UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI … · “tanques” para a ... desenvolveram-se hipóteses baseadas em conceitos de geometria e de trigonometria que levaram à

UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS

MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE

MATEMÁTICA

CHARLES LUIS BATISTELLA

CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO

REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA

METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO

ERECHIM

2008

2

CHARLES LUIS BATISTELLA

CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO

REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA

METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO

Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra da URI – Campus de Erechim Orientador: Prof. Mestre Clémerson Alberi Pedroso

ERECHIM

2008

3

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à memória de meu pai que me apoiou em todos os momentos.

4

AGRADECIMENTOS

- Primeiramente agradeço a Deus, pela força e coragem que Ele me deu para atingir

meus objetivos.

- Ao meu orientador, Professor Mestre Clémerson Alberi Pedroso, agradeço pelo

apoio, incentivo e pelas sugestões em todas as fases deste trabalho.

- Aos meus amigos e colegas de trabalho, que contribuíram para que este trabalho

fosse realizado, agradeço.

- À minha família, que esteve ao meu lado me apoiando em todos os momentos, sou grato.

5

RESUMO

O objetivo deste trabalho é elaborar modelos matemáticos que permitam encontrar o

volume de uma peça de transição não revolucionável de tubulações quadradas para

circulares e a área da chapa metálica necessária para a sua construção. Tal peça é

usada por funileiros e indústrias em geral, para interligar tubulações de diferentes

geometrias, como, por exemplo, conectar uma tubulação retangular a uma tubulação

circular. Podem ser utilizadas como moegas, onde se deseja estocar certa

quantidade de produto por um período curto ou longo de tempo, para não extrapolar

a capacidade da máquina que está à frente da moega. Também servem de

“tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos, farinhas, entre outros.

A dedução da equação possibilita a obtenção de volumes de peças de transição

rapidamente, sem a necessidade de recorrer a programas gráficos que levam

razoável período de tempo para descobrir esses valores. Com a utilização de um

protótipo, desenvolveram-se hipóteses baseadas em conceitos de geometria e de

trigonometria que levaram à obtenção das equações desejadas. Os resultados foram

comparados com os valores obtidos com o programa AutoCAD 2006, a fim de

validar tais equações. Fizeram-se, também, algumas abordagens sobre a história da

matemática e sobre alguns aspectos de Modelagem Matemática. Destaca-se a

importância da informática, especificamente do programa AutoCAD aliado à

Matemática, do ponto de vista prático e da vantagem do uso das equações obtidas.

Palavras-chave: Peças de transição quadrado para circular. Volume. Área.

6

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Foto de uma peça de transição de tubulações quadradas para

circulares.................................................................................................11

Figura 2 - Vista superior da peça..............................................................................20

Figura 3 - Distribuição dos prismas no cubo............................................................ 20

Figura 4 - Molde maciço da peça..............................................................................21

Figura 5 - Localização das variáveis utilizadas no modelo........................................21

Figura 6 - Localização dos sólidos S1.......................................................................23

Figura 7 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S1................................23

Figura 8 - Vista superior do S1..................................................................................24

Figura 9 - Localização dos sólidos S2.......................................................................25

Figura 10 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S2..............................25

Figura 11 - Localização dos sólidos S3.....................................................................26


Figura 13 - Vista superior do S3................................................................................27

Figura 14 - Localização dos sólidos S4....................................................................28


Figura 16 - Chapa planificada e traçada...................................................................31

Figura 17 - Distribuição das cores na planificação......................................................32

Figura 18 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1........................................33

Figura 19 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A2.........................................34

Figura 20 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A3..........................................35

Figura 21 - Perda do material no corte da planificação em relação a um

retângulo.................................................................................................39

7

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para

o cálculo do volume ................................................................................22

Quadro 2 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para

o cálculo da área......................................................................................33

Quadro 3 - Comparação dos resultados do volume .................................................38

Quadro 4 - Comparação dos resultados da área ......................................................39

8

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................10

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..............................................................................13

2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA.....................................................................................13

2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA..........................................................................15

2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD............................................................................17

3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS.......................................20

3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR.................................................................................................................20

3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)..................................................................23

3.1.2 Cálculo do volume do Sólido 2 (S2)....................................................................25



3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR..................................................................................................29

3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR .....................................................31

3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1).....................................................................33

3.3.2 Cálculo da área do triângulo 2 (A2).....................................................................34

3.3.3 Cálculo da área do triângulo 3 (A3)....................................................................35

3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR.........................................................................................................36

4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS.............................................................38

4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD 2006.................................................................................................38

9

5 CONCLUSÕES.........................................................................................................................41

REFERÊNCIAS............................................................................................................................42

APÊNDICES..................................................................................................................................44 APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do

volume da peça de transição quadrado para circular........................45 APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da

área da planificação da peça de transição quadrado para circular..................................................................................................48

ANEXOS.........................................................................................................................53 ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o

desenvolvimento do modelo para o cálculo da área...............................54 ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório

de água.......................................................................................................54 ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como

moega.........................................................................................................55 ANEXO 4 - Churrasqueira acoplada a uma peça de transição........................................55 ANEXO 5 - Peça de transição retangular para circular interligando tubulação...........56

10

1 INTRODUÇÃO

Desde os primórdios da antiguidade, o homem buscava modelos matemáticos

que sanassem as dificuldades que seus povos encontravam na resolução de

problemas práticos do dia-a-dia. Eram muitas as tentativas e os estudos até

encontrar uma fórmula para um problema específico que lhe desse uma resposta de

maneira rápida e eficaz.

Com o aparecimento de matemáticos importantes, tais como Euclides,

Arquimedes, Tales, Pitágoras, Heron, entre outros, a Matemática ganhou uma nova

ênfase no aprimoramento dos estudos e dos conceitos nos diversos ramos desta

ciência.

Alguns ramos como a Geometria Espacial, Analítica, Descritiva e Diferencial,

foram bastante explorados por Pitágoras, Platão e, sobretudo, por Euclides, que

escreveu um livro chamado “Elementos”. Destaca-se a Geometria Espacial, que

abriu amplos campos de estudos sobre conceitos de três dimensões e espaço.

