TCFE07082 5 Analise Circuitos Lineares

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Março de 2008 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica

1

Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica

Análise de Circuitos Lineares

Teresa Mendes de [email protected]

DEEC

Área Científica de Electrónica

Março de 2008© T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica

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TCFE Análise de Circuitos Lineares

Matéria

Simplificação de circuitos

Resistências em série e em

paralelo

Fontes de tensão em série

Fontes de corrente em paralelo Simplificação de circuitos

Circuito Linear

Linearidade

Homogeneidade

Aditividade

Aplicação na simplificação de

circuitos

Teorema da Sobreposição Aplicação na análise e

simplificação de circuitos

Circuitos equivalentes

Thévenin

Norton

Teoremas de Thévenin e de

Norton Equivalentes de circuitos

sem geradores

com geradores independentes

com geradores dependentes e

independentes

só com geradores dependentes

Conversão de geradores

Aplicação na análise esimplificação de circuitos

Exemplos de aplicação




3


+

V

-

+

V

-

I I

Simplificação de circuitos

Resulta de aplicar Lei Ohm, KCL, KVL

Resistências em série

Resistências em paralelo

Geradores de Tensão em série é preciso ter em conta polaridade

das tensões

Fontes de Corrente em paralelo é preciso ter em conta sentido

das correntes

1 2S R R R= +

1 2

1 2

P

R R R

R R=

+

1 2V V V = −

1 2 I I I = −


4


Exemplo de simplificação de circuitos

Calcular i(t) simplificando o circuito 1 malha

todos componentes em série

mesma corrente em todos componentes

simplificar geradores de tensão

simplificar resistências

resulta um circuito mais simples para o cálculo da grandezaeléctrica pretendida, neste caso, a corrente i(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5v t v t v t v t v t v t = − + − −

1 2S R R R= +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5

1 2S

v t v t v t v t v t v t i t

R R R

− + − −= =

+

circuitos

equivalentes

para o

cálculo de i(t)




5


Exemplo de simplificação de circuitos

Calcular i 5(t)=i R2(t) simplificando o circuito

2 nós – todos componentes em paralelo

simplificar fontes de corrente

usar equação do divisor de corrente

Calcular V bc=V b-V c=V 20k simplificando o circuito

simplificar geradores de tensão, simplificar resistências

usar equação do divisor de tensão

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 6oi t i t i t i t i t = − + −

( ) ( )15

1 2

o

Ri t i t

R R=

+

+ V bc - +

V bc

-

( )20

6 220 40

bcV V = − = −

+


6


Circuito Linear

Descrito por equações algébricas lineares

Componentes do circuito têm características lineares

têm características não lineares mas

podem ser localmente aproximadas

por características lineares

modelos lineares por troços linear não linear

Linearidade linearidade implica homogeneidade e aditividade

homogeneidade

aditividade

circuito linear x , y→ tensão ou corrente

f(x) , f(y)→ tensão ou corrente

( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = +

( ) ( ) f x f xα α =




7


Homogeneidade (escalamento) f( α x)= α f(x)

Quanto vale I se V=24V ? E se V=1,2V ?

não é preciso voltar a analisar o circuito para obter o novo resultado

como é um circuito linear pode fazer-se escalamento do resultado

Quanto vale V out? pela estrutura do circuito (circuito em escada), para fazer a sua análise

é preciso propagar o efeito de V IN =12V desde a entrada até à saída V out

é preciso escolher uma forma de análise do circuito

é preciso analisar o circuito da esquerda para a direita

usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para V out

analisa-se da direita para a esquerda

determina-se V IN correspondente

faz-se escalamento (regra de três simples)

( )

24 ? 126

1,2 ? 0,6

V x V V I mAV I mA

I f x V V I mA R

↔ = → = == =

↔ = → = =


8


Homogeneidade (escalamento) f( α x)= α f(x)

Quanto vale V out? usando homogeneidade

arbitra-se um valor numérico para V out

analisa-se da direita para a esquerda

determina-se V IN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples)

calcula-se V out real

Quanto vale I O se I = 6mA?

arbitrar valor numérico para I O (p. ex. 2mA)

calcular I e escalar o valor obtido

( )

2

1 2

11

0 1 2

0 0 1

0

0

' 4'

