ACOPLAMENTO FLEXÃO-TORÇÃO EM NAVIOS … Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau

ACOPLAMENTO FLEXÃO-TORÇÃO EM NAVIOS PORTA-CONTENTORES:

SOLUÇÃO POR DIFERENÇAS FINITAS

Vanessa da Conceição Ferreira

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientadores: Luiz Antonio Vaz Pinto

Antonio Carlos Ramos Troyman

Ricardo Homero Ramirez

Aluna: Vanessa da Conceição Ferreira

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2017

ii

ACOPLAMENTO FLEXÃO-TORÇÃO EM NAVIOS PORTA-CONTENTORES:

SOLUÇÃO POR DIFERENÇAS FINITAS


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E

OCEÂNICO.

Examinado por:

___________________________________________________

Luiz Antonio Vaz Pinto, D.Sc., COPPE/UFRJ

(Orientador)

___________________________________________________

Antonio Carlos Ramos Troyman, D.Sc., COPPE/UFRJ

(Co-Orientador)

___________________________________________________

Ricardo Homero Ramirez, D.Sc., COPPE/UFRJ

(Co-Orientador)

___________________________________________________

Ulisses A. B. V. Monteiro, D.Sc., DENO/COPPE/UFRJ

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2017

iii

Ferreira, Vanessa da Conceição

Acoplamento Flexão-Torção em Porta-Contentores:

Solução por Diferenças Finitas/ Vanessa da Conceição Ferreira. -

Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.

VII, 72 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Naval e Oceânica, 2017

Referências Bibliográficas: p. 55.

1. Flexão-Torção. 2. Vibração. 3. Métoto das Diferenças

Finitas. I.Vaz Pinto, Luiz Antonio. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e

Oceânica. III. Acoplamento Flexão-Torção em Porta-Contentores:

Solução por Diferenças FinitasFL.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço acima de tudo a Deus, por iluminar meu caminho e colocar em minha vida

tantas pessoas do bem.

Agradeço à minha família pelo apoio, compreensão e amor incondicional.

Agradeço aos meus amigos, todos eles. Os que estiveram presentes no dia-a-dia

durante a execução deste projeto, e os que, mesmo distantes, também deram todo o incentivo

e força para que eu seguisse em frente. Agradeço por todos os momentos maravilhosos que

passamos juntos.

Aos queridos orientadores pela dedicação, paciência e parceria na etapa final dessa

minha jornada.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

Acoplamento Flexão-Torção em Porta-Contentores:

Solução por Diferenças Finitas


Fevereiro/2017

Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Quando navios com grandes aberturas de convés são submetidos a forças de excitação

atuantes em um plano que não seja o de simetria da seção transversal, surgem esforços de

torção acoplados com flexão. Foi desenvolvido um software, baseado no Método de

Diferenças Finitas, a partir do qual é possível calcular as frequências naturais do navio,

considerando-se a influência do acoplamento entre a flexão e a torção do casco. Este software,

chamado VIB2, foi utilizado na modelagem de um navio porta-contentor e os resultados

comparados com os de um modelo 3D FEM, esperando atingir-se a concordância entre os

resultados dos dois modelos. Garantindo-se a precisão dos resultados do software VIB2, este

pode ser utilizado na análise dinâmica de navios com menor esforço de modelação quando

comparado com modelos FEM.

Palavras-chave: Vibração, Modelos Numéricos, Navios.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Bending-Twisting Coupling in Container Ships: Finite Difference Solution


Fevereiro/2017

Advisor: Luiz Antonio Vaz Pinto

Course: Ocean Engineering

When vessels with large deck openings are subjected to excitation forces acting on a

plan other than the cross section symmetry plan, torsional forces coupled with bending arise.

A software based on the Finite Differences Method makes it possible to calculate the ship

natural frequencies considering the influence of bending-twisting coupling. This software,

known as VIB2, was used in the modelling of a container ship and the results were compared

to those of a 3D FEM model, in order to analyze any consistency between the results from

both models. By assuring the accuracy of the VIB2 software results, it could be used in the

dynamic analysis of ships with less modelling effort as compared to FEM models.

Keywords: Vibration, Numerical Models, Ships.

vii

Sumário

1. Introdução ................................................................................................................... 1

1.1. Objetivos .............................................................................................................. 1

2. Conceitos Básicos ....................................................................................................... 2

2.1. Vibração ............................................................................................................ 2

2.2. Vibração da Viga-Navio ................................................................................... 3

2.3. Viga de Timoshenko ............................................................................................ 4

2.6. Fluxo de Tensões Cisalhantes em Seções de Parede Finas .............................. 5

2.4. Acoplamento Flexão-Torção ............................................................................ 8

2.5. Massa Adicional ............................................................................................... 8

2.5.1. Coeficientes para o Cálculo da Massa Adicional .......................................... 9

3. Estudo de Caso ......................................................................................................... 14

4. Modelo FEM ............................................................................................................ 17

4.1. Modelo Tridimensional...................................................................................... 17

4.2. Modelo RHINOCEROS .................................................................................... 18

4.3. Cálculo da Massa ............................................................................................... 20

4.3.1. Massa Estrutural .......................................................................................... 21

4.3.2. Massa Adicional .......................................................................................... 21

4.3.3. Modelo ANSYS .......................................................................................... 22

5. Modelo VIB2 ............................................................................................................ 24

5.1 Teoria Base ..................................................................................................... 24

5.1.1. Equações Diferenciais da Viga ................................................................... 24

5.1.2. Separação de Variáveis ............................................................................... 28

5.1.3. Formulação por Diferenças Finitas ............................................................. 30

5.1.4. Condições de Contorno ............................................................................... 31

5.1.5. Enfoque Matricial ........................................................................................ 31

5.2 Dados de Entrada ............................................................................................ 33

viii

5.2.1. PROSEC ................................................................................................... 34

5.2.2. Cálculos dos Parâmetros e Montagem dos Dados ...................................... 36

6. Resultados................................................................................................................. 43

7. Conclusões ................................................................................................................ 46

8. Referências Bibliográficas ........................................................................................ 47

Anexo I – Arranjo Geral do germano Becker .............................................................. 48

Anexo II – Resultados PROSEC .................................................................................. 49

Anexo III – Listagem de Saída do VIB2 ...................................................................... 54

1. Introdução

A vibração excessiva é uma das principais causas dos problemas operacionais em

navios e, portanto, é uma área de estudo de grande importância para a engenharia naval.

O fenômeno de vibração ocorre sempre que existam forças dinâmicas, ou seja, forças

que variam ao longo do tempo, atuando nos elementos estruturais locais do navio e no casco

como um todo.

Além dos níveis elevados de vibração comprometerem o conforto da tripulação,

afetam também a estrutura do navio, provocando falhas por fadiga, avarias em sistemas e

equipamentos do navio, e, em casos de ressonância, pode causar o colapso estrutural, afetando

significativamente sua operacionalidade.

Quando navios com grandes aberturas de convés são submetidos a forças de excitação

atuantes em um plano horizontal, surgem esforços de torção acoplados com flexão. Tal efeito

é conhecido como acoplamento flexão-torção e não pode ser desconsiderado para esse tipo de

embarcação na identificação das condições de ressonância.

1.1. Objetivos

Fazer o cálculo das 5 primeiras frequências e modos naturais de vibração horizontal de

porta-contentor, a ser estudado de duas maneiras distintas. A primeira será feita por modelo

3D de elementos finitos (FEM) e a segunda através do método das diferenças finitas. Esse

método encontra-se programado em um software denominado VIB2. A comparação entre

esses dois resultados tornará possível a avaliação do uso do VIB2 no cálculo de frequências

naturais para casos de embarcações com grandes aberturas de convés.

Garantindo-se a precisão dos resultados do software VIB2, este pode ser utilizado na

análise dinâmica de navios com menor esforço de modelação quando comparado com

modelos FEM.

2

2. Conceitos Básicos

Neste item apresenta-se uma revisão teórica de conceitos utilizados durante a

elaboração deste trabalho para que se possa ter uma maior compreensão do restante do

mesmo.

2.1. Vibração

O fenômeno da vibração ocorre sempre na presença de forças dinâmicas, isto é, forças

que variam ao longo do tempo atuando no casco, apêndices e/ou em elementos estruturais. Se

uma estrutura apresenta massa e elasticidade essa é passível de sofrer vibração. A resposta a

esse fenômeno, em um dado sistema, depende da intensidade das forças de excitação e das

características de inércia, amortecimento e rigidez do mesmo.

Existem diferentes tipos de vibração que ocorre em vigas: torcional, longitudinal,

lateral. A estudada neste trabalho corresponde à transversal. Essas vigas podem ser

consideradas de dois tipos, vigas de Euler-Bernoulli, cujas dimensões da seção transversal

podem ser consideradas pequenas em relação ao seu comprimento, de forma que o estudo de

vibração não inclui o efeito adicional da rotação das seções e das deflexões por cisalhamento,

e vigas de Timoshenko, chamadas vigas curtas, que exigem a consideração desses efeitos,

além de considerar aspectos adicionais como cisalhamento devido à flexão e à torção.

Particularmente, aspectos como posição do centro de cisalhamento e momento polar de

inércia de massa são importantes quando se deseja analisar o fenômeno do acoplamento entre

a flexão e a torção.

A viga-navio deve ser representada, portanto, por uma viga de Timoshenko, uma vez

que as dimensões da seção mestra não podem ser consideradas pequenas em relação ao

comprimento da embarcação.

3

2.2. Vibração da Viga-Navio

Um sistema é dito contínuo quando sua rigidez e massa são distribuídas

continuamente, como é o caso da viga navio. As vibrações sofridas por estes sistemas

podem ser classificadas em torcionais, longitudinais e laterais (horizontais e verticais) e são

geradas pela ação de forças dinâmicas (variantes no tempo) agindo nos elementos

estruturais locais e no casco do navio. A resposta à vibração de um sistema é função das

forças e das caracterìsticas de rigidez e de massas deste sistema.

Quando o navio sofre com problemas causados por condições de ressonância (quando

as frequências das forças de excitação estão muito próximas das frequências naturais da viga-

navio), poucos são os recursos capazes de modificar essas condições de ressonância. Alguns

fatores que influenciam são, por exemplo, a rigidez da estrutura do casco e as condições de

carregamento.

Nos navios ocorrem dois tipos de vibração, a vibração da viga-navio e a vibração

local. A vibração local representa a vibração de uma parte da estrutura do navio

(superestrutura, convés, etc.), ocorrendo, normalmente, em frequências superiores às

frequências de vibração da viga-navio.

Geralmente, a vibração livre de sistemas contínuos se dá simultaneamente em todos os

modos naturais, alguns em maior ou em menor grau. Em uma determinada frequência natural

todas as partículas executam um movimento harmônico sincronizados e com a configuração

do modo natural correspondente. Caso a curva elástica do corpo, sob a qual o movimento

começou, coincida exatamente com a configuração de um dos modos naturais, o sistema

vibrará apenas nessa frequência correspondente, embora esta seja uma situação que raramente

ocorre. Pode-se, no entanto, excitar o sistema num modo natural específico através da

imposição de condições de contorno adequadas.

No início dos estudos das vibrações de navios as teorias consideravam o casco do

navio em forma contínua e faziam semelhança com uma viga. Há duas teorias que estudam o

caso da viga-navio: a teoria Euller-Bernoulli e a teoria de Timoshenko. A diferença entre elas

é que a teoria de Timoshenko considera aspectos adicionais como o cisalhamento devido à

flexão e à torção e a inércia rotativa das seções (quando a massa da seção gira em torno do seu

eixo centroidal).

4

2.3. Viga de Timoshenko

Para que uma viga seja considerada “viga de Timoshenko” suas dimensões

transversais não podem ser inferiores a 10% de seu comprimento, como é o caso da viga-

navio.

A viga em questão considera que as seções planas se mantêm planas. Contudo, uma

seção normal ao eixo da viga não mantém necessariamente essa característica após a

deformação.

Na Viga de Timoshenko (Figura 2.1), a inércia de rotação das seções é utilizada para

levar em conta o efeito da rotação de cada seção, caso o método da elástica seja usado.

Figura 2.1 – Teoria de flexão de vigas de Timoshenko

Assim, o elemento da viga, que já havia sofrido uma rotação θ(x, t) devido ao momento

fletor M(x, t), sofre, com a atuação da força cortante, uma distorção (x,t), de forma que a

rotação final da viga passe a ser:

𝑑𝑤(𝑥,𝑡)

𝑑𝑥 = θ (𝑥, 𝑡) 𝜙 (𝑥, 𝑡) (2.1)

Essas hipóteses fazem com que os resultados obtidos da vibração de vigas em flexão

sejam mais precisos e próximos do real.

Pode-se notar que a análise contínua tem uma complexidade considerável para

modelos simplificados como no caso de uma viga simples, para a qual, inclusive, existem

hipóteses que ajudam a resolver as equações dinâmicas e elásticas. Portanto, surge a

necessidade de se avaliar os modelos por meio do Método dos Elementos Finitos.

5

2.6. Fluxo de Tensões Cisalhantes em Seções de Parede Finas

Para se considerar a teoria da viga de Timoshenko é necessário levar-se em conta

algumas propriedades da seção transversal, tais como momento de inércia, constante de

torção de St. Venant e áreas efetivas no cisalhamento, sendo essas últimas de dif´cil

determinação. Felizmente, através da teoria do Fluxo de Tensões Cisalhantes em Seções

de paredes Finas, esses parâmetros podem ser obtidos com relativa facilidade.

Os fundamentos da Teoria do Fluxo de Tensões Cisalhantes em Seções de Paredes

Finas podem ser encontrados em Megson (1974). No entanto, neste relatório, a teoria é

apresentada de forma rápida e conclusiva.

Inicialmente é necessário considerar-se quatro hipóteses para que esta teoria possa ser

usada. São elas:

a espessura do material deve ser considerada pequena se comparada com as demais

dimensões da seção;

as tensões cisalhantes distribuem-se uniformemente pela espessura da parede;

o material é linear e isotrópico e;

considera-se o coeficiente de Poisson nulo, já que este dado tem pouca influência

nos resultados.

Para uma seção plana qualquer de paredes finas, mostrada na Figura 2.2, o fluxo

cisalhante em determinado ponto s da seção pode ser expresso por:

(2.2)

para: (2.3)

6

(2.4)

onde:

Sy – força cortante aplicada na direção y;

Sz – força cortante aplicada na direção z;

– coordenadas relativas ao centróide da área da seção;

Iyy, Izz – momentos de inércia de área centroidais;

Iyz – produto de inércia de área centroidal;

t – espessura das paredes;

b – área de reforço que absorve tensões normais, mas não tensões cisalhantes;

q0 – fluxo de tensão cisalhante no ponto inicial 0.

Figura 2.2 – Seção de parede fina

Agora, deve-se escrever uma equação para a área efetiva no cisalhamento, 𝑘′𝐴, em

função do fluxo cisalhante, qs. De acordo com a teoria elementar de flexão de vigas,

assume-se que a inclinação da elástica devido a uma força cortante, V, seja dada por:

7

𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑉

𝑘′𝐴𝐺 (2.5)

onde:

G - o módulo de elasticidade transversal do material e 𝑘′𝐴𝐺 é a rigidez ao

cisalhamento.

Em Megson (1972), a partir do Princípio do Valor Estacionário da Energia

Complementar Total do Sistema Elástico, pode-se escrever que:

𝑑𝑤

𝑑𝑥= ∫ 𝜏∗𝜆𝑡𝑑𝑠

𝑠 (2.6)

Definindo 𝑞∗ = 𝜏∗𝑡 e 𝜆 =𝑞

𝐺𝑡 e, se o sistema elástico é linear, ou seja, 𝑞 = 𝑉𝑞∗, temos:

𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑉

𝐺∫

𝑞∗2

𝑡𝑑𝑠

𝑠 (2.7)

Por fim, igualando as equações (2.5) e (2.7):

𝑘′𝐴 =1

∫𝑞∗2

𝑡𝑑𝑠

𝑠

(2.8)

A determinação de q* deve ser feita para a força cortante unitária na direção relevante

em questão.

No método proposto as paredes da seção são compostas por elementos retilíneos, o

que segundo Chalmers (1979) subestima a área efetiva no cisalhamento em

aproximadamente 1%. Mas, o uso destes elementos retilíneos justifica-se pela maior

facilidade na solução das integrais que aparecem na equação (2.2).

8

2.4. Acoplamento Flexão-Torção

Uma viga sujeita a um esforço de flexão em um plano principal que não seja um plano

de simetria para a seção transversal da viga possui uma distribuição de tensões cisalhantes ao

longo da seção que também não é simétrica. Dessa forma, surge na seção em questão, um

momento torsor (em relação ao eixo longitudinal da viga) que provoca ângulos de torção

relativos entre seções adjacentes. Este é, em linhas gerais, o fenômeno de acoplamento entre

a flexão e a torção da viga. A explanação desse tópico será apresentada de forma mais

detalhada no capítulo 5 desse trabalho.

2.5. Massa Adicional

Entende-se por massa adicional como sendo a massa, ou momento estático, ou

momento de inércia adicionado pelas partículas fluídas que se movimentam ao redor de um

corpo flutuante quando este se translada ou rotaciona, nos seus 6 (seis) graus de liberdade

(movimento do corpo rígido).

As forças hidrodinâmicas que atuam em um corpo, levando-se em consideração um

fluido real podem ser calculadas utilizando-se suas propriedades inerciais e viscosas. Em

algumas aproximações é possível distinguirem-se as forças de natureza inercial,

considerando-se o fluído ideal (não viscoso), e as forças de natureza viscosa.