A curiosidade e o fascínio pelas formas da natureza levaram tais matemáticos a

explorarem estas formas, desenvolvendo estudos sobre sólidos geométricos que se

assemelhassem às configurações encontradas na natureza. Claro que estes sólidos

eram de fácil visualização e de fácil análise. Com isso, foram determinadas

equações particulares para cada sólido, com as quais era possível calcular a área e

o volume dos mesmos.

Graças a estes estudiosos, pode-se calcular facilmente, por exemplo, quantos

mililitros de óleo comporta uma lata com formato cilíndrico, quantos litros de vinhos

cabem em um barril, o espaço ocupado por uma esfera, a capacidade de um

congelador, entre outras aplicações.

11

O volume dos sólidos, tais como o cilindro, tronco de pirâmide, cone, cubo,

paralelepípedo, entre outros, é bastante utilizado na engenharia para construção de

tanques, moegas, tubulações onde passam fluidos e sólidos, caixas de

armazenagem de produtos, etc. A área do quadrado, do retângulo, do círculo, da

coroa circular e do setor circular também é de grande valia, pois através dela

descobrimos a quantidade de material necessário para produzir equipamentos como

os citados anteriormente.

Outros sólidos utilizados comumente na engenharia, conforme ilustra a figura

abaixo, são as peças de transição que compõem tubulações onde se inicia com um

tubo quadrado ou retangular e termina com um tubo circular. Podem ser utilizadas

como moegas ou “tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos ou

sólidos.

Figura 1 – Foto de uma peça de transição de tubulações quadradas para circulares

12

Entretanto, como estas peças servem para acumular produtos e fluidos, é

necessário encontrar o volume e a área da chapa para confecção destas peças. Mas

como fazer isso, se o sólido não é revolucionável? Por isso, estudou-se uma peça

em escala menor para definir uma equação para a capacidade do objeto, bem como

a área de uma superfície plana de uma chapa metálica necessária para a produção

da mesma, uma vez que não existem equações determinadas para este tipo de

artefato metálico.

O presente trabalho foi estruturado da seguinte maneira. Na primeira seção,

descreve-se a importância da Geometria na resolução de problemas, expondo o

problema da pesquisa, a justificativa e explicando a aplicabilidade da peça estudada.

Na segunda seção, faz-se uma abordagem geral sobre a história da matemática,

enfatizando a divisão da Geometria, o surgimento, o significado e a utilização dos

cálculos de volume e da área no ramo das engenharias. A terceira seção traz o

desenvolvimento dos modelos matemáticos para calcular o volume da peça de

transição e a área da planificação utilizada na sua confecção. Na quarta seção,

compara-se, através de quadros, os valores de volume e área encontrados com os

modelos desenvolvidos e os fornecidos pelo programa AutoCAD 2006. Na última

seção, são apresentadas as conclusões da pesquisa.

13

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA

Sabe-se que a Matemática é uma das ciências mais antigas e que é originária de

diversas civilizações da antiguidade. Salienta-se que vários matemáticos, como

Tales, Pitágoras, Arquimedes, Euclides, entre outros, buscavam a compreensão dos

problemas existentes na sua época. Porém, estes problemas que envolviam

Matemática acabavam se tornando de difícil resolução, requerendo um grande

estudo por parte dos matemáticos.

Graças aos matemáticos que aceitaram o desafio e permitiram não rebaixar os

problemas de seus povos, existem muitas interpretações e soluções no que diz

respeito às formulas e teoremas que compõem a geometria, a trigonometria,

cálculos, enfim, tudo que se refere às áreas matemáticas (BARON, 1985, p. 1).

Contudo, muitos registros feitos na época em que viveram, perderam-se com o

tempo e o que foi encontrado está em papiros. Em um deles, denominado Papiro de

Moscou, é apresentado um cálculo do volume do tronco de pirâmide. Conforme o

site Cálculo Matemático (2007), não se sabe se as intenções do papiro eram

pedagógicas ou simplesmente anotações. Basicamente o papiro apresenta

informações sobre trigonometria, aritmética, equações e cálculo de área e volume.

Nota-se que os antigos tinham a preocupação com o estudo da Geometria e

tentavam expressar os fatos em forma de problemas. Vale lembrar que Geometria

significa “medida da terra”, nome dado pelos gregos, conforme citação que segue.

14

Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este conhecimento os gregos deram o nome de Geometria (CÁLCULO MATEMÁTICO, 2007).

A Geometria divide-se em diversos ramos. Alguns deles, como a Geometria

Espacial que funciona como uma ampliação da Geometria Plana (euclidiana) e trata

das técnicas para o estudo de sólidos ou objetos em três dimensões, assim como a

relação entre esses elementos; a Geometria Analítica que investiga as propriedades

das linhas, superfícies e volumes; a Geometria Descritiva com que se representam e

estudam os sólidos tridimensionais, de grande valor, pois os teoremas pertencentes

a estas áreas do conhecimento científico são utilizados, muitas vezes, no cotidiano

sem as pessoas disso se dêem conta, como, por exemplo, a capacidade de uma

garrafa para nela armazenar determinado produto.

Com a definição de sólido que, segundo Euclides, é “aquilo que tem

comprimento, largura, e espessura” (BOYER, 1996, p. 81), surgiu a idéia de volume,

e, no ano de 1615, Joames Kepler estipula a Steometria (“stereo”, que significa

volume e “metria”, que significa medida), ou seja, o cálculo de volume para sólidos

geométricos. A palavra volume vem de volumen, que é a propriedade de um barril

(vinho, azeite, etc) rolar com facilidade.

Tem-se conhecimento de que o matemático Arquimedes atribuiu a Demócrito

teoremas como: “todo prisma triangular se decompõe em três pirâmides

equivalentes, o volume de um cone é um terço do volume do cilindro de mesma

base e altura”. (BARON, 1985, p. 20). Já, Euclides trata do volume no livro “XII dos

Elementos”, porém, não há fórmulas escritas. Arquimedes foi o primeiro a realizar

com autenticidade os cálculos de volume. Seu trabalho foi restrito ao volume da

esfera e da área de sua superfície.

