Análise do Comportamento Análise do Comportamento Dinâmico de Alguns Sistemas Dinâmico de Alguns Sistemas

MecânicosMecânicos

Dados de IdentificaçãoDados de Identificação• Aluno BolsistaAluno Bolsista: Lucas Alves Guarienti: Lucas Alves Guarienti

• CursoCurso: Engenharia Civil: Engenharia Civil

• Professor OrientadorProfessor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio : Elisabeta D’ Elia Gallicchio

• InstituiçãoInstituição:: Universidade Federal do Rio Grande do SulUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

• UnidadeUnidade: Instituto de Matemática: Instituto de Matemática

• ÓrgãoÓrgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada: Departamento de Matemática Pura e Aplicada

ObjetivosObjetivos Analisar fenômenos vibratórios, através da Analisar fenômenos vibratórios, através da

simulação e animação da respostasimulação e animação da resposta

Criar “procedures” a fim de: Criar “procedures” a fim de: Possibilitar a interação com o programa Possibilitar a interação com o programa

(alterar os parâmetros e a própria função em (alterar os parâmetros e a própria função em estudo), de modo a perceber rapidamente as estudo), de modo a perceber rapidamente as relações de causa e efeitorelações de causa e efeito

Facilitar a compreensão de alguns fenômenos Facilitar a compreensão de alguns fenômenos vibratórios, através da representação gráfica e vibratórios, através da representação gráfica e animação da resposta do sistemaanimação da resposta do sistema

VibraçõesVibrações Vibração: movimento de um sistema em Vibração: movimento de um sistema em

torno da posição de equilíbriotorno da posição de equilíbrio

A oscilação de um sistema se caracteriza A oscilação de um sistema se caracteriza pela transferência de energia potencial em pela transferência de energia potencial em energia cinética, e se dissipa conforme o energia cinética, e se dissipa conforme o meio em que o fenômeno ocorremeio em que o fenômeno ocorre

Classificação:Classificação:

Vibração conservativa: a energia do Vibração conservativa: a energia do sistema não se dissipa, não há força de sistema não se dissipa, não há força de amortecimentoamortecimento

Vibração dissipativa: a energia é perdida Vibração dissipativa: a energia é perdida devido à força de amortecimentodevido à força de amortecimento

Vibrações Livres:Vibrações Livres:

Sistema com 1 Grau de LiberdadeSistema com 1 Grau de Liberdade

F(t)xmk x

mc x

m

C

kF(t)

Da 2ª Lei de Newton: ΣF = m.adecorre:

ModeloFísico

00

00

VtX

XtX

C. Iniciais:

Resolução da Equação HomogêneaResolução da Equação Homogênea

(Equação Característica)

02 mk

mc

0

xmkx

mcx

Raízes da Equação CaracterísticaRaízes da Equação Característica

mk

2mc

2mc-

2

1,2

mk

2mc c n Freqüência de

vibração (freqüência natural circular):

0

0

12222

2

2

1221121

2

1

xxkdtxdm

xxkxkdtxdm

Da 2ª Lei de Newton: ΣF = m.adecorre:

ModeloFísico

Sist 2GDL.gif

101

101

VtX

XtX

202

202

VtX

XtX

Sistema com 2 Graus de LiberdadeSistema com 2 Graus de Liberdade

Sistema Forçado conservativo caracterizando os casos de ressonância e batimento

Sistema Forçado dissipativo submetido à Força Periódica

Determinação da Resposta do Sistema Forçado

RessonânciaRessonância Ocorre quando a freqüência natural Ocorre quando a freqüência natural

de vibração de uma máquina ou de de vibração de uma máquina ou de uma estrutura coincide com a uma estrutura coincide com a freqüência de vibração de algum freqüência de vibração de algum agente externo, fazendo com que a agente externo, fazendo com que a amplitude de oscilação aumente amplitude de oscilação aumente exageradamente. exageradamente.

Graficamente:Graficamente:

BatimentoBatimento

Ocorre quando a freqüência natural Ocorre quando a freqüência natural de vibração de uma máquina ou de de vibração de uma máquina ou de uma estrutura tem um valor muito uma estrutura tem um valor muito próximo da freqüência de vibração próximo da freqüência de vibração do agente externo, fazendo com que do agente externo, fazendo com que a amplitude de oscilação cresça e a amplitude de oscilação cresça e decresça em intervalos regularesdecresça em intervalos regulares

Graficamente:Graficamente:

Carga PeriódicaCarga Periódica Todo movimento harmônico é periódico, mas nem Todo movimento harmônico é periódico, mas nem

todo movimento periódico é harmônicotodo movimento periódico é harmônico

É a mais freqüentemente usada na engenharia, É a mais freqüentemente usada na engenharia, por exemplo, a vibração de uma viga por exemplo, a vibração de uma viga (superposição de ondas senoidais de diferentes (superposição de ondas senoidais de diferentes amplitudes e freqüências)amplitudes e freqüências)

Exemplos: dente de serra, onda quadrada, onda Exemplos: dente de serra, onda quadrada, onda triangular, etctriangular, etc

Espectro de FreqüênciasEspectro de Freqüências

Análise de VigasAnálise de Vigas Determinar a Equação da Curva Elástica e a Equação do Determinar a Equação da Curva Elástica e a Equação do

GiroGiro

Previsão da deformação através do GiroPrevisão da deformação através do Giro

O material solicitado deve responder às condições impostas O material solicitado deve responder às condições impostas dentro do limite elásticodentro do limite elástico

Considera-se a viga como sendo uniforme e homogênea em Considera-se a viga como sendo uniforme e homogênea em sua constituiçãosua constituição

A equação da Curva Elástica é aplicável a qualquer materialA equação da Curva Elástica é aplicável a qualquer material

Equação Diferencial da Curva Equação Diferencial da Curva ElásticaElástica

EIxM

dxxwd

2

2

Procedendo-se a integração uma vez, Procedendo-se a integração uma vez, obtém-se a Equação do Giroobtém-se a Equação do Giro

A segunda integração fornece a Equação A segunda integração fornece a Equação da Curva Elásticada Curva Elástica

Análise do GiroAnálise do Giro

Premissa: análise dentro do campo das Premissa: análise dentro do campo das pequenas deformações e deslocamentospequenas deformações e deslocamentos

Simplificação:Simplificação: tg

,2

2

LwLwtg

Giro: A capacidade de previsão da

deformação

1º Caso1º Caso

EIPLxw

LxLxEIPxw

EIPL

LxEIP

EIPx

dxxwd

máx

máx

3)(

236

)(

2

2

)(

3

323

2

22

2

2

2º Caso2º Caso

EIqLxw

LxLxEIqxw

EIqL

LxEIq

EIqx

dxxwd

máx

máx

8)(

)34(24

)(

6

6

2)(

4

434

3

33

2

2

2

3º Caso3º Caso

EIqLxw

LLxxEIqxxw

EIqL

LLxxEIq

xLEIqx

dxxwd

máx

máx

4

323

3

323

2

2

3845)(

224

)(

24

6424

2)(

4º Caso4º Caso

EIqLxw

LxLxEILqxxw

EIqL

LxLxEILq

Lx

EIqLx

dxxwd

máx

máx

4

4224

3

4224

2

2

2

2

7685)(

7103360

)(

360

73015360

16

)(

Quadro ComparativoQuadro Comparativo

ConclusõesConclusões A forma como a carga é distribuída A forma como a carga é distribuída

sobre a viga é preponderante para a sobre a viga é preponderante para a análise de sua deformaçãoanálise de sua deformação

A forma de vinculação (especificada A forma de vinculação (especificada pelas condições de contorno) também pelas condições de contorno) também é um fator importante na análise da é um fator importante na análise da deformaçãodeformação

AgradecimentosAgradecimentos • Programa de Educação Tutorial (PET - Engenharia Programa de Educação Tutorial (PET - Engenharia

Civil)Civil)

• PROPesq-UFRGSPROPesq-UFRGS

• Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio

• Professores Letícia Miguel e Francisco Gastal pelo Professores Letícia Miguel e Francisco Gastal pelo apoio e disponibilidade sempre demonstradosapoio e disponibilidade sempre demonstrados

• UFRGS UFRGS

ReferênciasReferências ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems

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