Desta forma, as forças de natureza inercial podem ser expressas em termos das massas

adicionais do corpo flutuante, obtendo assim aproximações e coeficientes para o cálculo da

mesma. Estes cálculos podem ser aplicados tanto para um corpo acelerado em qualquer um

dos seis graus de liberdade, quanto para um corpo em movimento constante.

O efeito da massa adicional foi percebido, primeiramente, por Dubua em 1776, à

medida que os resultados dos cálculos das forças hidrodinâmicas atuantes em um objeto em

movimento num fluído considerado incompressível e não viscoso foram distintos dos

resultados experimentais. A primeira expressão matemática obtida para a massa adicional de

uma esfera foi desenvolvida por Green em 1833 e Stokes em 1843. A partir daí, vários

9

pesquisadores desenvolveram diferentes expressões e coeficientes para o cálculo da massa

adicional de um corpo arbitrário.

A maior parte dos cálculos foi desenvolvida para cilindros de seções retangulares,

circulares e elípticas, devido à simplicidade dessas formas e considerando-se o corpo

flutuando em um fluído infinito, sem interferências de superfícies próximas. Conhecendo o

escoamento do fluído ao redor destes cilindros é possível fazer o cálculo da massa virtual,

através do cálculo de energia cinética do sistema, considerando o movimento do corpo

flutuante e das partículas fluídas.

A seguir é feita uma breve análise dos coeficientes e fórmulas utilizados para a

obtenção da massa virtual de um corpo flutuante.

2.5.1. Coeficientes para o Cálculo da Massa Adicional

Como dito anteriormente, para determinação dos coeficientes de massa adicional

considera-se como objeto de estudo a seção transversal de um navio. Quando esta seção

penetra o fluido, o mesmo é deslocado para dar passagem ao navio. Quando o navio se

movimenta para fora do fluido, o mesmo retorna ao seu espaço original, preenchendo-o. Com

isso, o fluido apresenta um movimento oscilatório cujo efeito é transmitido a todas as

partículas do meio.

Conforme a Figura 2.3, a energia cinética do sistema é dada por:

Figura 2.3. Esquema do movimento do navio no meio fluido.

10

𝐸𝑐 =1

2𝑀𝑣2 +

1

2∑ 𝑚𝑖𝑣𝑖

2

∞

𝑖=1

(2.9)

onde:

M : massa do corpo;

v : velocidade vertical (movimento de heave);

𝑚𝑖: massa da partícula fluida i;

𝑣𝑖: velocidade da partícula fluida i;

A primeira parcela da seção é referente à seção do navio, enquanto a segunda parcela

se refere às partículas que se movimentam no meio fluido.

A equação (2.9) pode ser simplificada considerando-se a energia cinética das partículas

fluidas como sendo metade do produto da massa total (M’) e a velocidade vertical v.

𝐸𝑐 =1

2𝑀𝑣2 +

1

2𝑀′𝑣2 =

1

2(𝑀 + 𝑀′)𝑣2 (2.10)

O termo M’, é chamado de massa adicional (ou virtual) e varia de acordo com as

características da seção (forma, boca e calado) e das propriedades do meio fluido.

Para realização desse cálculo, inicialmente considera-se uma seção circular simples de

um cilindro de raio r, parcialmente submerso em um fluido de densidade ρ, flutuando com seu

centroide coincidindo com a altura da linha d’água, de acordo com a Figura 2.4. Será

assumido que o cilindro oscila verticalmente e que seu movimento possui pequena amplitude.

Figura 2.4. Representação do movimento de um cilindro num meio fluido.

A massa adicional (M’) por unidade de comprimento, do movimento de heave, para

um cilindro totalmente submerso é dada como:

11

𝑀′ = 𝜌𝜋𝑟2 (2.11)

Onde:

ρ: massa específica do fluido;

r: maio do cilindro;

Assim, o valor da massa adicional por unidade de comprimento do cilindro com

metade do seu volume submerso vai ser igual à metade da situação em que está totalmente

submerso. E levando-se em consideração o comprimento do cilindro, tem-se o seguinte:

𝑀′ =1

2∫ 𝜌𝜋𝑟2

𝐿 2⁄

−𝐿 2⁄

(2.12)

onde:

L: comprimento do cilindro;

Como se pode perceber na equação (2.12), a massa de fluido deslocada é

numericamente igual à massa do cilindro. Esse resultado revela a importância do

conhecimento de massa adicional, que no caso do cilindro, representa um acréscimo de 100%

da sua massa total.

No caso do cálculo da massa adicional para seções de navio não se deve utilizar de

forma direta as aproximações obtidas através do cilindro, uma vez que essas seções

transversais não possuem formas circulares perfeitas. Com isso, diversos pesquisadores

propuseram o uso do método da Transformação Conforme (KOROTKIN, 2007), onde são

determinados os resultados para seções típicas de navio a partir dos resultados de uma seção

circular.

A transformação conforme é realizada através de expressões matemáticas que fazem a

“conversão” do contorno da forma do cilindro para o contorno da forma do casco.

Considerando-se um fluido incompressível e infinito, através do escoamento potencial

no plano ζ adota-se uma função de corrente ψ(y,z) e impõem-se as condições de contorno:

∆𝜓 = 0

𝑣𝑦 =𝜕𝜓

𝜕𝑧= 0

𝑣𝑧 = −𝜕𝜓

𝜕𝑦= 0

(2.13)

Com isso, obtém-se a seguinte expressão geral:

12

𝑓(𝜁) = 𝑘𝜁 + 𝑘0 +𝑘1

𝜁+

𝑘2

𝜁2+ ⋯ (2.14)

E desde que o escoamento potencial ao redor do cilindro no plano (ζ) seja conhecido,

pode-se encontrar o potencial no contorno da superfície C, contida no plano τ. A Figura 2.5

apresenta um esquema da mudança de coordenadas.

Figura 2.5. Procedimento a ser realizado pela transformação conforme.

Conforme demonstrado pela Figura 2.5, a seção está espelhada na superfície livre, este

efeito é chamado de Corpo Duplo e é aplicado a fim de se garantir que as condições de

contorno na superfície livre sejam satisfeitas para os movimentos horizontais.

Através dos mapas de conformação, pode-se utilizar a expressão da equação (2.13),

onde as constantes kn são substituídas por combinações de valores envolvendo o calado e a

boca da seção considerada. Existem diferentes mapas de conformação que podem vir a ser

utilizados, entretanto para o presente projeto utilizaram-se os mapas para seções duplicadas

movendo-se num fluído infinito, tendo como base os mapas de transformação conformes

desenvolvidos por Lewis.

Segundo Gamarra (2012), após a transformação conforme, Landweber e Macagno [1]

construíram curvas práticas para representar os valores dos coeficientes de massa adicional

bidimensional vertical, Cv, e dos coeficientes de massa adicional bidimensional horizontal,

Ch, em função de:

13

𝜆 =𝑏(𝑥)

𝑑(𝑥)

(2.15)

𝜎 = 𝑠(𝑥)

2𝑏(𝑥)𝑑(𝑥)

(2.16)

onde:

S(x) : área imersa da seção na posição x (m2)

b(x) : meia boca da seção na posição x (m)

d(x) : calado da seção na posição x (m)

Em função dos parâmetros λ e σ é possível determinarem-se os valores dos

coeficientes Cv e Ch, e, com isso, os valores das massas adicionais por unidade de

comprimento, que podem ser calculadas através das seguintes expressões:

𝑚`𝑣 = 1

2 𝜋ρb2 CV

(2.17)

𝑚`ℎ= 1

2 𝜋ρ d2Ch

( 2.18)

As Figuras 2.6 e 2.7 apresentam as curvas para determinação dos valores de Cv e Ch.

Figura 2.6 - Coeficiente de massa virtual bidimensional para movimento vertical

14

Figura 2.7 - Coeficiente de massa virtual bidimensional para movimento horizontal

Vale ressaltar que a diferença entre as massas adicionais vertical e horizontal é que a

massa vertical possui um modo em que ela se desloca verticalmente e volta para o estado

inicial enquanto que a horizontal tem seu deslocamento, porém não volta ao estado inicial.

3. Estudo de Caso

O presente trabalho foca seu estudo no cálculo das frequências e modos naturais de

vibração na direção horizontal do navio Germano Becker, projetado para operação tanto como

porta-contentor quanto graneleiro.

O cálculo das frequências e modos naturais de vibração na direção vertical de tal

embarcação foi estudado anteriormente. Em 2011, Rafael Brasil [2] utilizou um modelo 1D da

viga-navio e, em 2013, Juliana Barreiros [3] baseou-se em um modelo 3D do navio.

A Figura 3.1 apresenta uma vista da operação do navio em estudo e as características

principais do Germano Becker são listadas na Tabela 3.1.

15

Figura 3.1. Embarcação de Estudo Germano Becker.

Tabela 3.1. Características principais do Germano Becker.