Mas o que quer dizer volume? Conforme o Instituto Nacional de Matemática Pura

e Aplicada (IMPA, 2007), “volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele

ocupado”, sendo isso não uma especificação matemática, mas apenas uma

elaboração intelectual.

15

Em 1669, o físico-matemático inglês Isaac Newton e o matemático Leibniz,

desenvolveram simultaneamente o cálculo diferencial e integral. Desta forma,

tornou-se possível achar o volume e a área de qualquer sólido independente de sua

simetria, pois, antes disso, era necessário o estudo e o conhecimento de geometria

e trigonometria para tentar descobrir alguma fórmula específica para determinar o

volume e a área de cada tipo de sólido.

Nas engenharias os cálculos de volume e área tornam-se necessários para o

dimensionamento dos equipamentos, a fim de verificar se a capacidade atende à

demanda do cliente, o espaço disponível na indústria para locar o equipamento e

também, para averiguar os custos de fabricação contidos. Para tanto, pode-se citar,

por exemplo, a capacidade de armazenamento de grãos de um silo, capacidade de

estocagem em moegas, volume de produto que um transportador helicoidal leva por

hora, volume da câmara do cilindro do motor de um carro.

Com o aprimoramento das técnicas de fabricação, novas formas geométricas

foram surgindo e também softwares específicos de desenho, os quais apresentam

ao desenhista e projetista o cálculo de maneira mais rápida de volumes e de áreas,

sem a necessidade de apelar a várias fórmulas da Geometria.

2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA

Um dos ramos mais instigantes da matemática e que vem contribuindo

ativamente para a construção de modelos nas diversas áreas sociais é a Modelagem

Matemática.

Há várias definições para Modelagem Matemática; resumidamente, constitui-se

do processo de transformação de situações reais em problemas matemáticos e

soluciona-os procurando verificar sua validade no mundo real (BASSANEZI, 2004).

As equações que se utiliza continuamente no meio acadêmico são modelos

matemáticos baseados em teorias e conceitos formulados por estudiosos em vários

anos de pesquisa e dedicação. Alguns destes modelos foram escritos há milhares de

16

anos. Um exemplo disso é o povo egípcio que, segundo o site Somatemática (2007),

utilizavam o cálculo da área para demarcar as proporções de terras destinadas a

cada proprietário, pois os marcos eram levados durante o período das cheias do Rio

Nilo. Quando se deparavam com um terreno irregular, que não era quadrado e nem

triangular, apelavam para um artifício denominado triangulação, usado até os dias

de hoje.

De fato, a Modelagem Matemática busca solucionar problemas e fenômenos,

transformando-os em equações que se possa usufruir de modo contínuo no meio

social. Ainda mostra que a Matemática evolui gradativamente e prova a sua

verdadeira aplicabilidade, não ficando apenas em cálculos mecânicos feitos no

papel.

No entanto, a escolha de um modelo matemático apropriado para corresponder a

fenômenos é muito difícil. Muitas vezes o matemático deve fazer várias tentativas a

fim de escolher o melhor exemplo, aquele que não fique apenas em uma bela

demonstração matemática, mas possa ser articulado e manipulado por outras

pessoas que sejam leigas nestas áreas.

Segundo Bassanezi (2004, p. 12),

[...] um modelo complexo pode ser motivo de orgulho para um matemático

e inadequado para o pesquisador que vai aplicá-lo. Muitas vezes, as

necessidades imediatas de um pesquisador são atendidas por um modelo

parcial e simples, o qual não comporta todas as variáveis que possam

influenciar na dinâmica do fenômeno estudado.

Com o desenvolvimento de computadores mais rápidos e de técnicas numéricas

eficientes, os modelos complexos puderam ser resolvidos quase sem restrições. No

entanto, alguns programas, como o AutoCAD, utilizados nas indústrias por

engenheiros, desenhistas e projetistas, não trazem nos seus padrões “moldar” peças

sem algum padrão de simetria, que é o caso da peça de transição quadrado para

circular.

17

Muitos profissionais, principalmente da área de engenharia, usam programas

como AutoCad, Solid Works, Inventor, entre outros, sem perceber que estes utilizam

inúmeros modelos e variáveis para executar os cálculos de área, volume,

resistência, pressão, etc. Segundo Taube Netto citado por Pallone (2008), “[...] um

modelo matemático pode conter até 30 mil equações e envolver até um milhão de

variáveis. Certamente os avanços da informática permitem hoje que se faça cálculos

para lidar com sistemas tão complexo assim”.

Embora existam programas que respondam de uma forma eficaz na obtenção

dos resultados, não se deve deixar a matemática de lado, pois ela está presente em

todos os meios. Deve-se desafiar e aguçar a capacidade de pensar, de modo que se

possa resolver os problemas cotidianos de maneira ampla e clara, através de

modelos matemáticos consistentes que visem a facilitar e agilizar as tarefas

propostas nos diversos ramos profissionais.

2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD

Computer-Aided Design (CAD), ou desenho auxiliado por computador, é definido

pela Wikipédia (2008), como o nome genérico de sistemas computacionais

(software) utilizados pela engenharia, geologia, arquitetura, e design para facilitar o

projeto e desenho técnicos.

Conforme a enciclopédia virtual, referida, estes sistemas consistem numa série

de ferramentas para construção de entidades geométricas planas (como linhas,

curvas, polígonos) ou mesmo objetos tridimensionais (cubos, esferas, etc.). Também

deve haver ferramentas para relacionar essas entidades ou esses objetos, por

exemplo: criar um arredondamento (filete) entre duas linhas ou subtrair as formas de

dois objetos tridimensionais para obter um terceiro.

Ainda é encontrada na Wikipédia (2008) uma abordagem referente à divisão

entre os softwares CAD. É baseada na capacidade do programa em desenhar

apenas em 2 dimensões ou criar modelos tridimensionais. Nos softwares pode haver

intercâmbio entre o modelo 3D e o desenho 2D (por exemplo, o desenho 2D pode

18

ser gerado automaticamente a partir do modelo 3D).

