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2. ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS CONTÍNUOS
2.1. Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas
Função própria de um sistema LIT - sinal que tem como resposta ele próprio,
a menos de uma constante multiplicativa.
Valor próprio de uma função própria - é a constante multiplicativa.
Exemplo: a exponencial complexa
)(.)()()()()( )( sHedehedehdtxhty stsstts ===−= ∫∫∫+∞
∞−
−+∞
∞−
−+∞
∞−τττττττ ττ
Interesse das funções próprias e dos valores próprios:
A resposta de um sistema LIT é facilmente determinada quando:
• A entrada é uma função própria
• A entrada é uma combinação linear de funções próprias (existem muitos
sinais nestas condições)
∑=k
tsk
keatx )( ∑=k
tskk
kesHaty )()(
L I T x(t) = est y(t) = H(s).est
2.2
2.2. Representação de um sinal periódico pelas séries de Fourier
Representação de um sinal periódico x(t) de período T0 através da combinação
linear de exponenciais complexas relacionadas harmonicamente:
x(t) pode ser decomposto na forma
)(0)( Zktjk
kkeatx ∈∑
+∞
−∞=
= ω
LL ++++++++= −−
−−
−−
tjtjtjtjtjtj eaeaeaaeaeaeatx 000000 33
22101
22
33)( ωωωωωω
ak - são os chamados coeficientes de Fourier ou coeficientes espectrais
Estes coeficientes têm valores bem definidos para cada forma de onda
específica.
x(t)
tT0
valor médio
00
2Tπω = é a freq. fundamental do sinal
harmónicos harmónicos
comp. fundamental
comp. DC
(série de Fourier)
2.3
Exemplo 1: )cos(87)( 0ttx ω+=
tjtjtjtj
eeeetx 0000
4742
87)( ωωωω
++=+
+= −−
===
=−+
−=∑
474
onde )( Portanto
1
0
11
1
0
aaa
eatx tjk
kk
ω
Pode-se provar que os coeficientes ak são dados pela expressão
dtetxT
aT tjk
k ∫ −= 00
00
)(1 ω
Vamos confirmar a validade desta expressão, para o exemplo anterior:
( ) ( ) ( ) dttjttT
dtetT
aTT tj ∫∫ +⋅+=⋅+=−
000
0 0000
0 00
1 )(sin)cos()cos(871)cos(871 ωωωω ω
+++= ∫∫∫∫ dtttjdttdttjdtt
TTTTT 0000
0 000 02
0 00 00
)(sin)cos(8)(cos8)(sin7)cos(71 ωωωωω
2)2cos(1)(cos 2 αα +
= )2(sin21)(sin).cos( ααα =
++= ∫∫ dttjdtt
TTT 00
0 00 00
)2(sin4)2cos(441 ωω
=
+= ∫∫ dttdt
TTT 00
0 000
)2(4cos41 ω
4410
0
=⋅= TT
4=
Como e
0 0
0
0
2.4
→= ∫ dttxT
aT0
00
0 )(1
7)cos(871 0
0 00
0 =+= ∫ dttT
aT
ω
( ) 4 modo mesmo do )cos(871 00
0 00
1 ==⋅+= ∫ − LLdtetT
aT tjωω
Exemplo 2: Decomposição da onda quadrada
00
2Tπω = 10 .4quadrada onda TT =⇒
Cálculo dos ak = ?
21211)(1
0
1
0
2/
2/0
01
1
0
0
==== ∫∫ −− TTdt
Tdttx
Ta
T
T
T
T
2 pois )2(sin)(sin2)(sin10
10
00
10 πωππ
πω
ωω
===⋅== Tkk
kTk
TkTkak L
valor médio ou componente DC
x(t)
t
T0
−T0/2 −T1 T1 T0/2
1
2.5
Teremos então:
21
0 =a
π1
11 ==− aa
π31
33 −==− aa
M
0=para
2.6
No decorrer do séc. XIX Dirichlet demonstrou que um sinal periódico x(t) que:
1. Seja absolutamente integrável
∞<∫ dttxT0
)(
2. Tenha um nº finito de máximos e mínimos num período
3. Tenha um nº finito de descontinuidades num período
Se pode escrever:
)(0)( Zktjk
kkeatx ∈∑
+∞
−∞=
= ω
excepto nas descontinuidades de x(t), onde esta série converge para o valor
médio dessas descontinuidades.
Os ak são determinados por:
dtetxT
aT tjk
k ∫ −= 00
00
)(1 ω
Pode demonstrar-se que sendo x(t) real, então ak = a-k* e a série exp. complexa
dá origem à série trigonométrica:
( )∑+∞
=
++=1
00 )arg(cos2)(k
kk atkaatx ω
(eq. síntese)
(eq. análise)
2.7
Demonstra-se ainda que se:
reais são par) (sinal )()( katxtx ⇒=−
simaginário são impar) (sinal )()( katxtx ⇒−=−
Problema:
)(sin)( 0ttx ω=
tjtjtjtj
ej
ejj
eettx 0000
21
21
2)(sin)( 0
ωωωω
ω +−=−
== −−
;10;21;
21 :assim Temos 11 ±≠==−=− ka
ja
ja k
x(t) é real e portanto a1 = a-1*
x(t) é impar e portanto a1 e a-1 são imaginários puros.
A série trigonométrica terá neste caso apenas um termo:
;0;º90)arg(;21
21
011 =−=== aaj
a
( ) ( ) )(sinº90cos212)arg(1cos20)( 00101 ttatatx ωωω =−=++=
Problema:
)(cos)( 0ttx ω=
Determinar os coef. ak do sinal
Repetir o problema anterior para o sinal
2.8
2.3. Representação de um sinal não periódico pelo integral de
Fourier
)(0)(~ Zktjk
kkeatx ∈∑
+∞
−∞=
= ω
dtetxT
dtetxT
dtetxT
a tjkT
T
tjkT
T
tjkk ∫∫∫
∞+
∞−
−
−
−
−
− === 00
0
00
0
0 )(1)(1)(~1
0
2
20
2
20
ωωω
)(1 então )()( Definindo 00
ωω ω kXT
adtetxX ktj ⋅== ∫
∞+
∞−
−
Logo:
0000
00 )(21)(1)(~ ωωπ
ω ωω tjk
k
tjk
k
ekXekXT
tx ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
==
)(~ tx
t −T0/2 T0/2
x(t)
t
x(t) - sinal não periódico
)(~ tx - sinal periódico
2.9
→→→
⇒∞→
∫∑0
)()(~
Se 00 ωtxtx
T
E portanto teremos assim:
ωωπ
ω deXtx tj∫∞+
∞−= )(
21)(
dtetxX tj∫+∞
∞−
−= ωω )()(
X(ω) = espectro de x(t) (distribuição de x no domínio da frequência)
x(t) X(ω)
Exemplo:
Determinar a transformada de Fourier do sinal
==⋅= ∫−
−
πω
ωωω ω 1
11
11 sinc2sin21)( 1
1
TTT
TTdteXT
T
tj
Eq. síntese:
Eq. análise:
T. Fourier inversa
T. Fourier directa
transf. directa
transf. inversa
><
=1
1
01
)(TtTt
tx
x(t)
t
1
-T1 T1
2.10
xxx
ππ )(sin)(sinc :Nota =
Problema:
Qual será o sinal x(t) que tem como espectro ?
=⋅=⋅= ∫− πππ
ωπ
ω WtWWt
WtWdetxW
W
tj sincsin121)(
sinc(x)
x
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X(ω)
ω
2T1
2π/T1
x(t)
t
1
-T1 T1
><
=WW
Xωω
ω01
)(
x(t)
t
W/π
2π/W
2.11
Como vimos:
Pulso no tempo sinc na freq.
Pulso na freq. sinc no tempo
Trata-se da Dualidade (propriedade que veremos mais adiante)
Questão: qualquer sinal x(t) tem representação através do integral de Fourier ?
Tem que obedecer às condições de Dirichlet:
1. x(t) é absolutamente integrável;
∞<∫+∞
∞−dttx )(
2. x(t) tem um nº finito de extremos relativos em qualquer intervalo finito;
3. x(t) tem um nº finito de descontinuidades em qualquer intervalo finito.
Exemplo:
O sinal x(t) = 1 "não tem" transf. Fourier, pois não obedece à 1ª condição de
Dirichlet. No entanto, esta questão pode ser ultrapassada recorrendo ao
conceito de impulso:
• Considere-se a função pulso anterior
• Faça-se T1 ∞
• )(2sinc2 que se-Repare 11 ωπδ
πω
→
TT
x(t)
t
1
-T1 T1
2.12
Trata-se pois do espectro do sinal constante x(t) = 1
X(ω) indica-nos que toda a sua energia está concentrada em ω = 0
(o sinal não tem quaisquer oscilações)
X(ω)
ω
2T1
2π/T1
ππ 22221
11
=⋅⋅= TT
área
X(ω)=2πδ(ω)
ω
=∞≠
=000
)(ωω
ωX ∫+∞
∞−= πωω 2)( dX
(área sob o impulso)
x(t)
t
1
2.13
2.4. Transformada de Fourier de sinais periódicos
Tal como no exemplo anterior, as funções periódicas não obedecem à 1ª
condição de Dirichlet e, como tal, só têm transformada de Fourier se
recorrermos ao conceito de impulso.
