bastante ou João conse guirá o que

desejar” pode ser representada por ¬ A ˅ B.

A proposição P “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que dese-

jar” pode ser representada por A → B.







Leis de equivalência Condicional:


¬ A ˅ B

{

A B

As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-ver dade, logo, são

ditas logicamente equivalentes.

Questão 81 (CESPE/UNB) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então

são, simbolicamente, representados por ∧, ∨, ¬ e , respectivamente. As letras

maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e

F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das propo-

sições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

�( )� A proposição ¬(P ∧ Q) é equivalente à proposição (¬P) ∨ (¬Q).

Certo.

A proposição composta: ¬(P ∧ Q) “não é verdade que P e Q”, ao aplicar a Lei de

De Morgan, temos: (¬P) ∨ (¬Q). Caso queira construir as tabelas, teremos que as

mesmas serão idênticas, como já visto acima, nas demonstrações.

Questão 82 (CESPE/UNB) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras

(V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são

usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão AB, lida,

entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F

quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma







¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem

valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧B, lida como “A e B”, é uma

proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem

valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição

que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos é V. Com base

nessas definições, julgue o item que se segue.

Uma expressão da forma ¬(A ∧¬B) é uma proposição que tem exatamente as

mesmas valorações V ou F da proposição A B.

Certo.

Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas

valorações, está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que, no caso,

podemos ganhar tempo aplicando uma das leis.

A proposição composta: ¬ (A ∧ ¬B) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei

de De Morgan temos: (¬A) ∨ (B), logo, pela Lei Condicional [A B ⇔ (¬A) ∨ (B)],

“As suas tabelas-verdade são idênticas.”

Questão 83 (ESAF/ MPU) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.







Letra e.

Dada a proposição, temos:

Elaine não ensaia Elisa não estuda.

O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa

não estuda).

O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine

não ensaia).

Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o co-

mentário realizado anteriormente.

O que fazer?

Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição:

Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi

utilizada esta proposição, porém, será usada outra proposição logicamente equiva-

lente à dada pelo enunciado da questão.

A lei condicional, contrapositiva, possui as condições que a questão exige.

Aplicando a lei condicional:

Elaine não ensaia Elisa não estuda ⇔ Elisa estuda Elaine ensaia

Agora, sim, temos que:

I – Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.

II – Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Questão 84 (ESAF/MPU) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela,

então Carina é feia” é:







a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia.

c) Se Carina é feia, Ana é bela.

d) Ana é bela ou Carina é feia.

e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Letra e.

Dada a proposição, temos:

Ana é bela Carina é feia.

Segundo a lei condicional, temos duas equivalências:

I – Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

II – Ana não é bela ou Carina é feia.

Questão 85 (CESPE/UNB) As proposições “Se o delegado não prender o chefe

da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado

prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são

equivalentes.

Errado.


A: O delegado prende o chefe da quadrilha.

B: A operação agarra será bem-sucedida.

Representando a proposição: “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha,

então a operação agarra não será bem-sucedida”, temos ¬ A ¬ B.







Representando a proposição: “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a

operação agarra será bem-sucedida”, temos A B.

Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-ver-

dade produzam os mesmos resultados.

A B ¬ A ¬ B A B ¬ A ¬ B

V V F F V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Os resultados não são iguais, logo, as proposições não são equivalentes.

É importante perceber que de condicional para condicional temos que negar as

proposições e trocar de posição (contra recíproca). O item acima apenas negou as

proposições, porém, não trocou de posição.

Parte 04Tautologia, Contradição e Contingência

Tautologia

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tauto-

logia se ela for sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos.

Em filosofia e outras áreas das ciências humanas, diz-se que um argu-

mento é tautológico quando se explica por ele próprio, às vezes redundan-

temente ou falaciosamente. Exemplo, dizer que “o mar é azul porque reflete

a cor do céu e o céu é azul por causa do mar” é uma afirmativa tautológica. Da

mesma forma, um sistema é caracterizado como tautológico quando não







apresenta saídas à sua própria lógica interna; em outro exemplo, exige-se de

um trabalhador que tenha curso universitário para ser empregado, mas ele precisa

ter um emprego para receber salário e assim custear as despesas do curso universitário.

Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, independentemente

dos valores das proposições simples que a compõem, então teremos uma tautologia.

Ex.: P(p, q) = (p ∧ q) ⇔~(p ∨ q).

Em uma tautologia, o valor lógico da proposição composta:

P(p, q, s) = {(p ∧ q) ∨ (p ∧ s) ∨ [p ∧ ~(q ∧ s)]} p, será sempre verdadeiro.

Exemplo:

A ~A B A∨B ~A v B (AB) ↔ (~A v B)

V F V V V V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V V V

A proposição (A B) (~A v B) é uma tautologia.

Contradição

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma con-

tradição ou contraválida se ela for sempre falsa, independente da verdade de

seus termos.

A ~A A↔~A

V F F

F V F

Exemplo:

A proposição A ↔ ~A é uma contradição.







Contingência

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for

uma tautologia nem uma contradição. Somente isso. Você pegará a proposição

composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela

proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só

resultados F), então, por exceção, será dita uma contingência.

As contingências são também denominadas proposições contingentes ou

proposições indeterminadas.

Questão 86 (ESAF/MINISTÉRIO DO TURISMO/2014) Assinale qual das proposi-

ções das opções a seguir é uma tautologia.

a) p ∨ q q

b) p ∧ q q

c) p ∧ q ↔ q

d) (p ∧ q) ∨ q

e) p ∨ q ↔ q

Letra b.

Em uma questão de múltipla escolha, se o(a) candidato(a) for construir as tabelas-

-verdade, irá gastar muito tempo, logo, fica mais prático mostrar o contrário, ou

seja, aquela opção que não pode ser falsa será tautologia.







( p ∨ q ) q = F (não é tautologia, pode ser falsa)

V F

FV

( p ˄ q ) q = F

V F

FV

(É tautologia, pois encontramos um absurdo no antecedente, uma vez que, V˄F≠V)

não conseguimos mostrar que a proposição composta é falsa.

Questão 87 (ESAF/MINISTÉRIO DA FAZENDA/2014) Conforme a teoria da lógica

proposicional, a proposição ~ P ∧ P é:

a) uma tautologia.

b) equivalente à proposição ~ P ∨P.

c) uma contradição.

d) uma contingência.

e) uma disjunção.

Letra c.

De forma simples, vamos construir a tabela-verdade.

P ¬P ¬P ∧P

V F F

F V F

É uma contradição, pois temos uma proposição composta que será sempre falsa,

independente dos valores das proposições simples que a compõem.







Questão 88 (CESPE/ SERES-PE/AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA/2017)

A partir das proposições simples P: “Sandra foi passear no centro comercial Bom

Preço”, Q: “As lojas do centro comercial Bom Preço estavam realizando liquidação”

e R: “Sandra comprou roupas nas lojas do Bom Preço” é possível formar a propo-

sição composta S: “Se Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço e se as

lojas desse centro estavam realizando liquidação, então Sandra comprou roupas

nas lojas do Bom Preço ou Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço”.

Considerando todas as possibilidades de as proposições P, Q e R serem verdadeiras

(V) ou falsas (F), é possível construir a tabela-verdade da proposição S, que está

iniciada na tabela mostrada a seguir.

Completando a tabela, se necessário, assinale a opção que mostra, na ordem em

que aparecem, os valores lógicos na coluna correspondente à proposição S, de

cima para baixo.

a) V / V / F / F / F / F / F / F

b) V / V / F / V / V / F / F / V

c) V / V / F / V / F / F / F / V

d) V / V / V / V / V / V / V / V

e) V / V / V / F / V / V / V / F







Letra d.

