1Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT)

7/23/2019 1 Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT)

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Universidade Federal de Santa Catarina

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica(PosMEC)

Métodos Matemáticos para Solução de Equações Diferenciais Parciais (EMC410050)

Professora Marcia Mantenelli

Alunos: Marcus Vinicius Pedron Carneiro, Mauricio Reynaldo, Thiago Croisfelt Batista

1 Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT)

Ao longo do desenvolvimento de técnicas para resolução de modelos matemáticos

que descrevem sistemas físicos, que são fundamentais para o entendimento das

respostas obtidas em sistemas reais, métodos numéricos e analíticos foram aprimorados

nos dois cantos do mundo para obter as soluções dos problemas em estudo.

Observou-se ao longo desse processo de estudo que soluções híbridas, onde os

códigos computacionais incorporam em seus cálculos as informações analíticas

explicitas do problema, vários benefícios podem ser encontrados. Entre eles, pode-se

citar:

a) Redução do tempo computacional (custo computacional)

b) Aceleração na taxa de convergência numérica

c) Inexistência de malhas.

Desta maneira, a técnica transformada integral generalizada traz consigo esses

benefícios citados através da transformação analítica dos sistemas de equações

diferenciais parciais (EDP’s) em sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO’s) e

uso de ferramentas numéricas menos complexas que as soluções puramente numéricas

(elementos finitos, diferenças finitas, métodos espectrais...), reduzindo o esforço

computacional.

A teoria clássica de transformadas integral foi apresentada em 1974 por Ozisik e

Murray que propuseram uma alternativa ao problema de separação de variáveis. 1984,

os mesmos autores apresentaram a técnica de transformada clássica (CITT) aplicada a

problemas de difusão de calor e massa e a partir de então, extensões da técnica foram

propostas e após a publicação de Cotta em 1993 convencionou-se chamar de GITT a

união entre a CITT e as novas extensões da técnica.

O formalismos apresentado para utilização da técnica generalizada contém um par

transformada-inversa e um problema associado que incorpora as características



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analíticas dos operadores do problema original e usando um operador de integração

apropriado para o problema, pode-se eliminar as variáveis independentes, o que permite

a obtenção de um sistema de EDO’s. Esse sistema de equações diferenciais ordinárias é

denominado sistema transformado que é resolvido analiticamente ou numericamente

levando em conta o truncamento que resulta na precisão prescrita do problema.

A técnica apresentada permite resolução de diversos problemas que envolvem

coeficientes variáveis, não linearidade e não homogeneidade. Entre eles pode-se citar

problemas de aletas com dissipação tempo-dependente, condução de calor com número

de Biot tempo-dependente, mudança de fase onde os contornos são variáveis e em casos

onde os sistemas auxiliares são de difícil resolução (Sturm-Liouville de funções

complexas).

2 Formulação matemática da GITT

Dado os problemas acoplados de convecção difusão, num volume V com

superfície de contorno S, descritos pela equação generalizada (2.1)

(2.1)

Com condições de contorno descritas por:(2.2)

(2.3)

Cujo operador é definido por:

(2.4)

Aplicando a separação de variáveis para os problemas homogêneos equivalentes,

têm-se os problemas auxiliares em x que definem as funções núcleos (), ouautofunções em x, que dependem dos auto valores :

(2.5)

(2.6)

Podendo-se utilizar de técnicas do tipo Sturm-Ville ou tabelas como a apresentada

em anexo para determinação das auto-funções e autovalores definidos, para aplicá-los

na transformada integral em x, definida por:



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(2.7)

(2.8)

Onde os núcleos () e as normas correspondentes (), são definidas a partir da propriedade de ortogonalidade das autofunções:

(2.9)

(2.10)

Aplicando a transformada (2.7) em cada EDP (2.1) de cada problema acoplado k ,

chega-se ao sistema de equações diferenciais ordinárias, definidas por:

(2.11)

Onde, associado à transformada integral das condições iniciais, tem-se:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Podendo o sistema de equações ser resolvido por software como o Mathematica

(da Wolfram) ou o Maple. Truncado o somatório em j = n e a definição dos autovalores

em i = N , tem-se uma redução do esforço computacional, implicando em erros

controláveis e de simples calculo para avaliação de convergência.

Reduzindo a formulação para problema de um único acoplamento (k = 1), tem-se

a definição da Técnica Transformada Integral Clássica (CITT), definida por Özisik em1974.



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3 Exemplos

3.1 Obter a distribuição de temperaturas para uma placa plana finita de

comprimento L, considerando condução unidimensional e transiente,

propriedades constantes e que há geração de calor, sujeita às condições de

contorno e iniciais indicadas.Utilize o método da Transformada Integral.

(,) +

(,)=

(,) para 0<x<L, t>0 (3.1.1)

onde

= ⁄ é a difusividade térmica do meio.

Condições de contorno:

= 0 em x=0 (3.1.2)

= 0 em x=L

(3.1.3)

Condição inicial:

= ( ) para t=0 (3.1.4)

Solução

1 – Desenvolvimento do par integral-transformada adequado:

Considerando condições de contorno de terceiro tipo (ou mista) nas fronteiras,

tem-se:

− + ℎ = 0 em x=0 (3.1.5)



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+ ℎ = 0 em x=L (3.1.6)

Em seguida, define-se um problema de autovalor auxiliar, que representa a

solução homogênea do problema inicial, na forma:

() + () = 0 para 0<x<L (3.1.7)

() + ℎ() = 0em x=0 (3.1.8)

As autofunções ( , ) desse problema de autovalor satisfazem as

propriedades de ortogonalidade. Considera-se que T(x,t) possa ser representada em L,

em termos de autofunções (, ), na forma:

(, ) = ()(, )

(3.1.9)

onde o somatório é realizado para todos os autovalores correspondentes. Para

determinar os valores de , utilizam-se as propriedades de ortogonalidade,

multiplicando ambos os lados da Equação 3.1.9 por ( , ) e integrando de 0 até L,

obtendo:

= 1

() (, )(, )

(3.1.10)

onde() é a norma da autofunção , dada por:

() = ( , )

(3.1.11)

Substituindo a Equação 3.1.10 na Equação 3.1.9, tem-se:



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(, ) = ( , )() (, )(, )

(3.1.12)

Pode-se separar a Equação 3.1.12 em duas partes para se obter o par integral-transformada associado ao presente caso, dado por:

(, ) = ( , )()

(, ) (3.1.13)

( , ) = (, )(, )

(3.1.14)

A Equação 3.1.14 é a Transformada Integral da função (, ) em relação à

variável espacial , ou seja, que transforma (, ) em (, ). A Equação 3.1.13 é a

Transformada Inversa.

2 – Remoção da derivada parcial em relação à variável espacial pela

aplicação da Transformada Integral:

Multiplicando a Equação 3.1.1 por () e integrando de 0 até L, tem-se:

()

∂ (, )∂ + 1

()(, )

= 1

∂∂t ()(, )

(3.1.15)

onde

() ≡ (, ). Utilizando a Transformada Integral, Equação 3.1.14,

temos:

( , ) = ()(, )

(3.1.16)

Inserindo as Equações 3.1.16 e 3.1.14 na Equação 3.1.15, tem-se:

() ∂ (, )∂ + 1 (, ) = 1 (, ) (3.1.17)



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A integral à esquerda da Equação 3.1.17 é avaliada de acordo com a segunda

identidade de Green:

()

∂ (, )∂

= (,) ∂ ()∂

+ [() ∂T∂ −(,) ∂∂ ]

(3.1.18)

Multiplicando a Equação 3.1.7 por (, ) e integrando de 0 até L:

(,) () = − (, )

() = − (, ) (3.1.19)

Considera-se condições de contorno não homogêneas na forma:

∂T(x,t)

∂+ ℎ(, ) = (, ) (3.1.20)

Multiplicando a Equação 3.1.20 por (), chega-se em:

() ∂T(x,t)∂

+ ℎ()(, ) = () (, ) (3.1.21)

Multiplicando a Equação 3.1.8 por (, ), tem-se:

(, ) ∂()∂n + ℎ(, )() =0 (3.1.22)

Subtraindo a Equação 3.1.22 da Equação 3.1.21, tem-se:

() ∂T(x, t)∂ − (, ) ∂()∂n = ()

(, ) (3.1.23)

Finalmente, substituindo as Equações 3.1.19 e 3.1.23 na Equação 3.1.18:



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()

∂ (, )∂

= −(, ) + () (, )

(3.1.24)

Substituindo-se a Equação 3.1.24 na Equação 3.1.17, temos:

−( , ) + () (, )

+ 1

(, ) = 1

(, ) (3.1.25)

Rearranjando:

(, ) + (, ) = (, ) (3.1.26)

onde (, ) é um termo geral que depende das condições de contorno e iniciais

do problema e é dado por:

