Raciocnio Lgico

A Lgica uma cincia com caractersticas matemticas, mas est fortemente ligada Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristteles, filsofo grego (384322 a.C) em sua obra "rganon", distribuda em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (18151864), em seu livro "A Anlise Matemtica da Lgica", estruturou os princpios matemticos da lgica formal, que, em sua homenagem, foi denominada lgebra Booleana.

No sculo XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a lgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos j inseriam o "Raciocnio Lgico" em suas provas.

Existem muitas definies para a palavra lgica, porm no caso do nosso estudo no relevante um aprofundamento nesse ponto, suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lgica como sendo a Cincia das leis do pensamento, e neste caso existem divergncias com essa definio, pois o pensamento matria estudada na Psicologia, que uma cincia distinta da lgica (cincia). Segundo Irving Copi, uma definio mais adequada : A lgica uma cincia do raciocnio, pois a sua idia est ligada ao processo de raciocnio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.

"Lgica: Coerncia de raciocnio, de idias. Modo de raciocinar peculiar a algum, ou a um grupo. Sequncia coerente, regular e necessria de acontecimentos, de coisas." (dicionrio Aurlio), portanto podemos dizer que a Lgica a cincia do raciocnio. Assim conclumos que a lgica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto , seu propsito estudar e estabelecer propriedades das relaes formais entre as proposies.

Veremos nas prximas linhas a definio do que venha a ser uma proposio, bem como o seu clculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que estudar as estruturas dos argumentos, que sero conjuntos de proposies denominadas premissas ou concluses.

Dica: A esmagadora maioria das questes de raciocnio lgico exigidas em concursos pblicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos bsicos de matemtica.

Este o motivo para que faam paralelamente matria de raciocnio lgico propriamente dito uma reviso dos principais tpicos da matemtica de nvel secundrio.

Concomitantemente com a reviso acima mencionada, devem estudar todas as grandes famlias de problemas consideradas de raciocnio lgico, e a maneira mais rpida de resolv-los.

Muitas questes podem ser resolvidas pela simples intuio. Porm, sem o devido treinamento, mesmo os melhores tero dificuldade em resolv-las no exguo tempo disponvel nos concursos.

Grande parte dos problemas de Raciocnio Lgico, como no poderia deixar de ser, sero do tipo charada ou quebra-cabeas.

Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malcia e sorte, e, a no ser que o candidato j tenha visto coisa similar, no podem ser resolvidos nos trs a cinco minutos disponveis para cada questo.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados no tero condies de resolv-los. Nosso conselho que no devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondveis no tempo hbil no passam de 20% das questes de Raciocnio Lgico exigidas nos concursos pblicos.

Uma base slida de matemtica ser suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicao direta dos mtodos de raciocnio lgico que estudaro.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lgica e, posteriormente, alguns testes para avaliao do aprendizado. No mais, j servindo como dica, raciocnio lgico deve ser estudado, principalmente, atravs da prtica, ou seja, resoluo de testes.

Pode, primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocnio Lgico". Entretanto, ela est ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mos obra.

Proposies e seus Valores Lgicos

Sentenas ou Proposies

Uma proposio uma afirmao que pode ser verdadeira ou falsa. Ela o significado da afirmao, no um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, Existe um nmero primo par maior que dois uma proposio (no caso, falsa). Um nmero primo par maior que dois existe a mesma proposio, expressa de modo diferente.

muito fcil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dico da proposio deve ser considerada algo significante.

possvel utilizar a lingustica formal para analisar e reformular uma afirmao sem alterar o significado.

As sentenas ou proposies so os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma idia, mesmo que absurda. Considerar-se-o as que so bem definidas, isto , aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas.

As proposies geralmente so designadas por letras latinas minsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mnica inteligente.

q: Se j nevou na regio Sul, ento o Brasil um pas europeu.

r:7>3.

s: 8+210

Tipos de Proposies

Podemos classificar as sentenas ou proposies, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: so as sentenas em que se afirma algo, que pode ou no ser verdadeiro.

Exemplo: Julio Csar o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: so aquelas sentenas em que se questiona algo. Esse tipo de sentena no admite valor verdadeiro ou falso.

Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: so as proposies em que se ordena alguma coisa.

Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposies Universais e Particulares

As proposies sero classificadas em:

Universais

Particulares

As proposies universais so aquelas em que o predicado refere-se totalidade do conjunto.

Exemplo

Todos os homens so mentirosos universal e simbolizamos por Todo S P

Nesta definio inclumos o caso em que o sujeito unitrio.

Exemplo

O co mamfero.

As proposies particulares so aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo:

Alguns homens so mentirosos particular e simbolizamos por algum S P.

Proposies Afirmativas e Negativas

As proposies tambm se classificam em:

Afirmativas

Negativas

No caso de negativa podemos ter:

Nenhum homem mentiroso universal negativa e simbolizamos por nenhum S P.

Alguns homens no so mentirosos particular negativa e simbolizamos por algum S no P.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposies dos tipos: Todo S P, algum S P, algum S no P e nenhum S P.

Ento teremos a tabela:

AFIRMATIVA

NEGATIVA

UNIVERSAL

Todo S P (A)

Nenhum S P (E)

PARTICULAR

Algum S P (I)

Algum S no P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S P (universal afirmativa A)

(P=S) (P)

(ou) (S)

- Nenhum S P (universal negativa E)

(P) (S)

- Algum S P (particular afirmativa I)

(P) (S) (P=S) (S) (P)

(S)

(ou) (ou) (ou)

(P)

- Algum S no P (particular negativa O)

(P) (S) (ou) (P) (S) (ou) (P) (S)

Princpios

- Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

- Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s pode ter dois valores verdades, isto , verdadeiro (V) ou falso (F), no podendo ter outro valor.

a) O Curso Pr-Fiscal fica em So Paulo um proposio verdadeira.

b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul uma proposio verdadeira.

c) A Receita Federal pertence ao poder judicirio, uma proposio falsa.

As proposies simples (tomos) combinam-se com outras, ou so modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenas chamadas de molculas. Os conectivos sero representados da seguinte forma:

corresponde a no

corresponde a e

corresponde a ou

corresponde a ento

corresponde a se somente se

Sendo assim, a partir de uma proposio podemos construir uma outra correspondente com a sua negao; e com duas ou mais, podemos formar:

Conjunes: a b (l-se: a e b)

Disjunes: a b (l-se: a ou b)

Condicionais: a b (l-se: se a ento b)

Bicondicionais: a b (l-se: a se somente se b)

Exemplo

Se Cacilda estudiosa ento ela passar no AFRF

Sejam as proposies:

p = Cacilda estudiosa

q = Ela passar no AFRF

Da, poderemos representar a sentena da seguinte forma:

Se p ento q (ou p q)

Exerccios

1. Dois nmeros somados totalizam 510. Sabe-se que um deles est para 8, assim como o outro est para 9. Quais so os dois nmeros?

2. Um nmeroasomado a um outro nmerobtotaliza 216.aest para 12, assim comobest para 15. Qual o valor deae deb?

3. Um nmeroasubtrado de um outro nmerobresulta em 54.aest para 13, assim comobest para 7. Qual o valor deae deb?

4. A diferena entre dois nmeros igual a 52. O maior deles est para 23, assim como o menor est para 19. Quais so os nmeros?

5. A idade de Pedro est para a idade de Paulo, assim como 5 est para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

6. O peso de uma sacola em kg est para o peso de uma outra sacola tambm em kg, assim como 32 est para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?

7. A soma de dois nmeros igual a 46. O primeiro est para o segundo, assim como 87 est para 51. Quais so os nmeros?

8. Dois nmerosaebdiferem entre si em 18 unidades.aest parab, assim como825est para627. Qual o valor deae deb?

9. Quatro nmeros, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporo. Qual o valor da quarta proporcional x?

10. Quatro nmeros, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporo. Qual o valor da terceira proporcional x?

Respostas

1) Soluo: Chamemos o primeiro nmero deae o outro nmero deb. Do enunciado, tiramos queaest para 8, assim comob para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das propores temos:

Sabemos queaebsomados resultam em510, assim como a adio de8a9resulta em17. Substituindo estes valores na proporo teremos:

Portanto:

2) Soluo: Recorrendo terceira propriedade das propores montamos a seguinte proporo:

Sabemos que a soma deacomb igual a216, assim como tambm sabemos que12mais15totaliza27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

3) Soluo: Recorremos terceira propriedade das propores para montarmos a seguinte proporo:

Sabemos que a diferena entreaeb igual a54, e sabemos tambm que13menos7d6. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

4) Soluo: Vamos chamar o nmero maior deae o menor deb. Do enunciado,aest para 23, assim comobest para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das propores temos:

Sabemos queamenosb igual a52, assim como23menos19 igual a4. Ao substituirmos estes valores na proporo teremos:

Portanto:

5) Soluo: Identifiquemos a idade de Pedro porae a idade de Paulo porb. A partir do enunciado, temos queaest parab, assim como5est para6. Utilizando-nos da segunda propriedade das propores temos:

