FatoraçãoFatoração
8ª Ano8ª Ano
Unidade Temática:Unidade Temática:
Produtos Produtos NotáveisNotáveis
Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado Quadrado da Soma de da Soma de dois termos:dois termos: bb
aa
bbaa
2)( ba
2b
2a
ba.
ba.
22 ..2 bbaa Soma das Áreas=Soma das Áreas=
)).(( baba
Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois
termos:termos:
bb
aa
bbaa
2)( ba
2)( ba
Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois
termos.termos.
a - a - bb
a - a - bb
2)( ba
2)( ba
22 ..2 bbaa
Calculando a área Calculando a área que sobrou teremos:que sobrou teremos:
)).(( baba
Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:
22 ba
bb
aa
aa
bb
2a
2b
Após a subtração Após a subtração da maior área pela da maior área pela menor área, menor área, marcamos com uma marcamos com uma diagonal separando diagonal separando a área restante a área restante dividindo-a em duas dividindo-a em duas partes, que são dois partes, que são dois trapézios.trapézios.
Após separarmos Após separarmos as áreas, as áreas, registramos registramos algebricamente as algebricamente as partes que sobraram partes que sobraram (lados do trapézio).(lados do trapézio). bb
aa
aa
bb
a - a - bb
a - a - bb
Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:
ba.ba.
Agora se juntarmos Agora se juntarmos os trapézios os trapézios
formaremos um formaremos um retângulo de lado retângulo de lado (a + b) e (a - b) e se (a + b) e (a - b) e se calcularmos a sua calcularmos a sua
área vamos encontrar área vamos encontrar (a (a2 2 - b- b22).).
a + a + bb
a -
ba -
b
)).(( baba 2a 22 ba
bb
2b
22 ba
aa
bb
bbaaaa
bb
Considere um cubo Considere um cubo de aresta “a + b”, de aresta “a + b”,
como o da figura ao como o da figura ao lado.lado.
O volume de um cubo O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓde arestas ℓ é ℓ33, , então o volume do então o volume do cubo representado cubo representado pela figura é (a+b)pela figura é (a+b)33. .
O Cubo da soma de O Cubo da soma de dois termos:dois termos:
Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:
Um cubo de aresta “a”.Um cubo de aresta “a”.
Volume: aVolume: a33..
aa
aaaa33
aa
Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas
a, a e b. a, a e b.
Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume atem volume a22b. b.
O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é
3a3a22b.b.
bb
bb
aa22
bbaa
aa22
bb
aa22 bb
aa
aa
aa
bb
aa
aa
Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas
a, b e b. a, b e b.
Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume abtem volume ab22. .
O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é
3ab3ab22..
abab22
abab22
bb
bb
aa
bb
aa
aabb
bb
abab22
bb
Um cubo de aresta “b”.Um cubo de aresta “b”.
Volume: bVolume: b33..bb33bb
bbbb
aa22 bb
aa22bb
aa33
Somando todos esses Somando todos esses volumes temos:volumes temos:
abab223a 3bba23 23ab
Como o volume do todo é igual à Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, soma dos volumes das partes,
temos:temos:
32233 33)( babbaaba
aa22bb
abab22
abab22
bb33
Projeto Educacional DiademaProjeto Educacional DiademaMonteiro LobatoMonteiro LobatoProfº AmarildoProfº Amarildo
Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo:
23 )(.)()( bababa
)2(.)( 22 bababa
Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:
3a 3bba2 22abba22 2ab
Portanto:Portanto:
32233 33)( babbaaba
1º 1º
TermTermoo
2º 2º TermoTermo
Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.
Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).
Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo: 23 )(.)()( bababa
)2(.)( 22 bababa
Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:
3a 3bba2 22abba22 2ab
O Cubo da diferença de dois termos:O Cubo da diferença de dois termos:
Portanto:Portanto:
32233 33)( babbaaba
1º 1º
TermTermoo
2º 2º TermoTermo
Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.
Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).
Hora da revisão:Hora da revisão:
Diferença de quadrados:Diferença de quadrados:
Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:Quadrado da diferença de dois termos:
2)( ba 22 ..2 bbaa 2)( ba 22 ..2 bbaa
)).(( baba
22 ba
Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos:
Cubo da diferença de dois termos:Cubo da diferença de dois termos:32233 33)( babbaaba
32233 33)( babbaaba
).( axx 2x
Fator ComumFator Comum
FatoraçãoFatoração::
xx
aaxx
2x xa.
xa.
Calculando-se a Calculando-se a Área:Área:
Fator ComumFator ComumFatoraçãoFatoração
::
)2.(2 aa 2.2 a
22aa
44aa
22aa.4
a.4
aa
Colocando o fator Colocando o fator em evidência em evidência
teremos:teremos:
Fazendo o fator Fazendo o fator comum entre as comum entre as
áreas áreas encontraremos :2aencontraremos :2a
por agrupamento:por agrupamento:
amam
bb
aa
mm nn
)).(( nmba ma. na. nb.mb.
FatoraçãoFatoração::
bmbm
aannbnbn
Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. termos apresentados, volta-se ao início.
)).(( nmba
ma. na. nb.mb. ).( nma ).( nmb
Aplicando o fator comum Aplicando o fator comum duplamente:duplamente: