MOVIMENTO
CIRCULAR Prof. Wildson de Aragão
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No Movimento Circular a partícula em questão efetua
uma trajetória circular de raio R e, à medida que o
tempo passa, o deslocamento S da partícula ao longo
dessa trajetória aumenta.
O ângulo ϕ descrito pela partícula é chamado de
deslocamento ou espaço angular. Todas as grandezas
no Movimento Circular são chamadas de grandezas
angulares.
GRANDEZAS ANGULARES
Grandeza
Angular
Símbolo Relação
com a
grandeza
linear
Unidade
Deslocamento
Angular
ϕ S = ϕ. R Radianos
(rad)
Velocidade
Angular
ω V = ω. R Radianos
por
segundo
(rad/s)
Aceleração
Angular
α a = α. R Radianos
por
segundo
ao
quadrado
(rad/s²)
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
No movimento circular uniforme, a velocidade
angular da partícula permanece constante. Sendo
assim, sua aceleração angular α é nula. Nas trajetórias
curvilíneas e circulares existe outra aceleração, que
mantem os corpos presos à orbita. É a aceleração
centrípeta, e seu vetor sempre aponta para o centro da
trajetória.
𝒂 = 𝑽𝟐
𝑹
Como V = ω. R, temos:
𝒂 = 𝝎𝟐. 𝑹
A unidade da aceleração centrípeta é o metro por
segundo ao quadrado (m/s²).
PERÍODO E FREQUENCIA
O Período do Movimento Circular é o tempo
necessário para que a partícula efetue uma volta. Já a
Frequência representa a quantidade de voltas que a
partícula efetua em uma unidade de tempo. No
sistema internacional, a frequência é a quantidade de
revoluções em 1 segundo, e é medida em hertz (hz).
𝒇 = 𝟏
𝑻
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR
Em muitas situações é necessário que o
movimento circular seja transmitido de um corpo para
outro. Utiliza-se nesses casos, o acoplamento de polias
(ou roldanas), como os casos abaixo.
1) ACOPLAMENTO DE ROLDANAS DE EIXOS
DIFERENTES
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As frequencias das roldanas são inversamente
proporcionais a seus raios. A maior polia gira menos
vezes a cada segundo, e vice versa.
2) ACOPLAMENTO DE ROLDANAS DE EIXOS IGUAIS
Para esse acoplamento, as roldanas tem frequências
iguais, já que estão presas ao mesmo eixo.
EXERCÍCIOS
01) (Uff 2001) Considere que a Lua descreve uma
órbita circular em torno da Terra. Assim sendo, assinale
a opção em que estão mais bem representadas a força
resultante ( ) sobre o satélite e a sua velocidade (
).
A)
B)
C)
D)
E)
02) (Pucmg 1997) Um corpo de massa 0,20kg, preso
por um fio, gira em movimento circular e uniforme, de
raio 50cm, sobre uma superfície horizontal lisa. O
trabalho realizado pela força de tração do fio, durante
uma volta completa, é:
A) 0
B) 6,3 J
C) 10 J
D) 1,0 J
E) 3,1 J
03) (Ufmg 1994) A figura a seguir representa três
bolas, A, B e C, que estão presas entre si por cordas de
1,0 m de comprimento cada uma. As bolas giram com
movimento circular uniforme, sobre um plano
horizontal sem atrito, mantendo as cordas esticadas. A
massa de cada bola é igual a 0,5 kg, e a velocidade da
bola C é de 9,0 m/s.
𝑉1 = 𝑉 2
ω1. R1= 𝜔2. 𝑅 2
𝑓1. 𝑅1 = 𝑓2. 𝑅 2
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A alternativa que indica como se relacionam as
velocidades tangenciais vA, vB e vC das bolas A, B e C e
seus respectivos períodos TA, TB e TC é
A) vA < vB < vC ; TA = TB = TC .
B) vA = vB = vC ; TA = TB= TC .
C) vA > vB > vC ; TA = TB = TC .
D) vA = vB = vC ; TA > TB > TC .
E) vA = vB = vC ; TA < TB < TC .
04) (Fei 1994) Um móvel em trajetória circular de raio
r = 5 m parte do repouso com aceleração angular
constante de 10 rad/s2. Quantas voltas ele percorre nos
10 primeiros segundos?
A) 500
B) 250/π
C) 100.π
D) 500/π
E) 500.π
05) (Unesp 1990) Um farol marítimo projeta um facho
de luz contínuo, enquanto gira em torno do seu eixo à
razão de 10 rotações por minuto. Um navio, com o
costado perpendicular ao facho, está parado a 6 km do
farol. Com que velocidade um raio luminoso varre o
costado do navio?