Sabemos que a somaaebresulta em55, assim como5mais6resulta em11. Substituindo estes valores na proporo temos:

Para calcularmos o valor deatemos:

6) Soluo: Identifiquemos o peso da primeira sacola porae o peso da segunda porb. Como expresso no enunciado, temos queaest parab, assim como32est para28. Da segunda propriedade das propores temos que:

Temos queaebsomados resultam em15, assim como32mais28resulta em60. Substituindo-os na proporo temos:

Calculemos o valor deb:

7) Soluo: Identifiquemos o primeiro deles porae o segundo porb. Como dito no enunciado,aest parab, assim como87est para51. A segunda propriedade das propores nos diz que:

Temos queamaisbd46, assim como87mais51resulta em138. Substituindo-os na proporo temos:

Calculemos o valor deb:

8) Soluo: Da segunda propriedade das propores temos:

Sabemos que a diferena entreaebresulta em18, assim como825menos627resulta em198. Substituindo tais valores na proporo temos:

Para calcularmos o valor deatemos:

9) Soluo: De acordo com a quarta proporcional temos:

10) Soluo: De acordo com a terceira proporcional temos:

Argumentos

Um argumento uma srie concatenada de afirmaes com o fim de estabelecer uma proposio definida. um conjunto de proposies com uma estrutura lgica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequncia outra proposio. Isto , o conjunto de proposies p1,...,pn que tem como consequncia outra proposio q.

Chamaremos as proposies p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposio q de concluso do argumento.

Podemos representar por:

p1

p2

p3

.

.

.

pn

q

Exemplos:

1. Se eu passar no concurso, ento irei trabalhar.

Passei no concurso

________________________

Irei trabalhar

2. Se ele me ama ento casa comigo.

Ele me ama.

__________________________

Ele casa comigo.

3. Todos os brasileiro so humanos.

Todos os paulistas so brasileiros.

__________________________

Todos os paulistas so humanos.

4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores recebero o bicho.

Se o Palmeiras no ganhar o jogo, todos os jogadores recebero o bicho.

__________________________

Todos os jogadores recebero o bicho.

Observao: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da concluso com trs pontos antes. Veja exemplo extrado do Irving M. Copi.

Premissa: Todos os sais de sdio so substncias solveis em gua.

Todos os sabes so sais de sdio.

____________________________________

Concluso: Todos os sabes so substncias solveis em gua.

Os argumentos, em lgica, possuem dois componentes bsicos: suas premissas e sua concluso.

Por exemplo, em: Todos os times brasileiros so bons e esto entre os melhores times do mundo. O Brasiliense um time brasileiro. Logo, o Brasiliense est entre os melhores times do mundo, temos um argumento com duas premissas e a concluso.

Evidentemente, pode-se construir um argumento vlido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma concluso tambm verdadeira. Mas tambm possvel construir argumentos vlidos a partir de premissas falsas, chegando a concluses falsas.

O detalhe que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferncia vlida e chegar a uma concluso verdadeira. Por exemplo:

1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.

2. Premissa: Lontras so peixes.

3. Concluso: Logo, focas vivem no oceano.

H, no entanto, uma coisa que no pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma concluso falsa.

Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicao. O smbolo denota implicao; A a premissa, B a concluso.

Regras de Implicao

Premissas

Concluso

Inferncia

A

B

A B

Falsas

Falsa

Verdadeira

Falsas

Verdadeira

Verdadeira

Verdadeiras

Falsa

Falsa

Verdadeiras

Verdadeira

Verdadeira

- Se as premissas so falsas e a inferncia vlida, a concluso pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).

- Se as premissas so verdadeiras e a concluso falsa, a inferncia invlida (linha 3).

- Se as premissas e a inferncia so vlidas, a concluso verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser vlido no significa necessariamente que sua concluso seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas.

Um argumento vlido que foi derivado de premissas verdadeiras chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a concluses verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutveis sempre requerem certo nmero de assunes-base. So as chamadas premissas. a partir delas que os argumentos so construdos ou, dizendo de outro modo, as razes para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a concluso de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omisso das premissas comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzir as chances de aceitao do argumento.

A apresentao das premissas de um argumento geralmente precedida pelas palavras admitindo que..., j que..., obviamente se... e porque.... imprescindvel que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder argumentao.

Usar a palavra obviamente pode gerar desconfiana. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmaes falsas em vez de admitir que no entenda por que algo bvio. No se deve hesitar em questionar afirmaes supostamente bvias.

Inferncia: Uma vez que haja concordncia sobre as premissas, o argumento procede a passo a passo por meio do processo chamado inferncia.

Na inferncia, parte-se de uma ou mais proposies aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferncia for vlida, a nova proposio tambm dever ser aceita. Posteriormente, essa proposio poder ser empregada em novas inferncias.

Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentao, entretanto, o nmero de afirmaes que podem ser utilizadas aumenta.

H vrios tipos de inferncia vlidos, mas tambm alguns invlidos. O processo de inferncia comumente identificado pelas frases Conseqentemente... ou isso implica que....

Concluso: Finalmente se chegar a uma proposio que consiste na concluso, ou seja, no que se est tentando provar. Ela o resultado final do processo de inferncia e s pode ser classificada com concluso no contexto de um argumento em particular.

A concluso respalda-se nas premissas e inferida a partir delas.

Exemplo de argumento

A seguir est exemplificado um argumento vlido, mas que pode ou no ser consistente.

1. Premissa: Todo evento tem uma causa.

2. Premissa: O universo teve um comeo.

3. Premissa: Comear envolve um evento.

4. Inferncia: Isso implica que o comeo do universo envolveu um evento.

5. Inferncia: Logo, o comeo do universo teve uma causa.

6. Concluso: O universo teve uma causa.

A proposio do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, ento, usado em conjunto com proposio 4 para inferir uma nova proposio (item 5). O resultado dessa inferncia reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a concluso.

Validade de um Argumento

Conforme citamos anteriormente, uma proposio verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele vlido ou no vlido.

A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lgica das suas proposies (premissas e concluses) e no do contedo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinaes para os argumentos vlidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e concluso verdadeira.

Exemplo:

Todos os apartamentos so pequenos. (V)

Todos os apartamentos so residncias. (V)

__________________________________

Algumas residncias so pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso verdadeira.

Exemplo:

Todos os peixes tm asas. (F)

Todos os pssaros so peixes. (F)

__________________________________

Todos os pssaros tm asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso falsa.

Exemplo:

Todos os peixes tm asas. (F)

Todos os ces so peixes. (F)

__________________________________

Todos os ces tm asas. (F)

Todos os argumentos acima so vlidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras ento as concluses tambm as seriam.

Podemos dizer que um argumento vlido se quando todas as suas premissas so verdadeiras, acarreta que sua concluso tambm verdadeira. Portanto, um argumento ser no vlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua concluso falsa.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.

Exemplo

Todas as mulheres so bonitas.

Todas as princesas so mulheres.

__________________________

Todas as princesas so bonitas.

Observe que no precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento vlido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A so B.

Todos os C so A.

________________

Todos os C so B.

Logo, o que importante a forma do argumento e no o conhecimento de A, B e C, isto , este argumento vlido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade conseqncia da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e Indutivos

O argumento ser dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da concluso, isto , o argumento dedutivo quando a concluso completamente derivada das premissas.

Exemplo

Todo ser humano tem me.

Todos os homens so humanos.

__________________________

Todos os homens tm me.

O argumento ser indutivo quando suas premissas no fornecerem o apoio completo para retificar as concluses.

Exemplo

O Flamengo um bom time de futebol.

O Palmeiras um bom time de futebol.

O Vasco um bom time de futebol.

O Cruzeiro um bom time de futebol.

______________________________

Todos os times brasileiros de futebol so bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a concluso possui informaes que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, no se aplica, ento, a definio de argumentos vlidos ou no vlidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Vlidos

Vimos ento que a noo de argumentos vlidos ou no vlidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambm que a validade depende apenas da forma do argumento e no dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos tambm que no podemos ter um argumento vlido com premissas verdadeiras e concluso falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos vlidos importantes.

Afirmao do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo vlido que discutiremos chama-se afirmao do antecedente, tambm conhecido como modus ponens.

Exemplo

Se Jos for reprovado no concurso, ento ser demitido do servio.

Jos foi aprovado no concurso.

___________________________

Jos ser demitido do servio.

Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

(p q) (Se p, ento q,)

ou

Outro argumento dedutivo vlido a negao do consequente (tambm conhecido como modus tollens).

Obs.: equivalente a . Esta equivalncia chamada de contra positiva.

Exemplo

Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Se ele no casa comigo, ento ele no me ama;

Ento vejamos o exemplo do modus tollens.

Exemplo

Se aumentarmos os meios de pagamentos, ento haver inflao.

No h inflao.

______________________________

No aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

(p q) (Se p, ento q,)

ou

Existe tambm um tipo de argumento vlido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando algum forado a escolher entre duas alternativas indesejveis.

Exemplo

Joo se inscreve no concurso de MS, porm no gostaria de sair de So Paulo, e seus colegas de trabalho esto torcendo por ele.