Exemplo 1:
?)(2)( espectro como temque sinal o Qual 0ωωπδω −=X
ωωωδωωωδωωωπδπ
ωωω dededetx tjtjtj ∫∫∫∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−−=−=−= )()()(2
21)( 000
00
tje 0ω=
Exemplo 2:
?)(~ genérico periódico sinal doFourier transf.a Qualk
0∑= tjkkeatx ω
Pela linearidade
Conclusão: a transformada de Fourier de um sinal periódico pode ser
interpretada como um trem de impulsos de magnitude 2πak
espaçados de ω0 em ω0.
X(ω)
ωω0
2π
).(2)(~0∑ −=
kk kaX ωωδπω
2.14
Exemplo 3:
?)()cos()( 0 == ωω Xttx
±≠===
+= −−
102/1
que pelo 21
21)( 1100
kaaa
eetxk
tjtj ωω
Exemplo 4:
±≠===
−== −−
102/1*
que pelo 21
21)(sin)( 11
000
kajaa
ej
ej
ttxk
tjtj ωωω
)(~ ωX
ω -3ω0 -2ω0 -ω0 0 ω0 2ω0 3ω0
2πa1
2πa2 2πa-1 2πa-2
2πa-3
2πa0
2πa3 . . .. . .
)(~ periódico sinal tx
X(ω)
ωω0
π
-ω0
π
X(ω)
ωω0
π/j
-ω0
-π/j
2.15
Exemplo 5:
Onda quadrada !
)(2
que atrás vistoTínhamos 00 ωπω kXak =
)(2 magnitude de impulsos de tremum será )(~00 ωωπω kXaX k ⋅=
Exemplo 6:
tempono impulsos de trem).()(~ ∑ −=k
Tkttx δ
x(t)
t
1
X(ω)
ω
2T1
)(~ tx
t
1
)(~ ωX
ω
ω0.2T1
-ω0 ω0 -3ω0 3ω0
Tπ4
− Tπ2
− Tπ2
Tπ4
)(~ ωX
ω......
Tπ2
-2T -T 0 T 2T
)(~ tx
t......
1 T
dtetxT
aT
T
tjkk
1)(~1 2
20
0
0
0 === ∫−− Lω
Portanto:
)2(2)(~ ∑ −=k T
kT
X πωδπω
2.16
2.5. Propriedades da transformada de Fourier
Linearidade
Sendo
Então
Simetria
Se x(t) é um sinal real, então teremos:
)()( * ωω XX =−
isto é:
{ } { }{ } { } ( ) ( )
−−=−=
−−=−=
)(arg)(arg)()(
)(Im)(Im)(Re)(Re
ωωωω
ωωωω
XXXX
XXXX
Demonstração:
==
= ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
− dtetxdtetxX tjtj ωωω )()()( **
*
)()( pois )( * txtxdtetx tj == ∫+∞
∞−
ω
)( ω−= X
)()( 11 ωXtx ↔
)()( 22 ωXtx ↔
)(.)(.)(.)(. 2121 ωω XbXatxbtxa +←→+
2.17
Atraso no tempo
Sendo )()( ωXtx ↔
Então
Vejamos:
{ } 000 fazendo )()( ttdtettxttx tj −=−=− ∫+∞
∞−
− σωF
σσσσ ωσωσω dexedex jtjtj ∫∫+∞
∞−
−−+∞
∞−
+− == )()( 00 )(
)(0 ωω Xe tj−=
Diferenciação e integração no tempo
ωωπ
ω deXtx tj∫∞+
∞−= )(
21)( que Sabemos
ωωωπ
ω deXjdt
tdx tj∫∞+
∞−= )(
21)( :membros os ambos Derivando
Ou seja:
Poderíamos igualmente demonstrar que para a integração no tempo se tem:
)()( 00 ωω Xettx tj ⋅←→− −
(eq. análise)
)()( ωω Xjdt
tdx←→
)()0()(1)( ωδπωω
ττ XXj
dxt
+←→∫ ∞−
2.18
Mudança de escala temporal
Sendo )()( ωXtx ↔
Então
Demonstração:
{ } atdteatxatx tj === ∫+∞
∞−
− σω fazendo )()(F
<−=
>=
∫∫
∫∞+
∞−
−∞−
∞+
−
∞+
∞−
−
)0()(1)(1
)0()(1
adexa
dexa
adexa
aj
aj
aj
σσσσ
σσ
σωσω
σω
⋅=
aX
aω1
Dualidade
Exemplo:
Já tínhamos visto atrás que
pulso no tempo sinc na freq.
sinc no tempo pulso na freq.