Conforme mencionado acima, esta embarcação de estudo transportar diferentes tipos

de carga, sendo assim, para cada tipo de carga terá deslocamento, calado e capacidade de

cargas diferentes. Mas por suas características pode ser considerado um navio com grande

abertura de convés.

No transporte de granel sólido, a embarcação pode transportar fertilizantes, farelo,

cereal e cavaco de madeira, já no transporte de contêineres, a embarcação é capaz de

Comprimento Total (LOA) 110,04 m

Comprimento entre perpendiculares (LPP) 105,14 m

Boca Moldada (B) 16,20 m

Pontal Moldado (D) 5,25 m

Calado de Projeto (T) 4,50 m

Germano Becker

Dimensões Principais

16

transportar até 102 contêineres, na condição “full container”. A Tabela 3.2 apresenta os

máximos calados no qual navega o Germano Becker dependendo do tipo de carga que esta

transportando.

Tabela 3.2. Calados máximos de navegação.

17

4. Modelo FEM

O Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Element Method) é um método

numérico usado para soluções de problemas complexos, seja este estático ou dinâmico. Neste

método, as estruturas são discretizadas em pequenos elementos que, no seu conjunto, se

comportam como um membro estrutural contínuo, elementos esses que são conectados

através dos nós dos elementos. A utilização do Método dos Elementos Finitos tem

demonstrado grande confiabilidade nos resultados fornecidos, mas os dados de entrada

precisam ser selecionados de forma cuidadosa.

4.1. Modelo Tridimensional

Para desenvolver esse projeto foi feito um modelo tridimensional com fins de se obter

os modos de vibração e as freqüências naturais do navio Germano Becker, a embarcação de

estudo.

Modelação foi feita através do software RHINOCEROS e complementada com

análises no módulo AQWA, para cálculo da massa adicional, e no módulo MODAL,

específico para a análise dos modos de vibração de uma estrutura, que fazem parte do pacote

do software ANSYS.

Os métodos numéricos avançados dos quais o Método de Elementos Finitos é o mais

conhecido, são extremamente importantes para definição e análise de estruturas complexas de

engenharia, pois é um método capaz de gerar resultados mais refinados quando comparado a

outros métodos.

A modelação por elementos finitos apresenta-se hoje como uma ferramenta

indispensável para a elaboração de projetos de engenharia. Neste sentido, a remoção das suas

limitações é de crucial importância no desenvolvimento de modelos que permitam análises de

qualidade.

Por meio de simulações pode-se determinar se uma estrutura em análise responde aos

seus requisitos funcionais através da sua resposta ao carregamento dinâmico aplicado. Deste

modo, pode ser determinado qual o parâmetro estrutural que mais afeta a resposta dinâmica da

estrutura e, assim, a estrutura pode ser funcionalmente modificada e melhorada.

18

4.2. Modelo RHINOCEROS

O navio Germano Becker, como dito anteriormente, é uma embarcação para transporte

de conteiners e granel. Ele possui quatro porões de carga ao longo de seu corpo paralelo, uma

praça de máquinas a ré e regiões de popa e proa. Todos os porões são separados entre si por

uma antepara corrugada, e nas outras regiões do navio, existem anteparas transversais

estanques convencionais.

No arranjo geral do navio, apresentado no ANEXO I, ao longo do comprimento da

embarcação há um total de 185 cavernas, do espelho de popa (caverna -7) até a proa (caverna

176), incluindo anteparas transversais (corrugadas e convencionais) e cavernas gigantes e

simples. Subdividida entre as regiões existentes no navio, a tabela 4.1 apresenta a

configuração das cavernas.

Tabela 4.1. Subdivisão das cavernas

De acordo com Barreiros [3], em posse do arranjo geral, do plano de linhas, e do

arranjo estrutural, foi possível modelar o contorno de todas as cavernas acima descritas,

conforme pode ser visualizado a seguir.

19

Figura 4.1. Modelo RHINOCEROS

A definição de cada uma das cavernas é essencial para se obterem os parâmetros

relacionados a elas, que tornará possível a determinação da massa adicional.

A figura 4.2 mostra a seção mestra do navio em estudo, utilizada na determinação dos

parâmetros para o programa PROSEC (veja o item 5.2.1). Outras seções foram utilizadas para

se obter uma melhor representação da viga-navio.

20

Figura 4.2. Seção Mestra

4.3. Cálculo da Massa

As parcelas referentes às massas distribuídas ao longo do modelo devem ser

consideradas a fim de que as análises sejam feitas considerando-se o deslocamento que o

navio apresenta para a condição de carregamento de análise, e também o valor referente à

massa adicional.

Com as massas devidamente distribuídas ao longo do modelo, pode-se adicionar o

valor correspondente ao deslocamento, desconsiderando-se o valor correspondente ao peso da

estrutura.

A massa total pode ser considerada como sendo a soma da massa adicional horizontal

mais a diferença entre o deslocamento e a massa estrutural, em cada caverna considerada.

O módulo AQWA fornece o valor do deslocamento uma vez que o casco e o calado

são dados de entrada do programa. O volume obtido foi de 6744 m³ e, considerando a massa

específica de 1 ton/m³ tem-se um deslocamento (Δ) de 6744 toneladas.

21

Assim como na distribuição de massa adicional ao longo do comprimento da

embarcação, foi feita uma estimativa utilizando-se as áreas submersas para aplicar a massa

relativa ao que não é estrutural na embarcação. A seguinte formulação foi empregada:

𝑀𝑇(𝑥, 𝑛) = 𝑀 ∗ 𝐽(𝑥, 𝑛) + (𝐴𝑟𝑒𝑎_𝑆𝑢𝑏𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎(𝑥)

∑ 𝐴𝑟𝑒𝑎_𝑆𝑢𝑏𝑚𝑒𝑟𝑠𝑎(𝑥)) ∗ ∑(∆ − M_Estrut) (4.1)

onde:

MT(x,n): Massa adicional total na posição x do modo n;

M: Massa adicional;

M_Estrut: Massa da estrutura do navio

4.3.1. Massa Estrutural

A massa estrutural foi calculada no módulo Modal do ANSYS, sendo a massa

específica do aço comum de 7850 kg/m³. A massa obtida foi de 827,052 toneladas.

4.3.2. Massa Adicional

Neste projeto a massa adicional é calculada através do método de Lanweber, conforme

descrito no item 2.5.1, utilizando-se os coeficientes para movimento horizontal.

De posse dos valores de massa adicional, utilizou-se a correção dos valores de massa

adicional para cada modo de vibração, pois no modelo da viga-navio, para cada modo de

vibração diferente, o movimento horizontal das partículas do fluído se altera, diminuindo

assim a velocidade horizontal do fluído.

Townsin [4] propôs uma correção através de uma formulação que utiliza o parâmetro

J, a ser multiplicado ao valor da massa adicional, dado por:

𝐽𝑛 = 1,02 − 3(1,2 −1

𝑛)

𝐵

𝐿 (4.2)

onde:

n: número de nós de cada modo de vibração considerado;

B: boca da seção considerada;

L: comprimento entre perpendiculares da embarcação.

22

Observa-se que quanto maior o número de nós do modo de vibração, menores serão os

valores de 𝐽𝑛.

4.3.3. Modelo ANSYS

Com base no modelo do RHINOCEROS, os dados foram foi então exportados para o

ANSYS Workbench, e, dentro do programa, foram definidos as espessuras de cada

chapeamento e reforço, conforme apresentado no croqui da seção mestra da figura 4.2.

Após inserir todas as espessuras, considerando-se a massa específica de 7850 t/m³, o

peso da estrutura já está adicionado ao modelo, como dito anteriormente. Então, torna-se

necessário aplicar aplicados pontos de massa que representem o deslocamento no calado de

projeto T=4,5 metros, e também acrescentar o valor da massa adicional.

Considerando-se que a massa adicional varia para cada modo de vibração, foram

desenvolvidos 5 diferentes modelos equivalentes aos 5 primeiros modos de vibração

horizontal.

Para cada meia seção, as massas foram distribuídas em dois locais diferentes: para a

massa referente ao corpo paralelo, foram aplicados 1 ponto de massa no costado, e 1 ponto de

massa na hastilha, para cada bordo; para a massa referente à região de popa e proa, foi

aplicado apenas 1 ponto de massa na hastilha, e 1 no costado, para cada bordo como pode ser

visto nas figuras 4.3 e 4.4.

Figura 4.3. Distribuição da massa total no corpo paralelo

23

Figura 4.4. Distribuição da massa total na região de popa e proa

A Massa adicional foi inserida no módulo Modal do ANSYS, conforme pode ser visto

na Figura 4.5.

Figura 4.5. Massa total distribuída.

24

5. Modelo VIB2

Foi desenvolvido um software baseado no Método das Diferenças Finitas a partir do

qual é possível calcularem-se as vibrações natural e forçadado navio, considerando-se a

influência do acoplamento entre flexão e torção do casco.