Eis o dilema de Joo:

Ou Joo passa ou no passa no concurso.

Se Joo passar no concurso vai ter que ir embora de So Paulo.

Se Joo no passar no concurso ficar com vergonha diante dos colegas de trabalho.

_________________________

Ou Joo vai embora de So Paulo ou Joo ficar com vergonha dos colegas de trabalho.

Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

(p qpr) ( p ou q.Se p ento r )

ou

Argumentos Dedutivos No Vlidos

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se est construindo um argumento dedutivo. Elas so conhecidas como falcias. Na linguagem do dia-a-dia, ns denominamos muitas crenas equivocadas como falcias, mas, na lgica, o termo possui significado mais especfico: falcia uma falha tcnica que torna o argumento inconsistente ou invlido (alm da consistncia do argumento, tambm se podem criticar as intenes por detrs da argumentao).

Argumentos contentores de falcias so denominados falaciosos. Frequentemente, parecem vlidos e convincentes, s vezes, apenas uma anlise pormenorizada capaz de revelar a falha lgica.

Com as premissas verdadeiras e a concluso falsa nunca teremos um argumento vlido, ento este argumento no-vlido, chamaremos os argumentos no-vlidos de falcias.

A seguir, examinaremos algumas falcias conhecidas que ocorrem com muita frequncia.

O primeiro caso de argumento dedutivo no-vlido que veremos o que chamamos de falcia da afirmao do consequente.

Exemplo

Se ele me ama ento ele casa comigo.

Ele casa comigo.

_______________________

Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:

(p q) (Se p, ento q,)

ou

Este argumento uma falcia, podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

Outra falcia que corre com freqncia a conhecida por falcia da negao do antecedente.

Exemplo

Se Joo parar de fumar ele engordar.

Joo no parou de fumar.

________________________

Joo no engordar.

Observe que temos a forma:

(p q) (Se p, ento q,)

ou

Este argumento uma falcia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

Os argumentos dedutivos no vlidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da concluso.

Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos no-vlidos com premissas e concluses verdadeiras, porm, as premissas no sustentam a concluso.

Exemplo

Todos os mamferos so mortais. (V)

Todos os gatos so mortais. (V)

___________________________

Todos os gatos so mamferos. (V)

Este argumento tem a forma:

Todos os A so B.

Todos os C so B.

_____________________

Todos os C so A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento no-vlido, pois as premissas no sustentam a concluso, e veremos ento que podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamfero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamferos so mortais. (V)

Todas as cobras so mortais. (V)

__________________________

Todas as cobras so mamferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lgicas, para demonstrarmos se um argumento vlido ou falso.

Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3| C vlido ou no, por meio das tabelas-verdade, construir a condicional associada:

(P1P2P3 ...Pn)| C e reconhecer se essa condicional ou no uma tautologia.

Se essa condicional associada tautologia, o argumento vlido. No sendo tautologia, o argumento dado um sofisma (ou uma falcia).

H argumentos vlidos com concluses falsas, da mesma forma que h argumentos no-vlidos com concluses verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua concluso no determinam a validade ou no-validade de um argumento.

O reconhecimento de argumentos mais difcil que o das premissas ou da concluso. Muitas pessoas abarrotam textos de asseres sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. s vezes, os argumentos no seguem os padres descritos acima.

Por exemplo, algum pode dizer quais so suas concluses e depois justific-las. Isso vlido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmaes parecem argumentos, mas no so. Por exemplo: Se a Bblia verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus.

Isso no um argumento, uma afirmao condicional. No explicita as premissas necessrias para embasar as concluses, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento no equivale a uma explicao. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, algum dissesse: Einstein afirmou que Deus no joga dados porque acreditava em Deus.

Isso pode parecer um argumento relevante, mas no . Trata-se de uma explicao da afirmao de Einstein.

Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmao da forma X porque Y pode ser reescrita na forma Y logo X. O que resultaria em: Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que Deus no joga dados.

Agora fica claro que a afirmao, que parecia um argumento, est admitindo a concluso que deveria estar provando.

Ademais, Einstein no cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

Exerccios

1. Identificar as premissas e concluses nos seguintes trechos, cada um dos quais contm apenas um argumento:

Foi assinalado que, embora os ciclos de negcio no sejam perodos, so adequadamente descritos pelo termo ciclos e, portanto, so suscetveis de medio.

(James Arthur Estey, Ciclos de Negcios)

2. Cada um dos seguintes trechos contm mais de um argumento. Distingui-los e identificar suas premissas e concluses.

A instituio do longo aprendizado no favorvel formao de jovens para a indstria. Um jornaleiro, que trabalha por pea, provavelmente ativo, porque extrai o benefcio de todos os esforos resultantes da sua atividade. Um aprendiz provavelmente preguioso, e quase sempre o , porque no tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa.

(Adam Smith, A riqueza das naes)

3. Apenas alguns dos trechos seguintes contm argumentos. Indicar os que tm argumentos e identificar suas premissas e concluses.

Bem-aventurado aquele que nada espera, pois nunca ser decepcionado.

(Alexander Pope, Letter to John Gay)

4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos:

Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald, bvio que Oswald no poderia ter disparado trs vezes atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez em 5,6 segundos ou menos.

5. Indicar as premissas e concluses dos argumentos contidos nos seguintes trechos.

ilgico raciocinar assim: Sou mais rico do que tu, portanto sou superior a ti. Sou mais eloquente do que tu, portanto sou superior a ti. mais lgico raciocinar: Sou mais rico do que tu, portanto minha propriedade superior tua. Sou mais eloquente do que tu, portanto meu discurso superior ao teu. As pessoas so algo mais do que propriedade ou fala.

(Epicteto, Discursos)

Respostas

1) Soluo:

Premissa: Os ciclos de negcio so adequadamente descritos pelo termo ciclos.

Concluso: Os ciclos de negcios so suscetveis de medio.

2) Soluo:

Primeiro argumento:

Premissa: Um jornaleiro que trabalha por pea extrai um benefcio de todos os esforos resultantes da sua atividade.

Concluso: Um jornaleiro que trabalha por pea provavelmente ativo.

Segundo argumento:

Premissa: Um aprendiz no tem interesse imediato em ser outra coisa, seno preguioso.

Concluso: provvel que um aprendiz seja preguioso, e quase sempre o .

Terceiro argumento:

Premissa: provvel que um aprendiz seja preguioso, e quase sempre o .

Concluso: A instituio do longo aprendizado no propensa formao de jovens para a indstria.

3) Soluo: Possui um argumento.

Premissa: Aquele que nada espera nunca ser decepcionado.

Concluso: Bem-aventurado aquele que nada espera.

4) Soluo: Argumento dedutivo.

Premissa: Os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald.

Concluso: bvio que Oswald no poderia ter disparado trs vezes atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma em 5,6 segundos.

Embora a premissa pudesse ter sido estabelecida indutivamente, o presente argumento pretende afirmar quesua concluso deduz-se obviamente da premissa de que Oswaldno podiater disparado trs vezes.

5) Soluo:

Premissa: As pessoas so algo mais do que sua propriedade ou fala.

Concluso: ilgico raciocinar assim meu discurso superior ao teu.

Tambm cada frase separada entre aspas formula um argumento cuja premissa precede, e cujas concluses se seguem palavra portanto.

Silogismo

O silogismo a deduo feita a partir de duas proposies denominadas premissas, de modo a originar uma terceira proposio logicamente implicada, denominada concluso.

Exemplo

Tenho um Escort ou tenho um Focus, no tenho um Escort | Tenho um Focus.

Observao: o smbolo chamado de trao de assero; usado entre as premissas e a concluso. Esse silogismo tambm pode ser representado como:

Tenho um Escort ou tenho um Focus.

No tenho um Escort.

Logo, tenho um Focus.

Chamado de P a proposio: Tenho um Escort, escreve-se: P: Tenho um Escort.

Chamado de C a proposio: Tenho um Focus, escreve-se: C: Tenho um Focus.

Das proposies P e C resulta a proposio Tenho um Escort ou tenho um Focus.

Denotamos: PC: Tenho um Escort ou tenho um Focus.

Com a negativa da proposio P, tem-se a premissa No tenho um Escort. Escreve-se: ~P: No tenho um Escort ( o mesmo que dizer: no possuo um carro denominado Escort).

Reescrevendo o argumento, obteremos:

PC, ~P|C

Ou

PC

~P

Logo, C

Silogismo Categrico de Forma Tpica

Chamaremos de silogismo categrico de forma tpica ao argumento formado por duas premissas e uma concluso, de modo que todas as premissas envolvidas so categricas de forma tpica (A, E, I, O).

Teremos tambm trs termos:

- Termo menor sujeito da concluso.

- Termo maior predicado da concluso.

- Termo mdio o termo que aparece uma vez em cada premissa e no aparece na concluso.

Chamaremos de premissa maior a que contm o termo maior, e premissa menor a que contm o termo menor.

Exemplo

Todas as mulheres so bonitas.

