DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

I. Cabrita Neves

Abril, 2002

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ÍNDICE Pág. 1. Esforços internos em peças lineares 3 2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores 5 3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos

flectores 11 4. Diagramas de esforços normais 13 5. Exemplo 14

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DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

1. Esforços internos em peças lineares Considere-se uma superfície plana cujo centro de gravidade se desloca ao longo de uma linha, cujo comprimento é muito superior às dimensões da superfície, por forma que a linha e a superfície se mantenham permanentemente perpendiculares entre si (Fig. 1). Ao sólido assim gerado dá-se o nome de peça linear, à linha chama-se eixo da peça linear e à superfície plana secção transversal.

Fig. 1 – Peça linear Uma peça linear diz-se de secção constante se as dimensões da superfície que a gera se mantiverem constantes durante o movimento ao longo do eixo. As peças lineares são de eixo rectilíneo ou curvilíneo consoante a forma do seu eixo. As peças lineares de eixo rectilíneo e secção constante chamam-se peças prismáticas. Numa representação esquemática é vulgar reduzir as peças lineares ao seu eixo. Considere-se agora uma estrutura isostática constituída por peças lineares, em equilíbrio sob a acção de um carregamento genérico. Se efectuarmos um corte numa destas peças lineares por uma secção transversal S o equilíbrio rompe-se em geral, sinal claro de que entre as duas partes que resultaram do corte se exerciam forças, ditas forças interiores relativamente à estrutura como um todo, necessárias ao equilíbrio. Estas forças interiores constituem dois sistemas de vectores que se distribuem nas duas secções transversais S1 e S2 que resultaram do corte e que obedecem ao princípio da acção e reacção. Cada um deles representa a acção de uma das partes da peça sobre a outra. Se efectuarmos a redução destes sistemas de vectores no centro de massa de cada uma das secções S1 e S2 obteremos vectores principais R

r e R

r− , e momentos resultantes

Mr

e Mr

− , iguais e opostos (Fig. 2). Estes vectores podem ser decompostos segundo as três direcções de um qualquer referencial ortonormado. No entanto, para decompor Rr

e Mr

adopta-se por convenção o seguinte referencial: começa-se por orientar a peça da esquerda para a direita; isso pode ser feito designando por extremidade 1 a sua extremidade esquerda e por extremidade 2 a sua extremidade direita, ou

Secção transversal S

4

simplesmente orientando o seu eixo da esquerda para a direita através de uma seta (Fig. 3).

Fig. 2 – Elementos de redução das forças de interacção entre duas partes de uma mesma peça linear

A origem do referencial localiza-se no centro de massa da secção da extremidade direita da peça (extremidade 2, secção S2, também chamada secção positiva). O eixo z é tangente ao eixo da peça e aponta para fora. O eixo y é vertical e orientado de cima para baixo e obviamente o eixo x será perpendicular a ambos e formará com eles um referencial directo (orientado para fora do papel).

Fig. 3 – Peça linear orientada e sentidos positivos dos esforços internos. Às componentes xM , yM , zM , xV , yV e N dos elementos de redução M

r e R

r

neste referencial dá-se o nome de esforços internos na secção S da peça linear e serão positivos se tiverem os sentidos indicados, concordantes com os sentidos positivos do referencial escolhido. Repare-se que os vectores M

r e R

r, por um lado, e M

r− e R

r− ,

por outro (Fig. 2), representam dois aspectos de um mesmo efeito de interacção entre as partes esquerda e direita de uma peça linear numa secção S. Por isso, se se utilizar como referencial para efectuar a decomposição dos elementos de redução M

r− e R

r− ,

das forças que actuam na secção S1 (secção negativa), um referencial com origem em G1 e cujos eixos têm sentidos opostos aos eixos do referencial anterior, as componentes de M

