OSG.: 077438/13

MATEMÁTICA II AULA 30:

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ANUAL

VOLUME 6

01. Impossível para k real. Logo, D sempre será diferente de zero (D ≠ 0), portanto, item E. Resposta: E 02. P ⋅ Q = R ⋅ S ⇒ Portanto, P ⋅ Q = R ⋅ S implica x = z = 1 e y = t Resposta: C 03.

Linhas proporcionais

x y z

Sendo det(E) u v w 3, temos :

m n p

u v w u v w

I) det(F) 2x 2y 2z 2x 2y 2z

m n p 3x 3y 3z

x y z

det(F) 2 u v w 0 det(F) 2 3 6

m n p

m n p

II) det(G) ( 1) ( 1) u v w

x y z

x y z

det(G) u v w 3

m n p

III) Teorema de Biret :

= =

= + ⇒

⇒ = − + ⇒ = − ⋅ = −

= − ⋅ − ⋅ ⇒

⇒ = − = −

�������

det(F G) det(F) det(G) ( 6) ( 3) 18⋅ = ⋅ = − ⋅ − =

Resposta: D

2 2

k 1 x 1

4 k y 2

k 10 k 4 0 k 4

4 k

− − ⋅ =

−= → + = → = −

↓�����

x 1 1 y 1 1 1 1

1 1 1 1 z 1 1 t

x 1x 1 xy 1 2 1 t

z 12 y 1 z 1 z t

y t

⋅ = ⋅ ⇒

=+ + +

⇒ = = = + + + =

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RESOLUÇÃO – MATEMÁTICA II

2

04. Escalonando, temos:

ax 2y 1 ax 2y 1

3ax ay 2 0x 6y ay 1

ax 2y 1ax 2y 1

Sistema impossível0x ( 6 a) y 10x 0y 1

0

Logo : 6 a 0 a 6

+ = + = ⇒ ⇒ + = − + = −

+ = + =⇒ ⇒ ⇒+ − + = − + = − =

− + = ⇒ =

�����

x(–3)

+

Resposta: A

05. Fazendo

sen x cos x 0

A cos y sen y 0

0 0 1

= −

, temos:

Det(A) = – sen x sen y + cos x cos y → Det(A) = cos x cos y – sen x sen y →

Det(A) = cos (x + y), mas x + y = 3

π,

portanto:

Det(A) = cos 3

π → Det(A) = 1

2

Resposta: A 06. Escalonando o sistema, temos:

x 3y 2z 250 2 3 x 3y 2z 250

2x 5y 3z 420 0 y z 80 1

3x 5y 2z 430 0 4y 4z 320 1/ 4

x 3y 2z 250x 3y 2z 250

0 y z 80 10 y z 80

0 y z 80

+ + = − − + + = + + = + ↔ − − = − − ↔+ + + = − − = − −

+ + =+ + = + + = = ↔ + + = + + = +

Sistema Possível e Indeterminado

Portanto, o determinante dos coeficientes é zero, e, para determinar a quantidade dos materiais utilizados, é necessário saber previamente a quantidade de um desses materiais.

Portanto, a única afirmação correta é a IV.

Resposta: E 07.

rx 2y 1

2x ry 1

+ = + =

Como o par (p, q) é solução do sistema, temos:

rp 2q 1

2p rq 1

+ = + =

Então: rp + 2q = 2p + rq rp – 2p = rq – 2q p(r – 2) = q(r – 2), r ≠ 2.

Logo:

P = q → p2 – q2 = 0

Resposta: A

sen x cos x 0 sen x cos x

Det(A) cos y sen y 0 cos y sen y

0 0 1 0 0

= →−

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RESOLUÇÃO – MATEMÁTICA II

3

08.

2x 3 1

1 0 4 0 1 (3x 3) 8x 0

0 1 x 1

1 3x 3 8x 0

44 11x x

11

Logo, x [0,1]

= ⇒ − − − =−

− + − =

= → =

∈

Resposta: B 09. Primeiramente iremos multiplicar as matrizes para obtenção do sistema:

1 1 1 x 0

1 3 5 y 0

1 2 3 z 1

− = −

Aplicando a Regra de Cramer:

x y z 0

x 3y 5z 0

x 2y 3z 1

1 1 1

I. det A 1 3 5 9 5 2 3

1 2 3

+ + = + − = + − =

= − = − − + −−

10+ 3+

x

x

2

0 1 1

II. det A 0 3 5 5 3 8

1 2 3

det A 8x 4

det A 2

= −

= − = − − = −−

−= = =−

Resposta: A 10. Pela regra de Sarrus:

3 3 3i ii i 0 i i 2i 2i

Det M 0 i i

i 0 ii 0

= + = = −=

Pelo Teorema de Binet: Det P = det M ⋅ det M =( –2i)(-2i)=4i2 = –4 Resposta: D

GEORGENES – 21/02/14 – Rev.: NS 07743813_pro_Aula30 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

y

y

z

z

1 0 1

III. det A 1 0 5 1 5 6

1 1 3

det A 6y 3

det A 2

1 1 0

IV. det A 1 3 0 3 1 2

1 2 1

det A 2z 1

det A 2

x 4

Portanto : y 3

z 1

= − = + =−

= = = −−

= = − =

= = = −−

= − −