A teoria utilizada no software VIB2 é, simplificadamente, a seguinte:

São colocadas as equações diferenciais do movimento para uma viga de Timoshenko

não uniforme auto-equilibrada num plano de assimetria. A partir disso, é identificada a

condição de acoplamento entre a flexão e a torção das seções transversais da viga. Depois

disso é aplicada uma separação de variáveis de modo a trazer o problema do domínio espaço

x tempo para o domínio exclusivo do espaço. Essas equações no domínio do espaço são

transformadas em equações de diferenças finitas e os problemas de resposta e de auto-valor

são resolvidos utilizando-se um processo de busca no domínio da frequência.

5.1 Teoria Base

Neste tópico apresenta-se a teoria utilizada nas formulações do software VIB2, de

acordo com Troyman [5].

5.1.1. Equações Diferenciais da Viga

Seja o elemento de comprimento 𝑑𝑥 da viga de Timoshenko, mostrado na Figura 5.1.

Conforme pode ser observado, o elemento está sujeito aos seguintes esforços externos e

internos:

25

Figura 5.1 – Elemento da viga de Timoshenko

𝑢(𝑥, 𝑡) – torque distribuído na direção 𝑥 (externo);

𝑝(𝑥, 𝑡) – carga distribuída na direção 𝑦 torque (externa);

𝑞(𝑥, 𝑡) – momento distribuído na direção z (externo);

𝑇(𝑥, 𝑡) – momento torsor na direção x (interno);

𝑉(𝑥, 𝑡) – força cortante na direção y (interna);

𝑀(𝑥, 𝑡)– momento fletor na direção z (interno).

Os esforços 𝑈, 𝑃 e 𝑄 , apresentados na Figura 5.1, são resultantes das integrais ao

longo do comprimento dx de 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑝(𝑥, 𝑡) e 𝑞(𝑥, 𝑡), respectivamente.

Existem ainda na seção dois pontos de especial interesse. O primeiro deles é o ponto

G, cuja distância ao eixo 𝑥 é dada por 𝑧̅, que representa o centro de gravidade da seção

transversal. O segundo é o ponto S, cuja distância ao eixo 𝑥 é dada por 𝑧̿, que representa o

centro de cisalhamento da seção (ponto de aplicação da resultante do esforço cortante

interno).

Para representar o movimento do elemento da viga, aplicam-se as três equações

dinâmicas que se seguem:

26

𝑚(𝑥)𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2− 𝑚(𝑥)𝑧̅(𝑥)

𝜕2∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= −

𝜕𝑉(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥− 𝑐(𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡+ 𝑝(𝑥, 𝑡) (5.1);

𝐽(𝑥)𝜕2𝛾(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2=

𝜕𝑀(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥− 𝑉(𝑥, 𝑡) + 𝑞(𝑥, 𝑡)

(

(5.2);

𝐽𝑝(𝑥)𝜕2∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2− 𝑀(𝑥)𝑧̅(𝑥)

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= 𝑢(𝑥, 𝑡) −

𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

(

(5.3),

onde:

𝑚(𝑥) – massa distribuída da viga;

𝑐(𝑥) – amortecimento cinemático distribuído da viga;

∅(𝑥, 𝑡) – ângulo de torção da seção da viga;

𝐽(𝑥) – inércia rotativa distribuída da viga;

𝐽𝑝(𝑥) – momento de inércia de massa da seção da viga em relação ao eixo 𝑥;

𝛾(𝑥, 𝑡) – ângulo de inclinação da seção da viga devido apenas ao momento fletor.

A equação (5.1) diz respeito ao movimento linear na direção 𝑦, a equação (5.2) se

refere ao movimento angular na direção 𝑧 e a equação (5.3) ao movimento angular na

direção 𝑥.

Para complementar as equações dinâmicas, as seguintes equações elásticas podem ser

colocadas para o elemento de viga:

𝜕𝛾(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥=

𝑀(𝑥, 𝑡)

𝐸𝐼(𝑥)

(

(5.4);

𝛽(𝑥, 𝑡) =𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑘´𝐺𝐴(𝑥)

(

(5.5);

𝜕∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −

𝑇(𝑥, 𝑡)

𝐺𝐽𝑒(𝑥)− 𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑧(̿𝑥)

𝐺𝐽𝑒(𝑥)

(

(5.6),

onde:

𝐸𝐼(𝑥) – rigidez à flexão da seção da viga;

𝛽(𝑥, 𝑡) – ângulo de distorção da seção da viga devido ao cisalhamento;

𝑘´𝐺𝐴(𝑥) – rigidez ao cisalhamento da seção da viga;

27

𝐺𝐽𝑒(𝑥) – rigidez à torção da seção da viga.

Além das equações colocadas acima, é preciso representar-se o fenômeno de

empenamento que diz respeito ao acoplamento entre a torção e a força cisalhante atuante na

seção, através da equação

𝜃(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥, 𝑡)𝑧̿(𝑥)2

𝐺𝐽𝑒(𝑥)+ 𝑇(𝑥, 𝑡)

𝑧̿(𝑥)

𝐺𝐽𝑒(𝑥) (5.7),

onde 𝜃(𝑥, 𝑡) é o ângulo de empenamento que se relaciona com os demais ângulos de

inclinação da elástica da viga através da relação

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝛾(𝑥, 𝑡) − 𝛽(𝑥, 𝑡) − 𝜃(𝑥, 𝑡) (5.8).

Combinando as equações de (1) a (8), forma-se o seguinte sistema de equações

diferenciais que deve ser satisfeito pela viga de Timoshenko:

𝜕𝑉(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝑚(𝑥)

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2− 𝑐(𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡+ 𝑚(𝑥)𝑧(̅𝑥)

𝜕2∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+ 𝑝(𝑥, 𝑡) (5.9),

𝜕𝛾(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥=

𝑀(𝑥, 𝑡)

𝐸𝐼(𝑥) (5.10),

𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝑚(𝑥)𝑧̅(𝑥)

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2− 𝐽𝑝(𝑥)

𝜕2∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+ 𝑢(𝑥, 𝑡) (5.11),

𝜕𝑀(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝑉(𝑥, 𝑡) + 𝐽(𝑥)

𝜕2𝛾(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2+ 𝑞(𝑥, 𝑡) (5.12),

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝛾(𝑥, 𝑡) −

𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑘´𝐺𝐴(𝑥)− 𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑧̿(𝑥)2

𝐺𝐽𝑒(𝑥)− 𝑇(𝑥, 𝑡)

𝑧̿(𝑥)

𝐺𝐽𝑒(𝑥)

(5.13),

𝜕∅(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −

𝑇(𝑥, 𝑡)

𝐺𝐽𝑒(𝑥)− 𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑧̿(𝑥)2

𝐺𝐽𝑒(𝑥) (5.14).

28

5.1.2. Separação de Variáveis

Admitindo-se que as forças e momentos externos aplicados à viga sejam harmônicos

no tempo, podem-se realizar as seguintes separações de variáveis:

𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑃(𝑥) (5.15);

𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑞(𝑥) (5.16);

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑢(𝑥) (5.17),

onde a função harmônica 𝑓(𝑡) é dada por

𝑓(𝑡) = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔 𝑡 (5.18),

Para a qual 𝜔 é a frequência pulsativa do movimento harmônico.

Uma vez eliminada a variável tempo, e como se deseja determinar apenas as variáveis

𝑦(𝑥), 𝑀(𝑥) e ∅(𝑥), é possível reduzir-se o sistema a apenas três equações, eliminando-se as

variáveis 𝑉(𝑥), 𝛾(𝑥) e 𝑇(𝑥). Após as devidas manipulações algébricas, chega-se a:

𝛾(𝑥) =

𝑑𝑦(𝑥)𝑑𝑥

+1

𝑘´𝐺𝐴(𝑥)𝑑𝑀(𝑥)

𝑑𝑥− 𝑧̿(𝑥)

𝑑∅(𝑥)𝑑𝑥

−𝑞(𝑥)

𝑘´𝐺𝐴(𝑥)

1 − 𝜔2 𝐽(𝑥)𝑘´𝐺𝐴(𝑥)

(5.19);

𝑉(𝑥) =

𝑑𝑀(𝑥)𝑑𝑥

+ 𝜔2𝐽(𝑥) (𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥− 𝑧(̿𝑥)


) − 𝑞(𝑥)

1 − 𝜔2 𝐽(𝑥)𝑘´𝐺𝐴(𝑥)

(5.20);

𝑇(𝑥) =𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥𝐺𝐽𝑒(𝑥) − 𝑧(̅𝑥)


+ 𝜔2𝐽(𝑥) (𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥− 𝑧(̿𝑥)


) − 𝑞(𝑥)

1 − 𝜔2 𝐽(𝑥)𝑘´𝐺𝐴(𝑥)

(5.21).

Após algumas integrações, e, com auxílio das equações de (5.19) a (5.21), chega-se a

um sistema de equações com apenas as variáveis de interesse. Mas antes de se fazerem as

integrações, torna-se necessário definir os limites de integração, através de uma discretização

conveniente da viga.