r e R

r, e de M

r− e R

r− nos referenciais próprios de cada secção

Rr

Rr

−

Mr

Mr

− G2 G1 parte 2 parte 1

acção da parte 1 sobre a parte 2

acção da parte 2 sobre a parte 1

S2 S1

Rr

1 2 G2

z

x y

S2 Mr

zMr

Nr

yMr

xM

r

yVr

xV

r

5

terão sempre os mesmos sinais. Quando as primeiras forem positivas as segundas também o serão, e vice versa. Ficam assim definidos de forma inequívoca os sinais dos esforços internos numa secção S de uma peça linear. Obviamente que basta considerar os esforços que actuam numa das duas secções, e na prática usa-se unicamente a secção positiva e o referencial correspondente. Às componentes xV e yV chamam-se esforços transversos segundo x e segundo y, respectivamente. Elas representam a tendência para o corte da peça na secção S. À componente N dá-se o nome de esforço normal, dado tratar-se de uma força perpendicular à secção transversal da peça. O seu efeito é o de comprimir ou traccionar a peça. De acordo com a convenção anterior um esforço normal positivo será de tracção e um negativo será de compressão. Às componentes xM e yM dá-se o nome de momentos flectores segundo x e segundo y, e o seu efeito é o de flectirem a peça nos planos yz e xz, respectivamente. A zM chama-se momento torsor e o seu efeito, como o nome indica, é o de produzir torção da peça em torno do seu eixo. Se uma peça linear se encontra em equilíbrio plano, isto é, se se encontra sujeita a forças existentes num único plano, que também contém o seu eixo, só existirão três esforços internos. Esforço normal N, momento flector segundo x, que se designará simplesmente por M, e esforço transverso segundo y, que se representará simplesmente por V. Os seus sentidos positivos nas extremidades esquerda e direita de um troço da peça linear encontram-se representados na Fig. 4.

Fig. 4 – Sentidos positivos dos esforços internos nas extremidades direita e esquerda

de um troço de uma peça linear 2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores Considere-se, a título de exemplo, o caso da viga simplesmente apoiada AB sujeita a uma carga uniformemente distribuída de densidade de distribuição q (Fig. 5).

Fig. 5 – Viga simplesmente apoiada

M M

V V

N N +

q

A B S

z

L RA RB

z

y

6

As reacções nos apoios A e B, arbitradas de baixo para cima, podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio seguintes, tomando para sentido positivo de momentos o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

02L

qLLR0M BA =×−×⇒=∑ (1)

0qLRR0F BAy =+−−⇒=∑ (2)

AB R2L

qR == (3)

Corte-se a viga pela secção S, à distância genérica z do apoio A, e trace-se o diagrama de corpo livre da parte AS (Fig. 6), explicitando os esforços internos em S, que representam a acção da parte SB da viga sobre a parte AS. Estes esforços internos foram arbitrados com o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais estabelecida anteriormente para os esforços internos numa secção.

Fig. 6 – Diagrama de corpo livre do troço AS. A partir deste diagrama de corpo livre e recorrendo às respectivas equações de equilíbrio podem determinar-se os esforços internos na secção S.

0N0Fz =⇒=∑ (4)

−=⇒=++−⇒=∑ z

2L

qV0VzqR0F SSAy (5)

2z

qz2L

qM0zR2z

zqM0M2

SASS −=⇒=−+⇒=∑ (6)

Os resultados obtidos nas Eqs. (5) e (6) mostram que tanto o esforço transverso VS quanto o momento flector MS variam com a posição da secção S considerada. Se representarmos graficamente as funções dadas pelas Eqs. (5) e (6) poderemos ter uma ideia da forma como estes esforços internos variam ao longo do eixo da viga. A esta representação gráfica dá-se o nome de diagramas de esforços internos, neste caso, diagrama de esforços transversos e diagrama de momentos flectores. Comecemos por fazer a representação do diagrama de esforços transversos V , dado pela Eq. (5) (Fig. 7).

q

A S z

MS

AR

N

VS

z

y

7

Fig. 7 – Diagrama de esforços transversos O diagrama de momentos flectores será obtido pela representação gráfica da Eq. 6. Nesta representação iremos inverter, por razões que serão justificadas a seguir, o sentido positivo do eixo das ordenadas M (Fig. 8).

Fig. 8 – Diagrama de momentos flectores A razão pela qual se inverte o sentido do eixo das ordenadas no caso dos diagramas de momentos flectores reside no facto de que ao procedermos deste modo o diagrama nos dá imediatamente uma ideia de como a peça se vai deformar por flexão, isto é, a flexão da peça é concordante com o andamento do diagrama de momentos flectores. Na verdade, se um troço de uma peça linear se encontrar submetido a momentos positivos nas suas extremidades, esse troço flectirá para baixo, isto é, apresentará convexidade para o lado onde são representados os momentos flectores, e vice versa (Fig. 9).

Fig. 9 – Concordância entre deformada e diagrama de momentos flectores

M M deformada da peça

diagrama de momentos flectores

M M

M

M +

z

+ M

M - z

+

A B

z

V

+

-

2qL

+

2qL

−

+

A B

+ 8

qL2

M

z

+

8

Repare-se que os diagramas das Figs. 7 e 8 foram obtidos com base no diagrama de corpo livre da Fig. 6 o qual, neste caso, é válido qualquer que seja z. Se existir uma carga concentrada aplicada num determinado ponto da peça o diagrama de esforços transversos apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Analogamente, se num determinado ponto estiver aplicado um momento, o diagrama de momentos flectores apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Vejamos porquê. Suponhamos que num determinado ponto C da viga anterior actua uma carga concentrada P (Fig. 10).