Dada a proposição S: “Se Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço e se

as lojas desse centro estavam realizando liquidação, então Sandra comprou roupas

nas lojas do Bom Preço ou Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço”,

podemos representar simbolicamente:

(P ˄ Q) (R ˅ P).

Construindo a tabela verdade, teremos:

Se observarmos, temos uma tautologia, isto é, proposição composta que será

sempre verdadeira, independentemente dos valores das proposições simples que

a compõem.

Questão 89 (CESPE/DPU-ANALISTA/2016) A sentença (PQ) ↔ ((~Q) (~P))

será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q como

verdadeiras ou falsas.







Certo.

Temos uma questão interessante, pois não é necessário construir uma tabela

verdade para verificar se é uma tautologia. É notável que as duas proposições:

(PQ) e ((~Q) (~P)) são equivalentes pela lei condicional, ou seja, pelo contra-

positivo.

Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

(PQ) ↔ ((~Q) (~P))

V ↔ V = V

F F = V

É tautologia.

Questão 90 (CESPE/INSS/2016) Com relação a lógica proposicional, julgue o

item subsequente.

Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica esportes” e “Cláudio tem

uma alimentação balanceada”, é correto afirmar que a proposição “Cláudio pratica

esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação balanceada” é

uma tautologia.

Errado.

Simbolizando a proposição simples, temos: P: “Cláudio pratica esportes” Q: “Cláudio

tem uma alimentação balanceada” Proposição composta: (P ˅ ~P) ˄ Q Temos que

(P ˅ ~P) será sempre verdadeiro, pois se P for falso, ~P será verdadeiro e vice-versa,

mas a proposição Q pode ser verdadeira ou falsa, desta forma, podemos inferir que

se trata de uma contingência.







Questão 91 (CESPE/INSS/TÉCNICO DO SEGURO SOCIAL/2016) Julgue o item a

seguir, relativo a raciocínio lógico e operações com conjuntos.

Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional

p → (q → p) será, sempre, uma tautologia.

Certo.

Uma proposição composta é uma tautologia quando suas interpretações (valores

lógicos) forem todas verdadeiras. Desta forma, podemos construir a tabela verdade

da proposição p → (q → p):

De acordo com a última coluna, podemos inferir que se trata de uma tautologia.

É interessante ressaltar que muitas vezes a construção de tabelas-verdade pode

ocasionar a perda de tempo durante a resolução da prova, sendo assim, sugiro

um método prático para essa questão. Torna-se mais prático tentar mostrar que a







proposição p → (q → p) é falsa, isto é, caso a proposição composta possa ser in-

terpretada como falsa, teremos a certeza que ela não é uma tautologia, porém, se

ocorrer algum absurdo lógico, ou, até mesmo, uma contradição, a proposição será

uma tautologia.

Vejamos: p (V) → [ (q (V) → p (F)) ] (F) = F

Ao tentar mostrar que a proposição composta é falsa, podemos observar que a

proposição simples “p” é valorada como verdadeira e falsa simultaneamente, logo,

não conseguimos mostrar que a proposição composta é falsa, sendo assim, temos

uma proposição que só pode ser verdadeira, ou seja, uma tautologia.

Questão 92 (CESPE/CADE/2013) A proposição (P ˅ Q) ˄ (R˅ S) ↔ Q˄ (R ˅ S) ˅

(P ˄ R) ˅ (P ˄ S) é uma tautologia.

Certo.

Aplicando as equivalências lógicas, podemos verificar se as proposições são equiva-

lentes, sem precisar construir uma tabela verdade com 16 linhas, vejamos:







Questão 93 (CESPE/DEPEN/2013) A proposição [ (P ∧ Q) → R] ∨ R é uma tauto-

logia, ou seja, ela é sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos de

P, Q e R.

Errado.

Um raciocínio interessante e mais prático é tentar mostrar o contrário, isto é,

verificar se a proposição composta pode ser falsa.

De acordo com as valorações, podemos inferir que é possível a proposição composta

ser falsa sem nenhum problema, logo, não é uma tautologia.

Questão 94 (CESPE/PMDF/2009) A proposição (A ∧ B) → (A ∨ B) é uma tautologia.

Certo.

Poderíamos até construir a tabela-verdade para verificar se a proposição é tautoló-

gica, porém, vamos aplicar o seguinte raciocínio: é mais prático tentarmos mostrar

que não é tautologia, ou seja, vamos pela contradição, isto é, ao tentar fazer a

proposição composta ser falsa, e se conseguimos, não será tautologia, porém, se

não conseguirmos, será tautologia.







Temos que no antecedente a proposição A e B são verdadeiras, devido ao conec-

tivo de conjunção, o consequente é falso e as proposições A e B devem continuar

sendo verdadeiras. Porém, a proposição A v B possui valoração F, o que não pode

ocorrer. Dessa maneira, observa-se que chegamos a um absurdo. Não tem como

a proposição composta ser falsa, pois o consequente “A ˅ B” sendo A=V e B=V. A

˅ B não pode ser falsa, assim, não conseguimos mostrar que é falsa. Desta forma,

a proposição composta só pode ser verdadeira, é tautologia.

Parte 05Diagramas Lógicos: Fundamentação Teórica

Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar

sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças relacionam-

-se em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além

do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças

compostas de outras sentenças, usando os conectivos lógicos: “e”, “ou” e “não”,

mas não podia quebrar sentenças em partes menores. O trabalho de Frege foi um

dos que deu início à lógica formal contemporânea. Sendo assim, percebemos a

grande incidência de questões de concursos públicos voltadas para esta linguagem

e raciocínio.

No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo

conjuntos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de

vários assuntos em lógica.







Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos

identificá-las facilmente, pois são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo

(∀)”, “Nenhum (¬∃)”, “Algum (∃)”. Na lógica clássica (também chamada de lógica

aristotélica), o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as proposições

categóricas.

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas

no quadro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais (A) todo “A” é “B”(E) nenhum “A” é “B”Todo “A não é B”

Proposições Particulares (I) algum “A” é “B”(O) algum “A” não é “B”Nem todo A é B

Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.

Podemos observar, no quadro acima, que cada uma das proposições categóricas

na forma típica começa por “todo” ou “nenhum” (chamados de quantificadores

universais) ou por “algum” (chamado de quantificador particular).

Particular Afirmativo: algum A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-

sos públicos:

• Ao menos um

• Pelo menos um INTERSEÇÃO (A ∩ B) = {U}

Conjunto unitário• Existe

• Alguém

•







O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos

A e B, simultaneamente.

(A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Simbolicamente: ∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔∃x (B(x) ∧ A(x))

Universal Negativo: nenhum A é B

Conjuntos Disjuntos

O termo “nenhum” pode ser substituído pela palavra “não existe”, nas provas

de concursos públicos:

A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅

Conjunto vazio







Simbolicamente: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x))

Particular Negativo: algum A não é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-

sos públicos:

• Ao menos um

• Pelo menos um A-B={X/X ∈ A e X ∉ B}

DIFERENÇA• Existe

• Alguém

Simbolicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))







Universal Afirmativo: todo A é B

A ∪ B = B A ∩ B = A

INCLUSÃO DE CONJUNTOS �(A ⊂ B)

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos

públicos:

• Para todo

• Qualquer que seja

Simbolicamente: ∀(x) (A(x) → B(x))

Aplicação dos Quantificadores Lógicos

Vamos realizar algumas inferências utilizando os diagramas lógicos, ok?

Assim, você irá entender como interpretar as questões. Não se esqueça que

quando tivermos a presença de quantificadores lógicos, ou seja, os termos “todo,

algum e nenhum”, as questões serão resolvidas por diagramas lógicos.