⋅←→
aX
aatx ω1)(
( )
( )ωπ
ω
−←→
←→
xtX
Xtx
2)(
)(
2.19
Relação de Parseval
Relaciona-nos a energia de um sinal entre os domínios do tempo e da
frequência.
ωωπ
dXdttx ∫∫∞+
∞−
∞+
∞−= 22 )(
21)(
∫∫∞+
∞−
∞+
∞−== ωωω
πω
dEdX
tx )(2
)()( de energia :Portanto
2
E(ω) é a densidade espectral de energia
Para sinais periódicos, temos a sua energia por período dada por:
∑∫+∞
−∞=
=k
kTadttx
T22
0 0
)(1
k ordem de harmónico do períodopor energia2 =ka
Convolução
∫+∞
∞−−== τττ dthxthtxty )()()(*)()( que Sabemos
h(t) x(t) y(t)
L I T
2.20
{ } [ ] integração de ordem a invertendo )()()()( =−== ∫ ∫+∞
∞−
−+∞
∞−dtedthxtyY tjωτττω F
[ ] ==
−= ∫∫ ∫
+∞
∞−
−+∞
∞−
+∞
∞−
− τωττττ ωτω dHexddtethx jtj )()()()(
)()()()( ωωττω ωτ XHdexH j ⋅== ∫+∞
∞−
−
)()()()(*)()( ωωω HXYthtxty ⋅=←→=
H(ω) é a resposta em frequência do sistema
Exemplo (sinais periódicos):
tjk
kkeatx 0)( ω∑
+∞
−∞=
= y(t) = ?
)()(2)(2)()()()( 000 ∑∑ −=−⋅=⋅=k
kk
k kakHkaHXHY ωωδωπωωδπωωωω
{ } tjk
kk
tjk
kk ebeakHYty 00)()()( 0
1 ωωωω ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
− === F
Conclusão: se x(t) for um sinal periódico de coefs. ak, então y(t)
também é um sinal periódico de coefs. bk, com
)( 0ωkHab kk =
h(t) x(t) y(t)
L I T
2.21
Toda a álgebra de diagrama de blocos se mantém !
Exemplo:
Os 3 sistemas a seguir são equivalentes, pois a relação de espectros é a mesma
em todos os casos.
Y(ω) = H1(ω).H2(ω).X(ω)
H(ω) X(ω) Y(ω)
Y(ω) = X(ω).H(ω)
H1(ω) X(ω) Y(ω)
H2(ω)
H2(ω) X(ω) Y(ω)
H1(ω)
H1(ω).H2(ω) X(ω) Y(ω)
2.22
Convolução periódica (convolução circular)
021 período mesmo do periódicos )(~ e )(~ Sejam Ttxtx
Define-se convolução circular:
τττ dtxxtxtxtyT∫ −==
0
)(~)(~)(~*)(~)(~2121
obtendo-se: kkk baTc 0=
)(~ de coefs )(~ de coefs )(~ de coefs 21 txtxty
Modulação
[ ])(*)(21)()( ωωπ
YXtytx ←→⋅
Mais uma vez ressalta aqui o aspecto da dualidade entre os domínios do
tempo e da frequência:
Convolução no tempo produto na frequência
Produto no tempo convolução na frequência
A modulação está intimamente ligada com o "deslocamento na frequência".
Exemplo:
)()( 00 ωωω −←→⋅ Xtxe tj
2.23
2.6. Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace
Recordemos algumas definições:
dtetxsX st∫+∞
∞−
−= )()(
dtetxX tj∫+∞
∞−
−= ωω )()(
Facilmente concluímos que a segunda expressão é um caso particular da
primeira, quando s=jω .
[ ] ωω jssXX == )()(
Para sinais cuja transformada de Fourier exista (obedeçam às condições de
Dirichlet), esta pode ser obtida a partir da transformada de Laplace no eixo
imaginário.
T. Fourier
T. Laplace bilateral
(não estudada)
σ Re
Im
ωj s
eixo das oscilações
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