Conforme a Wikipédia (2008), a utilização dos softwares CAD fica limitada a um

grupo pequeno de usuários, devido a sua intensa especialização e a seu alto custo.

Existem poucas ferramentas livres nessa área, e em muitos aspectos ficam aquém

dos softwares comerciais. Também costumam demandar hardware caro.

O principal software CAD para indústrias pequenas, arquitetos e treinamento é o

AutoCAD, produzido pela empresa Autodesk. Seu formato de armazenamento de

arquivo (ficheiro), o DWG (Drawing), é muito difundido no mercado, e isso fez com

que recentemente um consórcio de empresas fosse formado, advogando pela

passagem do DWG para o domínio público. Para grandes indústrias e projetos mais

complexos, alguns softwares mais usados são o SolidWorks, SolidEdge, o Catia, o

Unigraphics NX, o Pro-Engineer, o Inventor (também da Autodesk) e o Microstation.

A seguir, algumas especificações que a enciclopédia virtual Wikipédia (2008) traz

dos programas mais utilizados pela indústria metal-mecância.

AutoCAD criado e comercializado pela Autodesk, desde 1982, é utilizado

principalmente para a elaboração de peças de desenho técnico em duas dimensões

(2D) e para criação de modelos tridimensionais (3D). Além dos desenhos técnicos, o

software vem disponibilizando, em suas versões mais recentes, vários recursos para

visualização em diversos formatos. É amplamente utilizado em arquitetura, design

de interiores, engenharia mecânica e em vários outros ramos da indústria. O

AutoCAD é atualmente disponibilizado apenas em versões para o sistema

operacional Microsoft Windows.

O SolidWorks é desenvolvido pela SolidWorks Corporation e funciona nos

sistemas operativos Windows. Baseia-se em computação paramétrica, criando

formas tridimensionais a partir de formas geométricas elementares. No ambiente do

SolidWorks, a criação de um sólido ou superfície típica começa com a definição de

topologia em um esboço 2D ou 3D. A topologia define a conectividade e certos

relacionamentos geométricos entre vértices e curvas, no esboço e externos ao

esboço.

19

Autodesk Inventor é um programa que permite modelar imagens a três

dimensões. Os modelos 3D gerados pelo Autodesk Inventor também são funcionais,

ou seja, eles funcionam como no mundo real. Se o modelo for um motor, por

exemplo, as peças que se movem e giram no modelo real também se movem e

giram no modelo 3D. O Autodesk Inventor também contempla a parte de engenharia,

não apenas modelando as peças, como também dimensionando-as, superando

assim o escopo de ferramentas CAD. A versão 11 do produto vem com um módulo

de simulação dinâmica (Dynamic Simulation), onde o mecanismo é colocado sob os

efeitos da aceleração da gravidade e de todas as outras forças presentes no

sistema, permitindo-se observar e analisar seu comportamento.

20

3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS

3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR

Para o desenvolvimento do modelo matemático para calcular o volume da peça

de transição, a parte circular foi substituída por um dodecágono (veja figura 2) para

facilitar no desenvolvimento das equações já que a perda no valor final do volume

seria mínima. Depois, considerando um cubo que foi dividido em vários prismas, cujo

os de mesmo formato e tamanho se atribuiu a mesma cor, conforme figura 3.

Figura 2 – Vista superior da peça

Figura 3 – Distribuição dos prismas no cubo

21

Como se pode observar na figura 3, o sólido 1 e o sólido 2, denominados

respectivamente como S1 e S2, aparecem 8 vezes sobre a superfície do cubo. Já o

sólido 3 e o sólido 4, designados como S3 e S4 , repetem-se 4 vezes. Todos os

sólidos apresentam base triangular.

Após a identificação dos sólidos, a extração dos mesmos do cubo permitiria a

obtenção da peça desejada, conforme indica a figura 4.

Figura 4 – Molde maciço da peça

A figura 5 mostra a localização das variáveis atribuídas para auxiliar na

elaboração do Modelo Matemático.

Figura 5 – Localização das variáveis utilizadas no modelo

22

O quadro 1 ilustra o significado de cada variável e como foram obtidas:

b Largura.

l Comprimento. O comprimento é igual à largura (l=b) por se tratar de um

quadrado. No desenvolvimento do modelo esta variável não aparecerá.

h Altura.

Ød Diâmetro da parte circular.

A

Corresponde ao lado menor da base do sólido S1, obtido da expressão

2

dbA

−= .

2

b

Corresponde ao lado maior da base do S1, obtida através da largura ou

comprimento da peça de transição dividido por dois.

B

Corresponde ao lado maior da base do S2, obtida através do Teorema de

Pitágoras. Resulta na equação 2

2

2A

bB +

= , ou seja, a hipotenusa da base

do S1.

L

Encontrado através do Teorema de Pitágoras. Resulta na equação

2

2

2

+=

pDL , ou seja, a hipotenusa da base do S3.

D Obtido da equação

−

+

= 2

22

22r

bbD , isto é, a altura da base do S3.

r Raio da circunferência.

p Resultante da expressão rp ⋅= 5176,0 , ou seja, distância entre os pontos de

ligação que formam o dodecágono.

r² Resultante da expressão 8660,12 ⋅= pr , ou seja, o raio do círculo que inscreve o

dodecágono.

Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo do

volume

23

A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar o volume de cada

sólido.

3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)

Os Sólidos 1 (S1), em vermelho, estão localizados nas extremidades do cubo e

totalizam 8 prismas de mesmo formato e tamanho, conforme mostra a figura 6. Em

seguida mostram-se, através da figura 7, as variáveis utilizadas para os cálculos

referentes aos sólidos S1.

Figura 6 – Localização dos sólidos S1

Figura 7 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S1

24

Observando a vista superior do S1, conforme mostra a figura 8, A é

perpendicular ao lado .2

b

Figura 8 – Vista superior do S1

Sabe-se que para calcular o volume de um prisma basta encontrar a área da sua

base e multiplica-lá pela sua altura. Como o prisma é uma pirâmide de base

triangular e a área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e

dividindo por dois, a área da base corresponde à equação: 2

2A

b⋅

.