(, ) = (, ) + () (, )

(3.1.27)

3 – Aplicação da transformada inversa para obter a solução do problema:

A EDP foi transformada em uma EDO, conforme a Equação 3.1.26, cuja solução

geral é dada por:

(, ) =exp(−) () + exp (

)(, ) (3.1.28)

onde() é obtida segundo a condição inicial:

(, 0) = (, )()

= () (3.1.29)



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Aplicando-se a fórmula da integral inversa, Equação 3.1.13, obtém-se a

distribuição de temperaturas do problema:

(, ) = (, )()

exp(−) () + exp (

)(, ) (3.1.30)

O termo (, ) para o presente caso, dados pelas condições de contorno 3.1.2

e 3.1.3 é:

(, ) = (, ) (3.1.31)

As autofunções (, ), a norma () e a expressão que define os

autovalores são tabelados, de acordo com a geometria e com as condições de

contorno. Para uma placa plana, dadas das condições iniciais do presente caso, tem-se:

(, ) =cos() (3.1.32)

1() = 2

(3.1.33)

cos() =0 (3.1.34)

Substituindo as Equações 3.1.31, 3.1.32, 3.1.33 e 3.1.34 na Equação 3.1.30, bem

como as expressões para () (Equação 3.1.29) e (, ) (Equação 3.1.16):

(, ) = 2 cos()

exp(−) cos() ()

+ exp (

) (, )

cos() (3.1.35)

onde os autovalores são os valores positivos das raízes da Equação 3.1.34

dados por:



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= (2 − 1) , = 1,2,3 … (3.1.36)

3.2 (ÖZISIK, 1993) Resolva o seguinte problema de condução de calor em

regime permanente para uma região retangular em 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b.

Utilize a Técnica da Transformada Integral.

∂ (, )∂ + ∂ (, )

∂ = 0 em 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b (3.2.1)

= 0 em = 0, = e = (3.2.2)

= ( ) em = 0 (3.2.3)

Solução1 – Equação característica Generalized Integral Transform Technique (GITT)

(, ). (,,) + (,, ,). ∇(,,) + (,,) = (,, ,)

(3.2.4

)

Sendo o operador ≡−∇(,)∇+(,), onde, para Regime Permanente,

a equação (3.2.4) caracteriza uma EDP linear elíptica com:

= 1 (3.2.5)

(, ) = (,, ,) = ( , ) = 0 (3.2.6)

(, , ,) = 1 (3.2.7)

( , ) = c t e = K (3.2.8)

2 – Transformada integral e inversa

As considerações 3.2.5 à 3.2.8 resultam na seguinte transformada integral em x:

, = , . (, ).

0 (3.2.9)

Cuja transformada inversa é:

(,)= ( , )() . (, )

(3.2.10)

A equação característica em x é tal que:

²()² + ² .( ) = 0 (3.2.11)



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Aplicando as condições de contorno em x, têm-se a seguinte equação

transcendental (3.2.12), as autofunções ortogonais definidas em (3.2.13) e o recíproco

da norma correspondente em (3.2.14):

( . ) = 0 ⇒ = .

= 1 , 2 , 3 , ⋯

(3.2.12)

()=( ,)=(. ) (3.2.13)

1() = 1

∫ ( , )

= 2 (3.2.14)

Aplicando a transformada integral (3.2.9) em ambos os lados da igualdade (3.2.1),

chega-se à EDO (3.2.15):

²(, )² − ². (, ) = 0 (3.2.15)

Com as transformadas da condições de contorno abaixo:

= () em = 0 (3.2.16)

= 0 em = (3.2.17)

Implicando na solução da EDO (3.2.15) sendo:

(, ) = (). ℎ(. ( − ) )ℎ(. ) (3.2.18)

Então a inversa (3.2.10) pode ser representada por:

(,)= 2a sin(.). ℎ( . ( − ))

ℎ(. ) . sin(.).().d

(3.2.10)

4 Referências

ANDRADE, E. A. (1996). Solução de equações diferenciais acopladas pela

Técnica da Transformada Integral e computação Simbolica. Fortaleza: Universidade

Federal do Ceara.

COTTA, R. M., & MIKHAILOV, M. D. (Março de 1993). Integral Transform

Method. Appl. Math. Moddeling .

ÖZISIK, M. N. (1993). Heat Conduction. New York: John Wiley & Sons.



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5 ANEXO (ÖZISIK, 1993)

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