Fig. 10 . Viga simplesmente apoiada com carga concentrada Calculando momentos das forças que actuam na viga relativamente ao ponto B facilmente se conclui que a reacção em A vale

−=

La

1PR A (7)

O diagrama de corpo livre do troço AS da viga será (Fig. 11)

Fig. 11 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

Pelo equilíbrio de forças segundo a vertical conclui-se imediatamente que

−==

La

1PRV AS (8)

Esta conclusão será válida enquanto for válido o diagrama de corpo livre da Fig. 11 em que se baseou, isto é, enquanto for az ≤ . Para az > o diagrama de corpo livre do troço AS terá que incluir a força P (Fig. 12).

C A B

S

z

a

L

P

z

y

RA RB

A S z

MS

AR

N

VS

z

y

9

Fig. 12 – Diagrama de corpo livre do troço AS. Por soma de forças verticais obtém-se neste caso

LPa

PRV AS −=−= (9)

expressão que será válida para Lza ≤< . O diagrama completo de esforços transversos será então (Fig. 13)

Fig. 13 – Diagrama de esforços transversos. Repare-se que o valor do esforço transverso numa secção S de uma peça de eixo rectilíneo corresponde à soma das componentes segundo a normal ao eixo de todas forças à esquerda de S (ou à direita de S), afectadas do correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais acima adoptada para os esforços transversos. Vejamos agora o caso em que existe um momento aplicado num determinado ponto da peça (Fig. 14).

Fig. 14 – Viga com momento aplicado.

+

A B

z

V

+

-

−

La

P 1

LPa

−

C

A S

z MS

AR

N

VS

P

a

z

y

D A B

S

z

b

L

MD

RA RB

z

y

10

Calculando momentos das forças aplicadas na viga AB relativamente ao ponto B conclui-se facilmente que a reacção em A, arbitrada com o sentido de baixo para cima, vale

LM

R DA = (10)

O diagrama de corpo livre do troço AS da viga permite-nos obter a expressão para o momento flector à esquerda de D, (Fig. 15).

Fig. 15 – Diagrama de corpo livre do troço AS. Calculando momentos em relação a S vem

zL

MM0zRM D

SAS =⇒=− (11)

Para secções S à direita de D o diagrama de corpo livre de AS será (Fig. 16)

Fig. 16 – Diagrama de corpo livre do troço AS. e o momento flector em S será obtido através de

−=⇒=−+⇒=∑ 1

Lz

MM0zRMM0M DSADSS (12)

A partir das Eqs. 11 e 12 pode então obter-se o diagrama de momentos flectores completo (Fig. 17). Tal como acontecia no caso do diagrama de esforços transversos também aqui o valor do momento flector numa secção S pode ser obtido através da soma de todos os momentos aplicados à esquerda de S (ou à direita) com os momentos produzidos relativamente a S por todas as forças à esquerda de S (ou à direita), tendo em conta o correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais anteriormente estabelecida para os momentos flectores.

A S z

MS

AR

N

VS

z

y

D z

MD A

AR

S

MS

N

VS

z

y

11

Fig. 17 – Diagrama de momentos flectores. 3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos

flectores Destaque-se um troço elementar de uma peça linear em equilíbrio e trace-se o seu diagrama de corpo livre (Fig. 18). Note-se que, sendo elementar o comprimento deste troço, e na hipótese de as funções que representam os esforços internos serem contínuas no troço em causa, os esforços que actuam nas suas extremidades esquerda e direita distinguem-se entre si por variações elementares dessas funções. Os esforços foram arbitrados com sentidos positivos, de acordo com a convenção estabelecida, e representou-se por p a densidade de distribuição de carga.

Fig. 18 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear.

Teremos para equações de equilíbrio

( ) 0dVVdzpV0Fy =+++−⇒=∑ (13)

0dzVM2dz

dzpdMM0MB =−−++⇒=∑ (14)

A partir da Eq. 13 obtém-se

dzdV

p −= (15)

Desprezando a terceira parcela da Eq. 14, atendendo a que representa um infinitésimo de ordem superior relativamente às restantes, chega-se a

D

− 1

Lb

MD

A B

+

M

z

+

-

−1

Lb

MD

p(z)

M+dM M

V V+dV

z

dz

A B

y

12

dzdM

V = (16)

As Eqs. 15 e 16 traduzem as relações que devem existir entre os diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos flectores. Se o diagrama de carga for representado por um polinómio de um determinado grau, o diagrama de esforços transversos será representado por um polinómio de um grau acima, e o diagrama de momentos flectores por um polinómio de dois graus acima. Em cada ponto o valor do esforço transverso poderá ser obtido pela tangente ao diagrama de momentos flectores. Em cada ponto a densidade de carga poderá ser obtida através do valor da tangente ao diagrama de esforços transversos com o sinal trocado. Note-se que na Eq. 14 p representa o módulo da densidade de carga de um carregamento que actue com o sentido considerado na Fig. 18, isto é, no sentido positivo do eixo y. Portanto, para efeitos de utilização da Eq. 15, um carregamento será positivo se actuar de cima para baixo. As Eqs. 15 e 16 podem ainda ser escritas na forma

dzpdV −= (17)

dzVdM = (18) Considerando um troço finito de uma peça linear compreendido entre dois pontos A e B escrever-se-á

∫∫ −= B

A

B

A

x

x

V

VdzpdV (19)

∫∫ = B

A

B

A

x

x

M

MdzVdM (20)

ou ainda

∫−= B

A

x

xAB dzpVV (21)

∫+= B

A

x

xAB dzVMM (22)

A Eq. 22 mostra que o momento flector num ponto B pode ser obtido adicionando ao momento flector num ponto A a área abaixo da curva que representa o diagrama de esforços transversos, compreendida entre os pontos A e B. Analogamente, a Eq. 21 indica-nos que o esforço transverso na secção B pode ser obtido subtraindo ao esforço transverso em A a área abaixo do diagrama de carga, compreendida entre os pontos A e B.

13

4. Diagramas de esforços normais Considere-se uma vez mais um troço elementar de uma peça linear, mas desta vez em equilíbrio sob a acção de uma carga distribuída actuando na direcção do eixo da peça, com densidade de distribuição q. Esta carga distribuída pode representar a componente segundo a direcção do eixo da peça de uma carga distribuída actuando com outra orientação qualquer. Trace-se o seu diagrama de corpo livre (Fig. 19). Fig. 19 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear sujeita a

uma carga distribuída actuando segundo o seu eixo. Teremos para equação de equilíbrio

0NdzqdNN0Fz =−++⇒=∑ (23) ou

dzdN

q −= (24)

Esta equação é semelhante à Eq. 15 e pressupõe um sentido positivo de q da esquerda para a direita (o sentido positivo do eixo z). Diz-nos que o valor da densidade de carga distribuída segundo o eixo da peça num determinado ponto pode ser obtido a partir do valor da tangente ao diagrama de esforços normais depois de multiplicado por menos um. Para um troço de dimensão finita AB pode ainda escrever-se, de forma análoga à Eq. 21, a expressão

∫−= B

A

x

xAB dzqNN (25)

que nos mostra que o esforço normal num ponto B se pode obter subtraindo ao esforço normal num ponto A a área abaixo do diagrama de carga axial compreendida entre A e B. Naturalmente, o esforço normal numa secção S de uma peça linear de eixo rectilíneo representa a soma das componentes segundo o eixo da peça de todas as forças à esquerda de S (ou à direita), tendo em conta a convenção de sinais estabelecida para os diagramas de esforços normais.

N+dN N

z

q(z)

dz

A B

y

14

5. Exemplo Pretende-se traçar os diagramas de momentos flectores, de esforços transversos e de esforços normais em todas as barras da estrutura representada na Fig. 20, sujeita ao carregamento indicado.

Fig. 20 – Estrutura com carregamento Resolução Trata-se de uma estrutura exteriormente hiperestática do 2º grau, globalmente isostática, relativamente à qual se sabe desde já que o diagrama de momentos flectores passará necessariamente pelos pontos B, D e G, já que as articulações existentes nestes pontos não impedem, por natureza, as rotações relativas entre as peças que se lhes ligam. O primeiro passo da resolução consiste na determinação das reacções exteriores. Cálculo das reacções exteriores O diagrama de corpo livre da barra DG (Fig. 21) irá permitir-nos determinar a reacção vertical em G com a escrita de uma única equação de equilíbrio.

kN5,121R0482841516R80M GyGyD =⇒=××−×−−⇒=∑ (26) Com base no diagrama de corpo livre do troço BDG (Fig. 22) calcula-se a componente horizontal da reacção em G.

kN7,462R

061228815165,1R125,1210M

Gx

GxB

−=⇒=××−×−−×−×⇒=∑

(27)

A

B

C D E F G

1,5 m

3,0 m

2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 22 kN/m

28 kN/m

16 kN.m

15 kN

15

Finalmente, as três equações de equilíbrio da estrutura como um todo permitem-nos determinar as reacções no encastramento A (Fig. 23).

kN7,429R07,4622

322R0F AxAxx =⇒=−

×+⇒=∑ (28)

Fig. 21 – Diagrama de corpo livre do troço DG

Fig. 22 – Diagrama de corpo livre do troço BDG

kN5,229R05,121151228R0F AyAyy =⇒=+−×−⇒=∑ (29)

m.kN2,1355M05,47,462125,121

168156122812

322M0M

A

AA

−=⇒=×+×

+−×−××−××

−⇒=∑ (30)

Estamos agora em condições de traçar os diagramas de esforços nas várias barras que constituem a estrutura. Começamos por orientar todas as barras da estrutura (Fig. 24). Tracemos seguidamente os diagramas de esforços, começando pela barra AB (Fig. 25).

D E F G

2,0 m 2,0 m 4,0 m

28 kN/m

16 kN.m

15 kN

VD

ND

RG

RGx

x

y

B

C D E F G 1,5 m

2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m

28 kN/m

16 kN.m

15 kN

121,5 kN

RBy

RBx

RGx

x

y

16

Fig. 23 – Diagrama de corpo livre da estrutura como um todo

Fig. 24 – Orientação das barras da estrutura, da esquerda para a direita Tracemos agora os diagramas de esforços na barra BC (Fig. 26). Por a barra ser inclinada teremos o cuidado de decompor as forças que nela actuam em componentes segundo o eixo da barra e segundo a perpendicular antes de traçar os diagramas de esforços. A carga distribuída dá assim origem a duas outras, uma actuando na direcção do eixo da barra e a outra na direcção perpendicular. As reacções em C calculam-se a partir das três equações de equilíbrio das forças que actuam na barra BC. Para traçar os diagramas de esforços no troço CDEG (Fig. 27), começa-se por traçar o diagrama de corpo livre deste troço, colocando em C reacções iguais e de sentido oposto às que actuavam na extremidade C da barra BC.

A

B

C D E F G

A

B

C D E F G 1,5 m

3,0 m

2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 22 kN/m

28 kN/m

16 kN.m

15 kN

121,5 kN

MA

RAy

RAx

462,7 kN

x

y

17

Fig. 25 – Diagramas de esforços na barra AB.

A B Diagrama de esforços transversos na barra AB - 429,7 kN

462,7 kN

Polinómio do 2º grau

Tangente horizontal

A B

Diagrama de momentos flectores na barra AB

+ 1355,2 kN.m

Polinómio do 3º grau

A B Diagrama de esforços normais na barra AB - 229,5 kN

A B

22 kN/m

229,5 kN

429,7 kN

1355,2 kN.m

Diagrama de corpo livre da barra AB

Polinómio do 1º grau

462,7 kN

229,5 kN

18

Fig. 26 – Diagramas de esforços na barra BC.

1,5 m

2,0 m 462,7 kN

229,5 kN

B

C

291,1 kN.m

173,5 kN

462,7 kN

28 kN/m

Diagrama de corpo livre da barra BC

C B

507,9 kN

94 kN

17,92 kN/m

291,0 kN.m

13,44 kN/m

2,5 m 138,8 kN

474,3 kN

Diagrama de corpo livre da barra BC

94 kN 138,8 kN

B C

- Diagrama de esforços transversos na barra BC

Diagrama de momentos flectores na barra BC

B C -

291,0 kN.m

B C

- Diagrama de esforços normais na barra BC 507,9 kN

474,3 kN

Polinómio do 1º grau

Polinómio do 2º grau

19

Fig. 27 – Diagramas de esforços no troço CDEG.

C D E F G

2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m

28 kN/m

16 kN.m

15 kN

121,5 kN

291,1 kN.m

462,7 kN

173,5 kN Diagrama de corpo livre do troço CDEG

462,7 kN

C D E

F G

173,5 kN

121,5 kN

+

-

Diagrama de esforços transversos no troço CDEG

5,5 kN

9,5 kN

C D E

F G

291,0 kN.m

246,0 kN.m

+

-

Diagrama de momentos flectores no troço CDEG

187,0 kN.m

171,0 kN.m

C D E

F G

-

Diagrama de esforços normais no troço CDEG

462,7 kN

Polinómio do 1º grau

Polinómio do 2º grau