Sabe-se também que o volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume do

prisma de mesma base e mesma altura (DI PIERRO NETTO; ORSI FILHO, 2000).

Então: 3

.2

2

311

hA

b

VhbasedaÁrea

V SS

⋅

=⇒⋅

= , simplificando, obtém-se a equação

geral do volume do S1:

61

hAbVS

⋅⋅=

25


Os Sólidos 2 (S2), em azul, estão localizados entre o S1, em vermelho e o S3, em

verde, totalizando 8 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 9.

Após, mostram-se, através da figura 10, as variáveis utilizadas para os cálculos




26

Para determinar a equação do volume do S2 a fim de que a mesma pudesse ser

usada para encontrar o volume de qualquer outro tipo de peças de transição,

utilizou-se a Fórmula de Heron para encontrar a área da base da pirâmide, onde C é

a área que se deseja encontrar e s corresponde ao semiperímetro. Então:

( ) ( ) ( ) HerondeFórmulaLsBspssC ⇒−⋅−⋅−⋅=

troSemiperímedoEquaçãoLBp

s ⇒++

=2

Obtendo a expressão da área da base da pirâmide é possível modelar a

expressão do volume do S2:

3

.2

hCVS =


Os Sólidos 3 (S3), em verde, estão localizados no meio dos sólidos S2, em azul,

totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 11. Em

seguida, mostram-se, através da figura 12, as variáveis utilizadas para os cálculos



27


A figura 13 mostra a vista superior do S3, onde é possível observar as outras

variáreis utilizadas no cálculo.

Figura 13 – Vista superior do S3

Para determinar a área da base do sólido foi utilizada a fórmula da área de um

triângulo qualquer, fazendo uso das variáveis correspondentes:

23

DpS

⋅=

28

Com isso, é possível expressar o modelo matemático que satisfaz o volume do

S3:

⇒

⋅

⋅

=3

23

hDp

VS 6

3

DphVS

⋅⋅=


Os Sólidos 4 (S4), de cor magenta, estão localizados nas laterais da peça,

totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 14.


As variáveis utilizadas para o cálculo foram as mesmas do S1. Porém, para

encontrar a área da base da pirâmide foi necessário rotacionar a lateral do prisma

90°, de modo que a parte plana ficaria paralela a um plano imaginário, o que

acarretou que a largura continuaria correspondente a b e o comprimento, agora,

correspondesse a h , ou seja, à altura do S4, conforme mostra a figura 15.

29


Neste caso, a área da base é encontrada com a seguinte expressão:

24

hbS

⋅=

Agora, para determinar a equação do volume do S4, é necessário adotar A

como sendo a nova altura. Portanto:

⇒

⋅

⋅

=3

24

Ahb

VS 64

AhbVS

⋅⋅=

3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO

PARA CIRCULAR

Para encontrar a equação geral do volume foi feito um somatório das equações

individuais, multiplicando cada uma pela quantidade dos respectivos sólidos e

simplificando ao máximo todas as expressões. Foi tomado TSV , como a variável que

30

representa o volume total dos sólidos ou a perda do volume em relação ao cubo. Em

seguida, seguem os procedimentos utilizados para definição do modelo matemático

para encontrar o volume total da peça de transição quadrado para circular:

4321 .4.4.8.8 SSSSTS VVVVV +++=

⋅⋅+

⋅⋅+

+

⋅⋅=

6.4

6.4

3

..8

6.8

AhbDphhChAbVTS

( )DpCbAh

VTS ⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅

= 423

2

−

+

⋅+⋅+

−⋅⋅⋅

⋅= 2

22

224

22

3

2r

bbpC

dbb

hVTS

( )[ ]

⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

22282

3

22

2 bpdbCrphVTS

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

22282

3

22

2 bpdbLsBspssrphVTS

Tomando VT como volume da peça de transição, VC como volume do cubo e VTS

como o volume total dos sólidos, é possível escrever uma equação geral simplificada

para o volume. Assim:

TSCT VVV −=

Substituindo as variáveis pelos respectivos valores, obtém-se:

( )

⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅

+⋅−⋅⋅−⋅

⋅−⋅=

4322

22

2

9998,05357,26077,125,0

1250,08170,0

3

2

dbdbd

dbdbhhbVT

31

3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR

Para o desenvolvimento do modelo matemático para encontrar a área da chapa

necessária para a fabricação da peça de transição quadrado para circular, fez-se

uso da chapa planificada, esboçada com o auxílio do AutoCAD 2006.

Como a peça de transição é confeccionada com duas chapas iguais, a

planificação representa apenas a metade do objeto. Os traços marcados na

superfície servem de referência para conformar a peça.

Fazendo uso dos traços referencias, foi possível desenvolver a equação que

determina a área da chapa. Conforme mostra a figura 16, os traços saem dos

vértices da linha b , que corresponde à largura da peça, e ficam a uma distância p

um dos outros, de modo que quando se fizer o somatório de p , ter-se-á o meio

perímetro do círculo da peça de transição. Para ter 100% de garantia que a

planificação corresponderá ao objeto que se almeja produzir, as linhas 2

b e E

devem ser perpendiculares entre si.

Figura 16 – Chapa planificada e traçada

32

Nota-se que a superfície da planificação traçada apresenta triângulos de

diferentes dimensões e áreas. Os de mesma área e tamanho foram nomeados

igualmente e atribuída a mesma cor, conforme mostra a figura 17.

Figura 17 – Distribuição das cores na planificação

Como se pode observar na figura 17, os triângulos 1 e 3, denominados,

respectivamente, A1 e A3, aparecem 2 vezes no desenho da planificação, de modo

que os dois triângulos laterais, quando somados, representam uma única área A1. Já

o triângulo 2, nomeado como A2, repete-se 4 vezes.

Para cada triângulo foram criadas equações individuais da área, utilizando-se

dos princípios básicos de trigonometria e geometria. Após, todas as equações foram

somadas e simplificadas, a fim de se obter uma fórmula onde fosse possível calcular

a área da chapa para fabricação de qualquer peça de transição, utilizando somente

as partes fundamentais do objeto: comprimento, largura, altura e diâmetro.

