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Prof. Lorí Viali, Dr.

http://www. ufrgs.br/~viali/

viali@mat.ufrgs.br

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A análise de variância de uma

classificação (One-Way ANOVA) verifica

se as médias de “k” amostras independentes

(tratamentos) diferem entre si.

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Um segundo tipo de análise de variância,

denominado de ANOVA de Dupla

Classificação (Two-Way ANOVA) testa se

existe diferença entre duas variáveis

categóricas.

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Neste caso, a segunda variável categórica é

denominada de “Bloco”. Assim é possível testar

se existe diferença simultânea entre os

tratamentos (médias das amostras independentes)

e se simultaneamente estas diferenças podem ser

debitadas a segunda variável ou blocos.

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Esta ANOVA é de blocos completos, isto é,

cada bloco inclui todos os tratamentos e sem

repetição, isto é, cada bloco apresenta apenas

uma parcela com cada tratamento. Este desenho

pode incluir combinações mais complexas, como

blocos incompletos ou repetição dos tratamentos.

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Seja Yij a variável dependente, neste caso o

índice “i” indica o tramento e o índice “j” o

bloco. Por exemplo, a variável Yij pode

representar a “Renda de Pessoas” pertencentes

a “k” categorias profissionais (tratamentos) em

“l” empresas diferentes (blocos).

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Vamos admitir o seguinte modelo

linear:

Yij = µ + αi + βj + uij, com:

0k

1ii =α

=

∑ e 0l

1ji =β

=

∑

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Neste modelo µ é a média geral, αi

representa o efeito dos tratamentos e βj o

efeito dos blocos.

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As hipóteses feitas sobre uij para o

modelo anterior continuam válidas aqui.

Isto é, os termos erro são variáveis aleatórias

independentes com distribuição normal de

média “zero” e desvio padrão “σ2”.

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Sejam m, ai e bj as estimativas de µ,

dos αi e dos βj respectivamente. Então o

modelo amostral será:

Yij = m + ai + bj + eij

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Dados os valores observados Yij, as

estimativas dos parâmetros µ, αi e βj podem ser

determinadas através do Método dos Mínimos

Quadrados. Para isto deve-se minimizar a soma

dos quadrados dos resíduos, isto é:

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Derivando e igualando a zero, tem-se:

∑ ∑ -∑ ∑

k

i

l

j

2k

i

l

j

2ij )b-am-Y(ER.Q.SQ jiij===

0)1)(b-am-Y(2m

Q k

1i

l

1jjiij

i

=∑== =

∑ --

∂

∂

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ek,...,2,1i

0)1)(b-am-Y(2a

Q l

1jjiij

i

=

===

∑ --

∂

∂

l,...,2,1j

0)1)(b-am-Y(2b

Q k

1ijiij

j

=

===

∑ --

∂

∂

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Fazendo n = k.l,

e

k)..., 2, 1, (i YAl

1jiji ==

=

∑

∑∑l

1jj

k

1ii

k

1i

l

1jij BA YG

=== =

=∑=∑=

l) ..., 2, 1, (j YBk

1iijj ==

=

∑

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Obtém-se, o seguinte sistema de equações:

k)..., 2, 1, (i ballmAl

1jjii =++=

=

∑

∑∑l

1jj

k

1ii bkalnmG

==

++=

l) ..., 2, 1, (j bk akmB j

k

1iij =++=

=

∑

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Este sistema tem l + k + 1 equações, com o

mesmo número de incógnitas. Destas equações

apenas k + l – 1 são Linearmente

Independentes. Para resolver este sistema

utilizam-se as restrições sobre ai e bj.

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Tem-se, então:

0k

1ii =α

=

∑ e 0l

1jj =β

=

∑

m = G/n

ai = (Ai/l ) – (G/n) = (Ai/l ) – m

bj = (Bj/k ) – (G/n) = (Bj/k ) – m

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Substituindo, estes resultados na

expressão dos Mínimos Quadrados, tem-se:

∑ ∑ -

k

i

l

j

2

)n

G

k

B-

l

AY(R.Q.S

jiij +=

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Por definição, a soma dos quadrados

total, a soma dos quadrados dos

tratamentos e a soma dos quadrados dos

blocos são dadas por:

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∑ ∑ -

k

i

l

j

2)mY(Total.Q.S ij=

∑ -∑

k

i

2k

i

2i )m

l

A(lal.Trat.Q.S i==

∑ -∑

k

i

2l

j

2j )m

k

B(kbkcosBlo.Q.S

j==

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Deve-se notar que todas as somas de

quadrados são somas de nnnn ==== klklklkl parcelas, onde cada

parcela é um quadrado. Assim para obter a soma

de quadrados total, somamos os quadrados dos

desvios dos nnnn ==== klklklkl valores observados em relação as

respectivas estimativas, dadas por mmmm ++++ aaaaiiii ++++ bbbbjjjj....

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Para obter a soma de quadrados de tratamentos

multiplicamos por “l’” as somas dos quadrados das

“k” diferenças de médias estimadas de tratamentos,

dadas por Ai/l, em relação a média “m”, ou seja,

multiplicamos por “l “ a soma dos quadrados das

estimativas dos “k” efeitos de tratamentos.

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Finalmente, para se obter a soma dos quadrados

de blocos multiplicamos por “k” as somas dos

quadrados das “l” diferenças de médias estimadas

de blocos, dadas por Bj/k, em relação a média “m”,

ou seja, multiplicamos por “k” as somas dos

quadrados das estimativas dos “n” efeitos de blocos.

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Pode-se mostrar através de

manipulação algébrica que:

∑ ∑

∑ ∑ -

k

1i

l

1j

22

k

1i

l

1j

2

n

GY

)mY(Total.Q.S

ij

ij

= =

= =

−=

==

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e:

n

GA

l

1

)ml

A(lal.Trat.Q.S

2k

1i

2

k

1i

2k

1i

2i

i

i

−=

===

=

==

∑

∑ -∑

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E também:

n

GB

k

1

)mk

B(kbkcosBlo.Q.S

2l

1j

2

l

1j

2l

1j

2j

j

j

−=

===

=

==

∑

∑ -∑

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Finalmente:

n

GB

k

1A

l

1Y

)n

G

k

B-

l

AY(R.Q.S

2l

1j

2k

1i

2k

1i

l

1j

2

k

i

l

j

2

jiij

jiij

+−−=

=+=

=== =

∑∑∑ ∑

∑ ∑ -

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Resumindo, tem-se então:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos

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Bloco

Tratamentos Total do

Bloco1 2 3

1 12 17 21 50505050

2 14 19 23 56565656

3 15 18 19 52525252

4 18 19 18 55555555

5 16 21 22 59595959

6 13 20 19 52525252

Total Trat. 88888888 114114114114 122122122122 324324324324

Dados

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Tem-se:

k = 3; l = 6; n = k.l = 3.6 = 18

G = 324 G2/n = 5832

ΣAi = ΣBi = ΣYij = 324

ΣAi2 = 35624; ΣBi

2 = 17550

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Então:

158n

GY Total.Q.S

k

1i

l

1j

22

ij =−== =

∑ ∑

33,105n

GA

l

1 .Trat.Q.S

2k

1i

2i =−=

=

∑

18n

GB

k

1 cosBlo.Q.S

2l

1j

2j =−=

=

∑

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Portanto:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== 158158158158 ---- 105105105105,,,,33333333 ---- 18181818 ==== 34343434,,,,67676767

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O modelo para a análise de variância de dupla

classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,

Considerando µ, αi e βj como valores fixos e

lembrando que Uij são variáveis aleatórias

independentes com média zero e variância σ2, vem:

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σ+β+α+µ= 22j

2i

22 )Y(E ij

Então:

σ+∑ β+∑α+µ=∑ ∑=== =

2l

1j

2j

k

1i

2i

2k

1i

l

1j

2nkln)Y(E ij

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Como: ∑==

l

1jiji YA

De acordo com o modelo dado e as suas

restrições, tem-se:

Segue, então:

∑+α+µ==

l

1jijii U)(lA

)U(U)(l2)(lAl

1jiji

2l

1jiji

222i ∑+∑α+µ+α+µ=

==

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Mas os termos erros são variáveis com

média zero, assim: σ+α+µ= l)(l)A(E 2222i i

De forma semelhante, tem-se:

σ+β+µ= k)(k)B(E 2222j j

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E, também: σ+µ= nn)G(E 2222

Então:

σ−+∑ β+∑α===

2l

1j

2j

k

1i

2i )1n(kl)Total.Q.S(E

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Para os tratamentos, tem-se:

σ−µ+σ+∑ α+µ==

222k

1i

2 nk)(l.)Trat.Q.S(E i

0k

1ii =∑α

=

Lembrando que tem-se:

σ−+∑α==

2k

1i

2 )1k(l.)Trat.Q.S(E i

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Para os blocos, obtemos:

σ−+∑ β==

2l

1j

2j )1l(kcos)Blo.Q.S(E

Mas:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos

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Então:

E(S.Q.R ) = E(S.Q.Total) - E(S.Q.Trat.) - E(S.Q.Blocos)

Substituindo, segue:

σ=

=σ+−−=

2

2

1)-1)(l-(k

)1lkn(.)sRe.Q.S(E

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Como os Uij são variáveis aleatórias

independentes de média “zero” e variância

constante e igual a σ2, tem-se:

S.Q.Res.)/σ2 apresenta uma distribuição

Qui-Quadrado com (k -1)(l - 1) graus de

liberdade;

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Supondo H0 verdadeira, isto é, que as

médias dos tratamentos são iguais, isto é, os

tratamentos não têm efeitos, ou ainda:

H0: α1 = α2 = ... = αk = 0, tem-se que:

(S.Q.Trat.)/ σ2 tem uma distribuição Qui-

Quadrado com “k - 1” graus de liberade.

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Supondo que as médias dos blocos são todas

iguais entre si, ou que o efeito dos blocos é nulo,

ou ainda que: H0: β1 = β2 = ... = βk = 0, tem-se:

(S.Q.Blocos)/σ2 tem uma distribuição Qui-

Quadrado com “l - 1” graus de liberdade.

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Tomando agora os quadrados médios, isto é,

a soma dos quadrados divididos pelos

respectivos graus de liberdade, pode-se obter a

expectância dos quadrados médios. A tabela

seguinte resume este e outros resultados

relevantes obtidos.

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O modelo para a análise de variância de dupla

classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,

Considerando µ, αi e βj como valores fixos e

lembrando que Uij são VA independentes com

média zero e variância σ2, tem-se:

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Objetivos

A Análise de variância (ANOVA) É

utilizada para mostrar os efeitos principais de

variáveis categóricas independentes

(denominadas de fatores) sobre uma variável

quantitativa dependente.

Causa da Variação

Graus de Liberdade

Soma dos Quadrados

Esp. do Quad. Médio

Tratamentos k - 1

Blocos l - 1

Resíduo (k -1)(l - 1) σ2

Total kn - 1

nn

1 GA

2k

1i

2i -∑

=

nk

1 GB

2l

1j

2j -∑

=

n

GY

2k

1i

l

1j

2ij -∑ ∑

= =

σα

2

k

1i

2i

1kl +

−

=

∑

σ

β2

l

1j

2j

1lk +

−

=

∑

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TesteConforme já visto, na análise de variância com

uma classificação, o quociente:

F = (Q.M.Trat.)/(Q.M.Res.)

pode ser utilizado para testar a hipótese:

H0: α1 = α2 = ... = αk = 0,

Este resultado apresenta uma distribuição F

com “k - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.

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Teste

De forma semelhante o quociente:

F = (Q.M.Blocos.)/(Q.M.Res.)

pode ser utilizado para testar a hipótese:

H0: β1 = β2 = ... = βk = 0,

Este resultado apresenta uma distribuição F

com “l - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.