Todas as princesas so mulheres.

________________________

Todas as princesas so bonitas.

Termo menor: as princesas.

Termo maior: bonitas.

Termo mdio: mulheres.

Premissa menor: todas as princesas so mulheres.

Premissa maior: Todas as mulheres so bonitas.

Algumas Regras para a Validade de um Silogismo

- Todo silogismo deve conter somente trs termos;

- O termo mdio deve ser universal pelo menos uma vez;

- O termo mdio no pode constar na concluso;

- Nenhum silogismo categrico de forma tpica que tenha duas premissas negativas valido;

- De duas premissas particulares no poder haver concluso;

- Se h uma premissa particular, a concluso ser particular;

- Se h uma premissa particular negativa a concluso ser particular negativa.

Ateno: Para determinar se um argumento uma falcia ou silogismo, deve-se analisar o resultado, ou argumento final: quando se chega a um argumento falso, tem-se uma falcia; quando se chega a um argumento verdadeiro, tem-se um silogismo.

Exerccios

Tendo em conta os Silogismos que se seguem:

a) Testa a sua validade (indicando as regras que violam);

b) Indica o Modo do Silogismo;

c) Indica a sua Figura.

1. Todas as vacas voadoras so lindas

Nenhum avio lindo

______________________________

Algumas vacas voadoras so avies

2. Nenhum chocolate engorda

Alguns doces no engordam

________________________

Todos os doces so chocolates

3. O arroz branco

O gelo branco

_______________

O gelo no arroz

4. Alguns bancos so moblia

Todos os bancos emprestam dinheiro

________________________________

Nenhum dinheiro emprestado por moblia

5. Touro um signo do zodaco

O touro pasta

________________________________

Alguns signos do zodaco no pastam

Respostas

1) Soluo:

a) A concluso no seguiu a parte mais fraca. A concluso foi construda indevidamente, pois o termo Maior (voadores) sujeito, e deveria ser o predicado da concluso, e o termo Menor (avio/es) deveria ser sujeito e aparecer como predicado. O Silogismo invlido

b) A E, I

c) 2 figura

2) Soluo:

a) O termo em extenso na concluso (doces), mas no na premissa. De duas premissas negativas nada se pode concluir. A concluso no seguiu a parte mais fraca (deveria ser negativa). Silogismo invlido.

b) E O, A

c) 2 figura

3) Soluo:

a) O termo Mdio (branco) no se encontra uma nica vez em toda a sua extenso. De duas premissas afirmativas, no se pode concluir pela negativa. Silogismo invlido.

b) A A, E

c) 2 figura

4) Soluo:

a) existem mais que 3 termos o termo branco, refere-se a conceitos diferentes. O sujeito e o predicado da orao encontra-se em toda a sua extenso, mas no nas premissas. De duas premissas afirmativas, no se pode tirar uma concluso negativa. A concluso no seguiu a parte mais fraca (deveria ser particular). Silogismo invlido.

b) I A, E

c) 3 figura

5) Soluo:

a) Mais que 3 termos touroora signo ora animal. Termo em extenso na concluso (pastam), mas no na premissa. Na concluso o sujeito e o predicado esto trocados. Silogismo Invlido.

b) A A, O

c) 3 figura

Sentenas Abertas

Existem sentenas que no podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. So as sentenas chamadas sentenas abertas.

Exemplos

1.

A sentena matemtica aberta, pois existem infinitos nmeros que satisfazem a equao. Obviamente, apenas um deles, , tornando a sentena verdadeira. Porm, existem infinitos outros nmeros que podem fazer com que a proposio se torne falsa, como

2.

Dessa maneira, na sentena , obtemos infinitos valores que satisfazem equao. Porm, alguns so verdadeiros, como , e outros so falsos, como

Ateno: As proposies ou sentenas lgicas so representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentena uma sentena fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lgico; nesse caso, o valor de F, pois a sentena falsa.

A sentena Phil Collins um grande cantor de msica pop internacional fechada, dado que possui um valor lgico e esse valor verdadeiro.

J a sentena O sorteio milionrio da Mega-Sena uma sentena aberta, pois no se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lgico para que seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposio, podemos formar outra proposio usando o modificador no (~), que ser sua negao, a qual possuir o valor lgico oposto ao da proposio.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmos.

~p: Jacira no tem 3 irmos.

fcil verificar que:

1. Quando uma proposio verdadeira, sua negao falsa.

2. Quando uma proposio falsa, sua negao verdadeira.

V ou F

Sentena: p

Negao: ~p

V ou F

V

F

F

12 divisvel por zero

12 no divisvel por zero.

V

Para classificar mais facilmente as proposies em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negao, tem-se

p

~p

V

F

F

V

Ateno: A sentena negativa representada por ~.

A sentena t: O time do Paran resistiu presso do So Paulo possui como negativa de t, ou seja, ~t, o correspondente a: O time do Paran no resistiu presso do So Paulo.

Observao: Alguns matemticos utilizam o smbolo O Brasil possui um grande time de futebol, que pode ser lida como O Brasil no possui um grande time de futebol.

Nmero de Linhas da Tabela Verdade

Tabelas de Verdade

Seja L uma linguagem que contenha as proposies P, Q e R.

O que podemos dizer sobre a proposio P? Para comear, segundo o princpio de bivalncia, ela ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

P

V

F

Agora, o que podemos dizer sobre as proposies P e Q? Oras, ou ambas so verdadeiras, ou a primeira verdadeira e a segunda falsa, ou a primeira falsa e a segunda verdadeira, ou ambas so falsas. Isto representamos assim:

P

Q

V

V

V

F

F

V

F

F

Como voc j deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R assim:

P

Q

R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contm as frmulas) representa uma valorao.

Agora, o que dizer sobre frmulas moleculares, tais como P, QR, ou (QR) (PQ)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada frmula atmica que as compe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade.

Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

1- Uma linha em que esto contidas todas as subfrmulas de uma frmula e a prpria frmula. Por exemplo, a frmula (PQ) R tem o seguinte conjunto de subfrmulas: [(PQ) R, PQ, P, Q, R]

2) L linhas em que esto todos os possveis valores que as proposies atmicas podem receber e os valores recebidos pelas frmulas moleculares a partir dos valores destes tomos.

O nmero de linhas L = nt, sendo n o nmero de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o nmero de tomos que a frmula contm. Assim, se uma frmula contm 2 tomos, o nmero de linhas que expressam a permutaes entre estes ser 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos tomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a frmula contiver 3 tomos, o nmero de linhas que expressam a permutaes entre estes ser 8: um caso de todos os tomos serem verdadeiros (V V V), trs casos de apenas dois tomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), trs casos de apenas um dos tomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos tomos so falsos (F F F).

Ento, para a frmula (PQ) R, temos:

P

Q

R

PQ

(PQ) R

(PQ) R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lgicos. Ao faz-lo, vamos aproveitar para explicar como interpret-los.

NegaoA negao tem o valor inverso da frmula negada. A saber:

P

P

V

F

F

V

Interpretaes: "No P", "No o caso de P", "A proposio 'P' falsa".

Assim, em uma linguagem L na qual P significa "Scrates mortal", P pode ser interpretada como "Scrates no mortal", e, se o primeiro verdadeiro, o segundo falso; e se o primeiro falso, o segundo verdadeiro.

Interpretar a negao por meio de antnimos tambm uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre aplicvel em todos os casos. No exemplo acima a interpretao por meio de antnimos perfeitamente aplicvel, ou seja, se P significa "Scrates mortal", P pode ser interpretada como "Scrates imortal". Por outro lado, em uma linguagem L na qual Q significa "Joo bom jogador", a proposio "Joo mau jogador" no a melhor interpretao para Q (Joo poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negao:

P

P

P

P

V

F

V

F

F

V

F

V

P significa P falsa.

P significa P falsa.

E assim por diante.

Repare que P equivalente a P, assim como P equivalente a P.

A negao mltipla traz alguns problemas de interpretao. Interpretando mais uma vez P por "Scrates mortal", podemos perfeitamente interpretar P de diversar formas: "No o caso de que Scrates no mortal", "No o caso de que Scrates imortal", " falso que Scrates no mortal", " falso que Scrates imortal" etc. Contudo, nem sempre na lngua portuguesa a dupla negao de uma proposio equivale afirmao desta. Muitas vezes a dupla negao apenas uma nfase na negao.

Exemplos

"No veio ningum", "No fiz nada hoje" etc.

ConjunoA conjuno entre duas frmulas s verdadeira quando ambas so verdadeiras. A saber:

P

Q

PQ

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Interpretao: "PQ" pode ser interpretada como " P e Q", "Tanto P quanto Q", "Ambas proposies 'P' e 'Q' so verdadeiras" etc.

Assim, em uma linguagem Lna qual P significa "Sou cidado brasileiro" e Q significa "Sou estudante de filosofia", PQ pode ser interpretada como "Sou cidado brasileiro e estudante de filosofia"; o que s verdade se P verdadeira e Q verdadeira.