Vamos lá!

Um argumento constituído por uma sequência de três proposições – P1, P2 e

P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão – é considerado válido se,

a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, obtém-se a conclu-

são P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A respeito das

formas válidas de argumentos, julgue os próximos itens.

Considere a seguinte sequência de proposições:

P1 – Existem policiais que são médicos.

P2 – Nenhum policial é infalível.

P3 – Nenhum médico é infalível.

Questão 95 (PC-ES) Nessas condições, é correto concluir que o argumento de

premissas P1 e P2 e conclusã,o P3 é válido.

Errado.

Dadas as proposições categóricas P1, P2 e P3, temos os seguintes diagramas que

as representam:







P: Policiais.

M: Médicos.

I: Infalível.

Segundo os diagramas acima, podemos inferir que P3 não é uma consequência das

premissas P1 e P2, logo, o argumento não é válido.

O conjunto infalível pode ficar nas posições pontilhadas, o que não garante a

verdade da conclusão.

Questão 96 (PC-ES) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas,

respectivamente, por “Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”,

e a sua conclusão P3 for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa

sequência de proposições constituirá um argumento válido.

Errado.

Temos os diagramas abaixo que representam as proposições do argumento e verifi-

camos que P3 pode ser verdadeira ou não. Logo, o argumento não pode ser válido.







Questão 97 Considere as seguintes proposições:

I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.

II – Joaquina não tem garantido o direito de herança.

III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.

Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logica-

mente que

a) Joaquina não é cidadã brasileira.

b) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.

c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Letra a.

Pelas premissas, podemos construir o diagrama acima.

Pela premissa I, temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro tem

garantido o direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia

de direito de herança.

Pela premissa II, temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de

direito de herança”, podendo, assim, ficar nas duas posições indicadas no diagrama.

Pela premissa III, temos que o conjunto: “cidadãos de muita sorte” pode possuir

ou não Joaquina.







Julgando os itens.

�a) Certa. Joaquina não pertence ao conjunto: Cidadão brasileiro.

�b) Errada. Comutou o quantificador universal afirmativo, em que o mesmo não

aceita tal propriedade.

c) Errada. Pelo diagrama, podemos inferir que Joaquina não é uma cidadã brasi-

leira, porém, pode ser ou não uma cidadã de muita sorte.

Questão 98 (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:

a) algum administrador é matemático.

b) todo administrador é matemático.

c) nenhum administrador é matemático.

d) algum administrador não é matemático.

e) todo administrador não é matemático.

Letra d.

Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógi-

cos (utilizando as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão

verdadeira, analisaremos as premissas formadas com os quantificadores lógicos.

Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles

verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.

Vamos construir os diagramas para cada premissa:

P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)







P2: Algum administrador é aluno (pelo menos um {x}. Conjunto unitário)

Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:

A conclusão será fruto da relação entre as premissas, sendo que essa deverá ser

uma nova proposição, consequência de uma certeza. Não podemos concluir o que

não temos certeza, e é dessa forma que a resposta da questão será: algum admi-

nistrador não é matemático.

Questão 99 (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo

artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não

há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:







a) todo responsável é artista.

b) todo responsável é filósofo ou poeta.

c) todo artista é responsável.

d) algum filósofo é poeta.

e) algum trabalhador é filósofo.

Letra c.

De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filóso-

fo ou poeta, ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T,

F e P) interceptam o conjunto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição,

porque um artista não pode ser mais de um desses ao mesmo tempo. O enunciado

também diz que trabalhador, filósofo e poeta são responsáveis. Denominando R o

conjunto dos responsáveis, tem-se:







T ⊂ R

F ⊂ R

P ⊂ R

Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.

Analisando as respostas, temos:

a) Errada. Todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quanti-

ficador universal afirmativo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há

elementos que são responsáveis que não são trabalhadores.

b) Errada. Todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.

c) Certa. todo artista é responsável: certo, porque T, F e P são subconjuntos de R,

e o artista só pode ser um deles.

d) Errada. Algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem

ter interseção, embora não indicado na figura.

e) Errada. Algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar ao

item anterior.

Questão 100 (BANRISUL/ESCRITURÁRIO/2019) Dentre os funcionários de uma

determinada agência bancária, os gerentes são todos casados e têm filhos. Nenhum

funcionário casado mora na capital, mas há funcionários que moram na capital e

têm filhos. Nessas condições,

a) todos os funcionários que têm filhos moram na capital.

b) nenhum funcionário que mora na capital é gerente.

c) nenhum funcionário que tem filhos é casado.

d) todos os funcionários que têm filhos são casados.

e) há gerentes que moram na capital.







Letra b.

Na lógica de primeira ordem, é importante conhecermos sobre operações com con-

juntos, uma vez que são utilizados os diagramas de Venn para representar os

quantificadores lógicos. Torna-se necessário conhecer a linguagem matemática, ou

seja, os símbolos e suas relações, assunto visto no primeiro capítulo desta aula.

Quanto aos quantificadores lógicos e seus diagramas, verifique o final deste capí-

tulo com as fundamentações teóricas.

Temos as seguintes proposições (premissas):

P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;

P2: Nenhum funcionário casado mora na capital; e

P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos.

Representando as premissas por diagramas, temos:

P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;







P2: Nenhum funcionário casado mora na capital;

P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos

Agora, realizando a interseção das informações (premissas), teremos:

Podemos inferir que “NENHUM funcionário que mora na capital é gerente”.







Questão 101 (CRESS-SC/2019) Considerando N como o conjunto dos números

naturais, Z como o conjunto dos números inteiros, Q como o conjunto dos números

racionais, R como o conjunto dos números reais e XC como o complementar do

conjunto X, julgue o item acerca dos conjuntos numéricos, de suas operações,

propriedades e aplicações, das operações com conjuntos e da compreensão das

estruturas lógicas e dos respectivos diagramas.

É correto afirmar que o diagrama acima representa corretamente a afirmação:

“Se não é um número real, então não é um número natural”.

Certo.

O operador condicional “se..., então...” possui o mesmo diagrama do quantificador

universal afirmativo, ou seja, uma relação de inclusão entre conjuntos.

Ao final deste capítulo, você pode conferir os diagramas para cada quantificador

lógico.

A proposição A B, tem o mesmo significado para todo A e B. Vejamos o diagra-

ma:

Agora podemos, de uma maneira tranquila, responder à questão que diz:







“Se não é um número real, então não é um número natural”.

Utilizando uma afirmação equivalente (contrapositiva) a essa:

“Se um número é natural, então ele é real”, onde podemos representar pelo

seguinte diagrama:

Questão 102 (TJ-SP/ENFERMEIRO JUDICIÁRIO/2019) Considere que haja

elementos em todas as seções e interseções do diagrama.

A partir dessas informações, é correto afirmar que

a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.

b) não há elemento de B que seja elemento de três conjuntos ao mesmo tempo.

c) todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C, ou são também

elementos de B ou são também elementos de D.

d) há elemento de B que seja elemento de outros três conjuntos além do B.

e) qualquer elemento de D, que não é elemento de B, é também elemento de C ou

elemento de A.







Letra e.

Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} em todas

as seções e interseções do diagrama, vejamos, a seguir:

Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:

a) Errada. Não necessariamente, pois temos o elemento {7}, que pertence ao

conjunto A, não pertence a B e também não pertence a C ou D.

b) Errada. Não necessariamente, pois temos o elemento {4}, que pertence a B,

porém, não pertence ao conjunto C.

c) Errada. Sabemos que “todos os elementos de C, que não são elementos apenas

de C” corresponde aos elementos {2,3}, e a opção afirma que “ou são também

elementos de B ou são também elementos de D”, o que não é verdade, uma vez

que o elemento {2} não é elemento de B ou de D.

d) Errada. Não temos interseção dos três conjuntos. Isto é, não há elementos que

pertençam aos conjuntos A, B, C e D.

e) Certa. Qualquer elemento de D, que não é elemento de B = {6}, é também

elemento de C ou A. Está certo, uma vez que o elemento {6} pertence a união de C

ou A. O elemento que pertence apenas ao conjunto A pertence à união de A com C.