A maioria das variáveis empregadas para o modelo matemático da área são as

mesmas utilizadas no cálculo do volume. O quadro 2 explana o significado das

demais variáveis e como foram obtidas.

33

Figura 16

E

Corresponde à diagonal do lado da peça de transição encontrada através do

Teorema de Pitágoras com a equação 22 AhE += . Na planificação

corresponde à altura da parte central do objeto.

n Resultante da expressão 2

2

2

+=

bEn , ou seja, a hipotenusa do triângulo 1.

m Resultante da expressão 22 hLm += , ou seja, o lado maior do triângulo 3.

Quadro 2 - variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo da área

A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar a área de cada

triângulo.

3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1)

O triângulo 1 (A1), em magenta, está situado no centro da planificação e nas

laterais, conforme mostra a figura 17, sendo que cada lateral equivale à metade da

A1. Com isso, após somadas as duas laterais, tem-se 2 triângulos de mesmo formato

e mesma área, conforme mostra a figura 18.

Figura 18 – Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1

34

Assim, tem-se:

21

EbA

⋅=


O triângulo 2 (A2), em azul, está situado entre as áreas A1, 2

1A, em magenta, e

A3, em verde, totalizando 4 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme

mostra a figura 17. Abaixo, mostram-se, através da figura 19, as variáveis utilizadas

para os cálculos referentes à área do triângulo A2.


Para determinar a equação da área A2, a fim de que a mesma pudesse ser

usada para encontrar a área de qualquer outro tipo de peças de transição,

novamente foi usada a Fórmula de Heron, onde 2A é a área que se deseja encontrar

e 1s corresponde ao semiperímetro.

35

Assim:

troSemiperímedoEquaçãomnp

s ⇒++

=2

1

( ) ( ) ( ) HerondeFórmulamsnspssA ⇒−⋅−⋅−⋅= 11112


O triângulo 3 (A3), em verde, está situado entre as áreas A2, em azul, totalizando

2 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme mostra a figura 17. A figura

20 mostra as variáveis utilizadas para os cálculos referentes à área do triângulo A3.


troSemiperímedoEquaçãommp

s ⇒++

=2

2

( ) ( ) ( ) HerondeFórmulamsmspssA ⇒−⋅−⋅−⋅= 22223

36

3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA

PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR

Para encontrar a equação geral da área foi feito um somatório das equações

individuais das áreas, multiplicando cada uma pela quantidade que aparece na

planificação. Foi tomada TA , como a variável que representa a área total da

planificação. Abaixo segue demonstração dos procedimentos utilizados para

definição do modelo matemático para encontrar a área total da planificação da peça

de transição quadrado para circular:

( ) 231 42 AAAAT ⋅++⋅=

( ) ( ) ( ) ( )msnspsspssmsEb

AT −⋅−⋅−⋅⋅+

⋅−⋅−+

+⋅= 11112

2

22 42

2

( ) ( ) ( ) ( )��

�� DCBA

T msnspsspssmsEb

A −⋅−⋅−⋅⋅+

⋅−⋅−+

+⋅= 11112

2

22 42

2

4

24 222 bddbhbA

⋅⋅−++⋅=

dBd

B ⋅=⇒⋅

= 1294,02

2588,0

222 49328,07317,222

1hddbbC ⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=

( )[ ] ( ) 232224322 5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0 bdbddhdbdbdD ⋅−++−+−=

( ) DCBAAT +⋅+⋅= 2

37

Portanto:

( )[ ] ( ) 232224322

222222

5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0

49328,07317,221294,02

24

bdbddhdbdbd

hddbbdbddbhb

AT

⋅−++−+−+

⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−++⋅

=

38

4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS

4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS

DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA

AUTOCAD 2006

Para investigar se as equações encontradas representam o volume e a área da

chapa da peça de transição, foram desenhadas, no AutoCAD 2006, três peças de

diferentes dimensões e, após, os valores encontrados nas expressões foram

comparados com os valores fornecidos pelo programa.

Os quadros abaixo ilustram um comparativo entre os valores encontrados com

as equações e os valores fornecidos pelo programa AutoCAD 2006, bem como o

valor do erro, para o volume e para a área, e a perda de material da planificação em

relação a um retângulo.

PEÇA 1 2 3

LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800

ALTURA (mm) 150 400 950

DIÂMENTRO (mm) 100 300 600

EQ

UA

ÇÃ

O

VOLUME (L) 2,25 62,3333 388,7037

AU

TO

CA

D

VOLUME (L) 2,2499 62,3326 388,7083

ER

RO

(L) 0,0001 0,0007 0,0046

Quadro 3 - Comparação dos resultados do volume

39

PEÇA 1 2 3

LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800

ALTURA (mm) 150 400 950

DIÂMENTRO (mm) 100 300 600 E

QU

AÇ

ÃO

ÁREA (m²) 0,0351 0,3081 1,1534

AU

TO

CA

D

ÁREA (m²) 0,0351 0,3082 1,1535

ER

RO

(m²) 0 0,0001 0,0001

PE

RD

A

(%) 27,32 29,59 27,28

Quadro 4 - Comparação dos resultados da área

Analisando o quadro 3, observa-se que o valores encontrados através da

fórmula do volume ficam muito próximos dos fornecidos pelo programa AutoCAD

2006 e que o erro aumenta pouco à medida que o tamanho da peça aumenta.

Avaliando o quadro 4, também se pode observar que os valores obtidos através

da equação da área ficam bem próximos aos valores fornecidos pelo programa. A

última linha refere-se à perda do material no corte da planificação em relação a um

retângulo, conforme mostra a área hachurada da figura 21.

Figura 21 – Perda do material no corte da planificação em relação à um retângulo

40

Pode-se dizer que a perda de material fica, aproximadamente, entre 27 a 30%.

O valor do erro é decorrente da quantidade de casas decimais usadas. No

cálculo do volume e da área, usando as equações, foram utilizadas quatro casas

decimais com truncamento. Já, o programa AutoCAD 2006, automaticamente ajusta

os valores para quatro casas decimais, porém, sem truncamento.

41

5 CONCLUSÕES

O presente trabalho propõe modelos matemáticos que permitem encontrar o

volume de peças de transição não-revolucionáveis de tubulações quadrangulares

para circulares e para encontrar a área da chapa metálica necessária para a sua

construção a partir de suas dimensões nominais: largura, comprimento, altura e

diâmetro. Mostra formas geométricas incomuns no meio acadêmico, mas que são

utilizadas amplamente nas engenharias.

Observando os resultados analisados, pode-se concluir que os modelos

matemáticos apresentados representam o volume da peça de transição e a área da

sua planificação com pouco erro, se comparados aos resultados apresentados pelo

software AutoCAD 2006.

A elaboração desses modelos pode contribuir para a melhoria de projetos onde

estas peças são aplicadas, trazendo excelente custo benefício, pois deixam o

profissional livre do uso de programas gráficos como o AutoCAD para o cálculo de

volume e áreas que, como abordado neste trabalho, são de alto custo comercial e

dependem de pessoas qualificadas para elaboração de modelos tridimensionais

complexos.

Ressalta-se a extrema importância da Modelagem Matemática em parceria com

a informática, pois graças a estes dois fatores foi possível verificar muito antes do

término do modelo, se as equações elaboradas correspondiam ao volume real do

sólido e à área real da planificação. Uma vez encontrados valores divergentes

significativos, o modelo era ajustado ou corrigido a fim de se obter o máximo de

confiabilidade entre os valores.

Para trabalhos futuros, propõe-se a elaboração de modelos matemáticos para

encontrar o volume de peças de transição de tubulações elípticas para circulares e

elípticas para quadrangulares, assim como a área das planificações.

42

REFERÊNCIAS

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

ARAUJO, Etevaldo C. Curso técnico de caldeiraria. 2. ed. São Paulo: Hemus, 2002.

AUTOCAD. Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/AutoCAD>. Acesso em: 21 maio 2008.

BARON, Margaret E.; BROS, H. J; MAIER, Rudolf (Trad.). Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do cálculo: unidade 1. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.

BASSANEZI, R. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2004. p. 15-41.

______. Modelagem matemática: uma disciplina emergente nos programas de formação de professores. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio9art_1.pdf>. Acesso em: 04 abr. 2008.

BOYER, Carl B.; GOMIDE, Elza F (Trad.). História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

CÁLCULO MATEMÁTICO. História da geometria espacial. Disponível em: <http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm>. Acesso em: 11 nov. 2007.

DI PIERRO NETTO, Scipione; ORSI FILHO, Sérgio. Quanta: matemática em fascículos para o ensino médio: os sólidos geométricos e suas medidas. São Paulo: Saraiva, 2000.

GIECK, Kurt; LAUAND, Carlos Antônio (Trad.). Manual de fórmulas técnicas. São Paulo: Hemus, 2001.

IMPA. Uma introdução ao cálculo de volumes. Disponível em: <http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap5.pdf>. Acesso em: 14 nov. 2007.

43

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.2.

LEITHOLD, Louis; PATARRA, Cyro de Carvalho (Trad.). O cálculo com geometria analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.1.

PALLONE, S. Empresas também utilizam métodos matemáticos. Disponível em: <http://www.comciencia.br/reportagens/modelagem/mod05.htm>. Acesso em: 21 maio 2008.

SENAI – RS. Informações Técnicas-Mecânicas. 10. ed. Porto Alegre: CFP SENAI de Artes Gráficas “Henrique d´Ávila Bertaso”, 1996.

SOMATEMÁTICA. História da geometria. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/geometria.php>. Acesso em: 11 nov. 2007.

44

APÊNDICES

45

APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do

volume da peça de transição quadrado para circular

4321 .4.4.8.8 SSSSTS VVVVV +++=

Substituindo S1, S2, S3 e S4 pelas respectivas equações:

⋅⋅+

⋅⋅+

+

⋅⋅=

6.4

6.4

3

..8

6.8

AhbDphhChAbVTS

Simplificando a expressão tem-se:

( )DpCbAh

VTS ⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅

= 423

2

Substituindo as variáveis A e D:

−

+

⋅+⋅+

−⋅⋅⋅

⋅= 2

22

224

22

3

2r

bbpC

dbb

hVTS

( )[ ]

⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

22282

3

22

2 bpdbCrphVTS

Substituindo C:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

22282

3

22

2 bpdbLsBspssrphVTS

46

Substituindo s:

( )

⋅⋅−⋅−⋅

+

−

++⋅

−

++

⋅

−

++⋅

++

⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

222

22

228

2

3

22

2

bpdb

LLBp

BLBp

pLBpLBp

rp

hVTS

( )( )[ ]

+⋅⋅−+⋅⋅+⋅−−⋅

+⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

2222

2222

3

242242224

2

2

pLpLBpLB

bpdbrp

hVTS

Substituindo B e A contido em B:

( )

( )

+⋅⋅−+

+⋅⋅−⋅

⋅⋅+⋅−

+⋅⋅−⋅

−+⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=2

2

2

22

222

22

2222

3

2

4224

222

22

422

2

2

pLpL

ddbb

pLddbb

bpdbrp

hVTS

47

( )

( )( )( )

⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅−

⋅⋅−⋅+

⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅

−

+⋅⋅⋅−⋅−⋅

−⋅⋅

−⋅⋅

=4

168164

168

84328161616

2244

4

3

2422423

222

3422224

2

2

pdpdbdpd

bpd

bdbLpddbbL

bpdb

rp

hVTS

Substituindo L:

( )

( )( )( )

⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅−

⋅⋅−⋅+

⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅

−

+⋅⋅⋅−⋅−⋅

−⋅⋅

−⋅⋅

=4

910204

208

84248161616

2244

4

3

2422423

222

3422224

2

2

pdpdbdpd

bpd

bdbDpddbbD

bpdb

rp

hVTS

Substituindo D novamente:

( )

( )

( ) ( )

( )

2

2

4 3 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

3 2 4 2 2 4

4 4 4 2 2

16 32 2 32 16 8 24

16 2 8 2 24 2 4 32

4 20 10 92

3 4TS

p r b d p b

r b r b b d d p r

d b d p b r d p b

d p d b d p d ph

V

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⋅ −

48

Substituindo r2 sendo dr ⋅= 4829,02 :

( )

( ) ( )

⋅+⋅⋅−⋅

+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅

+⋅⋅−⋅⋅−−

⋅⋅

=

4224

23222

2

95971,150045,0

3909,360983,0325355,025,0

4829,07071,0

3

2

pdpd

bdpdbpd

dpbpdbh

VTS

Substituindo p sendo dp ⋅= 2588,0 tem-se a equação da perda do volume em relação ao cubo:

⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅

⋅=

432222 9998,05357,26077,125,01250,08170,03

2dbdbddbdb

hVTS

APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da

área da planificação da peça de transição quadrado para circular

( ) 231 42 AAAAT ⋅++⋅=

Substituindo A1, A2 e A3 pelas suas respectivas equações:

( ) ( ) ( ) ( )msnspsspssmsEb

AT −⋅−⋅−⋅⋅+

⋅−⋅−+

+⋅= 11112

2

22 42

2

Para facilitar, cada expressão foi simplificada individualmente. Para isso foram

atribuídas variáveis dividindo a equação em quatro partes: A, B, C e D.

( ) ( ) ( ) ( )��

�� DCBA

T msnspsspssmsEb

A −⋅−⋅−⋅⋅+

⋅−⋅−+

+⋅= 11112

2

22 42

2

Simplificando A:

2

4

2

2

2

22

222

2

2

22

dbdbhb

dbhb

AhbEbA

+⋅⋅−+⋅

=

−+⋅

=+⋅

=

+=

49

4

24 222 bddbhbA

⋅⋅−++⋅=

Simplificando B:

( )2

22

pm

m

mbmsB =

−

+=−= , sendo dp

dp ⋅=⇒⋅= 2588,0

25176,0

dBd

B ⋅=⇒⋅

= 1294,02

2588,0

Simplificando C:

⋅⋅+−

⋅+⋅⋅+=

+⋅−

+=⋅−=

2

2

4

44

2

2

2

2 2222

2

2

2

pmpmpmpmpp

mppssC

2

4 22 pmC

−⋅=

Substituindo p:

( )

2

0670,04

2

2588,04 2222 dmdmC

⋅−⋅=

⋅−⋅=

Substituindo m:

( )2

0670,044

2

0670,04 22222

22 dhLdhLC

⋅−⋅+⋅=

⋅−+⋅=

Substituindo L e p contido em L:

( )

2

0670,041294,04 222

22 dhdDC

⋅−⋅+

⋅+⋅

=

50

2

0670,040670,04 2222 dhdDC

⋅−⋅+⋅+⋅=

2

44 22 hDC

⋅+⋅=

Substituindo D:

( )2

22222

2

422

422

2

2

2

2

2

2

22

hbrbrhr

bb

C⋅++⋅⋅⋅−⋅⋅

=

⋅+

−

+

⋅

=

Substituindo 2r , sendo dr ⋅= 4829,02 :

222 49328,07317,222

1hddbbC ⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=

Simplificando D:

( ) ( ) ( )msnspssD −⋅−⋅−⋅⋅= 11114

Substituindo 1s :

−

++⋅

−

++⋅

−

++⋅

++⋅= m

mnpn

mnpp

mnpmnpD

22224

Simplificando:

−+⋅

−+⋅

−+⋅

++⋅=

22224

mpnnpmpnmmnpD

51

Simplificando:

422422224 222 pnpnmpmnmD −+−++−=

Substituindo m:

( ) ( ) ( ) 42242

2222

2224

22 222 pnpnhLphLnhLD −+−+⋅++⋅++−=

4224222222224224 222222 pnpnhpLphnLnhLhLD −+−++++−−−−=

Substituindo L e simplificando a expressão:

( )[ ] ( ){ }2224222422224 5625,05,25,125,122 pnpnhpnhDpnhDD +−++−++−+−=

Substituindo D e simplificando a expressão:

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )

+−++−++−+

+⋅+−+−+−++⋅−−=

422422242222

4

2

222222

2

22223

2

24

2

5625,05,25,1275,0

25,05,034425,12235,04

pnpnhpnhbpnh

brbpnhbrpnhbrbrD

Substituindo n e simplificando a expressão:

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )

+−+⋅−++++−+

⋅⋅⋅−+−⋅+−+−+⋅−−=

4224222422224

2

2222222

2

22223

2

24

2

5625,05,13750,15,00625,05,225,0

5,0345,045,125,225,04

phphbphbEphbE

rbphbEbrphbErbrD

Substituindo E e simplificando a expressão:

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )

−−−+⋅−−⋅−+

⋅⋅+−−+−++⋅−−=

42222423222

2

2222

2

2223

2

24

2

5625,046250,00625,025,125,0225,0

5,0325,15,025,04

phpdpdbdpdbpd

rbpddbrpddbbrbrD

52

Substituindo 2r , sendo dr ⋅= 4829,02 :

( ) ( ) ( )

( )[ ]

⋅+−⋅−

−−−+⋅−−⋅−⋅−=

2232

42222423222

5,04488,10324,09658,0

5625,049748,00003,025,10168,027164,0

bdpdbd

phpdpdbdpdbpdD

Substituindo p , sendo dpd

p ⋅=⇒⋅= 2588,02

5176,0 :

( )[ ] ( ) 232224322 5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0 bdbddhdbdbdD ⋅−++−+−=

( ) DCBAAT +⋅+⋅= 2

Portanto:

( )[ ] ( ) 232224322

222222

5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0

49328,07317,221294,02

24

bdbddhdbdbd

hddbbdbddbhb

AT

⋅−++−+−+

⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−++⋅

=

53

ANEXOS

54

ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o

desenvolvimento do modelo para o cálculo da área

ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório

de água

55

ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como moega

ANEXO 4 - Churrasqueira acoplada a uma peça de transição

56

ANEXO 5 - Peça de transição retangular para circular interligando tubulação

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