Repare que a conjuno comutvel, ou seja, PQ equivalente a QP, a saber:

P

Q

PQ

QP

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

A comutatividade da conjuno traz um problema para formalizar proposies da linguagem natural no Clculo Proposicional Clssico, pois a ordem em que as oraes aparecem pode sugerir uma sequncia temporal. Por exemplo "Isabela se casou e teve um filho" bem diferente de "Isabela teve um filho e se casou". Repare que o mesmo problema no acomete a proposio "Isabela casada e tem filhos", que equivalente a "Isabela tem filhos e casada". Esta sentena , portanto, perfeitamente formalizvel no Clculo Proposicional Clssico por meio de uma conjuno.

Proposies que levam a palavra "mas" tambm podem ser formalizadas pela conjuno. Por exemplo, em uma linguagem L na qual R significa "Joo foi atropelado" e D significa "Joo sobreviveu ao atropelamento", as sentenas "Joo foi atropelado e sobreviveu" e "Joo foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas ser formalizadas assim: RD

Afinal, ambas as proposies afirmam os mesmos eventos na mesma sequncia: o atropelamento e a sobrevivncia de Joo. A nica diferena entre ambas que aquela que leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva no foi satisfeita o que no importa para a lgica clssica.

Disjuno

A disjuno entre duas frmulas s verdadeira quando ao menos uma delas verdadeira. A saber:

P

Q

PVQ

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Repare que a disjuno tambm comutativa:

P

Q

PQ

QP

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

Interpretao: "PQ" pode ser interpretada como "P ou Q", "Entre as proposies P e Q, ao menos uma verdadeira".

Assim, se P significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemtica", PQ pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemtica"; o que s falso se nem P nem Q forem verdadeiras.

Com a disjuno preciso tomar muito cuidado tanto na interpretao de frmulas quanto na formalizao de proposies, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos so excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lanada resulta em cara ou coroa", "Nestas frias eu vou viajar ou ficar em casa".

Para estes casos usamos a disjuno exclusiva ou a bi-implicao combinada com a negao.

Implicao

A implicao entre duas frmulas s falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e da direita (consequente) for falsa. A saber:

P

Q

PQ

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Repare que a implicao no comutativa:

P

Q

PQ

QP

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

V

V

Interpretao: "PQ" pode ser interpretada como "Se P, ento Q", "P implica Q", "Se a proposio 'P' verdade, ento a proposio 'Q' tambm verdade", "A partir de 'P' inferimos 'Q' ", "P satisfaz Q", "P condio suficiente de Q".

Assim, se, em uma linguagem L, P significa "O boto vermelho foi apertado" e Q significa "O lugar inteiro explode", PQ pode ser interpretada como "Se o boto vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que s falso se o boto vermelho for apertado (verdade de P) e o lugar inteiro no explodir (falsidade de Q):

A interpretao da implicao uma das mais complicadas. Talvez voc tenha estranhado que a implicao seja verdadeira quando o antecedente falso. Ou ainda, voc poderia objetar "mas e se o boto for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa no tiver nada a ver com a outra?".

Basicamente, o que se deve observar que "O boto vermelho ser apertado" condio suficiente para se deduzir que "O lugar inteiro explodiu", isto , quando o boto apertado, o lugar deve explodir. Se o boto for apertado e o lugar no explodir, algo est errado, ou seja, P no implica Q (PQ falso).

Quando temos na linguagem natural uma proposio que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se voc sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, ento voc vai se molhar") ou uma proposio que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: "Se todo nmero par divisvel por 2, ento nenhum nmero par maior que 2 primo"), podemos seguramente formalizar estas proposies por meio da implicao.

Mas o contrrio, ou seja, interpretar uma implicao na linguagem natural problemtico. Podemos estar lidando com uma implicao cujo antecedente e cujo consequente no tm relao alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro para que a implicao seja verdadeira. Nestes casos, bem difcil dar uma interpretao satisfatria para a implicao.

Bi-implicao

A bi-implicao entre duas frmulas verdadeira quando ambas so verdadeiras ou ambas so falsas.

P

Q

PQ

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Repare que a bi-implicao comutativa:

P

Q

PQ

QP

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

Interpretao: "PQ" pode ser interpretada como "P se e somente se Q", "P equivalente a Q", "P e Q possuem o mesmo valor de verdade".

Assim, se P significa "As luzes esto acesas" e Q significa "O interruptor est voltado para cima", PQ pode ser interpretada como "As luzes esto acesas se e somente se o interruptor est voltado para cima", o que s falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor no estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes no estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q)

Nmeros de Linhas de uma Tabela Verdade

O nmero de linhas da tabela verdade de uma proposio composta depende do nmero de proposies simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposio composta, com n proposies simples componentes, contm 2 elevado a n linhas.

Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, procede-se da seguinte maneira:

- Determina-se o nmero de linhas da tabela- verdade que se quer construir;

- Observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema;

- Aplicam-se as definies das operaes lgicas que o problema exigir.

Exemplo

Construir a tabela-verdade da proposio: P(p,q) = ~ (p || ~ q)

p

q

~ q

p || ~ q

~ (p || ~ q)

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

O uso de parnteses

bvia a necessidade de usar parntesis na simbolizao das proposies, que devem ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expresso p || q || r d lugar, colocando parntesis, s duas seguintes proposies:

(i) (p || q) || r

(ii) p || (q || r) que no tm o mesmo significado lgico, pois na (i) o conectivo principal " || ", e na (ii), o conectivo principal " || ".

Por outro lado, em muitos casos, parntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposies simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer.

A supresso de parnteses nas proposies simbolizadas se faz mediante algumas convenes, das quais so particularmente importante as duas seguintes:

A "ordem de precedncia" para os conectivos :

(1) ~ ; (2) || e || ; (3) || ; (4) ||

Portanto o conectivo mais "fraco" "~" e o conectivo mais "forte" " || ".

Assim, por exemplo, a proposio:

P || q || s || r

uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjuno. Para convert-la numa condicional h que usar parntesis: p || (q || s || r)

e para convert-la em uma conjuno: (p || q || s) || r

Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parntesis, fazendo-se a associao a partir da esquerda.

Exemplo:

((~ (~ (p || q))) || (~ p) fica como ~ ~ (p || q ) || ~ p

Conectivos

Para compor novas proposies, definidas como composta, a partir de outras proposies simples, usam-se os conectivos.

Os conectivos mais usados so: e(), ou(), se... ento() e se e somente se().

Exemplos

- Mnica uma mulher bonita e o Brasil um grande pas.

- Professor Fbio esperto ou est doente.

- Se eu comprar um carro, ento venderei meu carro antigo.

- Um nmero primo se e somente se for divisvel apenas por 1 e por si mesmo.

Conectivo e ()

Sejam os argumentos:

p: um nmero inteiro.

q: a cobra um rptil.

Com os argumentos acima, podemos compor uma sentena fechada, que expressa os dois argumentos:

um nmero inteiro e a cobra um rptil.

A sentena acima pode ser representada como pq, podemos receber um valor lgico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q so duas proposies, a proposio pq ser chamada de conjuno. Observe que uma conjuno pq s verdadeira quando p e q so verdadeiras.

Para a conjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Ateno: Os conectivos so usados para interligar duas ou mais sentenas. E toda sentena interligada por conectivos ter um valor lgico, isto , ser verdadeira ou falsa.

Sentenas interligadas pelo conectivo e possuiro o valor verdadeiro somente quanto todas as sentenas, ou argumentos lgicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo ou ()

O conectivo ou pode ter dois significados:

1. ou inclusivo:

Elisabete bonita ou Elisabete inteligente.

(Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)

2. ou exclusivo:

Elisabete paulista ou Elisabete carioca.

(Se Elisabete paulista, no ser carioca e vice-versa)

Ateno: Estudaremos o ou inclusivo, pois o elemento em questo pode possuir duas ou mais caractersticas, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poder possuir duas ou mais qualidades ou caractersticas.

Sejam:

p: um nmero inteiro.

q: o Brasil pentacampeo mundial de futebol.

A partir de p e q, podemos compor:

pq: um nmero inteiro ou o Brasil pentacampeo mundial de futebol.

Se p e q so duas proposies, a proposio pq ser chamada adjuno ou disjuno.

Observe que uma adjuno pq verdadeira quando uma das proposies formadoras, p ou q, verdadeira.

Para a adjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p

q

pq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Ateno: O conectivo , ou, utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na unio desses argumentos. O valor resultante da unio de dois ou mais argumentos somente ser falso quando todos os argumentos ou proposies forem falsos.

Conectivo Se... ento ()

Sejam as proposies abaixo:

p: .

q: 3 um nmero primo.

A partir de p e q, podemos compor:

pq: se , ento 3 um nmero primo.

Conceito: Se p e q so duas proposies, a proposio pq chamada subjuno ou condicional. Considere a seguinte subjuno: Se fizer sol, ento irei praia.