Questão 103 (TJ-SP/MÉDICO JUDICIÁRIO/2019) Considere que haja elementos

em todas as seções e interseções do diagrama.

A partir dessas informações, é correto afirmar que

a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.

b) não há elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D ou apenas elemento

de B ou de C.

c) não há elemento de A, que seja apenas elemento de A e de D.

d) qualquer elemento de C que não seja elemento de D, é também elemento de A.

e) qualquer elemento de D, que é também elemento de C é também elemento de A.

Letra c.

Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} em

todas as seções e interseções do diagrama, vejamos, a seguir:







Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:

a) Errada. Todos os elementos de A, que não são elementos de B = {1}, não per-

tencem ao conjunto C ou D.

b) Errada. Temos elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D = {6},

e temos elemento de B que é apenas elemento de B ou de C = {8}.

c) Certa. Elementos que pertençam apenas à A e D = { }, ou seja, não existem.

d) Errada. Qualquer elemento de C que não seja elemento de D = {3,8}, não é

necessariamente elemento de A, pois o elemento {8} não pertence ao conjunto A.

e) Errada. Qualquer elemento de D, que é também elemento de C = {4,5}, não é

elemento de A. O elemento {5} não é elemento de A.

Questão 104 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação

(I) e verdadeira a afirmação (II).

I – Todos os alunos estudam.

II – Alguns professores estudam.

Sendo assim, é correto concluir que

a) existe aluno que não estuda.

b) todos os professores estudam.

c) qualquer aluno estuda.

d) os alunos que estudam são professores.

e) qualquer professor que estuda é aluno.

Letra a.

Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos aplicar diagramas lógicos,

mas primeiro, devemos negar a primeira premissa, vejamos:







Premissa I. Todos os alunos estudam. (F) Premissa I: Alguns alunos não

estudam. (V)

Premissa II. Alguns professores estudam. (V)

A conclusão tem que ser fruto exclusivo das premissas.

Conclusão: Existe aluno que não estuda.

Questão 105 (SOLDADO COMBATENTE BM/2018) Se todo soldado é militar e

nenhum militar é político, é possível concluir, corretamente, que

a) nenhum militar é soldado.

b) nenhum soldado é político.

c) todo soldado é político.

d) todo político é militar.

e) todo militar é soldado.

Letra b.

Podemos representar as proposições (premissas) pelos seguintes diagramas lógicos:







P1: Todo soldado é militar:

P2: Nenhum militar é político:

Agora, fazendo a interseção das premissas:

Dessa forma, podemos inferir que nenhum soldado é político.

Questão 106 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Em determinado local, algum

artista é funcionário público e todos os artistas são felizes. Sendo assim, é correto

afirmar que

a) algum artista é feliz.

b) algum artista que não é funcionário público não é feliz.







c) algum artista funcionário público não é feliz.

d) todo artista feliz é funcionário público.

e) todo artista funcionário público não é feliz.

Letra a.

Nesta questão, temos premissas formadas por quantificadores lógicos, logo, iremos

construir diagramas lógicos.

P1: todos os artistas são felizes;

P2: algum artista é funcionário público.

A partir das premissas, temos:







Conforme os diagramas, podemos inferir que algum artista (x) é feliz.

Se o quantificador universal (todo) é verdadeiro, o particular (algum) também será.

Questão 107 (SOLDADO COMBATENTE BM/2018) Considere as duas afirmações

a seguir:

todo soldado atua na defesa civil ou atua na defesa ambiental.

Pedro é um soldado da defesa civil. Logo, é correto afirmar que

a) Pedro atua na defesa civil e na defesa ambiental.

b) se Pedro não atuar na defesa ambiental, então ele não é um soldado.

c) Pedro somente atua na defesa ambiental se atuar na defesa civil.

d) como Pedro atua na defesa civil, então ele também atua na defesa ambiental.

e) Pedro não atua na defesa ambiental.

Letra e.

Podemos representar as proposições (premissas) pelos seguintes diagramas lógi-

cos:

P1: Todo soldado atua na defesa civil ou todo soldado atua na defesa ambiental.

P2: Pedro é um soldado da defesa civil.







A partir dos diagramas lógicos, podemos inferir que Pedro não atua na defesa

ambiental.

Negação dos Quantificadores Lógicos

Negação das Proposições Categóricas

Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo

predicado serão sempre opostas quando negarmos pela contradição, ou seja, pro-

posições contraditórias: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I).

Para um melhor entendimento, iremos apresentar o quadrado dos opostos ex-

plicando detalhadamente para que você aprenda definitivamente essas negações,

que por sinal é muito fácil. Vamos lá!

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas

no quadro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais (A) todo “A” é “B”(E) nenhum “A” é “B”Todo “A não é B”

Proposições Particulares (I) algum “A” é “B”(O) algum “A” não é “B”Nem todo A é B

Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.







DICAPara realizar as negações é só seguir as setas, beleza?

NEGAÇÃO UTILIZADA EM CONCURSOS PÚBLICOS?

Respondendo, temos que a negação será pela contraditória, ou seja, temos que

negar as duas relações que formam uma proposição categórica, isto é, negamos a

quantidade (o “todo” vira “algum”, ou vice-versa) e negamos também a qualidade

(A é B, vira A não é B, ou vice-versa).

Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado

sem julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição.

Questão 108 (CESPE) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado

ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação

da proposição acima.







Certo.

A negação da proposição “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem

julgamento” será pela negação contraditória “Existe alguém que será considerado

culpado ou condenado sem julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade.

Questão 109 (CESPE) “Todos serão considerados culpados e condenados sem jul-

gamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição

anterior.

Certo.

Tomando como base o item anterior, podemos concluir que “Todos serão consi-

derados culpados e condenados sem julgamento” não é a negação da proposição

proposta pela questão.

Questão 110 (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui

são brasilienses”.

Errado.

A proposição “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal ne-

gativo. Se quisermos a negação, torna-se viável negarmos pela contraditória, uma

vez que temos a certeza que será por quantidade e qualidade. Logo, a negação

será: “Alguém aqui é brasiliense”.







Questão 111 (COPERVE) A negação da proposição “Ninguém aqui é argentino” é a

proposição:

a) nenhum aqui é argentino.

b) estes aqui são argentinos.

c) alguém aqui é argentino.

d) todos aqui são argentinos.

e) nenhuma das opções anteriores.

Letra c.

Temos que a negação de “nenhum A é B” será “algum A é B”, conforme a dica apre-

sentada. Desta forma, a negação de “Ninguém aqui é argentino” será “alguém aqui

é argentino”.

Questão 112 A negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” é

“Todos os alunos não vão gabaritar a prova de matemática”.

“Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemática”.

“Existe apenas um aluno que não vai gabaritar a prova de matemática”.

“Existe apenas um aluno que vai gabaritar a prova de matemática”.

“Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.

Letra e.

Temos que a negação de “todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica

apresentada. Desta forma, a negação de “todos os alunos vão gabaritar a prova de

matemática” será “existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.







Questão 113 A negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” é

“Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

“Nenhuma pessoa gosta de ler livros de aventura”.

“Todas as pessoas não gostam de ler livros de aventura”.

“Existe apenas uma pessoa que não gosta de ler livros de aventura”.