' 22

' 4 2 ' 12

'' 4

3

' ' ' 6

' 2 ' ' 24

' 2'

out

out

out out

V V V

I mAk

V k k I V

V I mA

k

I I I mA

V kI V V

V V V V V

=

= =

= + =

= =

= + =

= + =

= =




9


Aditividade f(x+y)=f(x)+f(y)

Circuito linear

a corrente I resulta da presença das duas fontes de tensão V 1 e V 2 a corrente I é a soma de duas parcelas

uma resulta da presença de V 1: V 1→ I 1 a outra resulta da presença de V 2: V 2→ I 2

calcular I 1:

V 1=6V V 2=0V

calcular I 2:

V 1=0V V 2=12V

calcular I:

1

650

80 40 I A

k k µ = =

+

2

120,1 100

80 40 I mA A

k k µ

−= = − = −

+

1 250 I I I A µ = + = −

+ V 2 –+

V 1

–


10



Calcular IO usando linearidade (homogeneidade)

Calcular VO usando linearidade (homogeneidade)

( ) ( ) f x f xα α =




11


Teorema da Sobreposição

Num circuito linear, contendo vários geradores independen-tes, a corrente ou a tensão num ponto pode ser calculada comoa soma algébrica das contribuições individuais de cada um

dos geradores independentes agindo isoladamente considera-se um gerador independente de cada vez

eliminam-se os restantes geradores independentes

eliminar gerador(fonte) de tensão = substituir-se por curto-circuito

eliminar gerador de corrente = substituir-se por circuito aberto

num circuito com N geradores independentes

faz-se a análise de N sub-circuitos mais simples

Calcular i Sub-circuito 1 Sub-circuito 2

i1 i 2i

i = i1 + i 2


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Exemplo de aplicação

Calcular VO=VR6

Sub-circuito 1

divisor de corrente

Sub-circuito 2

divisor de tensão

Soma algébrica das 2 contribuições analisaram-se 2 circuitos mais simples

para cada um escolheu-se um determinado método de análise – que seconsidere mais adequado (simples e rápido)

6'' 3 2

1 2 6O

k V V

k k k = =

+ +

' '' 6O O OV V V V = + =

' 6

2 1 2' 22 1 6 3

' 4

O O

O

O

V kI

k k I mAk k k

V V

=

+= =

+ +

=

' ''O O O

V V V = +( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = +




13



Calcular VO usando o Teorema da Sobreposição


14



Calcular IO e IA usando o Teorema da Sobreposição




15


Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton

Dado um circuito para análise linear ou não linear

Pode ser dividido em 2 circuitos A – circuito linear B – circuito linear ou não linear

O circuito linear A pode ser substituído por um circuitoequivalente mais simples

Circuito equivalente de Thévenin fonte de tensão em série com resistência

VOC = tensão em circuito aberto (open circuit)

Circuito equivalente de Norton fonte de corrente em paralelo com resistência

ISC = corrente de curto-circuito (short-circuit)


16


Teorema de Thévenin

Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, éequivalente a um circuito constituído por uma fonte de tensãoem série com uma resistência VTH = VOC

tensão equivalente de Thévenin tensão em circuito aberto

RTH

resistência equivalente de Thévenin

resistência vista dos dois terminais

Como determinar circuito

equivalente de Thévenin?

analisar circuito linear calcular VOC e RTH

+

V OC

- RTH




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Teorema de Norton

Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, éequivalente a um circuito constituído por uma fonte de cor-rente em paralelo com uma resistência IN = ISC

corrente equivalente de Norton

corrente medida em curto-circuito

RTH

resistência equivalente de Thévenin (Norton)

resistência vista dos dois terminais

Como determinar circuito

equivalente de Norton? analisar circuito linear

calcular ISC RTH RTH

I SC


18


Equivalência entre circuitos Thévenin - Norton

OC TH

SC

V

R I =

Circuitos de Thévenin e Norton são equivalentes ao circuito linear

logo são equivalentes entre si

Qual a relação entre

VOC, ISC e RTH? Uma vez conhecida esta relação, basta calcular duas das

grandezas e pode obter-se a terceira escolher o cálculo das duas grandezas que são mais fáceis de calcular

independentemente do tipo de circuito equivalente (Thévenin ou Norton)

que se pretende determinar

Método de cálculo de VOC, ISC e RTH? depende da estrutura do circuito linear que se tem de analisar e do qual se

pretende calcular o circuito equivalente (Thévenin ou Norton)

Tem geradores?... São independentes?... Tem geradores dependentes?...