A) 60 m/s
B) 60 km/s
C) 6,3 km/s
D) 630 m/s
E) 1,0 km/s
06) (Cesgranrio 1993) O deslocamento angular de um
ponto do equador terrestre em 1 dia é, para uma
circunferência de raio R, de:
A) 2 π R
B) 180°
C) 3π/2 rad
D) 2 π rad
E) 24 h
07) (Ufv 1999) A figura a seguir mostra o esquema de
rodas dentadas de uma bicicleta de 6 marchas.
Os discos 1 e 2 representam as rodas dentadas ligadas
ao pedal. Os discos 3, 4 e 5 representam as rodas
dentadas ligadas à roda traseira. O par de rodas
dentadas que, ligadas pela corrente, permitiria ao
ciclista subir uma rua inclinada aplicando a menor
força no pedal é:
A) 1 e 5
B) 1 e 4
C) 2 e 3
D) 1 e 3
E) 2 e 5
08) (Unesp 1994) Sejam ω1 e ω2 as velocidades
angulares dos ponteiros das horas de um relógio da
torre de uma igreja e de um relógio de pulso,
respectivamente, e v1 e v2 as velocidades escalares das
extremidades desses ponteiros. Se os dois relógios
fornecem a hora certa, pode-se afirmar que:
A) ω1 = ω2 e v1 = v2.
B) ω1 = ω2 e v1 > v2.
C) ω1 > ω2 e v1 = v2.
D) ω1 > ω2 e v1 > v2.
E) ω1 < ω2 e v1 < v2.
09) (PUCRS 2010) O acoplamento de engrenagens por
correia C, como o que é encontrado nas bicicletas,
pode ser esquematicamente representado por:
Considerando-se que a correia em movimento não
deslize em relação às rodas A e B, enquanto elas giram,
é correto afirmar que
A) a velocidade angular das duas rodas é a mesma
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B) o módulo da aceleração centrípeta dos pontos
periféricos de ambas as rodas tem o mesmo valor.
C) a frequência do movimento de cada polia é
inversamente proporcional ao seu raio.
D) as duas rodas executam o mesmo número de voltas
no mesmo intervalo de tempo.
E) o módulo da velocidade dos pontos periféricos das
rodas é diferente do módulo da velocidade da correia.
10) Uma máquina industrial é movida por um motor
elétrico que utiliza um conjunto de duas polias,
acopladas por uma correia, conforme figura abaixo. A
polia de raio R1= 15 cm está acoplada ao eixo do
motor e executa 3000 rotações por minuto. Não ocorre
escorregamento no contato da correia com as polias.
O número de rotações por minuto, que a polia de raio
R2= 60 cm executa, é de
A) 250
B) 500
C) 750
D) 1000
E) 1200
11) (PUCMINAS 2010) “Nada como um dia após o
outro.” Certamente esse dito popular está relacionado
de alguma forma com a rotação da Terra em torno de
seu próprio eixo, realizando uma rotação completa a
cada 24 horas.
Pode-se então dizer que cada hora corresponde a uma
rotação de:
A) 180º
B) 360º
C) 15º
D) 90º
12) (PUCRIO 2009) O ponteiro dos minutos de um
relógio tem 1 cm. Supondo que o movimento deste
ponteiro é contínuo e que = 3, a velocidade de
translação na extremidade deste ponteiro é:
A) 0,1 cm/min.
B) 0,2 cm/min.
C) 0,3 cm/min.
D) 0,4 cm/min.
E) 0,5 cm/min.
13) (UFF 2009) Na prova de lançamento de martelo
nas Olimpíadas, o atleta coloca o martelo a girar e o
solta quando atinge a maior velocidade que ele lhe
consegue imprimir. Para modelar este fenômeno,
suponha que o martelo execute uma trajetória circular
num plano horizontal. A figura abaixo representa
esquematicamente esta trajetória enquanto o atleta o
acelera, e o ponto A é aquele no qual o martelo é
solto.
Assinale a opção que representa corretamente a
trajetória do martelo, vista de cima, após ser solto.
A)
B)
C)
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D)
E)
14) (PUCSP 2011) Lucas foi presenteado com um
ventilador que, 20 s após ser ligado, atinge uma
frequência de 300 rpm em um movimento
uniformemente acelerado. O espírito científico de
Lucas o fez se perguntar qual seria o número de voltas
efetuadas pelas pás do ventilador durante esse
intervalo de tempo. Usando seus conhecimentos de
Física, ele encontrou
A) 300 voltas
B) 900 voltas
C) 18000 voltas
D) 50 voltas
E) 6000 voltas
15) (PUCMINAS 2009) Um objeto percorre uma
circunferência em movimento circular uniforme. A
força resultante sobre esse objeto
A) é nula, porque não há aceleração.
B) é dirigida para o centro.
C) é tangente à velocidade do objeto.
D) tem sentido contrário ao da velocidade.
16) (FEI 2009) Adotar g = 10m/s2.
Em um parque de diversões, uma roda-gigante de raio
R = 27,0 m parte do repouso e a velocidade de um
ponto na periferia da roda aumenta a uma taxa
constante de 4,0 m/s2. Quando a velocidade do ponto
na periferia da roda for v = 9,0 m/s, qual é a aceleração
total neste ponto?
A) 2,0 m/s2
B) 3,0 m/s2
C) 4,0 m/s2
D) 5,0 m/s2
E) 6,0 m/s2
17) (FEI 2010) Um garoto gira um barbante de 1 m de
comprimento com uma pedra amarrada na
extremidade, fazendo-a descrever uma trajetória
circular. Sobre a direção do vetor velocidade da pedra
podemos afirmar que:
A) é tangente ao barbante.
B) é perpendicular ao barbante.
C) é a soma vetorial das direções tangente e radial da
pedra.
D) é horizontal.
E) é vertical.
18) (UFSM 2009) Um pequeno inseto com massa de 5
g está sobre um LP de vinil que gira a 33 rotações
por minuto, num referencial fixo no aparelho de som.
O inseto ocupa sempre o mesmo ponto do LP, a 10 cm
do centro. O módulo da força horizontal que o
mantém nesse ponto vale, em N,
A) 0,6.
B) 6,1 x 10-2.
C) 1,7 x 10-2.
D) 6,1 x 10-3.
E) 1,7 x 10-3.
19) (UFF 2011) Medidas para facilitar o uso de
bicicletas como meio de transporte individual estão
entre aquelas frequentemente tomadas para diminuir a
produção de poluentes pelo trânsito urbano. Numa
bicicleta, o freio é constituído por sapatas de borracha
que, quando acionadas, comprimem as rodas . Analise
as três possibilidades de posicionamento das sapatas
indicadas em vermelho nas figuras abaixo. Chame de
T1, T2 e T3 o tempo necessário para a parada total das
rodas da bicicleta com cada um desses arranjos.
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Supondo que a velocidade inicial das bicicletas é a
mesma e que a força feita pelas sapatas é igual
nos três casos, é correto, então, afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
20) (Uerj 2009) Uma pequena planta é colocada no
centro P de um círculo, em um ambiente cuja única
iluminação é feita por uma lâmpada L. A lâmpada é
mantida sempre acesa e percorre o perímetro desse
círculo, no sentido horário, em velocidade constante,
retornando a um mesmo ponto a cada período de 12
horas. Observe o esquema.
No interior desse círculo, em um ponto O, há um
obstáculo que projeta sua sombra sobre a planta nos
momentos em que P, O e L estão alinhados, e o ponto
O está entre P e L.
Nessas condições, mediu-se, continuamente, o
quociente entre as taxas de emissão de O2 e de CO2 da
planta. Os resultados do experimento são mostrados
no gráfico, no qual a hora zero corresponde ao
momento em que a lâmpada passa por um ponto A.
As medidas, em graus, dos ângulos formados entre as
retas AP e PO são, aproximadamente, iguais a:
A) 20 e 160
B) 30 e 150
C) 60 e 120
D) 90 e 90
Gabarito – Movimentos Circulares
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A A B C E C B C C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A E D B D B D E C
21) ENEM MEC
22) ENEM MEC
23) ENEM MEC
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24) ENEM MEC
As bicicletas possuem uma corrente que liga uma
coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a
uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como
mostra a figura A.
O número de voltas dadas pela roda traseira a cada
pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.
Quando se dá uma pedalada na bicicleta da figura B
(isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma
volta completa), qual é a distância aproximada
percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o
comprimento de um círculo de raio R é igual a 2πR,
onde π =3 ?
A) 1,2 m
B) 2,4 m
C) 7,2 m
D) 14,4 m
E) 48,0 m
25) ENEM MEC
Com relação ao funcionamento de uma bicicleta de
marchas, onde cada marcha é uma combinação de
uma das coroas dianteiras com uma das coroas
traseiras, são formuladas as seguintes afirmativas:
I. numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e
cinco traseiras, temos um total de dez marchas
possíveis onde cada marcha representa a associação
de uma das coroas dianteiras com uma das traseiras.
II. em alta velocidade, convém acionar a coroa
dianteira de maior raio com a coroa traseira de maior
raio também.
III. em uma subida íngreme, convém acionar a coroa
dianteira de menor raio e a coroa traseira de maior
raio.
Entre as afirmações anteriores, estão corretas:
A) I e III, apenas.
B) I, II e III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) II, apenas.
E) III, apenas.
26) ENEM MEC
As bicicletas possuem uma corrente que liga uma
coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a
uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como
mostra a figura.
O número de voltas dadas pela roda traseira a cada
pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.
Em que opção a seguir a roda traseira dá o maior
número de voltas por pedalada?
A)
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B)
C)
D)
E)
Gabarito – Movimento Circular ENEM
21 22 23 24 25 26
C E A C A A