“Existe apenas uma pessoa que gosta de ler livros de aventura”.

Letra a.


apresentada. Desta forma, a negação de “todas as pessoas gostam de ler livros de

aventura” será “existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

Questão 114 Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus

irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” é

a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde.

b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde.

d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde.

Letra d.

Temos que a negação de “algum A não é B” será “todo A é B”, conforme a dica apre-

sentada. Desta forma, a negação de “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema

nos sábados à tarde” é “todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.”







Questão 115 A negação da sentença “algum empregado está em situação irregular” é:

a) todos os empregados estão em situação irregular.

b) nenhum empregado está em situação irregular.

c) nem todos os empregados não estão em situação irregular.

d) algum empregado não está em situação irregular.

e) existe pelo menos um empregado em situação irregular.

Letra b.

Temos que a negação de “algum A é B” será “nenhum A é B”, conforme a dica apre-

sentada.

Desta forma, a negação de “algum empregado está em situação irregular” é

“nenhum empregado está em situação irregular”.

Questão 116 (DEPEN) A negação da proposição “Todos os detentos considerados

perigosos são revistados diariamente” é equivalente à pro posição “Nenhum deten-

to perigoso é revistado diariamente”.

Errado.

A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em

que devemos negar a quantidade e a qualidade. Logo, a nega ção será “alguns de-

tentos considerados perigosos não são revistados dia riamente”.

Questão 117 Qual é a negação da frase “Todas as pessoas gostam de assistir

televisão”?







Existem pessoas que não gostam de assistir televisão.

Existe apenas uma pessoa que não gosta de assistir televisão.

Existe apenas uma pessoa que gosta de assistir televisão.

Nenhuma pessoa gosta de assistir televisão.

Nenhuma pessoa assiste televisão.

Letra a.


apresentada.

Desta forma, a negação de “todas as pessoas gostam de assistir televisão” é “existem

pessoas que não gostam de assistir televisão.”

Em determinado estabelecimento penitenciário, todos os detentos considerados

perigosos são revistados diariamente, e todos os detentos que cometeram crimes

utilizando armas são considerados perigosos.

Com base nessa informação, julgue os itens seguintes.

Representando as proposições por meio de seus diagramas lógicos temos:

DP: Detentos perigosos

RD: Revistados diariamente

CA: Cometem crimes com armas







Questão 118 (CESPE/DEPEN/2013) Se um detento cometeu um assalto à mão

armada, então ele é revistado diariamente.

Certo.

De acordo com os diagramas que representam as proposições, podemos inferir que

se o detento “x” cometeu um assalto à mão armada, ele pertence ao conjunto CA,

e o conjunto CA está contido em RD, logo, o elemento “x” pertence ao conjunto RD.

Questão 119 (CESPE/DEPEN/2013) Somente os detentos perigosos serão revistados

diariamente.

Errado.

De acordo com os diagramas, podemos inferir que o elemento “x” não é perigoso,

porém, é revistado diariamente.







Questão 120 (CESPE/DEPEN/2013) A negação da proposição “Todos os deten-

tos considerados perigosos são revistados diariamente” é equivalente à proposição

“Nenhum detento perigoso é revistado diariamente”.

Errado.

A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em

que devemos negar a quantidade e a qualidade. Logo, a negação será “alguns de-

tentos considerados perigosos não são revistados diariamente”.

Questão 121 (CESPE/DEPEN/2013) Sabendo-se que um detento não cometeu cri-

me estando armado, é correto afirmar que, seguramente, ele não será revistado.

Errado.

De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode ficar,

podemos inferir que apesar do elemento não ter cometido crime estando armado,

ele pode ser ou não revistado diariamente.

Questão 122 (CESPE/DEPEN/2013) Sabendo-se que um detento é considerado

perigoso é correto afirmar que ele cometeu crime à mão armada.







Errado.

De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode estar,

podemos inferir que o elemento “x” seja perigoso, mas não podemos afirmar que

ele cometeu crime à mão armada.

Parte 06Lógica de Argumentação: Analogias, Inferências, Deduções e Conclusões

Argumento Lógico

Um argumento possui a estrutura apresentada abaixo em que algumas propo-

sições são denominadas premissas (hipóteses) e outra denominada de conclusão

(tese).

P1: Proposição Premissa (Hipótese)











Pn: Proposição Premissa (Hipótese)

C: Proposição Conclusão (Tese)

A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, se preocupa, basicamen-

te, com a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as

sentenças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não

ambíguas.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn,

chamadas premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese)

do argumento. Isso significa que para ser um argumento, basta ter estrutura.

ESTRUTURA DO ARGUMENTO

p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 ∧ p5... pn C

(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)

Vejamos um exemplo para melhor compreensão.

Questão 123 (FUNPRESP-EXE) Considerando as características do raciocínio

analítico e a estrutura da argumentação, julgue o item a seguir.

O raciocínio nenhum peixe é ave. Logo, nenhuma ave é peixe é válido.

Certo.

Partindo da premissa “nenhum peixe é ave”, representada abaixo pelo seu respectivo

diagrama lógico, assunto que veremos no próximo módulo, podemos inferir que

não há elementos em comum entre os dois con juntos:







Desta forma, a conclusão “nenhuma ave é peixe”, apresentada pelo termo “logo”,

é consequência da premissa, o que faz o raciocínio ser válido, ou seja, um argu-

mento válido.

O objetivo, até o momento, é que você consiga identificar um argumen-

to, uma vez que no exemplo apresentado temos apenas uma premissa e

uma conclusão.

Vejamos mais um exemplo para que você perceba que se trata de um argumen-

to, porém, nós iremos, no decorrer deste módulo, detalhar tudo sobre argumenta-

ção, e até mesmo inferência lógica.

Questão 124 (MEC/TEMPORÁRIO) O texto “O homem inteligente nunca recebe

penalidades, pois somente o homem que erra recebe penalidades e o homem inte-

ligente jamais erra” apresenta um argumento válido.

Certo.

Esta questão é importante para que possamos observar que existem argumentos

que começam com a conclusão, deixando claro que as bancas estão a cada dia

exigindo mais dos candidatos os conceitos, princípios e fundamentos.







Representando o argumento: o termo “pois” anuncia premissas dentro de um

argumento, desta forma, podemos representá-lo da seguinte maneira:

Premissa 01: Somente o homem que erra recebe penalidades

Premissa 02: Homem inteligente jamais erra

Conclusão: O homem inteligente nunca recebe penalidades

Para que possamos verificar a validade do argumento, assunto detalhado mais à

frente, iremos construir o diagrama abaixo:

Por meio do diagrama, podemos inferir que a conclusão é consequência necessária

das premissas, desta forma, o argumento é válido.

DICATermos que anunciam premissas em um argumento: “pois” e “porque”.Termos que anunciam conclusão em um argumento: “logo”, “assim”, “portanto” e “então”.

É importante ressaltarmos, também, algumas regras de inferências lógicas, isto

se deve à presença de algumas questões de concursos que exigem dos candidatos

tais conceitos.







Regras de inferência

1) Modus Ponens

A, A → B ∴ B

2) Generalização Universal

A ∴ ∀x A

Teoremas

Nos teoremas a seguir, para compreendermos as notações, temos que:

• As premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ (lê-se, portanto), que anun-

cia uma conclusão.

• Uma vírgula separa duas premissas (hipótese).

• Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.

T1: A ∴A

T2: ~(~A) ∴ A

REC: A ∴ ~(~A)

T3: A, B ∴ A∧B

T4: A ∴ A∨B

T5: A∧B ∴ A

T6: A∨B, ~A ∴ B

T7: A→B, B→C ∴A→C

T8: A, (A→B) ∴B

T9: (A∨B), B→C ∴ (A∨C)

T10: A→B ∴ ~B → ~A







REC: ~B→~A ∴ A→B

T11: A→B, (~A→B) ∴ B

T12: (A∧B)→C ∴ A→(B→C)

REC: A→(B→C) ∴ (A∧B)→C

T13: (A∧~B)→(C∧~C) ∴ A→B (Princípio da não contradição)

T14: A → (B ∨ C, ~B ∴ A → C)

É notável nas provas de maior de complexidade que as bancas têm cobrado

do(a) candidato(a) uma interpretação do que é uma inferência lógica. Sendo

assim, torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída

de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma

vez que a lógica afirma: “se as premissas fornecem bases ou boas provas para a

conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade

da conclusão, então o raciocínio é correto, ou seja, válido”.

Questão 125 (SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL/2018)

Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.

“Se José pagou o IPVA ou o IPTU, então ele comprou o apartamento e vendeu a

casa”.

“José não comprou o apartamento”.

Nessa situação, é correto inferir que

a) “José pagou somente um dos dois impostos, mas não é possível determinar qual

deles”.

b) “José pagou os dois impostos, mas ele não vendeu a casa”.

c) “José não pagou o IPVA, mas pagou o IPTU”.







d) “José não pagou o IPTU, mas pagou o IPVA”.

e) “José não pagou o IPVA nem o IPTU”.

Letra e.

Representando as proposições simples:

IPVA: José pagou IPVA

IPTU: José pagou IPTU

CA: José comprou apartamento

VC: José comprou a casa

Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica for-

mal e partindo de que todas são verdadeiras, temos:

F F

F F

P1: (IPVA (F) ˅ IPTU (F)) → ( CA (F) ˄ VC(?)) = V

P2: ~CA = V

Partindo da premissa 2 como verdadeira, podemos inferir que:

José não pagou IPVA, José não pagou IPTU, José não comprou apartamento e não

podemos valorar por quanto José vende a casa(?).

Questão 126 (POLÍCIA CIVIL/ESCRIVÃO/2018) Considere as afirmações:

Se Ana é costureira, então Bruno não é pedreiro.

Se Bruno não é pedreiro, então César é servente.

Se César é servente, então Débora não é faxineira.

Se Débora não é faxineira, então Eliana é cozinheira.

Se Eliana é cozinheira, então Francisco não é mecânico.

Francisco é mecânico.







A partir dessas afirmações, é correto concluir que

a) Eliana é cozinheira.

b) Bruno não é pedreiro.

c) Débora não é faxineira.

d) César não é servente.

e) Ana é costureira

Letra d.

Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica for-

mal e partindo de que todas são verdadeiras, temos:

P1: Ana é costureira (F) → Bruno não é pedreiro. (F) = V

P2: Bruno não é pedreiro (F)→ César é servente. (F) = V

P3: César é servente (F)→ Débora não é faxineira. (F) = V

P4: Débora não é faxineira (F)→ Eliana é cozinheira. (F) = V

P5: Eliana é cozinheira (F)→ Francisco não é mecânico. (F) = V

P6: Francisco é mecânico. = V

Aplicando os axiomas segundo as tabelas-verdade, temos que César ser servente

é falso, isto é, ele não é servente.

É importante ressaltar que temos uma proposição simples (P6), logo, iremos come-

çar por ela. As demais proposições serão valoradas a partir de P6, e de acordo com

os conectivos lógicos em cada uma das premissas.

Questão 127 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação

“Cristiano é policial militar e Ana é policial civil” e verdadeira a afirmação “se Cris-

tiano é policial militar, então Ana é policial civil”.







Nessas condições, é necessariamente

a) falsidade que Ana é policial civil.

b) verdade que Cristiano e Ana são policiais civis.

c) verdade que Ana é policial civil.

d) falsidade que Cristiano é policial militar.

e) verdade que Cristiano é policial militar.

Letra d.

Temos uma questão de aplicação de tabela-verdade. Vamos simbolizar cada uma

das proposições (afirmações) com seus respectivos conectivos lógicos e valoração

já determinada pelo comando da questão, vejamos:

P1: CPM ^ APC = F

P2: CPM → APC = V

Para as proposições acima, temos duas possibilidades de valorações, conforme os

conectivos.

1ª possibilidade:

P1: CPM(F) ^ APC(V) = F

P2: CPM(F) → APC(V) = V

2ª possibilidade:

P1: CPM(F) ^ APC(F) = F

P2: CPM(F) →APC(F) = V

Para as duas possibilidades, temos que será sempre falso que Cristiano é policial

militar.

Questão 128 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Se o depoente A compareceu

ao plantão, então o boletim de ocorrência do depoente A foi lavrado. Se o depoente







B compareceu ao plantão, então o boletim de ocorrência do depoente B foi lavrado.

Sabendo-se que o boletim de ocorrência do depoente A não foi lavrado ou o boletim

de ocorrência do depoente B não foi lavrado, então conclui-se, corretamente, que

a) o depoente A não compareceu ao plantão e o depoente B também não compareceu.

b) o depoente B não compareceu ao plantão.

c) o depoente A não compareceu ao plantão ou o depoente B não compareceu ao

plantão.

d) o depoente A não compareceu ao plantão.

e) se o depoente A não compareceu ao plantão, então o depoente B também não

compareceu.

Letra c.

Nota do autor: Dilema destrutivo é uma regra de inferência válida da lógica propo-

sicional. É a inferência que diz: se P implica Q e R implica S, e Q ou S é falsa, então

P ou R deve ser falsa. Em suma, se duas condicionais são verdade, e pelo menos

um de seus consequentes for falso, então um dos antecedentes tem que ser falso.

Dilema destrutivo é a versão disjuntiva de modus tollens.

Representando as proposições, teremos:

P1: ACP → BAL

P2: BCP → BBL

P3: ~BAL v ~BBL

Temos, nessa questão, um dos tipos de argumentos (dilema destrutivo) comuns

nas provas da VUNESP.

Aplicando o dilema destrutivo:

Conclusão: ~ ACP v ~BCP







Questão 129 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) De um argumento válido,

sabe-se que suas premissas são:

I – Se a investigação é feita adequadamente e as provas são consistentes, então

é certo que o réu será condenado.

II – O réu não foi condenado.

Dessa forma, uma conclusão para esse argumento está contida na alternativa:

a) A investigação não foi feita adequadamente e as provas não foram consistentes.

b) A investigação foi feita adequadamente ou as provas foram consistentes.

c) A investigação não foi feita adequadamente, mas as provas foram consistentes.

d) A investigação não foi feita adequadamente ou as provas não foram consistentes.

e) A investigação foi feita adequadamente, mas as provas não foram consistentes.

Letra d.

Validade de um argumento:

Um argumento será válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma

consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamente

uma conclusão verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as

premissas e a conclusão.

p1(V)^ p2(V) ^ p3(V) ^ p4(V) ^ p5(V)... pn(V) C(V)

Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas. Logo,

para que a conclusão seja verdadeira, torna-se necessário as premissas serem

verdadeiras, até mesmo porque se uma das premissas for falsa, tornará a conclusão







falsa. Logo, temos que a verdade das premissas garante a verdade da conclusão

do argumento.

Simbolizando as premissas do argumento, teremos:

P1: (IFA ^ PC) (F) → RC (F) = V

P2: ~RC =V

A conclusão do argumento tem que ser consequência das premissas apresentadas,

logo, a alternativa que será verdadeira em decorrência da verdade das premissas será:

Conclusão: (~IFA v ~PC) = V

Questão 130 (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere verdadeiras

as três afirmações seguintes:

Ou Marta não é enfermeira, ou Clarice não é médica.

Se Douglas não é professor, então Clarice é médica.

Paulo é diretor ou Douglas não é professor.

Sabendo que Marta é enfermeira, a afirmação que possui um valor lógico verda-

deiro é

a) se Clarice não é médica, então Marta não é enfermeira.

b) se Marta é enfermeira, então Douglas não é professor.

c) Paulo é diretor e Douglas não é professor.

d) Clarice é médica ou Paulo não é diretor

e) se Clarice é médica, então Douglas não é professor.

Letra e.

Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos simbolizar as premissas e

considerar que a proposição “Marta é enfermeira” é verdadeira, conforme indicado

pelo comando da questão.







Vejamos:

P1: ~ME (F) V ~CM (V) = (V)

P2: ~DP (F) → CM (F) = (V)

P3: PD (V) V ~DP (F) = (V)

P4: ME = (V)

Agora, iremos valorar as proposições em cada uma das opções para encontrar

aquela que é verdadeira.

Se Clarice não é médica (V), então Marta não é enfermeira (F). = F

Se Marta é enfermeira (V), então Douglas não é professor (F). =F

Paulo é diretor (V) e Douglas não é professor (F). = F

Clarice é médica (F) ou Paulo não é diretor (F) = F

Se Clarice é médica (F), então Douglas não é professor (F) = V

Questão 131 (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere as afirmações

e o respectivo valor lógico de cada uma.

I – Se Antônio canta bem, então Bruna não é atriz. VERDADEIRA

II – Carlos é dançarino ou Bruna não é atriz. FALSA

III – Daniela organiza tudo ou Antônio canta bem. VERDADEIRA

IV – Se Fernando não trouxe o almoço, então Daniela não organiza tudo. VERDA-

DEIRA

A partir dessas afirmações, é correto concluir que

a) Fernando trouxe o almoço ou Antônio canta bem.

b) Carlos é dançarino e Fernando trouxe o almoço.

c) Carlos não é dançarino e Daniela não organiza tudo.

d) Ou Daniela organiza tudo ou Bruna é atriz.

e) Bruna não é atriz e Fernando não trouxe o almoço.







Letra a.

Nessa questão, temos uma inferência lógica, em que iremos simbolizar as proposi-

ções e, em seguida, aplicar as tabelas-verdade, conforme as valorações dadas no

comando:

P1: ACB (F) → ~BA(F) = V

P2: CD (F) ˅ ~BA (F) = F

P3: DOT (V) v ACB (F) = V

P4: ~FA (F) → ~DOT (F) = V

Para resolução, é importante iniciar pela segunda proposição, pois no conectivo

“ou”, para ser falso, só se ambas as proposições forem falsas.

Analisando as alternativas segundo os operadores lógicos, temos:

�a) Certa. Fernando trouxe o almoço (V) ou Antônio canta bem (F). = V

�b) Errada. Carlos é dançarino (F) e Fernando trouxe o almoço (V). = F

�c) Errada. Carlos não é dançarino (V) e Daniela não organiza tudo (F). = F

�d) Errada. Ou Daniela organiza tudo (V) ou Bruna é atriz (V). = F

e) Errada. Bruna não é atriz (F) e Fernando não trouxe o almoço (F). = F

Validade de um Argumento

É importante ressaltar que as proposições, premissas e a conclusão serão for-

madas pelos conectivos lógicos, logo, é necessário que você tenha domínio da lin-

guagem da lógica formal, bem como as tabelas-verdade.

Primeiramente, é necessário que saiba o que é um argumento válido, legítimo

ou bem construído, ok? Vamos lá! Quando a conclusão é uma consequência

obrigatória do seu conjunto de premissas, temos que o argumento é válido.







Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isto implica necessariamente

que a conclusão será verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre

as premissas e a conclusão.

p1 (V) ∧ p2 (V) ∧ p3(V) ∧ p4(V) ∧ p5(V) ∧... ∧ pn(V) C(V)

De acordo com a ilustração acima, percebemos que existe um conectivo de

conjunção que opera as premissas, logo, para que a conclusão seja verdadeira,

torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo porque se uma

das premissas for falsa, tornará a conclusão falsa. Logo, temos que a verdade das

premissas garante a verdade da conclusão do argumento.

Para que possa compreender melhor o que é um argumento válido, iremos co-

mentar algumas questões.

Questão 132 (TSE) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

b) se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e

hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

c) choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segun-

da-feira não será feriado.

d) quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo

choveu.







Letra a.

Para analisarmos a validade dos argumentos abaixo, iremos partir de premissas

verdadeiras para verificar se a conclusão também é verdadeira, observando que

as premissas são proposições construídas por operadores lógicos, logo, temos que

aplicar as regras de valorações vistas nas tabelas-verdade.

�a) Certa. Temos:

P1: estudo → obtenho boas notas.

P2: me alimento bem → me sinto disposto.

P3: Ontem estudei ∧ não me senti disposto.

Conclusão: Obterei boas notas ∧ não me alimentei bem.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Estudo (V) → obtenho boas notas. (V) = (V)

P2: Me alimento bem (F) → me sinto disposto. (F) = (V)

P3: Ontem estudei (V) ∧ não me senti disposto (V) = (V)

Após a valoração das premissas, podemos verificar se a verdade das premissas

realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Conclusão: Obterei boas notas (VERDADE) ∧ não me alimentei bem. (VERDADE) =

VERDADE.

Sendo assim, o argumento é válido.

b) Errada. Temos:

P1: (ontem choveu ∧estamos em junho) → hoje fará frio.

P2: ontem choveu ∧ fez frio.

Conclusão: estamos em junho.


P1: (ontem choveu (V) ∧ estamos em junho (V/F) → hoje fará frio. (V) = (V)







P2: ontem choveu (V) ∧ fez frio (V) = (V)

Conclusão: estamos em junho(V/F)



Logo, C: estamos em junho (V/F)

Sendo assim, o argumento é inválido.

c) Errada. Temos:

P1: (choveu ontem ∨ segunda-feira é feriado).

P2: não choveu ontem.

Conclusão: segunda-feira não é feriado.


P1: choveu ontem (F) ∨ segunda-feira é feriado (V). = (V)

P2: não choveu ontem = (V)

Conclusão: segunda-feira não é feriado (F).



Conclusão: segunda-feira não é feriado = F

Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

d) Errada. Temos:

P1: (Chove → árvores ficam verdinhas).

P2: As árvores estão verdinhas.

Conclusão: Choveu.


P1: Chove (V/F) → árvores ficam verdinhas (V). = (V)

P2: As árvores estão verdinhas.

Conclusão: Choveu (V/F).









Conclusão: Choveu (V/F).

Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

Uma sequência de proposições A1, A2,..., Ak é uma dedução correta se a última

proposição, Ak, denominada conclusão, é uma consequência das anteriores, consi-

deradas V e denominadas premissas.

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para

todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P,

for obtido que a proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira;

P tem de ser falsa.

A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.

Questão 133 Considere as proposições A, B e C a seguir.

A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em

concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V,

então C também será V.

Errado.

Representando as proposições com seus respectivos operadores lógicos, temos:

V/F

V







Premissa A: [ (Jane é policial federal) v (Jane [ (Jane é aprovada em concurso) ]

= V

é procuradora de justiça)]

V

Premissa B: [ (Jane foi aprovada em concurso) ] = V

V/F

Conclusão C: [ (Jane é policial federal) v (Jane é procuradora de justiça) ]

Valorando as premissas com verdadeiro conforme a estrutura acima, aplicaremos

as tabelas-verdade. Dessa forma, verifica-se que a verdade das proposições A e B

não garante a verdade da proposição C.