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Circuito sem geradores

VOC = 0

ISC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia no circuito, não há corrente

eléctrica!

RTH = simplificação das resistências do circuito

Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton são apenas uma resistência de valor RTH

Qual o circuito equivalente de Thévenin/Norton?

RTH =22kΩ ΩΩ Ω RTH =3kΩ ΩΩ Ω

A

B


20


1

2

I SC

Circuito só com geradores independentes

Podem calcular-se as 3 grandezas: VOC, ISC ou RTH

VOC – calculada com o circuito em aberto

ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais

RTH – eliminam-se geradores independentes e simplificam-se resistências

calcular apenas 2 grandezas – escolher mais fáceis

Calcular equivalente de Thévenin

visto para a esquerda dos nós 1 e 2 VOC – divisor de tensão

RTH – elimina-se fonte independente

ISC – curto-circuito entre 1 e 2

não passa corrente na R20k

( )12

206 2

20 40OC

k V V V

k k = = − = −

+

4020 // 40 13,33TH

k R k k k

= = = Ω

60,15

40SC

I mAk

−= = −

13,3k Ω

2V

1

2

+

V OC

-

1

2




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Circuito com geradores independentes e dependentes

Calcular VOC e ISC

VOC – calculada com o circuito em aberto

ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais

Obter RTH = VOC /ISC

Calcular equivalente de Norton visto para a esquerda de a-b

VOC

ISC

RTH

a

b

1

12 22

3 1

2

OC ab O

OC

OC

V V V

V k I

VO I I mA

k k

V V

= =

= ×

−= ⇔ =

+

=

( ) 1

120 2 0, 0 4

3O O R k SC V V V I I mA

k = Ω

= ⇒ = = ⇒ = =

500OC TH

SC

V R

I = = Ω

500Ω4mA

a

b


22


Circuito só com geradores dependentes

VOC = 0

ISC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia independente no circuito, não há

corrente eléctrica!

Não se pode calcular RTH = VOC /ISC

obtém-se uma indeterminação matemática

É preciso usar uma fonte de teste dependendo do circuito aplica-se fonte de tensão (V T ) ou de corrente ( I T )

aos terminais do circuito

a razão entre V T e I T é a resistência equivalente de Thévenin

I T

+V T

-

V T

I T

T TH

T

V R

I =

A

B




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Circuito só com geradores dependentes

Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais AB VOC=0 ISC=0

aplicar fonte de teste de tensão VT=1V

calcular a corrente IT=I0

calcular RTH=VT /IT=1/IT

cálculo de IT

KVL malha exterior, KCL nó V1

calcular Vx, I1, I2 e I3, I0=IT

V T I T

1

11 1

1

1

2 1

01 2 1

3

7

3

1 7

AB x

x

x

x

V V V

V V V V

k k k

V V

V I mA

k

= = +

− −

+ + =

=

= =

2

3

0 1 2 3

1 2 1

1 7

1 1

2 2

15 1 14

14 15

x

T TH

T

V I mA

k

I mAk

I I I I I mA R k I

−= =

= =

= = + + = = = Ω

A

B


24


Conversão de Geradores

Geradores reais gerador de tensão real – tem resistência interna em série

gerador de corrente real – tem resistência interna em paralelo

Um gerador de tensão real é equivalente a um gerador decorrente real esta equivalência pode usar-se para simplificar circuitos

Calcular VO

OC TH

SC

V R

I =

( )

44

4 4 4

1

8

O

O

O

k I mA

k k k

I mA

V V

=

+ +

=

=




25


Como determinar circuito equivalente?

Pode determinar-se circuito equivalente calculando o equivalente de todo o circuito linear

calculando parcialmente um circuito equivalente

nunca se podem separar as variáveis de controlo dos geradoresdependentes, da parte do circuito onde estes estão inseridos!

Calcular VO

6OC

V V = −

18SC I mA= −

18

7O

V V = −


26



Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton




27





28



Calcular circuitos equivalentes de Thévenin e Norton vistosdos terminais A-B




29





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Ferramentas de análise de circuitos lineares

Lei de Ohm e Leis de Kirchhoff (KCL e KVL)

Componentes em série e paralelo Resistências, geradores(fontes) de tensão e de corrente

Propriedades de circuito linear Homogeneidade (escalamento), Aditividade

Teorema da Sobreposição

Teoremas de Thévenin e Norton

Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton

Conversão de geradores

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