Produto Escalar

Laura Goulart

UESB

30 de Julho de 2018

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 1 / 11

De�nição

Nesta seção, vamos de�nir um "produto"entre dois vetores que resulta em

um número real.

Sejam −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. De�nimos o produto

escalar (ou produto interno) de −→u e −→v por x1 · y1 + . . .+ xn · yn.Notação: < −→u ,−→v > ou u · v .

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De�nição

Nesta seção, vamos de�nir um "produto"entre dois vetores que resulta em

um número real.

Sejam −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. De�nimos o produto

escalar (ou produto interno) de −→u e −→v por x1 · y1 + . . .+ xn · yn.Notação: < −→u ,−→v > ou u · v .

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Aplicação em Física

Na Física, o trabalho realizado por uma força constante é o produto escalar

do vetor força pelo vetor deslocamento.

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Propriedades

1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)

2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >

3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)

4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >

5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >

6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2

7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

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Ângulo entre vetores

O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas

duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.

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Ângulo entre vetores

O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas

duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 5 / 11

Ângulo entre vetores

O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas

duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.

Observação

Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 5 / 11

Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre

vetores no plano.

Pela lei dos cossenos temos que

||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.

Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >

||~u|| · ||~v ||.

Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.

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Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre

vetores no plano.

Pela lei dos cossenos temos que

||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).

Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.

Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >

||~u|| · ||~v ||.

Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11

Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre

vetores no plano.

Pela lei dos cossenos temos que

||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.

Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >

||~u|| · ||~v ||.

Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11

Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre

vetores no plano.

Pela lei dos cossenos temos que

||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.

Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >

||~u|| · ||~v ||.

Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11

Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre

vetores no plano.

Pela lei dos cossenos temos que

||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.

Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >

||~u|| · ||~v ||.

Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11

Projeção ortogonal

Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de

dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.

O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é

denotado por proj~u~v .

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Projeção ortogonal

Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de

dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.

O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é

denotado por proj~u~v .

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 7 / 11

Projeção ortogonal

Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de

dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.

O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é

denotado por proj~u~v .

Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 7 / 11

Teorema

proj~u~v =< ~u, ~v >

||~u||2· ~u

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