Séries de Taylor e de Maclaurin

Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo

contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em

x = a é

...)(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

!

)( )(2

0

)(

nn

k

k

k

axn

afax

afaxafafax

k

af

A série de Maclaurin gerada por f é

0

)(2

)(

...,!

)0(...

!2

)0´´()0´()0(

!

)0(

k

nn

kk

xn

fx

fxffx

k

f

a série de Taylor gerada por f em x = 0.

Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum

intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0

a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio

.)(!

)(...)(

!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

)()(2 n

nk

k

n axn

afax

k

afax

afaxafafxP

Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma

função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um

resto Rn(x) definido por

)()()( xRxPxf nn

O valor absoluto )()()( xPxfxR nn é chamado de erro associado à

aproximação.

Teorema de Taylor

Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a,

então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que

),()(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()( )(

)(2 xRax

n

afax

afaxafafxf n

nn

onde

.)()1(

)()( 1

)1(

nn

n axn

cfxR

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( nn Mrtf para todo t

entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a

desigualdade

.)!1(

)(

11

n

axrMxR

nn

n

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do

Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

Combinando Séries de Taylor

Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem

ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os

resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é

a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a

enésima derivada de f + g é f(n)

+ g(n)

e assim por diante.

Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na

série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A

série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para

sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de

todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.

Séries de Fourier

1

0 .sencos2

)(n

nnL

xnb

L

xna

axf

(1)

Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A

equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).

Coeficientes na Expansão em Série de Fourier

1) L

Ldx

L

xn0cos

2) L

Ldx

L

xn0sen

3)

L

L nmL

nmdx

L

xm

L

xn

,

,0coscos

4) L

Ldx

L

xm

L

xn0cossen

5)

l

L nmL

nmdx

L

xm

L

xn

,

,0sensen

Cálculo de a0

Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as

operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter

L

Ln

L

Ln

n

L

Ln

L

Ldx

L

xnbdx

L

xnadx

adxxf

11

0 .sencos2

)(

(2)

Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da

equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,

.22

)( 0

00 LaL

Lxadx

adxxf

L

L

L

L

Então, obtemos a0:

L

Ldxxf

La .)(

10

Cálculo de am

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/cos( Lxm , m > 0, e

integramos o resultado de – L a L:

1

1

0

.cossen

coscos

cos2

cos)(

n

L

Ln

n

L

Ln

L

L

L

L

dxL

xm

L

xnb

dxL

xm

L

xna

dxL

xmadx

L

xmxf

(4)

A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela

dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação

para

L

L

L

Lmm Ladx

L

xm

L

xmadx

L

xmxf .coscoscos)(

Portanto,

L

Lm dx

L

xmxf

La .cos)(

1

Cálculo de bm

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxm , m > 0, e

integramos o resultado de – L a L:

1

1

0

.sensen

sencos

sen2

sen)(

n

L

Ln

n

L

Ln

l

L

L

L

dxL

xm

L

xnb

dxL

xm

L

xna

dxL

xmadx

L

xmxf

Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos

L

L

L

Lmm Lbdx

L

xm

L

xmbdx

L

xmxf

sensensen)(

Portanto,

L

Lm dx

L

xmxf

Lb .sen)(

1 (6)

A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas

equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada

de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As

constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.

Definição – Séries de Fourier

A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é

1

0 .sencos2

)(n

nnL

xnb

L

xna

axf

L

Ldxxf

La .)(

10

L

Ln dx

L

xnxf

La .cos)(

1

L

Ln dx

L

xnxf

Lb .sen)(

1