1. Podem ocorrer as situaes:

2. Fez sol e fui praia. (Eu disse a verdade)

3. Fez sol e no fui praia. (Eu menti)

4. No fez sol e no fui praia. (Eu disse a verdade)

5. No fez sol e fui praia. (Eu disse a verdade, pois eu no disse o que faria se no fizesse sol. Assim, poderia ir ou no ir praia)

Observe que uma subjuno pq somente ser falsa quando a primeira proposio, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa.

Para a subjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

Existem outras maneiras de ler: pq:

p condio suficiente para q ou, ainda, q condio necessria pra p.

Sejam:

p: 18 divisvel por 6.

q: 18 divisvel por 2.

Podemos compor:

pq: se 18 divisvel por 6, ento 18 divisvel por 2, que se pode ler:

- 18 divisvel por 6 condio suficiente para 18 divisvel por 2 ou, ainda,

- 18 divisvel por 2 condio necessria para 18 divisvel por 6.

Ateno: Dizemos que p implica q (pq) quando estamos considerando uma relao entre duas proposies, compostas ou no, diferentemente do smbolo , que denota uma operao entre duas proposies, resultando numa proposio.

Conectivo Se e somente se ()

Sejam:

p:

q: 2 um nmero primo.

A partir de p e q, podemos compor:

pq: se e somente se 2 um nmero primo.

Se p e q so duas proposies, a proposio pq1 chamada bijuno ou bicondicional, que tambm pode ser lida como: p condio necessria e suficiente para q ou, ainda, q condio necessria e suficiente para p.

Considere, agora, a seguinte bijuno:

Irei praia se e somente se fizer sol.

Podem ocorrer as situaes:

1. Fez sol e fui praia. (Eu disse a verdade)

2. Fez sol e no fui praia. (Eu menti)

3. No fez sol e fui praia. (Eu menti)

4. No fez sol e no fui praia. (Eu disse a verdade)

Observe que uma bijuno s verdadeira quando as proposies formadoras so ambas falsas ou ambas verdadeiras.

Para a bijuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Devemos lembrar que pq o mesmo que (pq)(qp).

Assim, dizer Hoje sbado e somente se amanh domingo o mesmo que dizer: Se hoje sbado, ento amanh domingo e, se amanh domingo, ento hoje sbado.

Ateno: Dizemos que p equivale a q (pq) quando estamos considerando uma relao entre duas ou mais proposies, diferentemente do smbolo , que denota uma operao entre duas proposies, resultando numa nova proposio.

Exemplos:

1. Dar os valores lgicos das seguintes proposies compostas:

a) ou

Temos que pq, com p(V), q(F); portanto,

b) se , ento

Temos que pq com p(F), q(F); portanto,

2. Estude os valores lgicos das sentenas abertas compostas:

se x-14x+48=0, ento x-2=4

Como x-14x+48=0x=6 ou x=8 e x-2=4 x=6, tem-se:

a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lgico V.

b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lgico F.

c) (FV) no se verifica.

d) (FF) substituindo x por qualquer nmero real diferente de 6 e 8, temos o valor lgico V.

3. Sejam as proposies:

p: Joana graciosa.

q: Ftima tmida.

Dar as sentenas verbais para:

a) p~q

Se Joana graciosa, ento Ftima no tmida.

b) ~(~pq)

falso que Joana no graciosa ou que Ftima tmida.

Ateno: O conectivo usado quando se quer mostrar que dois argumentos so equivalentes.

Por exemplo, quando dizemos que todo nmero par da forma 2n, n N, no o mesmo que dizer que os nmeros pares so divisveis por 2.

Proposies Simples e Composta

Uma proposio pode ser simples (tambm denominada atmica) ou composta (tambm denominada molecular).As proposies simples apresentam apenas uma afirmao. Pode-se consider-las como frases formadas por apenas uma orao.

As proposies simples so representadas por letras latinas minsculas.

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.

Uma proposio composta formada pela unio de duas ou mais proposies simples. Indica-se uma proposio composta por letras latinas maisculas. Se P uma proposio composta das proposies simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...).

Quando P estiver claramente definida no h necessidade de indicar as proposies simples entre os parnteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo estudioso e Maria bonita. P composta das proposies simples p: Paulo estudioso e q: Maria bonita.

(5) Q: Maria bonita ou estudiosa. Q composta das proposies simples p: Maria bonita e q: Maria estudiosa.

(6) R: Se x = 2 ento x2 + 1 = 5. R composta das proposies simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.

(7) S: a > b se e somente se b < a. S composta das proposies simples p: a > b e q: b < a.

As proposies simples so aquelas que expressam uma nica idia. Constituem a base da linguagem e so tambm chamadas de tomos da linguagem. So representadas por letras latinas minsculas (p, q, r, s, ...).

As proposies composta so aquelas formadas por duas ou mais proposies ligadas pelos conectivos lgicos. So geralmente representadas por letras latinas maisculas (P, Q, R, S, ...). O smbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposio composta P formada pelas proposies simples p, q e r.

Exemplos

So proposies simples:

p: A lua um satlite da terra.

q: O nmero 2 primo.

r: O nmero 2 par.

s: Roma a capital da Frana.

t: O Brasil fica na Amrica do Sul.

u: 2+5=3.4.

So proposies compostas:

P(q, r): O nmero 2 primo ou par.

Q(s, t): Roma a capital da Frana e o Brasil fica na Amrica do Sul.

R: O nmero 6 par e o nmero 8 cubo perfeito.

No so proposies lgicas:

- Roma

- O co do menino

- 7+1

- As pessoas estudam

- Quem ?

- Que pena!

Tabela Verdade

Proposio Simples - Segundo o princpio do terceiro excludo, toda proposio simples p, verdade ou falsa, isto , tem o valor lgico verdade (V) ou o valor lgico falso (F).

p

V

F

Proposio Composta - O valor lgico de qualquer proposio composta depende unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.

um dispositivo prtico muito usado para a determinao do valor lgico de uma proposio composta. Neste dispositivo figuram todos os possveis valores lgicos da proposio composta, correspondentes a todas as possveis atribuies de valores lgicos s proposies simples componentes.

Proposio Composta - 02 proposies simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposio composta cujas proposies simples componentes so p e q, as nicas possveis atribuies de valores lgicos a p e a q so:

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Observe-se que os valores lgicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposio p e de um em um para a segunda proposio q, e que, alm disso, VV, VF, FV e FF so os arranjos binrios com repetio dos dois elementos V e F.

Proposio Composta - 03 proposies simples

No caso de uma proposio composta cujas proposies simples componentes so p, q e r as nicas possveis atribuies de valores lgicos a p, a q e a r so:

p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Analogamente, observe-se que os valores lgicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposio p, de dois em dois para a segunda proposio q e de um em um para a terceira proposio r, e que, alm disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sos os arranjos ternrios com repetio dos dois elementos V e F.

Notao: O valor lgico de uma proposio simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.

Analogamente, exprime-se que p falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p : o sol verde;

q : um hexgono tem nove diagonais;

r : 2 raiz da equao x + 3x - 4 = 0

V(p) = F

V(q) = V

V(r) = F

Tautologia

As proposies que apresentam a tabela-verdade somente com V so chamadas logicamente de verdadeiras ou de tautolgicas.

Proposies falsas (contradio): As proposies que apresentam a tabela-verdade somente com F so chamadas logicamente de falsas ou de contradies.

Propriedades de proposies

I Comutativa: pqqp

pqqp

II Associativa: p(qr)(pq)r

p(qr)(pq)r

III Distributiva: p(qr)(pq)(pr)

p(qr)(pq)(pr)

IV Morgan: ~(pq)~p~q

~(pq)~p~q

V Dupla negao: ~(~p)p

Teorema contra-recproco

Toda proposio composta pelo conectivo Se... ento pode ser reescrita em seu sentido contrrio, mas com o uso da negao nas duas proposies menores, que a compem.

pq equivale a ~qp

Exemplos

1. Se um nmero inteiro par, ento seu qudruplo par, que equivale a: Se o qudruplo de um nmero no par, ento o nmero inteiro no par.

2. Consideremos agora a definio de funo injetora:

Uma funo f de A em B injetora se e somente se , sendo , que equivale a:

Uma funo f de A em B injetora se e somente se , sendo , que equivale a:

Observao: O smbolo significa: para todo ou para qualquer que seja.

Ateno: No podemos aplicar valores lgicos para sentenas abertas.

Enquanto as sentenas se apresentam a tabela-verdade com todos os valores V so chamadas de tautologia, as contradies apresentam, em sua tabela-verdade, todos os valores com resultados iguais a F.

Exerccios

1. A negao da sentena aberta corresponde a:

a)

b)

c)

d)

e)

2. A sentena negativa de Hoje domingo e amanh no chover :

a) Hoje domingo ou amanh no chover.

b) Hoje no domingo nem amanh chover.

c) Hoje no domingo, ento amanh chover.

d) Hoje no domingo ou amanh chover.

e) Hoje no domingo e amanh chover.

3. Em uma pequena comunidade, sabe-se que: nenhum filsofo rico e que alguns professores so ricos. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:

a) Alguns professores no so filsofos.

b) Alguns professores so filsofos.

c) Nenhum filsofo professor.

d) Alguns filsofos so professores.

e) Nenhum professor filsofo.

