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controle automatico leccionado no curso de engenharia, curso diurno
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Sistemas nao lineares
COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES
Dependência de amplitude da excitação;
Tempo de escape finito;
Pontos de equilíbrio múltiplos;
Não unicidade da solução;
Dependência crítica dos parâmetros;
Bifurcações;
Caos ou dependência crítica das condições iniciais;
Ciclos limite ou oscilações;
Existência de harmónicas e sub-harmónicas;
Dependência crítica dos parâmetros
A estrutura das soluções de um sistema não linear pode ser fortemente dependente dos valores que possa tomar um parâmetro do sistema.
Bifurcações
Bifurcação é a dependência crítica nos parâmetros particular, como no sistema exemplificado a seguir. Seja o sistema
x+αx+x3
A equação pode representar um sistema massa-mola em que a mola é dura. O sistema acima, admite 3 pontos de equilíbrio:
xe= 0, xe = √α, xe = - √α
Com αpositivo o sistema é sempre estável; com αnegativo torna-se instável, havendo uma mudança qualitativa no comportamento para α= 0.
Caos ou dependência crítica das condições iniciais
Nos sistemas lineares estáveis, a pequenas variações nas condições iniciais correspondem pequenas variações na resposta. Tal porém não acontece nos sistemas não lineares, em que pode acontecer serem as soluções extremamente sensíveis a variações das condições iniciais, sendo a saída, a partir de certo valor de t, imprevisível. A este tipo de sistemas dá-se o nome de sistemas caóticos e ao fenómeno em si chama-se caos.
Seja o seguinte sistema não linear
x+0.1 x+x5=6 sent
As respostas deste sistema, para condições iniciais, x(0) = [2; 3] e x(0) = [2.01; 3.01], próximas, estão representadas na Fig. 1
Figura 1: dependência natural e critica
Ciclos limite ou oscilações
Ciclo limite considera-se oscilações de determinados sistemas, não lineares, com amplitude e frequência constantes, independentemente do valor inicial do estado.
Existência de harmónicas e sub-harmónicas
Num sistema linear, uma excitação sinusoidal conduz a uma resposta também sinusoidal, com a mesma frequência. Num sistema não linear tal poderá não acontecer, podendo o estado (ou a saída) ser uma oscilação contendo frequências múltiplas e sub-múltiplas da frequência do sinal sinusoidal de excitação. Tais constituintes são designadas por harmónicase sub-harmónicas da frequência do sinal de excitação.
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