Questão 134 A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.

Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.

Certo.

Uma dedução certa, argumento válido, é quando a conclusão é consequência obri-

gatória do seu conjunto de premissas. Sendo as premissas de um argumento verda-

deiras, isso implica necessariamente que a conclusão será verdadeira. A validade

de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e

a conclusão.







Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn,

chamadas de premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada de conclusão

(tese) do argumento, nesse caso, dedutivo.

Representando as premissas e aplicando as tabelas-verdade, teremos:

F F

Premissa 1: Carlos não estudou → ele fracassou na prova de Física = V

F F

Premissa 2: Carlos jogou futebol → ele não estudou = V

V

Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física = V

Conclusão: Carlos não jogou futebol – será verdadeira

Valorando as premissas como verdadeiras, verificamos que a conclusão foi verda-

deira, logo, a dedução é certa.

Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião ou Falcão – ficou com o dinheiro rou-

bado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos:

F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.

F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com

Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue o item

subsequente, com base nas regras de dedução.







Questão 135 (PC-ES) A proposição “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião”

é verdadeira.

Certo.

Trata-se de uma inferência, logo, temos as proposições F1, F2, F3 e F4 sendo ver-

dadeiras, e iremos verificar se a conclusão: “o dinheiro foi entregue à mulher de

Gavião” também será verdadeira.

Dadas as proposições, temos:

F1 – Gavião e Falcão saíram da cidade (V) → o dinheiro não ficou com Gavião

(V) = V

F2 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) → o dinheiro ficou com Ga-

vião (F) = V

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade = V

F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) v o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião (V) = V

Sabendo que a proposição F3 é verdadeira, valoramos as demais proposições, che-

gando à conclusão que a proposição “o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião”

também será verdadeira.

Questão 136 (TRE-MA/2009) Gilberto, gerente de sistemas do TRE de deter-

minada região, após reunir-se com os técnicos judiciários Alberto, Bruno, Cícero,

Douglas e Ernesto para uma prospecção a respeito do uso de siste mas operacio-

nais, concluiu que:

– se Alberto usa o Windows, então Bruno usa o Linux;







– se Cícero usa o Linux, então Alberto usa o Windows;

– se Douglas não usa o Windows, então Ernesto também não o faz;

– se Douglas usa o Windows, então Cícero usa o Linux.

Com base nessas conclusões e sabendo que Ernesto usa o Windows, é correto con-

cluir que

a) Cícero não usa o Linux.

b) Douglas não usa o Linux.

c) Ernesto usa o Linux.

d) Alberto usa o Linux.

e) Bruno usa o Linux.

Letra e.


(V) ( V )

P1: Alberto usa Windows → Bruno usa Linux = V

(V) ( V )

P2: Cícero usa Linux → Alberto usa Windows = V

(F) ( V )

P3: Douglas não usa Windows → Ernesto não usa Windows = V

(V) ( V )

P4: Douglas usa Windows → Cícero usa Linux = V

(V)

P5: Ernesto usa o Windows = V

Considerando que as proposições são todas verdadeiras, partindo de P5 podemos

valorar as demais. Analisando as opções, temos:







�a) Errada. F

�b) Errada. V/F (não temos certeza)

�c) Errada. V/F (não temos certeza)

�d) Errada. V/F (não temos certeza)

e) Certa. V

Questão 137 (PREFEITURA DE SÃO PAULO–SP/2016) As proposições seguintes

constituem as premissas de um argumento.

– Bianca não é professora.

– Se Paulo é técnico de contabilidade, então Bianca é professora.

– Se Ana não trabalha na área de informática, então Paulo é técnico de

contabilidade.

– Carlos é especialista em recursos humanos, ou Ana não trabalha na área de

informática, ou Bianca é professora.

Assinale a opção correspondente à conclusão que torna esse argu mento um

argumento válido.

a) Carlos não é especialista em recursos humanos e Paulo não é técnico de

contabilidade.

b) Ana não trabalha na área de informática e Paulo é técnico de contabili dade.

c) Carlos é especialista em recursos humanos e Ana trabalha na área de informática.

d) Bianca não é professora e Paulo é técnico de contabilidade.

e) Paulo não é técnico de contabilidade e Ana não trabalha na área de informática.

Letra c.

Considerando todas premissas verdadeiras e valorando-as conforme as tabelas-

-verdade, temos:







P1: Bianca não é professora. = V

P2: Se Paulo é técnico de contabilidade (F), então Bianca é professora (F). = V

P3: Se Ana não trabalha na área de informática (F), então Paulo é téc nico de con-

tabilidade (F). = V

P4: Carlos é especialista em recursos humanos (V), ou Ana não trabalha na área de

informática (F), ou Bianca é professora (F). =V

A partir das premissas verdadeiras, vamos encontrar uma conclusão também

verdadeira, logo, temos:

a) Errada. Carlos não é especialista em recursos humanos (V) e Paulo não é

téc nico de contabilidade (F) = F.

b) Errada. Ana não trabalha na área de informática (F) e Paulo é técnico de

conta bilidade (F) = F

c) Certa. Carlos é especialista em recursos humanos (V) e Ana trabalha na área

de informática (V) = V

d) Errada. Bianca não é professora (F) e Paulo é técnico de contabilidade (F) = F

e) Errada. Paulo não é técnico de contabilidade (V) e Ana não trabalha na área de

informática (F) = F.







QUESTÕES DE CONCURSOS

Meu(minha) querido(a), agora é sua vez, porém, em caso de dúvidas, não se

esqueça que temos o fórum de dúvidas à disposição.

Questão 1 (CRF-TO/ANALISTA DE TI/2019) Assinale a alternativa que corresponde

à negação de “Todos os analistas de tecnologia da informação são bons desenvol-

vedores”.

a) pelo menos um analista de tecnologia da informação não é bom desenvolvedor.

b) nenhum analista de tecnologia da informação é bom desenvolvedor.

c) todos os analistas de tecnologia da informação não são bons desenvolvedores.

d) alguns analistas de tecnologia da informação são bons desenvolvedores.

e) Todos os desenvolvedores não são analistas de tecnologia da informação.

Questão 2 Se todo arquiteto é desenhista, existe professor que é arquiteto, mas

algum desenhista não é professor, então é correto afirmar que

a) existe professor que não é arquiteto.

b) existe arquiteto que não é professor.

c) algum professor não é desenhista.

d) todo arquiteto que é professor é também desenhista.

e) algum desenhista que é professor é também arquiteto.

Questão 3 Considerando a afirmação “Todo arquiteto é louco por futebol”,

é correto afirmar que

a) quem não é arquiteto não é louco por futebol.

b) quem não é arquiteto é louco por futebol.

c) aquele que não é louco por futebol não é arquiteto.







d) aquele que é louco por futebol é arquiteto.

e) nenhum arquiteto é louco por futebol.

Questão 4 Considere as proposições: “todo cinema é uma casa de cultura”, “existem

teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. Logo, é correto

afirmar que

a) existem cinemas que não são teatros.

b) existe teatro que não é casa de cultura.

c) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro.

d) existe casa de cultura que não é cinema.

e) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.

Questão 5 (CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019) Sabe-se que existe pelo

menos um acriano que é arquiteto. Sabe-se ainda que todo acriano é brasileiro.

Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo brasileiro é arquiteto.

b) todo brasileiro é acriano.

c) algum acriano é brasileiro.

d) nenhum brasileiro é arquiteto.

e) algum acriano não é brasileiro.







GABARITO

1. a

2. d

3. c

4. e

5. c







Desafio

Comentário da questão do Parque de diversões:

Um grande abraço do Professor Josimar Padilha, valeu!

Bons estudos!







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PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO …