Aula 01

Raciocnio Lgico p/ INSS - Tcnico do Seguro Social - Com Videoaulas

Professor: Arthur Lima

!AULA 01: LGICA DE PROPOSIES

SUMRIO PGINA

1. Teoria 01

2. Resoluo de questes 32

3. Lista das questes apresentadas na aula 75

4. Gabarito 94

Ol!

Hoje comeamos o estudo do seguinte tpico do ltimo edital:

Conceitos bsicos de raciocnio lgico: proposies; valores lgicos das

proposies; sentenas abertas; nmero de linhas da tabela verdade; conectivos;

proposies simples; proposies compostas. Tautologia.

Costumo chamar estes temas simplesmente de lgica proposicional, ou

lgica de proposies. Devido grande incidncia do mesmo em provas,

dedicaremos as prximas aulas para reforar o seu entendimento sobre os assuntos

que iniciaremos hoje.

ATENO: os vdeos anexados a essa aula cobrem todo o contedo das aulas1, 2 e 3 (lgica de proposies e diagramas lgicos)

Uma boa aula para todos ns.

1. TEORIA

1.1 Introduo

Para comear este assunto, voc precisa saber que uma proposio uma

frase que admita um valor lgico (V verdadeiro ou F falso). Ex.: A bola azul.

Veja que no existe meio termo: ou a bola realmente de cor azul, tornando a

proposio verdadeira, ou a bola de outra cor, sendo a proposio falsa. Observe

!que nem toda frase pode ser considerada uma proposio. Por exemplo, a

exclamao Bom dia! no pode ser classificada como verdadeira ou falsa. O

mesmo ocorre com as frases Qual o seu nome? ou V dormir, que tambm no

tm um valor lgico (V ou F). No estudo de lgica de argumentao, usamos letras

(principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposio. Observe a questo a

seguir:

1. CESPE BANCO DO BRASIL 2007) Na lgica sentencial, denomina-seproposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas

no, como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase

falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser

nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras

maisculas do alfabeto A, B, C etc. Uma proposio da forma A ou B F se A e

B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A

for V e B for F, caso contrrio V. Um raciocnio lgico considerado correto

formado por uma seqncia de proposies tais que a ltima proposio

verdadeira sempre que as proposies anteriores na seqncia forem verdadeiras.

Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subseqente.

( ) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X + Y positiva.

O valor de 4 + 3 = 7.Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

O que isto?

RESOLUO:A frase dentro destas aspas uma mentira. no uma proposio, pois no

pode ser nem F nem V (veja que ela similar frase Esta frase falsa, do

enunciado). Este tipo de frase no considerado proposio pois seu contedo

contradiz a ela mesma.

!A expresso X + Y positiva. temos uma sentena aberta, como veremos mais

frente na aula de hoje. Para podermos julg-la como F ou V, precisariam ser

determinados os valores de X e Y. Como isso no feito, no temos uma

proposio.

O valor de 4 + 3 = 7. aqui temos uma proposio. Pode ser V ou F.Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. outra proposio.

O que isto? no proposio, pois uma pergunta.

importante tambm conhecer alguns princpios relativos s proposies. O

princpio da no-contradio diz que uma proposio no pode ser, ao mesmo

tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. J o princpio da excluso do

terceiro termo diz que no h um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto,

se temos uma proposio p (exemplo: 2 mais 2 no igual a 7), sabemos que:

- se essa frase verdadeira, ento ela no pode ser falsa, e vice-versa (no-

contradio), e

- no possvel que essa frase seja meio verdadeira ou meio falsa, ela deve ser

somente Verdadeira ou somente Falsa (excluso do terceiro termo).

Uma observao importante: no se preocupe tanto com o contedo da

proposio. Quem nos dir se a proposio verdadeira ou falsa o enunciado do

exerccio. Ao resolver exerccios voc ver que, a princpio, consideramos todas as

proposies fornecidas como sendo verdadeiras, a menos que o exerccio diga o

contrrio. Se um exerccio disser que a proposio 2 + 2 = 7 Verdadeira, voc

deve aceitar isso, ainda que saiba que o contedo dela no realmente correto. Isto

porque estamos trabalhando com Lgica formal.

Vejamos duas proposies exemplificativas:

p: Chove amanh.

q: Eu vou escola.

!Note que, de fato, p e q so duas proposies, pois cada uma delas pode ser

Verdadeira ou Falsa.

Duas ou mais proposies podem ser combinadas, criando proposies

compostas, utilizando para isso os operadores lgicos. Vamos conhec-los

estudando as principais formas de proposies compostas. Para isso, usaremos

como exemplo as duas proposies que j vimos acima. Vejamos como podemos

combin-las:

a) Conjuno (e): trata-se de uma combinao de proposies usando ooperador lgico e, ou seja, do tipo p e q. Por exemplo: Chove amanh e eu

vou escola. Utilizamos o smbolo ^ para representar este operador. Ou seja,

ao invs de escrever p e q, podemos escrever p q .Veja que, ao dizer que Chove amanh e eu vou escola, estou afirmando que

as duas coisas acontecem (chover e ir escola). Em outras palavras, esta

proposio composta s pode ser Verdadeira se as duas proposies simples que

a compem forem verdadeiras, isto , acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu

no for escola, significa que a conjuno acima Falsa. Da mesma forma, se no

chover e mesmo assim eu for escola, a expresso acima tambm Falsa.

Portanto, para analisar se a proposio composta Verdadeira ou Falsa,

devemos olhar cada uma das proposies que a compem. J vimos que se p

acontece (p Verdadeira) e q acontece (q Verdadeira), a expresso p e q

Verdadeira. Esta a primeira linha da tabela abaixo. J se p acontece (V), isto , se

chove, e q no acontece (F), ou seja, eu no vou escola, a expresso inteira

torna-se falsa. Isto tambm ocorre se p no acontece (F) e q acontece (V). Estas

so as duas linhas seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q

acontecem (ambas so Falsas), a expresso inteira tambm ser falsa. Veja esta

tabela:

Valor lgico de p

(Chove amanh)

Valor lgico de q

(Eu vou escola)

Valor lgico de p e q( p q )

V V VV F FF V FF F F

!A tabela acima chamada de tabela-verdade da proposio combinada p e q.

Nesta tabela podemos visualizar que a nica forma de tornar a proposio

verdadeira ocorre quando tanto p quanto q so verdadeiras. E que, para desmenti-

la (tornar toda a proposio falsa), basta provar que pelo menos uma das

proposies que a compem falsa.

b) Disjuno (ou): esta uma combinao usando o operador ou, isto , p ou

q (tambm podemos escrever p q ). Ex.: Chove amanh ou eu vou escola.Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas

vai acontecer: chover amanh ou eu ir escola. Se uma delas ocorrer, j estou

dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer ou no. Agora, se

nenhuma delas acontecer (no chover e, alm disso, eu no for escola), a minha

frase estar falsa. A tabela abaixo resume estas possibilidades:

Valor lgico de p

(Chove amanh)

Valor lgico de q

(Eu vou escola)

Valor lgico de p ou q

( p q )V V VV F VF V VF F F

Como voc pode ver na coluna da direita, a nica possibilidade de uma

Disjuno do tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q no acontecem,

isto , so falsas.

Talvez voc tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na lngua

portuguesa, ou utilizado para representar alternativas excludentes entre si (isto

, s uma coisa poderia acontecer: chover ou ento eu ir escola). Assim, talvez

voc esperasse que, caso p fosse verdadeira e q tambm fosse verdadeira, a frase

inteira seria falsa. Veja que isto no ocorre aqui. Veremos isso no prximo item, ao

estudar a disjuno exclusiva.

c) Disjuno exclusiva (Ou exclusivo): esta uma combinao do tipo ou p ou

q (simbolizada por p q ). Ex.: Ou chove amanh ou eu vou escola.

!Aqui, ao contrrio da Disjuno que vimos acima, a proposio composta s

verdadeira se uma das proposies for verdadeira e a outra for falsa. Isto , se eu

digo Ou chove amanh ou eu vou escola, porm as duas coisas ocorrem

(amanh chove e, alm disso, eu vou escola), a frase ser falsa como um todo.

Veja abaixo a tabela-verdade deste operador lgico, chamado muitas vezes de Ou

exclusivo, em oposio ao ou alternativo que vimos acima:

Valor lgico de p

(Chove amanh)

Valor lgico de q

(Eu vou escola)

Valor lgico de Ou p ou q

( p q )V V FV F VF V VF F F

Marquei em vermelho a nica mudana que temos em relao ao caso

anterior.

d) Condicional (implicao): uma condicional uma combinao do tipo se p,

ento q (simbolizada por p q ). Usando o nosso exemplo, podemos montar aproposio composta Se chove amanh, eu vou escola.

Esta a proposio composta mais comum em provas de concurso. Chamamos

este caso de Condicional porque temos uma condio (se chove amanh) que,

caso venha a ocorrer, faz com que automaticamente a sua consequncia (eu vou

escola) tenha que acontecer. Isto , se p for Verdadeira, isto obriga q a ser

tambm Verdadeira.

Se a condio p (se chove amanh) no ocorre ( Falsa), q pode ocorrer (V)

ou no (F), e ainda assim a frase Verdadeira. Porm se a condio ocorre (p V)

e o resultado no ocorre (q F), estamos diante de uma proposio composta que

Falsa como um todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela:

Valor lgico de p

(Chove amanh)

Valor lgico de q

(Eu vou escola)

Valor lgico de Se p,ento q ( p q )

V V V

V F F

F V V

F F V

!e) Bicondicional (se e somente se): uma bicondicional uma combinao do

tipo p se e somente se q (simbolizada por p q ). Ex.: Chove amanh se esomente se eu vou escola.

Quando algum nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente,

as duas coisas acontecem juntas (ou ento nenhuma delas acontece). Assim,

sabendo que amanh chove, j sabemos que a pessoa vai escola. Da mesma

forma, sabendo que a pessoa foi escola, ento sabemos que choveu. Por outro

lado, sabendo que no choveu, sabemos automaticamente que a pessoa no foi

escola.

Note, portanto, que a expresso p q s verdadeira quando tanto pquanto q acontecem (so Verdadeiras), ou ento quando ambas no acontecem

(so Falsas). Se ocorrer outro caso (chover e a pessoa no for escola, por

exemplo), a expresso p q Falsa. Isso est resumido na tabela abaixo:Valor lgico de p

(Chove amanh)

Valor lgico de q(Eu vou escola)

Valor lgico de p se esomente se q ( p q )

V V V

V F F

F V F

F F V

Novamente, marquei em vermelho a nica coisa que mudou em relao

condicional p q .IMPORTANTE: Saiba que e, ou, ou, ... ou..., se..., ento..., se e

somente se so as formas bsicas dos conectivos conjuno, disjuno, disjuno

exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto, vrias questes exploram formas

alternativas de se expressar cada uma dessas proposies compostas. Ao longo

das questes que resolvermos nessa e na prxima aula, voc aprender a lidar com

estas alternativas. Veja os casos que considero mais importantes:

- Conectivo mas com idia de conjuno (e). Ex.: Chove, mas vou escola.

Observe que quem diz esta frase est afirmando que duas coisas acontecem: 1 =

!chove, e 2 = vou escola. No estudo da lgica, isto o mesmo que dizer Chove e

vou escola. Portanto, o mas est sendo usado para formar uma conjuno.

- Conectivo ou precedido por vrgula, com idia de ou exclusivo. Ex.:Chove, ou vou escola. Aqui a pausa criada pela vrgula nos permite depreender

que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou escola. Assim, temos uma forma

alternativa de representar o ou ..., ou... que estudamos na disjuno exclusiva.

- Condicional utilizando Quando... ou Toda vez que.... Exemplos:1)Quando chove, vou escola.

2) Toda vez que chove vou escola.

Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma

condio (chove) que leva a uma consequncia (vou escola). Portanto, estas

so formas alternativas ao clssico se ..., ento ... da condicional.

- Uso do ...ou..., mas no ambos com idia de disjuno exclusiva. Ex.: Jogobola ou corro, mas no ambos. Repare que a primeira parte dessa frase uma

disjuno comum (inclusiva), mas a expresso mas no ambos exclui o caso onde

jogo bola V e corro tambm V. Isto , passamos a ter uma disjuno

exclusiva. Alguns autores entendem que s temos disjuno exclusiva se a

expresso mas no ambos estiver presente (ainda que tenhamos ou..., ou ...),

mas isso no pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse

problema ao longo das questes.

Sobre proposies compostas, veja uma questo introdutria:

2. FCC ICMS/SP 2006) Considere a proposio Paula estuda, mas no passano concurso. Nessa proposio, o conectivo lgico :

a) condicional

b) bicondicional

c) disjuno inclusiva

d) conjuno

e) disjuno exclusiva

RESOLUO:

!Vimos logo acima que o mas pode ser utilizado para representar o

conectivo conjuno (e). Do ponto de vista lgico, a frase Paula estuda e no

passa no concurso tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto porque o autor

da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas so verdadeiras:

- Paula estuda

- Paula no passa no concurso

Portanto, temos uma conjuno (letra D).

Ao estudar Portugus, voc ver que o mas tem funo adversativa. Isto ,

o autor da frase no quer dizer apenas que as duas coisas so verdadeiras. Ele usa

o mas para ressaltar o fato de que essas coisas so, em tese, opostas entre si

(espera-se que quem estuda seja aprovado). Por mais importante que seja este

detalhe semntico naquela disciplina, aqui na Lgica Proposicional devemos tratar

estas proposies como sendo equivalentes.

Resposta: D

1.2 Negao de proposies simples

Representamos a negao de uma proposio simples p pelo smbolo ~p

(leia no-p).Tambm podemos usar a notao p , que menos usual. Sabemosque o valor lgico de p e ~p so opostos, isto , se p uma proposio

verdadeira, ~p ser falsa, e vice-versa.

Quando temos uma proposio simples (por ex.: Chove agora, Todos os

nordestinos so fortes, Algum brasileiro mineiro), podemos negar essa

proposio simplesmente inserindo No verdade que... em seu incio. Veja:

- No verdade que chove agora

- No verdade que todos os nordestinos so fortes

- No verdade que algum brasileiro mineiro

Entretanto, na maioria dos exerccios sero solicitadas outras formas de

negar uma proposio. Para descobrir a negao, basta voc se perguntar: o que

eu precisaria fazer para provar que quem disse essa frase est mentindo? Se voc

for capaz de desmenti-lo, voc ser capaz de neg-lo.

Se Joo nos disse que Chove agora, bastaria confirmar que no est

chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negao seria simplesmente No

chove agora.

!Entretanto, caso Joo nos diga que Todos os nordestinos so fortes,

bastaria encontrarmos um nico nordestino que no fosse forte para desmenti-lo.

Portanto, a negao desta afirmao pode ser, entre outras possibilidades:

- Pelo menos um nordestino no forte

- Algum nordestino no forte

- Existe nordestino que no forte

J se Joo nos dissesse que Algum nordestino forte, basta que um nico

nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui

mais difcil desmenti-lo, pois precisaramos analisar todos os nordestinos e

mostrar que nenhum deles forte. Assim, a negao seria, entre outras

possibilidades:

- Nenhum nordestino forte

- No existe nordestino forte

A tabela abaixo resume as principais formas de negao de proposies

simples. Veja que, assim como voc pode usar as da coluna da direita para negar

frases com as expresses da coluna da esquerda, voc tambm pode fazer o

contrrio.

Proposio p Proposio ~p

Meu gato preto Meu gato no preto

Todos gatos so pretos Algum/pelo menos um/existe gato (que) no

preto

Nenhum gato preto Algum/pelo menos um/existe gato (que)

preto

Note ainda que ~(~p) = p, isto , a negao da negao de p a prpria

proposio p. Isto , negar duas vezes igual a falar a verdade. Ex.: No

verdade que meu gato no preto esta frase equivalente a Meu gato preto.

Veja abaixo uma questo inicial sobre negao de proposies simples.

3. FCC Banco do Brasil 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete:Toda Agncia do Banco do Brasil tem dficit de funcionrios.

!Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma

negao de tal manchete. Das sentenas seguintes, aquela que expressaria de

maneira correta a negao da manchete publicada :

a) Qualquer Agncia do Banco do Brasil no tm dficit de funcionrios

b) Nenhuma Agncia do Banco do Brasil tem dficit de funcionrios

c) Alguma Agncia do Banco do Brasil no tem dficit de funcionrios

d) Existem Agncias com dficit de funcionrios que no pertencem ao Banco do

Brasil

e) O quadro de funcionrios do Banco do Brasil est completo

RESOLUO:

Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor constatasse

que em pelo menos uma agncia do BB no h dficit e ele j teria argumento

suficiente para desmentir o jornal, afinal o jornal tinha dito que todas as agncias

possuem dficit. Uma forma desse leitor expressar-se seria dizendo:

Pelo menos uma agncia do BB no tem dficit de funcionrios.

Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria:

Alguma agncia do BB no tem dficit de funcionrios.

Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a retratao

(negao) da anterior.

Resposta: C

1.3 Negao de proposies compostas

Quando temos alguma das proposies compostas (conjuno, disjuno,

disjuno exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque

para obter a sua negao: buscar uma forma de desmentir quem estivesse falando

aquela frase. Vejamos alguns exemplos:

a) Conjuno: Chove hoje e vou praia. Se Joo nos diz essa frase, ele est

afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dvida, retorne tabela-

verdade da conjuno). Isto , para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos

uma delas no ocorre. Isto , a primeira coisa no ocorre ou a segunda coisa no

ocorre (ou mesmo as duas no ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma

disjuno, negando as duas proposies simples como aprendemos no item

anterior: No chove hoje ou no vou praia. Da mesma forma, se Joo tivesse

!dito Todo nordestino forte e nenhum gato preto, poderamos negar utilizando

uma disjuno, negando as duas proposies simples: Algum nordestino no

forte ou algum gato preto.

b) Disjuno: Chove hoje ou vou praia. Essa afirmao verdadeira se pelo

menos uma das proposies simples for verdadeira. Portanto, para desmentir quem

a disse, precisamos provar que as duas coisas no acontecem, isto , as duas

proposies so falsas. Assim, a negao seria uma conjuno: No chove hoje e

no vou praia. J a negao de Todo nordestino forte ou nenhum gato preto

seria Algum nordestino no forte e algum gato preto.

c) Disjuno exclusiva: Ou chove hoje ou vou praia. Recorrendo tabela-

verdade, voc ver que a disjuno exclusiva s verdadeira se uma, e apenas

uma das proposies verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrssemos

que ambas so verdadeiras, ou que ambas so falsas, estaramos desmentindo o

autor da frase. Para isso, podemos usar uma bicondicional: Chove hoje se e

somente se eu vou praia. Veja que esta frase indica que ou acontecem as duas

coisas (chover e ir praia) ou no acontece nenhuma delas.

d) Condicional: Se chove hoje, ento vou praia. Lembra-se que a condicional s

falsa caso a condio (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto,

justamente isso que deveramos provar se quisssemos desmentir o autor da frase.

A seguinte conjuno nos permite negar a condicional: Chove hoje e no vou

praia.

e) Bicondicional: Chove hoje se e somente se vou praia. O autor da frase est

afirmando que as duas coisas (chover e ir praia) devem ocorrer juntas, ou ento

nenhuma delas pode ocorrer. Podemos desmenti-lo provando que uma das coisas

ocorre ( verdadeira) enquanto a outra no ( falsa). A disjuno exclusiva nos

permite fazer isso: Ou chove hoje, ou vou praia.

Veja na tabela abaixo as principais formas de negao de proposies

compostas:

!Proposio composta Negao

Conjuno ( p q )Ex.: Chove hoje e vou praia

Disjuno ( ~ p ~ q )Ex.: No chove hoje ou no vou praia

Disjuno ( p q )Ex.: Chove hoje ou vou praia

Conjuno ( ~ p ~ q )Ex.: No chove hoje e no vou praia

Disjuno exclusiva ( p q )Ex.: Ou chove hoje ou vou praia

Bicondicional ( p q )Ex.: Chove hoje se e somente se vou praia

Condicional ( p q )Ex.: Se chove hoje, ento vou praia

Conjuno ( p ~ q )Ex.: Chove hoje e no vou praia

Bicondicional ( p q )Ex.: Chove hoje se e somente se vou praia.

Disjuno exclusiva ( p q )Ex.: Ou chove hoje ou vou praia

Comece a exercitar a negao de proposies compostas a partir da questo

abaixo:

4. CESPE TRT/17 2009) A negao da proposio O juiz determinou alibertao de um estelionatrio e de um ladro expressa na forma O juiz no

determinou a libertao de um estelionatrio nem de um ladro.

RESOLUO:Observe que a primeira frase pode ser escrita na forma O juiz determinou a

libertao de um estelionatrio E o juiz determinou a libertao de um ladro. Isto

, temos uma proposio do tipo p e q onde:

p: O juiz determinou a libertao de um estelionatrio

q: O juiz determinou a libertao de um ladro

Sabemos que uma proposio do tipo p e q s verdadeira se ambos p e q

forem verdadeiros. Portanto, basta que um dos dois (p ou q), ou ambos, sejam

falsos para que a proposio inteira seja falsa. Com isso, sabemos que para neg-la

basta dizer que o juiz no determinou a libertao de um estelionatrio OU o juiz

no determinou a libertao de um ladro. Reescrevendo: O juiz no determinou a

libertao de um estelionatrio ou de um ladro.

Lembrando da teoria que vimos acima, a negao de p qque leva ao resultado que obtivemos. Item ERRADO.

Resposta: E.

~ p ~ q , o

!1.4 Construo da tabela-verdade de proposies compostas

Alguns exerccios podem exigir que voc saiba construir a tabela-verdade de

proposies compostas. Para exemplificar, veja a proposio A [(~ B)C] . Aprimeira coisa que voc precisa saber que a tabela-verdade desta proposio ter

sempre 2n linhas, onde n o nmero de proposies simples envolvidas. Como s

temos 3 proposies simples (A, B e C), esta tabela ter 23, ou seja, 8 linhas.

Para montar a tabela verdade de uma expresso como A [(~ B)C] ,devemos comear criando uma coluna para cada proposio e, a seguir, colocar

todas as possibilidades de combinaes de valores lgicos (V ou F) entre elas:

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgicode C

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Agora, note que em A [(~ B)C] temos o termo ~B entre parnteses.Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de

~B. Lembre-se que os valores de no-B so opostos aos valores de B (compare as

colunas em amarelo):

Valor lgico

de A

Valor lgico

de B

Valor lgico

de C

Valor lgico

de ~B

V V V F

V V F F

V F V V

!V F F V

F V V F

F V F F

F F V V

F F F V

Agora que j temos os valores lgicos de ~B, e tambm temos os de C,

podemos criar os valores lgicos da expresso entre colchetes: [(~ B)C] . Observeque se trata de uma conjuno (e), que s tem valor lgico V quando ambos os

membros (no caso, ~B e C) so V:

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgicode C

Valor lgicode ~B

Valor lgico

de [(~ B)C]V V V F F

V V F F F

V F V V V

V F F V FF V V F F

F V F F F

F F V V V

F F F V F

Agora que j temos os valores lgicos de A e tambm os valores lgicos de

[(~ B)C] , podemos analisar os valores lgicos da disjuno A [(~ B)C] .Lembre-se que uma disjuno s F quando ambos os seus membros so F

(marquei esses casos em amarelo):

Valorlgico de

A

Valorlgico de

B

Valorlgico de

C

Valorlgico de

~B

Valor lgicode

[(~ B)C]Valor lgico

deA [(~ B)C]

V V V F F V

V V F F F V

!V F V V V V

V F F V F V

F V V F F F

F V F F F F

F F V V V V

F F F V F F

Assim, podemos omitir a 4 e 5 coluna, de modo que a tabela-verdade da

expresso A [(~ B)C] :

Valorlgico de

A

Valorlgico de

B

Valorlgico de

C

Valor lgicode

A [(~ B)C]V V V V

V V F V

V F V V

V F F V

F V V F

F V F F

F F V V

F F F F

Veja que essa tabela nos d os valores lgicos da expresso A [(~ B)C]para todos os possveis valores das proposies simples que a compem (A, B e

C).

1.5 Tautologia e contradio

Ao construir tabelas-verdade para expresses, como fizemos acima,

podemos verificar que uma determinada expresso sempre verdadeira,

independente dos valores lgicos das proposies simples que a compem. Trata-

se de uma tautologia. Por outro lado, algumas expresses podem ser sempre

!falsas, independente dos valores das proposies que a compem. Neste caso,

estaremos diante de uma contradio. Vejamos alguns exemplos:

a) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito e no sou bonito). Pelasimples anlise desse exemplo, j vemos uma contradio (no d para ser bonito e

no ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que

ela falsa para todo valor lgico de p:

Valor lgico de p Valor lgico de ~p Valor lgico dep ~ p

V F F

F V F

Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos

apenas 1 proposio simples (p), e 21 = 2.

b) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito ou no sou bonito). Pelasimples anlise desse exemplo, j vemos uma tautologia (essa frase sempre ser

verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa

tabela, vemos que ela verdadeira para todo valor lgico de p:

Valor lgico de p Valor lgico de ~p Valor lgico dep ~ p

V F V

F V V

Pratique o que discutimos at aqui atravs da questo a seguir.

5. FCC ICMS/SP 2006) Considere as afirmaes abaixo.

I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par.

II. A proposio (10 < 10) (83 = 6) falsa.III. Se p e q so proposies, ento a proposio ( p q) (~ q) uma tautologia. verdade o que se afirma APENAS em:

a) I e II

b) I e III

c) I

!d) II e) III

RESOLUO:I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par.

O nmero de linhas de uma tabela verdade 2n, onde n o nmero deproposies simples. Isto , 2x2x2...x2, n vezes. Este nmero certamente divisvel

por 2, isto , par. Item VERDADEIRO.

II. A proposio (10 < 10) (83 = 6) falsa.Temos uma bicondicional onde a primeira parte falsa (pois 10 maior que a

raz quadrada de 10), e a segunda parte tambm falsa (pois 8 3 = 5). Na tabela-

verdade da bicondicional, veja que esta proposio composta verdadeira quando

temos F F. Item FALSO.III. Se p e q so proposies, ento a proposio ( p q) (~ q) uma tautologia.

Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela verdade desta

proposio. Repare que temos 2 proposies simples (p e q), de modo que a tabela-

verdade da proposio composta ter 22 = 4 linhas. A tabela, construda da

esquerda para a direita, fica assim:

Valorlgico de p

Valor lgicode q

Valor lgicode ~q

Valor lgico de( p q) Valor lgico de( p q) (~ q)V V F V V

V F V F V

F V F V V

F F V V V

De fato a proposio ( p q) (~ q) possui valor lgico V para qualquer valordas proposies simples p e q. Isto , temos uma tautologia. Item VERDADEIRO.

Resposta: B

1.6 Equivalncia de proposies lgicas

!Dizemos que duas proposies lgicas so equivalentes quando elas

possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as

proposies p q e ~ q ~ p so equivalentes.Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compar-las.

Mas intuitivamente voc j poderia ver que elas so equivalentes. Imagine que

p q Se chove, ento vou praia. Sabemos que se a condio (chove) ocorre,necessariamente o resultado (vou praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o

resultado no ocorreu (no vou praia), isso implica que a condio no pode ter

ocorrido (no chove). Isto , podemos dizer que Se no vou praia, ento no

chove. Ou seja, ~ q ~ p .A tabela-verdade de p q

exercitar:

encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para

Valorlgico de

p

Valorlgico de q

Valorlgico de

p qV V V

V F F

F V V

F F V

J a tabela-verdade de ~ q ~ p foi obtida abaixo:Valor

lgico de

p

Valorlgico de q

Valorlgico de

010089

91538

~q

Valorlgico de

~p

Valor lgicode ~ q ~ p

V V F F V

V F V F F

F V F V V

F F V V V

Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que so iguais? Isso

nos permite afirmar que ambas as proposies compostas so equivalentes.

Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:

!Valor lgico

de p

Valor

lgico de q

Valor lgico

de ~p

Valor lgico

de ~p ou q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q igual s duas anteriores (p q e

~q ~p). Assim, essas 3 proposies so equivalentes.

No usei este exemplo toa. Ele cai bastante em concursos, portanto bom

voc gravar: ( p q ), ( ~ q ~ p ) e (~p ou q) so proposies equivalentes!!!Veja as questes abaixo para comear a treinar as equivalncias lgicas:

6. FCC ALESP 2010) Durante uma sesso no plenrio da AssembliaLegislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declarao, dirigindo-se s galerias

da casa:

Se as manifestaes desrespeitosas no forem interrompidas, ento eu nodarei incio votao.

Esta declarao logicamente equivalente afirmao:

a) se o presidente da mesa deu incio votao, ento as manifestaes

desrespeitosas foram interrompidas

b) se o presidente da mesa no deu incio votao, ento as manifestaes

desrespeitosas no foram interrompidas

c) se as manifestaes desrespeitosas forem interrompidas, ento o presidente da

mesa dar incio votao

d) se as manifestaes desrespeitosas continuarem, ento o presidente da mesa

comear a votao

e) se as manifestaes desrespeitosas no continuarem, ento o presidente da

mesa no comear a votao.

RESOLUO:Observe que temos uma condicional ( p q ), onde:

p = As manifestaes desrespeitosas no forem interrompidas

q = Eu no darei incio votao

!Esta uma proposio manjada, pois sabemos que ela equivalente a

~ q ~ p e tambm a ~p ou q. Como ~q eu darei incio votao e ~p asmanifestaes desrespeitosas foram interrompidas, temos:

~ q ~ p : Se eu dei incio votao, ento as manifestaes desrespeitosasforam interrompidas.

~p ou q: As manifestaes desrepeitosas foram interrompidas ou eu no dei incio

votao.

Repare que a alternativa A similar expresso ~ q ~ pacima, sendo este o gabarito.

Resposta: A

que escrevemos

7. ESAF ATRFB 2009) A afirmao: Joo no chegou ou Maria est atrasadaequivale logicamente a:

a) Se Joo no chegou, Maria est atrasada.

b) Joo chegou e Maria no est atrasada.

c) Se Joo chegou, Maria no est atrasada.

d) Se Joo chegou, Maria est atrasada.

e) Joo chegou ou Maria no est atrasada.

RESOLUO:A frase do enunciado pode ser escrita como ~p ou q, onde:

p = Joo chegou

q = Maria est atrasada

Novamente estamos diante de uma proposio manjada, pois sabemos que

~p ou q equivalente a p q e tambm a ~q ~p. Essas duas ltimas frases so,

respectivamente:

- Se Joo chegou, ento Maria est atrasada.

- Se Maria no est atrasada, ento Joo no chegou.

!Veja que a primeira das duas frases acima similar alternativa D, sendo

este o gabarito.

Resposta: D

1.7 Condio necessria e condio suficienteQuando temos uma condicional p q, sabemos que se a condio p

acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que p q seja uma

proposio verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer suficiente para

afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p uma condio suficiente para

q.

Por exemplo, se dissermos Se chove, ento o cho fica molhado,

suficiente saber que chove para afirmarmos que o cho fica molhado. Chover uma

condio suficiente para que o cho fique molhado. Por outro lado, podemos dizer

que sempre que chove, o cho fica molhado. necessrio que o cho fique

molhado para podermos afirmar chove. Portanto, o cho fica molhado uma

condio necessria para podermos dizer que chove (se o cho estivesse seco,

teramos certeza de que no chove). Ou seja, q uma condio necessria para p.

Resumidamente, quando temos uma condicional p q, podemos afirmar que

p suficiente para q, e, por outro lado, q necessria para p.

Por outro lado, quando temos uma bicondicional p q , podemos dizer quep necessria e suficiente para q, e vice-versa. Para a proposio Chove se e

somente se o cho fica molhado ser verdadeira, podemos dizer que preciso

(necessrio) que chova para que o cho fique molhado. No dada outra

possibilidade. E suficiente saber que chove para poder afirmar que o cho fica

molhado. Da mesma forma, suficiente saber que o cho ficou molhado para

afirmar que choveu; e a nica possibilidade de ter chovido se o cho tiver ficado

molhado, isto , o cho ter ficado molhado necessrio para que tenha chovido.

1.8 Proposies abertasProposies abertas so proposies que possuem uma ou mais variveis,

como o exemplo abaixo (do tipo p q):

Se 2X divisvel por 5, ento X divisvel por 5

!Temos a varivel X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X

for igual a 10, teremos:

Se 20 divisvel por 5, ento 10 divisvel por 5

Esta frase verdadeira, pois p V e q V.

Se X = 11, teremos:

Se 22 divisvel por 5, ento 11 divisvel por 5

Esta frase verdadeira, pois p F e q tambm F.

J se X = 12.5, teremos:

Se 25 divisvel por 5, ento 12.5 divisvel por 5

Agora a frase falsa, pois p V e q F!

Portanto, quando temos uma proposio aberta, no podemos afirmar de

antemo que ela verdadeira ou falsa, pois isso depender do valor que as

variveis assumirem.

Trabalhe o conceito de proposies abertas na questo a seguir.

8. FCC ICMS/SP 2006) Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. (x+y)/5 um nmero inteiro.

III. Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000.

verdade que APENAS:

a) I uma sentena aberta

b) II uma sentena aberta

c) I e II so sentenas abertas

d) I e III so sentenas abertas

e) II e III so sentenas abertas

RESOLUO:

Uma sentena aberta aquela que possui uma varivel cujo valor pode

tornar a proposio V ou F. O caso clssico aquele presente na alternativa II.

Dependendo dos valores atribudos s variveis x e y, a proposio pode ser V ou

F. Entretanto, a alternativa I tambm uma sentena aberta. Isto porque,

dependendo de quem for Ele, a proposio pode ser V ou F. Precisamos saber

quem a pessoa referida pelo autor da frase para atribuir um valor lgico.

Resposta: C

!1.9 Argumentos

Veja o exemplo abaixo:

a: Todo nordestino loiro b:

Jos nordestino Concluso:

Logo, Jos loiro.

Temos premissas (a e b) e uma concluso que derivada daquelas

premissas. Isso um argumento: um conjunto de premissas que leva a uma

concluso.

Dizemos que um argumento vlido se, aceitando que as premissas so

verdadeiras, a concluso NECESSARIAMENTE verdadeira. Veja que no nos

interessa aqui questionar a realidade das premissas. Todos ns sabemos que dizer

que todo nordestino loiro uma inverdade. Mas o que importa que, se

assumirmos que todos os nordestinos so loiros, e tambm assumirmos que Jos

nordestino, a concluso lgica que Jos deve NECESSARIAMENTE ser loiro.

Vrias questes nos apresentam um argumento formado por algumas

premissas e uma concluso, e pergunta se este argumento vlido. A receita de

bolo para resoluo dessas questes muito simples, e consiste em:

- tentar forar o argumento a ser invlido (buscar um caso onde todas as premissas

so V e, mesmo assim, a concluso F);

- se conseguirmos, o argumento invlido. Se no conseguirmos, vlido.

Veja isso na questo a seguir:

9. CESPE TSE 2006) Assinale a opo que apresenta um argumento vlido:a) Quando chove, as rvores ficam verdinhas. As rvores esto verdinhas, logo

choveu.

b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e no me senti disposto, logo obterei boas notas mas no me alimentei bem.

c) Se ontem choveu e estamos em junho, ento hoje far frio. Ontem choveu e hoje

fez frio. Logo estamos em junho.

d) Choveu ontem ou segunda-feira feriado. Como no choveu ontem, logo

segunda-feira no ser feriado.

RESOLUO:

!Um argumento vlido quando, ao considerarmos as suas premissas

verdadeiras, a concluso verdadeira. Vamos analisar cada alternativa, buscando

verificar se existe alguma forma de ter as premissas verdadeiras e a concluso

falsa, o que tornaria o argumento invlido:

a) Quando chove, as rvores ficam verdinhas. As rvores esto verdinhas, logo

choveu.

Temos a seguinte premissa: p q. E, a seguir, a concluso: q p. Veja que,

se p for Falsa e q for Verdadeira, a primeira estrutura verdadeira (p q), porm a

segunda (q p) Falsa. Assim, encontramos uma forma da premissa ser verdadeira

e a concluso falsa. Portanto, esse argumento no vlido.

b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e no me senti disposto, logo obterei boas notas mas no me alimentei bem.

p = estudo

q = obtenho boas notas

r = me alimento

s = me sinto disposto

Com isso, temos:

Premissa 1: p q (Se estudo, obtenho boas notas)

Premissa 2: r s (Se me alimento bem, me sinto disposto)

Premissa 3: p e ~s (Ontem estudei e no me senti disposto)

Concluso: q e ~r (logo obterei boas notas mas no me alimentei bem)

Para chegar na concluso, vamos forar todas as premissas a serem

verdadeiras. Para P3 ser V, preciso que p e ~s sejam ambos V ( preciso que s

seja F). Como p V, para P1 ser V preciso que q seja V tambm. Como s F,

para P2 ser V preciso que r seja F tambm.

Assim, sendo q Verdadeira e r Falsa (de modo que ~r V), a concluso "q e

~r" ser obrigatoriamente Verdadeira. Assim, o argumento vlido.

!c) Se ontem choveu e estamos em junho, ento hoje far frio. Ontem choveu e hoje

fez frio. Logo estamos em junho.

Temos a premissa (p e q) r. Observe que se p for V e q for F, r pode ser V

ou F para tornar essa premissa verdadeira. Imaginemos que r V.

A seguir temos a concluso: (p e r) q. Porm assumimos p Verdadeiro, r

Verdadeiro e q Falso. Isto torna essa concluso falsa. Portanto, no temos um

argumento vlido.

d) Choveu ontem ou segunda-feira feriado. Como no choveu ontem, logo

segunda-feira no ser feriado.

Na premissa temos: p ou q. E, na concluso: ~p ~q. Observe que se p for F

e q for V, a premissa atendida (isto , verdadeira). Entretanto, ~p seria V e ~q

seria F, e com isso a concluso ~p ~q no seria atendida (pois seria falsa). Assim,

esse argumento invlido.

Resposta: B.

Chamamos de silogismo o argumento formado por exatamente 2 premissas e

1 concluso, como:

P1: todo nordestino loiro (premissa maior mais geral);

P2: Jos nordestino (premissa menor mais especfica)

Concluso: Logo, Jos loiro.

Sofisma ou falcia um raciocnio errado com aparncia de verdadeiro.

Consiste em chegar a uma concluso invlida a partir de premissas vlidas, ou

mesmo a partir de premissas contraditrias entre si. Por exemplo:

Premissa 1: A maioria dos polticos corrupta.

Premissa 2: Joo poltico.

Concluso: Logo, Joo corrupto.

Veja que o erro aqui foi a generalizao. Uma coisa dizer que a maioria dos

polticos corrupta, outra dizer que todos os polticos so corruptos. No

possvel concluir que Joo corrupto, j que ele pode fazer parte da minoria, isto ,

do grupo dos polticos que no so corruptos.

Observe esta outra falcia:

!Premissa 1: Se faz sol no domingo, ento vou praia.

Premissa 2: Fui praia no ltimo domingo.

Concluso: Logo, fez sol no ltimo domingo.

A primeira premissa do tipo condicional, sendo formada por uma condio

(se faz sol...) e um resultado (ento vou praia). Com base nela, podemos assumir

que se a condio ocorre (isto , se efetivamente faz sol), o resultado

obrigatoriamente tem de acontecer. Mas no podemos assumir o contrrio, isto ,

que caso o resultado ocorra (ir praia), a condio ocorreu. Isto , eu posso ter ido

praia mesmo que no tenha feito sol no ltimo domingo.

Vejamos mais algumas variaes de questes sobre Argumentao Lgica.

Nelas so dadas apenas as premissas do argumento, e so solicitadas as

concluses. Preste bastante ateno, pois essas questes so muito recorrentes

em concursos.

10. FCC TRT/22 2010) Considere um argumento composto pelas seguintespremissas:

- se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento

- se a inflao controlada, ento o povo vive melhor

- o povo no vive melhor

Considerando que todas as trs premissas so verdadeiras, ento, uma concluso

que tornaria o argumento vlido :

a) a inflao controlada

b) no h projetos de desenvolvimento

c) a inflao controlada ou h projetos de desenvolvimento

d) o povo vive melhor e a inflao no controlada

e) se a inflao no controlada e no h projetos de desenvolvimento, ento o

povo vive melhor.

RESOLUO:Veja que as 2 primeiras premissas so proposies compostas, enquanto a

3 uma proposio simples. Para obtermos a concluso, devemos considerar que

todas as premissas so verdadeiras. Nestes casos, melhor partirmos da

proposio simples (3 premissa), cuja anlise sempre mais fcil:

- o povo no vive melhor para esta premissa ser V, preciso que de fato o povo

no viva melhor.

!Visto isso, podemos analisar a 2 premissa, que tambm trata do mesmo

assunto:

- se a inflao controlada, ento o povo vive melhor j vimos que o povo no

vive melhor precisa ser V, de modo que o povo vive melhor F. Assim, para que

esta 2 premissa seja Verdadeira, preciso que a inflao controlada seja F

tambm, pois F F uma condicional com valor lgico V (veja a tabela-verdade da

condicional).

Agora podemos avaliar a 1 premissa:

- se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento vimos

que a inflao controlada F, portanto a inflao no controlada V. Desta

forma, no h projetos de desenvolvimento precisa ser V tambm, para que esta

1 premissa seja Verdadeira.

Assim, vimos que:

- o povo no vive melhor (mas isso por si s no uma concluso, e sim uma

premissa, pois est no enunciado!)

- a inflao no controlada

- no h projetos de desenvolvimento.

Analisando as possibilidades de resposta, vemos que a letra B reproduz esta

ltima frase.

Resposta: B.

11. ESAF AFT 2003) Se no durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo,no estou furioso. Se no estou furioso, no bebo. Logo,

a) no durmo, estou furioso e no bebo

b) durmo, estou furioso e no bebo

c) no durmo, estou furioso e bebo

d) durmo, no estou furioso e no bebo

e) no durmo, no estou furioso e bebo

RESOLUO:

Observe que o enunciado nos apresenta as premissas de um argumento, e

solicita as concluses do mesmo. Repare que todas as premissas so proposies

compostas. Aqui o mtodo de resoluo consiste em:

!- chutar o valor lgico (V ou F) de alguma das proposies simples;

- verificar quais seriam os valores lgicos das demais proposies, de modo a tornar

todas as premissas Verdadeiras;

- se houver alguma falha lgica, voltar ao primeiro passo e chutar outro valor lgico

para uma proposio simples.

Exemplificando, vamos comear chutando que no durmo V (e, portanto,

durmo F). Com isso, vejamos o que preciso fazer para forar as premissas a

serem verdadeiras:

- Se no durmo, bebo como no durmo V, necessrio que bebo seja V

para que esta condicional seja verdadeira. Consequentemente, no bebo F;

- Se estou furioso, durmo como durmo F, preciso que estou furioso seja F

para que esta condicional seja verdadeira. Consequentemente, no estou furioso

V;

- Se durmo, no estou furioso veja que no estou furioso V e durmo F.

Assim, essa condicional verdadeira.

- Se no estou furioso, no bebo aqui vemos que no estou furioso V e no

bebo F, tornando essa condicional Falsa!!

Veja que no foi possvel tornar todas as premissas verdadeiras. Esta falha

ocorreu porque o nosso chute (no durmo V) estava errado. Vamos chutar,

ento, que no durmo F, e que durmo V. Agora devemos verificar se todas as

premissas podem ser tornadas verdadeiras:

- Se durmo, no estou furioso como durmo V, ento no estou furioso deve

ser V para esta premissa ser verdadeira. Consequentemente, estou furioso F;

- Se no estou furioso, no bebo como no estou furioso V, ento no bebo

deve ser V, e assim bebo F;

- Se estou furioso, durmo estou furioso F, de modo que esta premissa

Verdadeira.

- Se no durmo, bebo no durmo F, de modo que esta premissa Verdadeira.

Agora sim foi possvel tornar todas as premissas verdadeiras. Para isso,

temos que durmo, no estou furioso e no bebo so proposies Verdadeiras,

sendo estas as nossas concluses deste argumento. Temos isto na letra D:

!d) durmo, no estou furioso e no bebo

Resposta: D

12. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere as seguintes afirmaes:I. Se ocorrer uma crise econmica, ento o dlar no subir.

II. Ou o dlar subir, ou os salrios sero reajustados, mas no ambos.

III. Os salrios sero reajustados se, e somente se, no ocorrer uma crise

econmica.

Sabendo que as trs afirmaes so verdadeiras, correto concluir que,

necessariamente,

a) o dlar no subir, os salrios no sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica.

b) o dlar subir, os salrios no sero reajustados e ocorrer uma crise econmica.

c) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e ocorrer uma crise econmica.

d) o dlar subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise econmica.

e) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica.

RESOLUO:

Resumindo as premissas, temos:

I. Crise dlar no sobe

II. Ou dlar sobe ou salrios reajustados

III. Salrios reajustados no criseVamos chutar que ocorreu uma crise, isto , a primeira proposio simples do

item I Verdadeira.

Como o item I uma condicional (p q), caso a condio p seja V, a

conseqncia q deve ser V tambm. Portanto, o dlar no sobe.

Sabendo disso, podemos partir para o item II. Note que a primeira parte do

item II F (pois o dlar no sobe). Isso obriga a segunda parte ser V (isto , os

salrios so reajustados), para que a afirmao II seja verdadeira.

Vejamos agora o item III. Note que a primeira parte V (salrios

reajustados), mas a segunda F (pois assumimos que ocorreu a crise). Isto um

absurdo, pois torna a afirmao III falsa, e sabemos que ela verdadeira. Onde est

o erro? Na hiptese que chutamos!

!Devemos ento chutar o oposto, isto , que no ocorreu uma crise. Assim, a

primeira parte do item I F, de modo que a segunda parte (dlar no sobe) pode

ser V ou F e ainda assim a afirmao I continua verdadeira.

Por outro lado, a segunda parte do item III V (no crise), o que obriga a

primeira parte a ser V (salrios reajustados) para que a afirmao III seja

verdadeira.

Com isso, vemos que a segunda parte do item II V (salrios reajustados), o

que obriga a primeira parte a ser F (portanto, o dlar no sobe) para que a

afirmao II seja verdadeira. Sabendo disso, podemos voltar no item I e verificar que

a sua segunda parte V, o que mantm a afirmao I verdadeira.

Repare que agora conseguimos fazer com que as 3 afirmaes fossem

verdadeiras, como disse o enunciado. Portanto, no ocorreu uma crise, os salrios

so reajustados e o dlar no sobe.

Resposta: E

so:

Recapitulando, as informaes mais importantes sobre Argumentos Lgicos

- para descobrir se um argumento VLIDO, devemos tentar for-lo a ser invlido.

Isto , buscar uma combinao de valores lgicos que tornem todas as premissas

verdadeiras e, ao mesmo tempo, a concluso falsa. Se no conseguirmos, o

argumento VLIDO;

- para obter as CONCLUSES de um argumento, devemos considerar que todas as

premissas so verdadeiras e, com isso, descobrir os valores lgicos das

proposies simples.

Preste muita ateno na diferena de resoluo entre as questes 10 e 11.

Na questo 10, uma das premissas era uma proposio simples, o que simplifica

muito a resoluo. Basta partirmos da proposio simples e desvendar os valores

lgicos das demais proposies. Na questo 11, todas as premissas so

proposies compostas, o que nos obriga a usar o mtodo do chute. Estes so os

dois mtodos mais comuns de resoluo de questes de argumentao onde

pedida a concluso. Na prxima aula veremos mais um mtodo especfico (e mais

complexo), cobrado em poucas questes.

Agora hora de praticar tudo o que vimos at aqui, resolvendo uma bateria

de questes.

!2. RESOLUO DE QUESTES13. FCC BAHIAGS 2010) Se a soma dos dgitos de um nmero inteiro n divisvel por 6, ento n divisvel por 6. Um valor de n que mostra ser falsa a frase

acima :

a) 30

b) 33

c) 40

d) 42

e) 60

RESOLUO:Estamos diante de uma proposio aberta, pois temos uma varivel (n) que,

dependendo de seu valor, pode tornar a proposio falsa ou verdadeira.

Observe que a proposio do enunciado uma condicional, isto , uma frase

do tipo p q. Sabemos que s h uma forma da condicional ser falsa: se a

condio (p) for verdadeira, mas ainda assim o resultado (q) for falso (se ficou em

dvida, volte na tabela-verdade da condicional). Com isso, vamos analisar as

alternativas:

n = 30: a soma de seus dgitos no divisvel por 6 (3 + 0 = 3), o que torna a

condio p Falsa. Como a condio falsa, o resultado (q) pode ser

verdadeiro ou falso que a frase continua verdadeira. A ttulo de curiosidade,

note que neste caso q Verdadeira (pois 30 divisvel por 6).

n = 33: a soma dos seus dgitos divisvel por 6 (3+3=6), ou seja, p

Verdadeira. Entretanto, o resultado q Falso, pois 33 no divisvel por 6.

Portanto, n = 33 torna a proposio composta Falsa. Este o gabarito.

n = 40: neste caso, p Falsa e q Falsa. Com isso, a frase Verdadeira

(para espanto daqueles no acostumados com o estudo da Lgica)

n = 42: neste caso, p e q so Verdadeiras, tornando p q Verdadeira

n = 60: idem ao anterior.

Resposta: B.

14. FCC TJ/SE 2009) Considere as seguintes premissas:p : Trabalhar saudvel

q : O cigarro mata.

A afirmao Trabalhar no saudvel" ou "o cigarro mata FALSA se

!a) p falsa e ~q falsa.

b) p falsa e q falsa.

c) p e q so verdadeiras.

d) p verdadeira e q falsa.

e) ~p verdadeira e q falsa.

RESOLUO:

Veja que Trabalhar no saudvel a negao da proposio p, isto , ~p.

J o cigarro mata a prpria proposio q. Portanto, o exerccio nos deu uma

proposio ~p ou q.

Vimos que uma disjuno (ou) s falsa se ambas as proposies que a

constituem sejam falsas. Portanto, vemos que a disjuno do enunciado ser falsa

quando ~p for falsa e q for falsa. Entretanto, para que ~p seja falsa, o seu oposto

(isto , p) deve ser verdadeira.

Assim, Trabalhar no saudvel ou o cigarro mata ser falsa quando p for

verdadeira e q for falsa.

Resposta: D

15. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere a afirmao:Pelo menos um ministro participar da reunio ou nenhuma deciso ser tomada.

Para que essa afirmao seja FALSA:

a) suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunio e duas decises

tenham sido tomadas.

b) suficiente que dois ministros tenham participado da reunio e alguma deciso

tenha sido tomada.

c) necessrio e suficiente que alguma deciso tenha sido tomada,

independentemente da participao de ministros na reunio.

d) necessrio que nenhum ministro tenha participado da reunio e duas decises

tenham sido tomadas.

e) necessrio que dois ministros tenham participado da reunio e nenhuma

deciso tenha sido tomada.

RESOLUO:Essa afirmao do enunciado uma disjuno (ou). Ela s ser falsa se

ambas as proposies que a compem sejam falsas. Vamos, portanto, obter a

negao de cada uma delas separadamente:

!p: Pelo menos um ministro participar da reunio

Como negar uma proposio com Pelo menos um? Basta usar Nenhum.

Assim, temos: Nenhum ministro participar da reunio.

q: nenhuma deciso ser tomada.

Podemos negar essa proposio dizendo: Pelo menos uma deciso ser

tomada.

Como queremos que ambas as proposies sejam falsas, basta que a

conjuno abaixo seja verdadeira:

Nenhum ministro participar da reunio e pelo menos uma deciso ser tomada.

Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunio e, mesmo

assim, 1 ou mais decises foram tomadas, isto suficiente para podermos afirmar

que a afirmao FALSA. A alternativa A cita o caso em que sabemos que nenhum

ministro participou e, ainda assim, 2 decises foram tomadas, o que suficiente

para desmentir a afirmao do enunciado.

Resposta: A

16. CESPE Polcia Federal 2009) As proposies [A (~ B)] (~ A) e[(~ A) B] (~ A)RESOLUO:

so equivalentes.

Duas proposies so equivalentes quando possuem a mesma tabela-

verdade. Portanto, devemos construir a tabela verdade de cada uma delas.

Inicialmente, veja que ambas possuem apenas 2 proposies simples (A e

B). O nmero de linhas da tabela-verdade igual a 2n, onde n o nmero deproposies simples (neste caso, n = 2). Portanto, teremos 4 linhas em cada tabela.

Vamos comear montando a tabela para [A (~ B)] (~ A) . Devemos seguiros passos abaixo:

1. Escrever todas as possveis combinaes de valores lgicos (V ou F) para A e B:

!Valor lgico

de AValor lgico

de B

V V

V F

F V

F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de ~B (ser o oposto do valor

lgico de B):

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgicode ~B

V V F

V F V

F V F

F F V

3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de A (~ B) . Como trata-sede uma disjuno (ou), ela s falsa quando A e (~B) so ambos falsos:

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgicode ~B

Valor

de A (~ B)V V F V

V F V V

F V F F

F F V V

4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de ~A (sero o oposto de A):

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgicode ~B

Valorde A (~ B) Valor lgicode ~A

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V V

!

5. Inserir a ltima coluna, colocando os valores lgicos de [A (~ B)] (~ A) . Por setratar de uma condicional, ela s ser falsa quando a condio ([A (~ B)] ) for falsae o resultado (~ A) verdadeiro:

Valorlgico de

A

Valorlgico de

B

Valorlgico de

~B

Valor

de A (~ B) Valorlgico de~A

[A (~ B)] (~ A)V V F V F F

V F V V F F

F V F F V V

F F V V V V

Podemos obter a tabela verdade de [(~ A)B] (~ A)passos. Tente mont-la. O resultado ser a tabela abaixo:

seguindo os mesmos

Valorlgico de

A

Valorlgico de

B

Valorlgico de

~A

Valor de(~ A)B Valorlgico de

~A

Valor de[(~ A) B] (~ A)

V V F F F F

V F F F F F

F V V V V V

F F V F V V

Note que as tabelas-verdade de [A (~ B)] (~ A) igual de[(~ A) B] (~ A) . Portanto, essas proposies so equivalentes.Resposta: C (certo).

17. FCC - TRT/2 2008) Dadas as proposies simples p e q, tais que p verdadeira e q falsa, considere as seguintes proposies compostas:

(1) p q ; (2) ~ p q ; (3) ~ (p ~ q) ; (4) ~ (p q)Quantas dessas proposies compostas so verdadeiras?

a) nenhuma

b) apenas uma

!c) apenas duas

d) apenas trs

e) quatro.

RESOLUO:

Vou resolver essa questo de duas formas: mais lentamente, usando a lgica

propriamente dita em cima de um exemplo, e mais rapidamente usando a tabela

verdade em cima de proposies abstratas p e q.

Vamos comear pela mais lenta. Vamos analisar as 4 proposies

compostas do enunciado atravs do exemplo:

p: Chove amanh

q: Eu vou escola

O exerccio disse que p verdadeira (portanto, efetivamente chove amanh),

e q falsa (isto , eu no vou escola).

(1) p q (p e q) ser: Chove amanh e eu vou escola. Sabemos que, nestecaso (operador lgico e), a frase inteira s ser verdadeira se ambas as

proposies que a compem forem verdadeiras. Como o exerccio disse que q

Falsa (isto , eu no vou escola), essa proposio composta falsa. Ou seja:

p q F.(2) ~ p q (no-p implica q) ser: Se no chove amanh, ento eu vou escola.Como sabemos que p verdadeira (chove amanh), isto significa que ~ p (no

chove amanh) Falsa. Por outro lado, sabemos que q falsa (no vou escola).

Ora, sabemos que este operador lgico ( ) s ser falso em um caso: quando acondio (~ p ) for verdadeira e a conseqncia (q) no ocorrer, isto , for falsa.

Como a condio falsa, podemos dizer que esta proposio ~ p qlgico Verdadeiro.

tem valor

(3) ~ (p ~ q) , isto , no (p ou no-q). Aqui precisamos ir por etapas. Veja primeiroo que est entre parnteses: Chove amanh ou eu no vou escola. O no que

se encontra de fora do parnteses a negao desta frase. Sabemos que para

negar uma proposio composta com ou, nenhuma das proposies simples que a

compem deve ocorrer. Isto , No chove amanh e eu vou escola. Esta a

!frase representada por ~ (p ~ q) . Como se trata de uma conjuno (e), ela sser verdadeira se ambos os lados forem verdadeiros. Entretanto, veja que o lado

esquerdo falso (pois, de fato, chove amanh), e o lado direito tambm falso (pois

sabemos que eu no vou escola). Logo, a proposio composta Falsa.

(4) ~ (p q) , isto , no (p se e somente q). O que est dentro dos parnteses Chove amanh se e somente se eu vou escola. Para negar essa bicondicional,

devemos dizer apenas um lado dela acontece. Fazemos isso com um ou

exclusivo, isto , Ou chove amanh ou eu vou escola. Isto ~ (p q) . Estaproposio composta verdadeira se um de seus lados for verdadeiro e o outro for

falso. Sabemos que chove amanh, portanto o primeiro lado verdadeiro, e

tambm sabemos que eu no vou escola, portanto o lado direito falso, o que

torna a proposio composta Verdadeira.

Assim, so verdadeiras as proposies 2 e 4.

Resposta: C.

Vejamos a soluo mais rpida, atravs da tabela verdade. Do enunciado,

sabemos que p V e q F.

(1) p q V apenas se p e q so V. Como q F, ento p q Falsa.(2) ~ p q F apenas se ~ p V e q F. Porm, como p V, ento ~ p F. Comisso, a implicao ~ p q Verdadeira.(3) ~ (p ~ q) . Veja que a negao da disjuno p ~ q a conjuno ~ p q .Essa conjuno s V se ambos os lados so V. Como q F, ento essa

expresso Falsa.

(4) ~ (p q) . A negao da bicondicional p q o ou exclusivo p q . Estaproposio V se uma das proposies simples V e a outra F. Como p V e q

F, podemos afirmar que pq verdadeiro.18. FMP/RS TCE/MT 2011) Se vero, ento vai esquentar. Se vai esquentar,ento chove. Se chove, ento Manoel no vai praia. Se Manoel no vai praia,

!ento Maria fica em casa. Se Maria fica em casa, ento a me de Maria faz doces.

A me de Maria no fez doces. Logo:

a) Choveu

b) Manoel foi praia

c) Maria ficou em casa

d) Esquentou

e) vero

RESOLUO:Veja que nos so fornecidas as premissas de um argumento e pedida a

concluso (Logo...). Dentre as premissas, temos uma srie de condicionais (p q)

e uma proposio simples. Lembre-se que, para obter a concluso, devemos

considerar que todas as premissas so verdadeiras. E lembre-se ainda que uma

condicional s falsa se p V e q F.

Nossa anlise parte sempre da proposio simples: A me de Maria no fez

doces. Essa proposio tambm deve ser verdadeira, portanto sabemos que a me

de Maria efetivamente no fez doces. Com isto em mos, vamos analisar as

proposies anteriores. Vamos comear analisando a ltima condicional, pois ela

faz referncia a algo que j sabemos (me de Maria):

Se Maria fica em casa, ento a me de Maria faz doces.

Sabemos que a segunda parte dessa proposio (a me da Maria faz

doces) falsa. Portanto, a condio (Maria fica em casa) precisa ser falsa

tambm, para que a condicional p q continue verdadeira. Com isso, descobrimos

que Maria no fica em casa.

Se Manoel no vai praia, ento Maria fica em casa.

Novamente vemos que a segunda parte (Maria fica em casa) falsa, o que

obriga a primeira parte (Manoel no vai praia) a ser falsa tambm, para manter a

condicional p q verdadeira. Assim, sabemos que Manoel vai praia.

Se chove, ento Manoel no vai praia.

De novo, vemos que q F, o que obriga p a ser F tambm. Portanto, no

chove.

!Se vai esquentar, ento chove.

Novamente, q F, obrigando p a ser F. Isto , no vai esquentar.

Se vero, ento vai esquentar.

Aqui tambm q F, obrigando p a ser F tambm. Assim, no vero.

Assim, conclumos que:

- Maria no fica em casa

- Manoel vai praia alternativa B!

- no chove

- no vai esquentar

- no vero

Resposta: B.

19. FCC TCE-MG 2007) Considere como verdadeiras as seguintes premissas:

Se Alfeu no arquivar os processos, ento Benito far a expedio de

documentos.

Se Alfeu arquivar os processos, ento Carminha no atender o pblico.

Carminha atender o pblico.

Logo, correto concluir que:

a) Alfeu arquivar os processos.

b) Alfeu arquivar os processos ou Carminha no atender o pblico.

c) Benito far a expedio de documentos.

d) Alfeu arquivar os processos e Carminha atender o pblico.

e) Alfeu no arquivar os processos e Benito no far a expedio de documentos.

RESOLUO:

Temos 2 condicionais (p q) e uma proposio simples (Carminha atender

o pblico) funcionando como premissas deste argumento. Esta ltima j nos d

uma informao valiosa: de fato Carminha atender o pblico.

Sabendo disso, podemos voltar na proposio anterior:

Se Alfeu arquivar os processos, ento Carminha no atender o pblico.

Como a segunda parte desta condicional Falsa (pois Carminha atender o

pblico), a primeira parte deve ser Falsa tambm, para manter a condicional p q

verdadeira. Portanto, Alfeu no arquivar os processos. Vejamos a primeira

condicional do enunciado:

! Se Alfeu no arquivar os processos, ento Benito far a expedio de

documentos.

Como a primeira parte desta condicional verdadeira, a segunda tambm

deve ser. Portanto, Benito far a expedio de documentos.

Assim, descobrimos que:

- Alfeu no arquivar os processos

- Benito far a expedio de documentos.

A alternativa C reproduz esta ltima afirmao.

Resposta: C.

20. FDC Cmara Petrpolis 2010) Dos enunciados abaixo, o que est deacordo com a sentena Se no chorou ento no mamou, ou uma sentena

equivalente a

esta, :

a) o problema est mal formulado.

b) Paulo e Vitor mamaram porque um deles no chorou;

c) crianas choronas ficam gordas;

d) se Pedro no chorou ento ele mamou;

e) se Vera mamou ento ela chorou.

RESOLUO:

Temos um condicional p q no enunciado, onde:

p: No chorou

q: No mamou

Sabemos que uma sentena equivalente a esta : ~q ~p. Veja que:

~p: Chorou

~q: Mamou

Portanto, ~q ~p pode ser enunciada como Se mamou, ento chorou.

Note que a letra E segue essa linha: Se Vera mamou ento ela chorou.

Resposta: E

21. CESPE Polcia Federal 2009) Independentemente dos valores lgicosatribudos s proposies A e B, a proposio [(A B) (~ B)] (~ A)somente o valor lgico F.

tem

!RESOLUO:

Uma proposio que Falsa em todos os casos chamada de contradio.

Para descobrir se a proposio do enunciado uma contradio, devemos montar a

sua tabela-verdade. Vamos novamente seguir os passos:

1. Escrever todas as possveis combinaes de valores lgicos (V ou F) para A e B:

Valor lgicode A

Valor lgicode B

V V

V F

F V

F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de A Bquando A V e B F):

(que s falso

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgico

de A BV V V

V F F

F V V

F F V

3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de~ B (que o oposto do

valor lgico de B):

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgico

de A B Valor lgicode ~BV V V F

V F F V

F V V F

F F V V

!4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de [(A B) (~ B)] , que uma conjuno (e), sendo verdadeira apenas quando ambos os membros so

verdadeiros:

Valor lgicode A

Valor lgicode B

Valor lgico

de A B Valor lgicode ~B Valor lgico de[(A B) (~ B)]V V V F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

5. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de (oposto dos valores de A):

Valorlgico de

A

Valorlgico de

B

Valorlgico de

A BValor lgico

de ~BValor lgico de[(A B) (~ B)] Valorlgico de

~A

V V V F F F

V F F V F F

F V V F F V

F F V V V V

6. Inserir uma ltima coluna com os valores lgicos de [(A B) (~ B)] (~ A) ,que uma condicional, portanto s falsa quando o primeiro membro V e o

segundo F:Valorlgico

de A

Valorlgico

de B

Valorlgico

de

A BValorlgico

de ~B

Valor lgico de

[(A B01008

99153

8) (~ B)]

Valorlgico

de ~A

Valor lgico de

[(A B) (~ B)] (~ A)V V V F F F V

V F F V F F V

F V V F F V V

F F V V V V V

!possui valor Verdadeiro para

Observe que a expresso [(A B) (~ B)] (~ A)qualquer valor lgico de A e de B. Portanto, no se trata de uma contradio, mas

sim de uma tautologia. Item ERRADO.

Resposta: E

22. FCC ISS/SP 2007) Considere a seguinte proposio:Se um Auditor-Fiscal Tributrio no participa de projetos de aperfeioamento, ento

ele no progride na carreira.

Essa proposio tautologicamente equivalente proposio:

(A) No verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira ou

ele participa de projetos de aperfeioamento.

(B) Se um Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento, ento

ele progride na carreira.

(C) No verdade que, um Auditor-Fiscal Tributrio no participa de projetos de

aperfeioamento e no progride na carreira.

(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira ou ele participa de

projetos de aperfeioamento.

(E) Um Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento e progride

na carreira.

RESOLUO:Considere as duas proposies simples abaixo:

p = Auditor-Fiscal Tributrio no participa de projetos de aperfeioamento

q = Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira.

Sendo assim, a frase do enunciado a condicional p q. Esse o caso mais

manjado, e voc deve lembrar que as proposies ~ q ~ p e ~p ou q soequivalentes a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas ltimas. Antes disso,

precisamos saber as negaes simples ~p e ~q:

~p Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento

~q Auditor-Fiscal Tributrio progride na carreira

Desse modo, temos:

~ q ~ p Se um Auditor-Fiscal Tributrio progride na carreira, ento ele participade projetos de aperfeioamento.

!~p ou q Um Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento ou

no progride na carreira.

Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase que

escrevemos acima:

(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira ou ele participa de

projetos de aperfeioamento.

Aqui voc poderia dizer: a letra D tem uma disjuno exclusiva, e no a

disjuno inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado com a disjuno

exclusiva. Analisando as demais alternativas de resposta, voc no encontraria

nenhuma parecida com ~ q ~ p ou com (~p ou q). Assim, s resta aceitar que aFCC est considerando que a expresso ou..., ou... da letra D refere-se a uma

disjuno inclusiva, e no bicondicional.

Resposta: D

23. FCC SEFAZ/SP 2009) Uma empresa mantm a seguinte regra em relao aseus funcionrios:

Se um funcionrio tem mais de 45 anos de idade, ento ele dever, todo ano,

realizar pelo menos um exame mdico e tomar a vacina contra a gripe.

Considerando que essa regra seja sempre cumprida, correto concluir que,

necessariamente, se um funcionrio dessa empresa:

a) anualmente realiza um exame mdico e toma a vacina contra a gripe, ento ele

tem mais de 45 anos de idade.

b) tem 40 anos de idade, ento ele no realiza exames mdicos anualmente ou no

toma a vacina contra a gripe.

c) no realizou nenhum exame mdico nos ltimos dois anos, ento ele no tem 50

ou mais anos de idade.

d) tem entre 55 e 60 anos de idade, ento ele realiza um nico exame mdico por

ano, alm de tomar a vacina contra a gripe.

e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames mdicos nos ltimos dois anos,

ento ele tem pelo menos 47 anos de idade.

RESOLUO:A condicional do enunciado :

Funcionrio tem 45 ou mais faz exame E toma vacina

!Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionrios com 45 ou mais anos

devem fazer exame e tomar vacina todo ano. J quanto aos funcionrios com

menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer ou no exame, e tomar ou

no a vacina.

Se uma pessoa no fez exame, ela no pode ter mais de 45 (pois se tivesse,

deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, voc deve concordar que a

frase abaixo correta:

"Se um funcionrio no realizou exame, ento ele no tem 45 ou mais anos".

(da mesma forma, poderamos dizer que "se um funcionrio no tomou vacina,

ento ele no tem 45 ou mais anos").

Entretanto, essa alternativa no aparece entre as opes de respostas. Mas

temos uma parecida na letra C:

"se um funcionrio no realizou exame, ento ele no tem 50 ou mais anos"

Se voc concordou com a frase anterior, deve concordar com essa tambm.

Isso porque se algum no tem 45 ou mais anos, esse mesmo algum tambm no

tem 50 ou mais anos. Isto , podemos garantir que uma pessoa que no fez exame

TEM MENOS DE 50 ANOS, at porque poderamos garantir que esta pessoa tem

menos de 45 anos.

Resposta: C.

24. FCC SEFAZ/SP 2010) Considere as seguintes premissas:p: Estudar fundamental para crescer profissionalmente.

q: O trabalho enobrece.

A afirmao Se o trabalho no enobrece, ento estudar no fundamental para

crescer profissionalmente , com certeza, FALSA quando:

a) p falsa e q falsa.

b) p verdadeira e q verdadeira.

c) p falsa e q verdadeira.

d) p verdadeira e q falsa.

e) p falsa ou q falsa.

RESOLUO:

!Veja que a afirmao dada pelo enunciado : Se no-q, ento no-p. S h

1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condio (no-q) for Verdadeira, porm

o resultado (no-p) for Falso.

Para que no-q seja Verdadeira, a sua negao (q) deve ser Falsa. E para

que no-p seja Falsa, a sua negao (p) deve ser Verdadeira.

Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa.

Resposta: D

25. FCC TCE/SP 2009) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor doTribunal de Contas do Estado de So Paulo Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e

Esmeralda foram convocados para uma reunio em que se discutiria a

implantao de um novo servio de telefonia. Aps a realizao dessa reunio,

alguns funcionrios do setor fizeram os seguintes comentrios:

Se Divino participou da reunio, ento Esmeralda tambm participou;

Se Divino no participou da reunio, ento Corifeu participou;

Se Benivaldo ou Corifeu participaram, ento Amarilis no participou;

Esmeralda no participou da reunio.

Considerando que as afirmaes contidas nos quatro comentrios eram

verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, alm de Esmeralda, no

participaram de tal reunio

a) Amarilis e Benivaldo.

b) Amarilis e Divino.

c) Benivaldo e Corifeu.

d) Benivaldo e Divino.

e) Corifeu e Divino.

RESOLUO:

Repare que o exerccio nos repassou 4 afirmaes verdadeiras (premissas).

Destas, 1 uma proposio simples (Esmeralda no participou da reunio),

enquanto as outras so condicionais, isto , proposies compostas do tipo se...,

ento .... Para resolver, partimos da proposio simples, pois ela j nos d uma

informao por si s: Esmeralda faltou reunio.

A seguir, vamos analisar a primeira frase, pois ela envolve Esmeralda (e j

sabemos que ela faltou):

!- Se Divino participou da reunio, ento Esmeralda tambm participou.

Como sabemos que Esmeralda tambm participou F, ento Divino

participou deve ser F tambm para essa condicional ser Verdadeira. Portanto,

Divino no participou V.

Sabendo que Divino tambm no participou, podemos analisar a 2 frase:

- Se Divino no participou da reunio, ento Corifeu participou.

Como sabemos que Divino no participou V, ento Corifeu participou

precisa ser V tambm.

Partindo para a ltima frase:

- Se Benivaldo ou Corifeu participaram, ento Amarilis no participou.

Como Corifeu participou V, ento Benivaldo ou Corifeu participaram

obrigatoriamente V. Dessa forma, Amarlis no participou precisa ser V tambm

para que a condicional acima seja verdadeira.

Assim, temos certeza que Esmeralda, Amarilis e Divino no participaram.

Resposta: B.

26. FCC TCE/SP 2008) Argemiro, Bonifcio, Calixto, Dalila e Esmeralda soformados em Engenharia de Computao e sobre as datas de concluso de seus

cursos foram feitas as seguintes afirmaes:

Se Argemiro concluiu seu curso aps Bonifcio ter concludo o dele, ento Dalila e

Esmeralda concluram seus cursos no mesmo ano.

Se Dalila e Esmeralda concluram seus cursos no mesmo ano, ento Calixto

concluiu o seu antes que Bonifcio conclusse o dele.

Se Calixto concluiu seu curso antes de Bonifcio ter concludo o dele, ento

Argemiro concluiu o seu antes de Dalila ter concludo o dela.

Considerando que as trs afirmaes so verdadeiras e sabendo que Argemiro

NO concluiu seu curso antes de Dalila ter concludo o dela, ento verdade que

Argemiro concluiu seu curso:

!a) antes que Bonifcio conclusse o dele, alm de Dalila e Esmeralda terem

concludo os seus em anos distintos.

b) aps Bonifcio ter concludo o dele, alm de Dalila e Esmeralda terem concludo

os seus no mesmo ano.

c) no mesmo ano em que Calixto concluiu o seu e antes que Bonifcio conclusse o

dele.

d) aps Bonifcio ter concludo o dele e Calixto concluiu o seu antes que Bonifcio

conclusse o dele.

e) antes que Dalila conclusse o dela e Calixto concluiu o seu antes que Bonifcio

conclusse o dele.

RESOLUO:Veja que o exerccio apresenta 3 condicionais (se..., ento...) e uma

proposio simples, que a afirmao: Argemiro no concluiu seu curso antes de

Dalila ter concludo o dela.

O enunciado diz ainda que as trs condicionais so verdadeiras. Para

analis-las, precisamos lembrar que a nica forma de uma condicional ser falsa

quando a condio (se...) ocorre e a conseqncia (ento ...) no ocorre. Nos

demais casos a condicional permanece verdadeira.

Como sabemos que Argemiro no se formou antes de Dalila, vamos comear

analisando a ltima condicional:

Se Calixto concluiu seu curso antes de Bonifcio ter concludo o dele, ento

Argemiro concluiu o seu antes de Dalila ter concludo o dela.

Note que Argemiro concluiu antes de Dalila F, pois j sabemos que

Argemiro no concluiu antes de Dalila. Se a conseqncia falsa, ento a condio

precisa ser F (no pode ter ocorrido) para a condicional ser verdadeira. Assim,

Calixto no concluiu seu curso antes de Bonifcio.

Com essa informao em mos, vamos analisar a seguinte condicional:

Se Dalila e Esmeralda concluram seus cursos no mesmo ano, ento Calixto

concluiu o seu antes que Bonifcio conclusse o dele.

Calixto concluiu o seu antes que Bonifcio F, pois Calixto no concluiu

antes que Bonifcio. Portanto, Dalila e Esmeralda concluram seus cursos no

!mesmo ano precisa ser F. Assim, Dalila e Esmeralda no se formaram no mesmo

ano.

Podemos verificar agora a primeira frase:

Se Argemiro concluiu seu curso aps Bonifcio ter concludo o dele, ento Dalila e

Esmeralda concluram seus cursos no mesmo ano.

Dalila e Esmeralda concluram seus cursos no mesmo ano F, obrigando a

condio Argemiro concluiu seu curso aps Bonifcio a ser tambm F. Assim,

Argemiro no se formou aps Bonifcio.

Resumindo as informaes que obtivemos at aqui:

- Argemiro no se formou antes de Dalila

- Calixto no se formou antes de Bonifcio

- Dalila e Esmeralda no se formaram juntas

- Argemiro no se formou aps Bonifcio

Para facilitar a anlise, podemos colocar as 4 frases acima no sentido

positivo*. Acompanhe:

- Argemiro se formou aps Dalila

- Calixto se formou aps Bonifcio

- Dalila e Esmeralda se formaram em anos distintos

- Argemiro se formou antes de Bonifcio

Note que a letra A reproduz a ltima e penltima frases acima, sendo o

gabarito.

Resposta: A.* Obs.: aqui h uma impropriedade, pois A no se formou antes de B equivalentea A se formou junto ou aps B, e no simplesmente a A se formou aps B (que

foi o que a FCC considerou). De qualquer forma, no vamos discutir com a banca!

27. CESPE Polcia Federal 2009) Considere as proposies A, B e C a seguir.A: Se Jane policial federal ou procuradora de justia, ento Jane foi aprovada em

concurso pblico.

B: Jane foi aprovada em concurso pblico.

C: Jane policial federal ou procuradora de justia.

!Nesse caso, se A e B forem V, ento C tambm ser V.

RESOLUO:

Temos um argumento com as premissas A e B, e o enunciado pergunta se a

concluso pode ser C. Devemos partir da premissa que uma proposio simples

(B).

Se B V, isto significa que Jane efetivamente foi aprovada em concurso

pblico. A proposio A uma condicional (p q). Sabemos que q V (Jane foi

aprovada em concurso). Quanto a p (Jane policial ou procuradora), nada podemos

afirmar. Isto porque p pode ser V ou F que, mesmo assim, a proposio A ser

verdadeira. Lembre-se que uma condicional s falsa quando a condio (p) V e

o resultado (q) F. Portanto, no podemos afirmar se Jane ou no policial ou

procuradora. Item ERRADO

Resposta: E.

28. FCC BACEN 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a

ser superada.

Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero

fantasiosos.

Os supervits sero fantasiosos.

Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada.

b) As metas de inflao so irreais ou os supervits so fantasiosos.

c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.

d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.

e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

superada.

RESOLUO:

Novamente temos 2 condicionais (p q) e uma proposio simples (Os

supervits sero fantasiosos) funcionando como premissas de um argumento.

Devemos assumir que todas as premissas so verdadeiras para obter a concluso.

Tendo em mente a informao dada pela proposio simples, vamos analisar as

condicionais:

! Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero

fantasiosos.

Sabemos que os supervits primrios no sero fantasiosos F, pois a

proposio simples nos disse que os supervits sero fantasiosos). Assim, as

metas de inflao so reais precisa ser F para que a condicional p q continue

verdadeira. Portanto, descobrimos que as metas de inflao no so reais.

Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a

ser superada.

Sabemos que a condio (se as metas de inflao no so reais) V, pois

foi isso que descobrimos logo acima. Assim, o resultado (a crise econmica no

demorar a ser superada) precisa ser V. Assim, de fato a crise econmica no

demorar a ser superada.

Com isso, podemos concluir que:

- as metas de inflao no so reais

- a crise econmica no demorar a ser superada letra A, que o gabarito.

Ateno: no podemos concluir que os supervits primrios sero

fantasiosos, pois isso uma premissa do argumento, dada pelo enunciado. Por

esse motivo as letras B, C e D so erradas!

Resposta: A

29. UFF ANCINE 2008) Namoro ou estudo. Passeio e no estudo. Acampo ouno estudo. Ocorre que no acampo. Logo:

a) Estudo e passeio

b) No passeio e namoro

c) No acampo e no passeio

d) Passeio e namoro

e) Estudo e no passeio

RESOLUO:

Novamente temos vrias proposies compostas e 1 proposio simples

(no acampo) como premissas. Devemos assumir que todas so verdadeiras.

Vamos analisar as proposies compostas:

!Acampo ou no estudo.

Sabemos que a primeira parte dessa proposio Falsa (pois no acampo

V). Assim, a segunda parte precisa ser V para que a disjuno (ou) seja

Verdadeira. Com isso, descobrimos que no estudo.

Passeio e no estudo.

Aqui as duas proposies simples precisam ser Verdadeiras para que a

conjuno (e) seja Verdadeira. J sabemos que a segunda parte verdadeira.

Acabamos de ver que a primeira tambm , ou seja, passeio.

Namoro ou estudo.

Aqui sabemos que a segunda parte da disjuno falsa, pois eu no estudo.

Portanto, a primeira parte precisa ser verdadeira para que a disjuno seja

verdadeira. Portanto, namoro.

Resposta: D.

30. ESAF ANEEL 2004) Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou noestudo. Ora, no velejo. Assim,

a) estudo e fumo.

b) no fumo e surfo.

c) no velejo e no fumo.

d) estudo e no fumo.

e) fumo e surfo.

RESOLUO:

Sabendo que no velejo verdade, podemos voltar analisando as demais

premissas do argumento:

Velejo ou no estudo.

A primeira parte desta proposio (velejo) falsa. Portanto, a segunda parte

precisa ser verdadeira (no estudo), para que esta disjuno seja verdadeira.

Portanto, de fato eu no estudo.

Surfo ou estudo.

!A segunda parte desta proposio (estudo) falsa, pois j vimos que no

estudo. Assim, a primeira parte precisa ser verdadeira, para que a disjuno seja

verdadeira. Ou seja, surfo.

Fumo ou no surfo.

Novamente, a segunda parte dessa disjuno falsa. A primeira precisa ser

verdadeira. Isto , fumo.

Com isto, vemos que:

- no estudo

- surfo

- fumo

Resposta: E.

31. FCC TRT/8 2010) Se Ana diz a verdade, Beto tambm fala a verdade, casocontrrio Beto pode dizer a verdade ou mentir. Se Clo mentir, David dir a verdade,

caso contrrio ele mentir. Beto e Clo dizem ambos a verdade, ou ambos mentem.

Ana, Beto, Clo e David responderam, nessa ordem, se h ou no um cachorro em

uma sala. Se h um cachorro nessa sala, uma possibilidade de resposta de Ana,

Beto, Cleo e David, nessa ordem, :

(adote S: h cachorro na sala

N: no h cachorro na sala)

a) N, N, S, N

b) N, S, N, N

c) S, N, S, N

d) S, S, S, N

e) N, N, S, S

RESOLUO:Veja que o exerccio nos d as seguintes premissas:

- Se Ana diz a verdade, Beto tambm fala a verdade

!- Se Ana mente, Beto pode dizer a verdade ou mentir

- Se Clo mentir, David dir a verdade

- Se Clo falar a verdade, David mentir

- Beto e Clo ambos dizem a verdade, ou Beto e Clo mentem

- H um cachorro na sala

Devemos assumir que todas as premissas so verdadeiras (pois s assim

chegamos concluso). Veja que temos 5 proposies compostas e 1 proposio

simples, a ltima.

A proposio simples verdadeira se seu contedo for verdadeiro, portanto,

sabemos que h um cachorro na sala. Uma forma de resolver essa questo

assumir que a primeira parte da primeira proposio (Ana diz a verdade)

Verdadeira, e analisar o restante. Caso no encontremos nenhuma falha na lgica,

ento a premissa que assumimos est correta. Caso contrrio, devemos voltar e

assumir que Ana diz a verdade Falso, e novamente analisar o restante. Veja:

Assumindo que Ana diz a verdade Verdadeiro, temos que a segunda

parte desta expresso (Beto tambm fala a verdade) tambm Verdadeira.

Veja a penltima proposio (Beto e Clo ambos dizem a verdade, ou Beto e

Clo mentem). A vrgula antes do ou faz com que este seja um caso de ou

exclusivo, e no uma simples Disjuno. Sabemos que, nas proposies do tipo

p q , s um dos lados da afirmao pode ser verdad