4. No final de semana, Chiquita no foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi aprovado. Sabe-se, tambm, que, nos finais de semana, ou Dada vai missa ou vai visitar tia Clia. Sempre que Dada vai visitar tia Clia, Chiquita vai ao parque e, sempre que Dada vai missa, Didi estuda. Ento, no final de semana,

a) Dada foi missa e Didi foi aprovado.

b) Didi no foi aprovado e Dada no foi visitar tia Clia.

c) Didi no estudou e Didi foi aprovado.

d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.

e) Dada no foi missa e Didi no foi aprovado.

5. Considere a proposio Pedro estudioso e trabalhador, ou Pedro bonito. Como Pedro no bonito, ento:

a) Pedro estudioso e trabalhador.

b) Pedro estudioso ou trabalhador.

c) Pedro no estudioso ou no trabalhador.

d) Pedro estudioso e no trabalhador.

e) Pedro no estudioso e no trabalhador.

6. As seguintes afirmaes, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo:

I. Guto chegou antes de Aires e depois de Doda;

II. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires chegou depois de Doda;

III. Cacau no chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto. Logo:

a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto com Juba.

b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com Aires.

c) Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de Guto.

d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Doda.

e) Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com Cacau.

7. Considere a tabela-verdade abaixo, na qual as colunas representam os valores lgicos para as frmulas A, B e AB. sendo que o smbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa.

A

B

AB

V

V

V

F

F

V

F

F

Os valores lgicos que completam a ltima coluna da tabela, de cima para baixo, so:

a) V F V V

b) V F F V

c) F V F V

d) V V V F

e) F F V V

8. A proposio p~q equivalente a:

a) pq

b) pq

c) ~pp

d) ~qp

e) ~p~q

9. Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista.

b) Se Paulo paulista, ento Pedro paulista.

c) Se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista.

d) Se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista.

e) Se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista.

10. O rei ir caa condio necessria para o duque sair do castelo e condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir e condio necessria para a duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu. Logo:

a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.

b) se o duque no saiu do castelo, ento o conde encontrou a princesa.

c) o rei no foi caa e o conde no encontrou a princesa.

d) o rei foi caa e a duquesa no foi ao jardim.

e) a duque saiu do castelo e o rei no foi caa.

11. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla no foi ao casamento, Vanderlia viajou. Se Vanderlia viajou, o navio afundou. Ora, o navio no afundou. Logo:

a) Vera no viajou e Carla no foi ao casamento.

b) Camile e Carla no foram ao casamento.

c) Carla no foi ao casamento e Vanderlia no viajou.

d) Carla no foi ao casamento e Vanderlia viajou.

e) Vera e Vanderlia no viajaram.

12. Considere a seguinte tabela-verdade:

p

q

pq

pq

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

Podemos escrever:

a) pq verdade pq verdade

b) pq verdade pq verdade

c) pq verdade pq verdade

d) pq falso pq falso

e) pq falso pq verdade

13. Duas grandezas x e y so tais que: se x=3, ento y=7. Pode-se concluir que:

a) se ento

b) se ento

c) se ento

d) se ento

e) nenhuma das concluses acima vlida.

14. Maria magra ou Bernardo barrigudo. Se Lcia linda, ento Csar no careca. Se Bernardo barrigudo, ento Csar careca. Ora, Lcia linda. Logo:

a) Maria magra e Bernard no barrigudo.

b) Bernardo barrigudo ou Csar careca.

c) Csar careca e Maria magra.

d) Maria no magra e Bernardo barrigudo.

e) Lcia e linda e Csar careca.

15. Se Carlos mais velho do que Pedro, ento Maria e Jlia tm a mesma idade. Se Maria e Jlia tm a mesma idade, ento Joo mais moo do que Pedro. Se Joo mais moo do que Pedro, ento Carlos mais velho do que Maria. Ora, Carlos no mais velho do que Maria. Ento:

a) Carlos no mais velho do que Jlia e Joo mais moo do que Pedro.

b) Carlos mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia tm a mesma idade.

c) Carlos e Joo so mais moos do que Pedro.

d) Carlos mais velho do que Pedro, e Joo mais moo do que Pedro.

e) Carlos no mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia no tm a mesma idade.

16. Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que:

a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro.

b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro.

c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro.

d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista.

e) Andr no artista e Bernardo engenheiro.

17. Ou Anais ser professora, ou Anelise ser cantora, ou Anamlia ser pianista. Se Ana for atleta, ento Anamlia ser pianista. Se Anelise for cantora, ento Ana ser atleta. Ora, Anamlia no ser pianista. Ento:

a) Anais ser professora e Anelise no ser cantora.

b) Anais no ser professora e Ana no ser atleta.

c) Anelise no ser cantora e Ana ser atleta.

d) Anelise ser cantora ou Ana ser atleta.

e) Anelise ser cantora e Anamlia no ser pianista.

18. Se Flvia filha de Fernanda, ento Ana no filha de Alice. Ou Ana filha de Alice, ou nia filha de Elisa. Se Paula no filha de Paulete, ento Flvia filha de Fernanda. Mas acontece que nem nia filha de Elisa nem Ins filha de Elisa. Com isso, podemos afirmar que:

a) Paula filha de Paulete e Flvia filha de Fernanda.

b) Paula filha de Paulete e Ana filha de Alice.

c) Paula no filha de Paulete e Ana filha de Alice.

d) Se Ana filha de Elisa, Flvia filha de Fernanda.

e) nia filha de Elisa ou Flvia filha de Fernanda.

19. Se verdade que Nenhum artista atleta, ento tambm ser verdade que:

a) Todos no-artistas so no-atletas.

b) Nenhum atleta no-artista.

c) Nenhum artista no-atleta.

d) Pelo menos um no-atleta artista.

e) Nenhum no-atleta artista.

20. Se os pais dos filhos morenos sempre so morenos, ento podemos afirmar que:

a) Os filhos de no-morenos nunca so morenos.

b) Os filhos de morenos sempre so loiros.

c) Os filhos de morenos nunca so morenos.

d) Os filhos de no-morenos sempre so morenos.

e) Os pais de filhos morenos nem sempre so morenos.

21. A negao da sentena Ana no voltou e foi ao cinema :

a) Ana voltou ou no foi ao cinema.

b) Ana voltou e no foi ao cinema.

c) Ana no voltou ou no foi ao cinema.

d) Ana no voltou e no foi ao cinema.

e) Ana no voltou e foi ao cinema.

22. Todos os mdicos so magros. Nenhum magro sabe correr. Podemos afirmar que:

a) Algum mdico no magro.

b) Algum mdico sabe correr.

c) Nenhum mdico sabe correr.

d) Nenhum mdico magro.

e) Algum mdico sabe correr.

23. A negao da proposio Se os preos aumentam, ento as vendas diminuem :

a) Se os preos diminuem, ento as vendas aumentam.

b) Os preos diminuem e as vendas aumentam.

c) Se os preos aumentam, ento as vendas aumentam.

d) As vendas aumentam ou os preos diminuem.

e) Se as vendas aumentam, ento os preos diminuem.

24. Considere as seguintes premissas:

Cludia bonita e inteligente, ou Cludia simptica.

Cludia no simptica.

A partir dessas premissas, conclui-se que Cludia:

a) bonita ou inteligente.

b) bonita e inteligente.

c) bonita e no inteligente.

d) No bonita e no inteligente.

e) No bonita e inteligente.

25. Jair est machucado ou no quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo:

a) Jair no est machucado nem quer jogar.

b) Jair no quer jogar nem est machucado.

c) Jair no est machucado e quer jogar.

d) Jair est machucado e no quer jogar.

e) Jair est machucado e quer jogar.

26. Assinale a alternativa que apresenta a negao da seguinte sentena: Nenhum pescador mentiroso.

a) Algum pescador mentiroso.

b) Nenhum mentiroso pescador.

c) Todo pescador no mentiroso.

d) Algum mentiroso no pescador.

e) Algum pescador no mentiroso.

27. Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto de vista lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira:

a) Pelo menos um economista no mdico.

b) Nenhum economista mdico.

c) Nenhum mdico economista.

d) Pelo menos um mdico no economista.

e) Todos os no mdicos so no economistas.

28. Se , ento . Se , ento . Por outro lado, , ou . Se , ento . Ora, . Logo:

a)

b)

c)

d)

e)

Respostas

(01-C) (02-D) (03-A) (04-A) (05-A) (06-A) (07-D) (08-E) (09-A) (10-C) (11-E) (12-D) (13-B) (14-A) (15-E) (16-E) (17-A) (18-B) (19-D) (20-C) (21-A) (22-C) (23-E) (24-B) (25-E) (26-A) (27-D) (28-C)

Operao com Conjuntos

Em algumas situaes, smbolos matemticos so usados para facilitar a compreenso e o estudo de temas mais tericos, inclusive de outras reas, como a Lgica Matemtica.

Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, so usados para facilitar o estudo de afirmaes ou sentenas lgicas argumentativas.

Ao afirmar, por exemplo, que toda banana uma fruta, mas nem toda fruta uma banana, podemos usar a seguinte representao com diagramas de Venn.

Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana est contido no conjunto das frutas e que o conjunto das frutas contm o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que banana frutas e que frutas banana.

Em termos de Lgica Matemtica, podemos afirmar de algumas maneiras, como: Toda banana um fruta ou No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas.

Tipos de relao entre Conjuntos

Existem, fundamentalmente, trs situaes possveis que relacionam dois tipos de conjunto numrico ou no e relacionam tambm:

I Um conjunto A contm o conjunto B ou o conjunto B est contido no conjunto A(AB)(BA).

II Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum (AB).

III Os conjuntos A e B no possuem uma parte de seus elementos em comum (AB)=.

Observaes:

1. Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos anteriores: os conjuntos esto contidos em outros conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou todos os conjuntos no possuem nenhum elemento em comum.

2. No nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem descritos de formas diferentes, por exemplo:

A = conjunto dos nmeros pares.

B = conjunto dos nmeros escritos na forma 2n.

A=B.

Ateno: Os diagramas de Venn servem para auxiliar a visualizao de afirmaes, em que se pode constatar se um grupo de elementos faz parte do outro, se est contido em outro grupo de elementos ou se no existe nenhuma relao entre os referidos grupos de elementos.

Conjunto contido em outro Conjunto

O conjunto B est contido no conjunto A completamente. E no podemos dizer o mesmo da situao inversa: o conjunto A est contido no conjunto B.

Exemplos

1. Toda televiso um eletrodomstico, mas nem todo eletrodomstico uma televiso.

2. O cigarro uma droga, mas nem toda droga cigarro.

3. Todo nmero natural um nmero inteiro, mas nem todo nmero inteiro um nmero natural.

Ateno: Existem proposies ou sentenas que indicam elementos em comum. Nos diagramas de Venn, esses elementos em comum so representados como a interseco dos conjuntos ou proposies. Por exemplo, na proposio Conjuntos numricos uma disciplina da Matemtica cobrada tanto em provas de Raciocnio Lgico quanto em provas de Matemtica, temos que o elemento Conjuntos Numricos a interseco dos dois conjuntos Raciocnio Lgico e Matemtica.

Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum

Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum.

Em termos de Lgica Matemtica, podemos dizer que algum elemento de A elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo:

Motocicletas e automveis possuem rodas: as primeiras possuem duas rodas e os ltimos possuem quatro rodas.

Observao: Existem vrios elementos comuns, como as rodas.

Ateno: Algumas proposies podem conter informaes de dois ou mais conjuntos numricos. Essas informaes podem ser representadas por meio de diagramas de Venn.

Os conjuntos que no possuem elementos em comum

Os conjuntos A e B no possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lgica, podemos afirmar que nenhum elemento de A elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo

Indicar o diagrama que melhor representa a relao entre os conjuntos citados: Fuscas, carros, rios

Como todo fusca um carro e no existe relao nenhuma entre carros e rios, o diagrama que melhor representa a situao o primeiro, pois o conjunto de fuas est contido no conjunto de carros.

Ateno: Existem proposies que podem ser consideradas exclusivas, isto , no possuem elemento nenhum em comum. Por exemplo, na seguinte proposio: Ronaldo um grande jogador de futebol e Roberto Carlos um fantstico cantor nacional.

Teoria dos Conjuntos

Para desenvolvermos o estudo da Teoria dos Conjuntos, necessrio partir de noes elementares que so admitidas sem definio. Essas noes elementares so chamadas de conceitos primitivos.

Associamos idia de conjunto s de grupo, coleo ou classe e, idia de elemento, os objetos ou coisas que constituem o conjunto.

Exemplos

1. P = Conjunto dos nmeros primos entre 1 e 9.

Elementos: 2, 3, 5, 7.

2. N = Conjunto dos algarismos do nmero 4.123.

Elementos: 1, 2, 3, 4.

Associamos idia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos, ento, que o elemento pertence ao conjunto. Os smbolos e so usados para relacionar elementos com conjuntos.

= pertence.

= no pertence.

Exemplos

Considerando os conjuntos dos exemplos anteriores:

1. 6 P.

2. 2 N.

Representao de Conjuntos

Um conjunto de elementos pode ser representado de trs formas.

Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro.

a) pela enumerao de seus elementos:

M = {janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}.

b) por meio de uma propriedade caracterstica de seus elementos:

M = {mM|m um ms do ano que possui 31 dias}.

c) graficamente, por meio de diagramas:

Ateno: Quando representamos um conjunto por enumerao, escrevemos seus elementos entre chaves, separando-os por vrgula sem repetio.

Exemplo

A = conjunto das vogais do alfabeto.

A={i,a,o,e,u}.

Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos

Um conjunto pode ser caracterizado em funo do nmero de elementos.

Denominamos n(A) o nmero de elementos distinto de um conjunto A qualquer.

Com isso, um conjunto pode ser caracterizado conforme a quantidade de elementos distintos que a ele pertence.

I Se um conjunto no possuir elementos (n(A)=0), ser chamado de conjunto vazio.

II Quando o conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), ser chamado de conjunto unitrio. De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Exemplos

1. um conjunto finito e n(A)=4.

2. no possui elementos: n(B)=0. B um conjunto vazio.

3. O conjunto dos nmeros naturais, , um conjunto infinito. No h como determinar seu n(N).

Para desenvolvermos um estudo de conjuntos, necessrio admitir a existncia de um conjunto ao qual pertencem os elementos envolvidos nesse estudo. A esse conjunto denominamos conjunto universo.

Esse conjunto pode ser finito ou infinito e simbolizado por U.

Exemplo

Considerando e , temos:

Como ento

Ateno: Conjuntos iguais: dois conjuntos so considerados iguais se e somente se possuem os mesmos elementos.

e possuem os mesmos elementos: os conjuntos A e B so iguais A = B.

Incluso de Conjuntos

Se todos os elementos de um conjunto A tambm pertencem a um conjunto B, dizemos que A est contido em B, ou ainda que A subconjunto de B.

Notao

Significa dizer que o conjunto A est contido no conjunto B se e somente e todo elemento do conjunto A tambm elemento do conjunto B.

Exemplo

Dados os conjuntos:

Todo elemento do conjunto A elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A. Logo: AB e BA.

Isso ocorre sempre que temos conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto ser contido em si mesmo.

Ateno: Incluso de conjuntos: se existir pelo menos um elemento de A que no pertena a B, dizemos que A no est contido em B, ou que A no subconjunto de B. Notao: .

(A)

(BA)

Operao entre Conjuntos

Unio

Chamamos de unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou B.

AB={x|xA ou xB}.

Exemplo

1. e

2. e

Interseo

Chamamos de interseco de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B.

AB={x|xA e xB}.

Exemplos

1. e

Ateno: Quando a interseco entre dois conjuntos o conjunto vazio, os conjuntos so disjuntos.

Observao:

Nmero de elementos do conjunto Unio.

possvel estabelecer uma relao entre o nmero de elementos de uma interseco e o da unio de conjuntos: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB).

Diferena

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferena A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B.

A-B={x|xA e xB}.

Exemplos

1. e

2. e

Complementar

Quando dois conjuntos A e B so tais que A B, d-se o nome de complementar de A em B diferena B A.

No diagrama a seguir, temos:

(A)

(BA)

O conjunto A est contido no conjunto B. Com isso, a regio que fica entre o conjunto B e o conjunto A definida como complementar de A em relao ao conjunto B e escrita como:

Exemplo

1. e

Conjunto Diferena

Propriedades:

1)

2)

3)

4)

Exerccios

1. Um colgio oferece a seus alunos a prtica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vlei e basquete.

- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.

- 21 alunos no praticam nem futebol nem vlei.

- o nmero de alunos que praticam s futebol idntico ao nmero de alunos que praticam s vlei.

- 17 alunos praticam futebol e vlei.

- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, no praticam vlei.

O nmero total de alunos do colgio, no atual semestre, igual a:

a) 93

b) 110

c) 103

d) 99

e) 114

2. Dos 500 msicos de uma Filarmnica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos.

Quantos msicos dessa Filarmnica tocam instrumentos diferentes dos dois citados?

a) 340

b) 280

c) 40

d) 160

e) 10

3. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 no liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 220

b) 240

c) 280

d) 300

e) 340

4. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

a) 1.430

b) 1.450

c) 1.500

d) 1.520

e) 1.600

5. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antgenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas tm o antgeno A, 35 tm o antgeno B e 14 tm o antgeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antgeno O?

a) 50

b) 52

c) 59

d) 63

e) 65

6. Em uma universidade so lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lem o jornal A e 60% lem o jornal B. Sabendo que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que lem ambos os jornais.

a) 40%

b) 45%

c) 50%

d) 60%

e) 65%

7. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 so homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Determine o nmero de homens que no jogam xadrez.

a) 10

b) 15

c) 20

d) 30

e) 40

8. Analisando as carteiras de vacinao das 84 crianas de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina