- Matemática - Probabilidade

Vamos aprender

Probabilidade

elementos

definição

Cálculos

É bom que você já saiba

• Conjuntos Numéricos

• Análise Combinatória

• Reconhecer os naipes de um baralho e a quantidade de cartas de cada naipe

Probabilidade

Probabilidade é a chance de um eventoocorrer, em um espaço amostral.

Probabilidade

Chance de um evento ocorrer

definição

ElementosEspaço Amostral

Espaço Amostral é o conjunto de todos osresultados possíveis de um experimento. Éindicado pela letra grega Ω.

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os

resultadosEspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

definição

ElementosEvento

Evento é qualquer subconjunto de umespaço amostral. É indicado pela letra E.

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

E

definição

definição

ElementosExemplos:A) Lançamento de um dado.

Espaço Amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Alguns dos possíveis eventos:. Um número maior que 5 E = 6. Um número par E = 2, 4, 6. Um número par e primo E = 2

ElementosExemplos:B) Lançamento de duas moedas.

Espaço Amostral: Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(cc)

Alguns dos possíveis eventos:. Obter duas faces iguais E = (k,k);(c,c). Obter apenas uma coroa E = (k,c);

(c,k)

Tente fazersozinho

1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.

a) Defina o espaço amostral doexperimento: retirar uma bola ao acaso.

b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.

Tente fazersozinho

1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.

a) Defina o espaço amostral doexperimento: retirar uma bola ao acaso.

b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.

Solução

a) Ω = V1, V2, A1, A2, A3, A4

b) E1 = V1, V2

E2 = A1, A2, A3, A4

RelembrandoIntersecção de conjuntos

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20

São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20

B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20

A ∩ B = 20 1 elemento

Relembrando União de conjuntos

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20

São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20

B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20

A ∪ B = 2, 5, 16, 20 4 elementosAtenção!

Tipos de eventosA) Evento certo Eventos certos são aqueles que

apresentamos mesmos elementos do espaço amostral. n(E) = n(Ω)Exemplo:

Seja o seguinte evento: obter um númeronatural menor que 7, no lançamento de umdado.

E = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

n(E)=n(Ω)

tipos

E

definição

definição

Evento

certo

Tipos de eventosB) Evento impossível

Eventos impossíveis ocorrem quando nãohá elementos no conjunto E.

n(E) = 0Exemplo:

Seja o seguinte evento: obter 3 caras nolançamento de duas moedas.

E =

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

n(E)=n(Ω)

tipos

E

definição

definição

Evento

certoEvento

impossível

n(E)=0

Tipos de eventosC) Evento complementar Evento complementar (Ec) é aquele queocorre quando o evento E não ocorre.

n(Ec)=n(Ω)-n(E)Exemplo:

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20Ac: ocorrer um número ímpar= 3, 5, 17

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Evento

certoEvento

impossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

Cálculo das Probabilidades

Probabilidade é a chance de um eventoocorrer, em um espaço amostral. Ou seja,

éo número de elementos de um evento,dividido pelo número de elementos doespaço amostral.

)(

)(

n

EnP

Exemplos:A) Qual a probabilidade de ocorrer umnúmero natural maior que 4, no

lançamentode um dado?

E = 5, 6 n(E) = 2 Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) = 6 3

1

6

2

)(

)(

n

EnP


Exemplos:B) Qual a probabilidade de ocorrer pelomenos uma cara, no lançamento de

duasmoedas?

E = (k,k);(k,c);(c,k) n(E) = 3 Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(c,c) n(Ω) = 4 4

3

)(

)(

n

EnP


Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

Fórmula geralCálculo

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Evento

certoEvento

impossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

Tente fazersozinho

2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o

resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?

Tente fazersozinho

2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o

resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?

Solução

a) Um número primo?

b) O número 3?

c) Um número menor que 1?

d) Um número menor que 7? %10016

6P

06

0P

6

1P

2

1

6

3P

Tente fazersozinho

3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes

doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?

Tente fazersozinho

3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes

doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?

SoluçãoΩ = a, e, i, o , u, b, c, d, f, g n(Ω) =

10

a) Uma consoante?

b) Uma letra da palavra bode?

2

1

10

5P

5

2

10

4P

Tente fazersozinho

4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?

Tente fazersozinho

4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?

Solução

Ω = 4! = 4.3.2.1=24

Logo,24

1P

Total de anagramas da palavra amor

Probabilidadeda União de Eventos

Para calcular a probabilidade da união deeventos dividimos o número de elementosdo conjunto união pelo número de

elementosdo espaço amostral.

)n(

n(AUB)

)(AUBP


Exemplo:De um baralho de 52 cartas, uma é

extraída ao acaso. Qual é a probabilidadede sair um valete ou uma carta de ouros?

A: sair um valete n(A) = 4B: sair carta de ouros n(B) = 13A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1

Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16


A: sair um valete n(A) = 4B: sair carta de ouros n(B) = 13A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1

Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16

13

4

52

16(

)n(n(AUB)

AUB)P

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

Probabilidade

Da uniãoVariações


n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Evento

certoEvento

impossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

)n(n(AUB)

AUB

)(P

Tente fazersozinho

5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas.

Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?

Só TV aberta TV paga

Internet gratuita

76 44

Internet paga 14 21

Tente fazersozinho

5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas.

Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?


Internet gratuita

76 44

Internet paga 14 21

Solução

A: TV paga n(A)=44+21=65B: Internet paga n(B)=14+21=35

n(A∩B)=21 n(A∪B)= 65+35-21=79


Internet gratuita

76 44

Internet paga 14 21

155

79(

)n(n(AUB)

AUB)P

ProbabilidadeCondicional

Temos um caso de probabilidadecondicional quando um evento A ocorre,sabendo que o evento B já ocorreu.

O cálculo da probabilidade condicional

é dado pela fórmula:

P(B)B)P(A

A/B)

(P


Exemplo:Ao retirar uma carta de um baralho de

52 cartas, qual é a probabilidade de sairum ás vermelho sabendo que ela é de

copas?A: sair ás vermelho n(A)=2B: sair carta de copas n(B)=13

A∩B: ás de copas n(A∩B)=1


Exemplo:A: sair ás vermelho n(A)=2B: sair carta de copas n(B)=13

A∩B: ás de copas n(A∩B)=1

13

1

5213521

( P(B)

B)P(AA/B)

P

Probabilidade

Ω


resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostr

alelementos


definição

representação

Probabilidade

condicional

Probabilidade

Da uniãoVariações


n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Evento

certoEvento

impossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

P(B)B)P(A

A/B)

(P

)n(n(AUB)

AUB

)(P

Tente fazersozinho

6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira

criançaque nasceu é homem?

Tente fazersozinho

6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira

criançaque nasceu é homem?

Solução Ω = HHH, HHM, HMH, MHH, MMH,

MHM, HMM, MMM n(Ω)=8A: ter 3 homens n(A)=1B: primeira é homem n(B)=4A∩B=HHH n(A∩B)=1

4

1

8481

( P(B)

B)P(AA/B)

P

Questões de Vestibular

Tente fazersozinho

7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia?

3

2)

5

1)

45

8)

4

1)

3

1) edcba

Tente fazersozinho

7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia?

3

2)

5

1)

45

8)

4

1)

3

1) edcba

Solução

45

8

1260

224

)(

)()(

224)!14(!1

!4

)!38(!3

!8.)(

1260)!25(!2

!5

)!49(!4

!9.)(

1,43,8

2,54,9

n

EnEp

CCEn

CCn

letra c

Tente fazersozinho

8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é:

3

2)

4

1)

9

2)

3

1)

6

1) edcba

Tente fazersozinho

8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é:

3

2)

4

1)

9

2)

3

1)

6

1) edcba

SoluçãoProbabilidad

ede não sair 7na primeira:

9

8P

8

7P

Probabilidade

de não sair 7na segunda:

Probabilidade

de não sair 7na terceira:

7

6P

3

2

7

6

8

7

9

8P letra e

Tente fazersozinho

9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada

bancoSeja ocupado por um rapaz e uma moça é:

7

2)

35

8)

14

3)

35

6)

70

1) edcba

Tente fazersozinho

9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada

bancoseja ocupado por um rapaz e uma moça é:

7

2)

35

8)

14

3)

35

6)

70

1) edcba

Solução

n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24

letra d

2345678

1 11223344 x2

x2x2x2

35

8

!8

!4!424

P

Tente fazersozinho

10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente:

%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba

Tente fazersozinho

10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente:

%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba

Solução

letra e145,03276

476

)(

)()(

4761747.)(

3276)(

1,171,41,7

3,28

n

EnEp

CCCEn

Cn

Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi,

Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412

• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 338 a 367

• Figuras: google imagens

Education

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