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Este teorema determina a medida do raio de uma circunferência escrita em um triângulo qualquer segundo a medida dos lados do mesmo.
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Teorema da Circunferência Escrita
Professor Edenilson Macedo Meneguel – [email protected]
Lema1: Equação da altura de um triângulo
Em um triângulo qualquer cujas medidas sejam a, b e c temos:
Onde a + b + c = 2p
Demonstração: Sejam h1, h2 e h3 as alturas dos prolongamentos dos
lados de um triângulo ABC. E sejam . Sem perda de
generalidade temos que: Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo BDC temos:
Além disso, temos que:
E:
De (3) e (2) em (1) temos:
Teorema da Circunferência Escrita
Professor Edenilson Macedo Meneguel – [email protected]
Logo, genericamente temos:
Onde 2p = a + b + c
Teorema de Heron
Em um triângulo qualquer cujas medidas sejam a, b e c sua área é dada pela formula
, onde a + b + c = 2p.
Demonstração
Pelo lema 1 , temos que:
Portanto:
Teorema da Circunferência Escrita
Professor Edenilson Macedo Meneguel – [email protected]
Lei dos senos
Em um triângulo qualquer cujas medidas sejam a, b e c temos:
Onde r é o raio da circunferência escrita.
Demonstração
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C. Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a
conclusão que , porque determinam na
circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos
e , teremos as relações:
Em que b é a medida do lado , oposto a , c é a
medida do lado , oposto a , e 2r é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
Teorema da Circunferência Escrita
Professor Edenilson Macedo Meneguel – [email protected]
Teorema da circunferência escrita
Em um triângulo qualquer o raio da circunferência escrita é igual a ¼ da razão entre o produto das medidas de seus lados pela sua área.
Demonstração Temos que:
Além disso:
Ou seja:
De (2) temos:
De (3) temos:
E, portanto:
De (1) temos:
Teorema da Circunferência Escrita
Professor Edenilson Macedo Meneguel – [email protected]
Logo:
Donde temos:
Pelo teorema de Heron temos:
Ou seja, o raio da circunferência escrita é igual a ¼ da razão entre o produto da medida dos lados do triângulo pela sua área.