29

De acordo com a Figura 5.2, a viga é dividida em 𝑁 elementos de comprimentos

variáveis de forma que o centro de cada elemento fique definido pela coordenada 𝑥𝑖 e as

fronteiras de cada elemento pelas coordenadas 𝑥𝑖−1/2 e 𝑥𝑖+1/2, para 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑁. Então,

após as mencionadas integrações ao longo de um elemento 𝑖, obtêm-se:

Figura 5.2 – Discretização da viga

𝑉(𝑥𝑖+1/2) − 𝑉(𝑥𝑖−1/2) =

= ∫ (𝑚(𝑥)𝜔2 − 𝑗. 𝑐(𝑥)𝜔)𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

𝑦(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜔2 ∫ 𝑚(𝑥)𝑧̅(𝑥)∅(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

+ ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

(5.22);

𝛾(𝑥𝑖+1/2) − 𝛾(𝑥𝑖−1/2) = ∫𝑀(𝑥)

𝐸𝐼(𝑥)𝑑𝑥

𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

(5.23);

𝑇(𝑥𝑖+1/2) − 𝑇(𝑥𝑖−1/2) =

= − ∫ 𝑚(𝑥)𝑧̅(𝑥)𝜔2𝑦(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

+ ∫ 𝐽𝑝(𝑥)𝜔2∅(𝑥)𝑑𝑥 +𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

(5.24).

Finalmente, substituindo-se as equações de (5.29) a (5.21) nas equações de (5.22) a

(5.24), chega-se a um sistema de equações algébricas em 𝑦(𝑥𝑖), 𝑀(𝑥𝑖) e ∅(𝑥𝑖), com 𝑖 =

1, 2, … , 𝑁.

30

5.1.3. Formulação por Diferenças Finitas

Suponha-se que, inicialmente, todos os parâmetros do elemento de viga 𝑖 sejam

uniformemente distribuídos entre 𝑥𝑖−1/2 e 𝑥𝑖+1/2. Assim sendo, pode-se considerar que, para

cada elemento 𝑖, a deflexão 𝑦(𝑥𝑖), o momento fletor 𝑀(𝑥𝑖) e o ângulo de torção ∅(𝑥𝑖) sejam

constantes desde 𝑥𝑖−1/2 até 𝑥𝑖+1/2.

As derivadas de primeira ordem que aparecem nas equações de (5.19) a (5.21) podem

ser aproximadas por diferenças padronizadas. Para uma função 𝑔(𝑥), a primeira derivada em

relação a 𝑥 pode ser substituída numericamente por

𝑑𝑔(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑖=

𝑔(𝑥𝑖+1/2) − 𝑔(𝑥𝑖−1/2)

𝑥𝑖+1/2 − 𝑥𝑖−1/2

(5.25),

para a derivada no centro do elemento, ou

𝑑𝑔(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

=𝑔(𝑥𝑖+1) − 𝑔(𝑥𝑖)

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

(5.26),

para a derivada na fronteira do elemento.

Aplicando-se a equação (5.20) a um elemento 𝑖 da viga, obtém-se a seguinte

expressão:

𝑉(𝑥𝑖+1/2) ==


|𝑥𝑖+1/2

+ 𝜔2𝐽(𝑥𝑖+1/2) (𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

− 𝑧̿(𝑥𝑖+1/2)𝑑∅(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

) − 𝑞(𝑥𝑖+1/2)

1 − 𝜔2𝐽(𝑥𝑖+1/2)

𝑘´𝐺𝐴(𝑥𝑖+1/2)

(5.27).

𝛾(𝑥𝑖+1/2) =

=

𝑑𝑦(𝑥)𝑑𝑥

|𝑥𝑖+1/2

+1



|𝑥𝑖+1/2

− 𝑧̿(𝑥𝑖+1/2)𝑑∅(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

−𝑞(𝑥𝑖+1/2)


1 − 𝜔2𝐽(𝑥𝑖+1/2)


(5.28);

𝑇 (𝑥𝑖+

12

) =

= −𝐺𝐽𝑒(𝑥𝑖+1/2)𝑑∅(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

− 𝑧(̿𝑥𝑖+1/2)


|𝑥𝑖+1/2

+ 𝜔2𝐽(𝑥𝑖+1/2) (𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

− 𝑧(̿𝑥𝑖+1/2)𝑑∅(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥𝑖+1/2

− 𝑞(𝑥𝑖+1/2))

1 − 𝜔2𝐽(𝑥𝑖+1/2)


(5.29).

31

e obter um sistema triplo de equações lineares algébricas para as quais se obtêm os

valores de 𝑦𝑖, 𝑀𝑖 e ∅𝑖 das seções.

5.1.4. Condições de Contorno

Para a viga autoequilibrada com 𝑁 elementos, precisam-se levar em conta as

condições de contorno nos extremos, isto é, para 𝑖 = 1 e para 𝑖 = 𝑁. Como a viga é

autoequilibrada, nestes elementos precisam-se ter forças cortantes e momentos fletor e torsor

nulos, o que corresponde a satisfazer as equações

𝑉(0) = 0 → 𝑉1/2 = 0 (5.30);

𝑀(0) = 0 → 𝑀1 = 0 (5.31);

(0) = 0 → 𝑇1/2 = 0 (5.32);

𝑉(𝐿) = 0 → 𝑉𝑁+1/2 = 0 (5.33);

𝑀(𝐿) = 0 → 𝑀𝑁 = 0 (5.35);

𝑇(𝐿) = 0 → 𝑇𝑁+1/2 = 0 (5.35).

No que diz respeito às equações (5.31) e (5.34), é fácil concluir que basta fazer o

coeficiente que multiplica 𝑀𝑖, para 𝑖 = 1 e 𝑖 = 𝑁 suficientemente grande de forma que os

valores de 𝑀1 e 𝑀𝑁 se aproximem de zero.

5.1.5. Enfoque Matricial

As equações lineares que se relacionam com s incógnitas 𝑀𝑖, 𝑦𝑖 e ∅𝑖 formam um

sistema triplo de equações algébricas lineares. Se a viga tem 𝑁 elementos, tem-se no total 3𝑁

equações. A solução para cada elemento 𝑖 vai corresponder à determinação de uma deflexão

𝑦𝑖, um momento fletor 𝑀𝑖 e um ângulo de torção ∅𝑖, e, se 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁, o número total de

incógnitas é também igual a 3𝑁.

32

Colocando sob a forma matricial, as 3𝑁 equações acima mencionadas podem ser

reescritas como

[𝐴]{𝑍} = {𝑃} (5.36),

onde [𝐴] é uma matriz de coeficientes quadrada e simétrica, {𝑍} é um vetor de incógnitas e

{𝑃} é um vetor que depende das forças externas aplicadas à viga.

Como [𝐴] é dependente da frequência 𝜔, se o vetor {𝑃} for nulo, fica então definido o

seguinte problema de autovalor:

[𝐴]{𝑍} = {0} (5.37),

que fornece as frequências naturais 𝜔 (a matriz [𝐴] da equação (5.37) corresponde a [𝐷] −

[𝐼] do problema clássico de autovalor).

Na solução da equação (5.36), depara-se com o fato de que, na inclusão do

amortecimento (veja a equação (5.36)), são introduzidos termos complexos, o que faz com

que a matriz [𝐴] seja complexa. Consequentemente, a solução {𝑍} também será complexa, o

que obriga a que se trabalhe com variáveis complexas na implantação computacional do

método. Por outro lado, isto reflete uma facilidade bastante conveniente porque permite que

se resolva o problema para cada frequência 𝜔, dentro de uma faixa de busca, isto é, desde

uma frequência inicial, 𝜔𝐼, até uma frequência final, 𝜔𝐹, tanto no caso da equação (5.36),

como no caso da equação (5.37).

Para resolver a equação (5.36), a matriz [𝐴] é fatorada pelo método de Cholesky, de

forma que a equação passa a ser escrita como

[𝑇]𝑇[𝑇]{𝑍} = {𝑃} (5.38),

onde [𝑇] é o fator de Cholesky de [𝐴], isto é, uma matriz triangular superior e [𝑇]𝑇 é a

sua transposta. Então, fazendo

[𝑇]{𝑍} = {𝑊} (5.39),

pode-se calcular {𝑊} de

[𝑇]𝑇{𝑊} = {𝑃} (5.40)

33

por substituição e resolver a equação (5.39) por retrossubstituição. Neste caso, a matriz [𝐴] e

o vetor {𝑃} são montados e o sistema é resolvido de acordo com o exposto acima para cada

valor de 𝜔.

A solução da equação (5.40) também permite lançar mão da fatoração de Cholesky,

uma vez que, para cada frequência 𝜔, desde que se esteja trabalhando com variáveis

complexas, na determinação da matriz [𝑇], podem aparecer termos não nulos na diagonal

imaginária e, dependendo do valor de 𝜔, o número de termos diferentes de zero aumenta a

cada vez que 𝜔 passa por uma frequência natural. Sob esse aspecto, pode-se utilizar um

processo de busca, semelhante ao método da bisseção, por exemplo, e, mais uma vez, fica

caracterizada uma pesquisa dentro de um intervalo de frequência. A versatilidade deste

método reside no fato de que não se corre o risco de se determinar o movimento de corpo

rígido da viga, desde que não se especifique para a frequência inicial da faixa de busca o valor

zero. Para a determinação do modo de vibração, pode-se adotar para a primeira coordenada

do autovetor {𝑍} o valor 1 e se obter as demais coordenadas resolvendo-se o sistema de

equações resultante, para a matriz [𝐴] montada com a frequência natural em questão

5.2 Dados de Entrada

A embarcação deve ser modelada de forma unidimensional para a utilização do VIB2.

É importante que a subdivisão do casco obedeça ao critério da variação gradual, ou

seja, as seções não devem crescer ou diminuir bruscamente.

Os elementos denominados no VIB2 como seções possuem início e fim coincidentes

com cavernas da embarcação. Já os denominados como conexões, se estendem do centro de

uma seção ao centro da seção seguinte como na Figura 5.3.

Figura 5.3 - Seções e conexões na modelação para o programa VIB2

34

Para que o software forneça os resultados das frequências naturais considerando-se o

acoplamento flexão-torção, são necessários os seguintes parâmetros como dados de entrada:

Dados de entrada referentes as seções:

Massa = Massa total da embarcação

Mas.Virt. = Massa Adicional

EI = Rigidez a Flexão

Mzb = Momento Total de Massa ao Redor do Eixo X

Imx = Momento Polar de Inércia de Massa ao Redor do Eixo X

Dados de entrada referentes as conexões:

Dx = comprimento da conexão

1/k’yAG = rigidez ao cisalhamento na direção horizontal

ImzDx = momento de inércia de massa (inércia rotativa)

Zbb = altura do centro de cisalhamento

Dx/GJe = rigidez Torcional

5.2.1. PROSEC

O programa computacional, PROSEC, que utiliza a Teoria do Fluxo de Tensões

Cisalhantes em Seções de Paredes Finas, foi usado para determinarem-se as características

estruturais das seções da embarcação em estudo. O desenvolvimento deste encontra-se na

referência.

No PROSEC6 a estrutura fica composta de strings, células e ramais, estes últimos

responsáveis pelos sentidos dos fluxos e com as conectividades que permitirão a determinação

do panorama geral dos fluxos.

Por definição, string é uma seqüência de elementos retos, cuja posição no plano YZ fica

determinada pelas coordenadas dos nós. Seções com células fechadas não devem ter menos

que três elementos retilíneos.

O sinal do fluxo cisalhante num string deve ser positivo desde o primeiro até o último

nó. Os torques e os ângulos de torção são positivos no sentido anti-horário, como observado

na Figura 5.4.

35

Figura 5.4 - Sentido positivo do fluxo cisalhante

De acordo com Brasil [2], a embarcação estudada teve oito cavernas modeladas no

PROSEC, incluindo seções de popa, praça de máquinas, corpo paralelo e proa.

Para cada seção modelada, têm-se os valores de área de aço, centro de área, momento

de inércia, área efetiva de cisalhamento e centro de cisalhamento.

A figura 5.5 apresenta a tela de resultados do PROSEC para o modelo da caverna 87

(Seção Mestra). As demais cavernas modeladas com seus devidos resultados podem ser

encontradas no ANEXO II.

5.5 – Resultados do PROSEC6 para a Seção Mestra

Na figura 5.5 os seguintes resultados são apresentados:

36

A, Ya e Za = área de aço [mm²] e coordenadas do centro de área [mm];

Iyy = momento de inércia centroidal da área em relação ao eixo transversal (Y) [mm4];

Izz = momento de inércia centroidal da área em relação ao eixo vertical (Z) [mm4];

Iyz = produto de inércia centroidal da área em relação aos eixos (Y) e (Z) [mm4];

J = constante de torção de St. Venant [mm4];

k’yA e k’zA = área efetiva no cisalhamento nas direções (Y) e (Z) [mm²]

Yc e Zc = coordenadas do centro de cisalhamento [mm].

Tabela 5.1 - Resultados do PROSEC

5.2.2. Cálculos dos Parâmetros e Montagem dos Dados

Os dados de entrada para o software VIB2 devem estar dispostos por seções e

conexões. Para isso, foram traçadas curvas através de spline cúbica e calculadas as integrais

referentes a cada seção e/ou conexão correspondente.

Massa total da embarcação

O parâmetro “Massa” refere-se à massa total da embarcação na condição de

carregamento estudada incluindo massa de aço, carga e equipamentos. A distribuição de

massa da embarcação por unidade de comprimento pode ser encontrada no ANEXOIII, onde

se apresenta a listagem de resultados do VIB2 com o eco de entrada de dados. A Figura 5.6

mostra a curva de massa do navio, conforme inserida no programa da spline cúbica.

X [mm] Cav. Região A Ya Za Iyy Izz Iyz J k'yA k'zA Yc Zc

600.00 -6 Popa 2.67E+05 0.00 6607.30 1.99E+11 2.20E+12 2.86E-04 5.62E+11 1.70E+05 4.17E+04 0.00 6285.70

1800.00 -4 Popa 3.03E+05 0.00 6390.60 3.31E+11 2.95E+12 5.04E-04 8.48E+11 1.85E+05 5.30E+04 0.00 5962.60

3000.00 -2 Popa 3.61E+05 0.00 6004.90 5.55E+11 3.96E+12 1.95E-04 1.28E+12 2.57E+05 2.89E+04 0.00 5444.30

4200.00 0 Popa 4.19E+05 0.00 5738.90 8.36E+11 5.28E+12 9.06E-06 1.88E+12 2.93E+05 3.96E+04 0.00 5089.30

11400.00 12 PM 6.90E+05 0.00 3980.00 5.61E+12 1.70E+13 -4.65E-04 1.13E+13 2.81E+05 1.90E+05 0.00 3039.20

56757.00 87 CP 1.01E+06 0.00 2375.80 6.28E+12 3.47E+13 2.89E+10 3.41E+11 2.81E+05 1.51E+05 0.00 -2859.70

102618.00 164 Proa 5.94E+05 0.00 3726.00 3.55E+12 1.84E+13 -9.55E+09 7.51E+12 3.82E+05 9.17E+04 0.00 2570.90

106218.00 170 Proa 4.25E+05 0.00 4178.90 2.56E+12 6.20E+12 1.11E-06 4.29E+12 2.00E+05 9.84E+04 0.00 3183.50

Área de aço Inércias Área de Cisalhamento efetiva

37

Figura 5.6 – Curva da massa do navio

Massa Adicional

No estudo do acoplamento flexão-torção, a massa adicional deve ser calculada para o

movimento na direção horizontal.

Foi utilizado o método de Landweber, como descrito no item 2.5.1. Os valores de

massa adicional por unidade de comprimento pode ser encontrada no ANEXO III. A Figura

5.7 apresenta a curva da massa virtual utilizada no programa da spline cúbica.

38

Figura 5.7 – Curva da massa virtual do navio

Rigidez à Flexão

A rigidez a flexão foi calculada como sendo o produto entre o módulo de elasticidade

e o momento de inércia de área em relação ao eixo neutro vertical da seção. Foi

confeccionada a curva de 1/EIzz para entrada no programa da spline cúbica, como apresentado

na Figura 5.8.

Figura 5.8 – Curva 1/EIzz

39

Momento total de massa ao redor do eixo X

De acordo com Leibowitz and Kennard [6], o momento total de massa ao redor do

eixo X foi calculado para cada seção como:

𝑀𝑧𝑏 = 𝑀. 𝑧𝑀𝐴𝑆𝑆𝐴 + 𝑀𝐴𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂𝑁𝐴𝐿 . (𝑐𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜

2)

A Figura 5.9 mostra a curva conforme inserida no programa da spline cúbica.

Figura 5.9 – Curva Mzb

Momento polar de inércia de massa ao redor do eixo X

O momento polar de inércia de massa de cada seção da viga navio foi calculado

através do somatório dos momentos provenientes do casco, de cargas e equipamentos e da

massa virtual. De acordo com Leibowitz e Kennard [6], a seguinte expressão foi utilizada:

𝐼𝑚𝑥𝐶𝐴𝑆𝐶𝑂 = 𝜌 . 𝐽𝑆𝑉 . ∆𝑥

onde:

∆𝑥 = comprimento da seção

𝐽𝑆𝑉 = constante de torção de St. Venant

40

𝜌 = massa específica do aço

𝐼𝑚𝑥𝐶𝐸𝑞 = 𝑀𝐶𝐸𝑞 . 𝑅²

onde:

𝑀𝐶𝐸𝑞 = massa de carga e equipamentos

𝑅² = 𝑅𝐶𝐺2 + 𝑅𝑔𝑖𝑟𝑎çã𝑜

2

𝑅𝑔𝑖𝑟𝑎çã𝑜 = √𝐼𝑥𝑥

𝐴

Como simplificação, o 𝑅𝐶𝐺 foi considerado coincidente com o centro de área

para cada seção.

𝐼𝑚𝑥𝑉𝐼𝑅𝑇𝑈𝐴𝐿 = 0.117𝜋𝑀𝐻2𝑂𝑏4 − 0.25𝜋𝑀𝐻2𝑂𝑏2(0.56𝑏 − 10.84)

Sendo:

𝑀𝐻2𝑂 =𝜌

𝑔

A Figura 5.10 mostra a curva de Imx conforme foi inserida no programa spline cúbica.

Figura 5.10 – Curva Imx

41

Rigidez ao cisalhamento na direção horizontal

A rigidez ao cisalhamento é definida como o produto do módulo de cisalhamento do

aço (G =7,89E10N/m²) pela área efetiva no cisalhamento na direção horizontal.

Feito isso para cada seção, foi traçada a curva 1 𝑘𝑦′ 𝐴𝐺⁄ como mostrado na Figura 5.11

para entrada no programa da spline cúbica.

Figura 5.11 – Curva 1 𝑘𝑦′ 𝐴𝐺⁄

Rigidez torcional

A rigidez torcional é definida como o produto do módulo de cisalhamento do aço

(G=7,89E10N/m²) pela constante de torção de St. Venant (apresentada como Je ou Jsv).

A curva 1 𝐺𝐽𝑒⁄ foi montada, como mostrado na Figura 5.12, para o cálculo das

integrais referentes às conexões no programa da spline cúbica.

42

Figura 5.12 – Curva 1 𝐺𝐽𝑆𝑉⁄

O arquivo de saída do software VIB2, presente no ANEXOIII, apresenta, antes dos resultados

calculados, uma tabela contendo os dados de entrada. Neste arquivo é possível observar os

resultados das integrações para cada seção e/ou conexão correspondente.

43

6. Resultados

Foram identificadas as frequências naturais para cada um dos cinco primeiros modos

naturais de vibração nas duas análises, 3D FEM e VIB2. As Figuras 6.1 a 6.5 apresentam os

resultados de cada uma delas para os cinco modos e, por fim, a Figura 6.6 mostra os

resultados de frequência natural comparativamente.

Figura 6.1 – Primeiro Modo: 3D FEM(2.32Hz) x VIB2(2.63Hz)

Figura 6.2 – Segundo Modo: 3D FEM(4.61Hz) x VIB2(4.06Hz)

44

Figura 6.3 – Terceiro Modo: 3D FEM(5.34Hz) x VIB2(5.54Hz)

Figura 6.4 – Quarto Modo: 3D FEM(7.45Hz) x VIB2(7.05Hz)

Figura 6.5 – Quinto Modo: 3D FEM(8.88Hz) x VIB2(8.50Hz)

45

Figura 6.6 – Comparação entre os resultados 3D FEM e VIB2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6

Fre

qu

ên

cia

(Hz)

Modos Naturais de Vibração

Comparativo 3D FEM e VIB2

3D FEM

VIB2

46

7. Conclusões

Ao se comparar os resultados entre os modelos 3D FEM e VIB2, encontraram-se

valores distanciados de no máximo 14%, com uma distância média de 7,5%. Era esperada

diferença entre os resultados, uma vez que a modelação tridimensional se apresenta como

uma forma mais fiel da realidade em detrimento da modelação do navio como uma viga.

A falta de precisão dos resultados deve-se, em parte, pelas formulações presentes no

software VIB2, que consideram, muitas vezes, aproximações ou estimativas. Essas

aproximações são feitas com o objetivo de simplificar ou até mesmo viabilizar os cálculos

necessários.

A análise de vibrações na fase do projeto da embarcação é feita com o objetivo de se

identificar a faixa de frequência na qual ocorre o fenômeno de ressonância, para garantir que a

embarcação não corra esse risco. Assim sendo, não é necessário que se encontre um resultado

altamente preciso na realização dessas análises, podendo-se avaliar os valores encontrados

neste estudo para as duas modelações como compatíveis.

A partir desta conclusão, confirma-se a eficiência do software VIB2 para o cálculo das

frequências naturais de embarcações com grandes aberturas de convés, como no caso do porta

contentor estudado, no qual é considerado o efeito de acoplamento flexão-torção.

47

8. Referências Bibliográficas

[1] Landweber, L., Macagno, M.C., 1967. “Added Mass of Two-Dimensional Forms

Oscillating in a Free Surface, Journal of Ship Research.”

[2] Brasil, R.S., 2011. “Efeitos da Massa Adicional em Águas Rasas na Análise de

Vibração de Embarcações”

[3] Barreiros, J. P. E. P., 2013. “Influência do cálculo da massa adicional

hidrodinâmica nas frequências naturais verticais de vibração de um navio graneleiro que

opera em águas rasas”

[4] Townsin, R.L. “Virtual Mass Reduction Factors J´ Values for Ship Vibration

Calculations Derived from Tests with Beams Includind Ellipsoids and Ship Models”, RINA,

1968

[5] Troyman, A. C. R. Aplicação do Método das Diferenças Finitas ao Problema de

Acoplamento Flexão-Torção no Cálculo Estrutural Dinâmico de Vigas Auto-Equilibradas.,

COPPEMA, 1987,

[6] Leibowitz, R. C., Kennard, E. H., 1961. “Theory of freely-vibrating nonuniform

beams, including methods of solution and application to ships”.

[7] Troyman, A. C. R. – “Cálculo da Resposta e das Frequências Naturais de

Vibrações da Viga-Navio pelo Método das Diferenças Finitas – Tese de M.Sc.,

PENO/COPPE/UFRJ, JAN/1983

48

Anexo I – Arranjo Geral do germano Becker

49

Anexo II – Resultados PROSEC

50

51

52

53

54

Anexo III – Listagem de Saída do VIB2

1 LEDAV/COPPE/UFRJ PROGRAMA VIB2 Versão 1.20 JUL.2009 A C R Troyman Cálculo de Vibração de Vigas pelo Método das Diferenças Finitas (PENO M.Sc. 1983) APRESENTAÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais OPÇÕES: OP1 - Tipo de Vibração - 1 - Vibração Horizontal Acoplada OP2 - Correção de Massa Virtual - 1 - Sistema de aplicação - 1 OP3 - Impressao da Matriz [A] - 0 OP4 - Impressão do Vetor [P] - 0 OP5 - Vibração Natural - 25 - No.de Frequências Naturais - 25 OP6 - Vibração Forçada - 0 OP7 - Corr. de Largura Efetiva - 0 OP8 - Novo Conjunto de Dados - 0 DADOS GERAIS: NO. SEÇÕES NO. CONEXÕES TIPO 1 NO. CONEXÕES TIPO 2 NO.

CONEXÕES TIPO 3 41 40 0 0 NO. SISTEMAS 1 FAIXA DE FREQUÊNCIA A SER PESQUISADA: Frequência Inicial - 1.00 CPS 6.2832 rad/seg Frequência Final - 20.00 CPS 125.6637 rad/seg Intervalo de Freq. - 0.50 CPS 3.1416 rad/seg VALOR INICIAL DO COEF. J DE TOWNSIN - 0.6964 Sistema de aplicação -

1 Boca - 1.6200E+01 Comprimento - 1.0514E+02 DADOS DAS SEÇÕES: FATORES DE ESCALONAMENTO REAL Seção-Cond.Cont.-Sistema (Massa)I (Mas.Virt.)I (Dx/EI)I (MzbDx)I (ImxDx)I

(P)I (U)I 1 1.0000E+00 1.0000E+00 1.0000E-10 1.0000E+00 1.0000E+04

1.0000E+00 1.0000E+00

55

FATORES DE ESCALONAMENTO IMAGINÁRIO Seção-Cond.Cont.-Sistema (Massa)I (Mas.Virt.)I (Dx/EI)I (MzbDx)I (ImxDx)I

(P)I (U)I 1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

0.0000E+00 0.0000E+00 PARÂMETROS NÃO ESCALONADOS Seção-Cond.Cont.-Sistema (Massa)I (Mas.Virt.)I (Dx/EI)I (MzbDx)I (ImxDx)I

(P)I (U)I 1 1 1 5.7300E-03 6.0000E-03 4.1900E-02 7.7720E+00 1.2190E+00

0.0000E+00 0.0000E+00 2 0 1 4.4790E+00 3.2240E+00 2.7100E-02 4.6098E+03 4.0220E+00

0.0000E+00 0.0000E+00 3 0 1 3.6210E+01 4.0861E+01 1.4400E-02 9.0825E+04 3.6950E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 4 0 1 6.9298E+01 3.8696E+01 7.8600E-03 8.7107E+04 4.6937E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 5 0 1 1.0866E+02 4.3533E+01 7.2700E-03 9.7996E+04 4.4966E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 6 0 1 1.3295E+02 4.3533E+01 6.4300E-03 9.7996E+04 5.3045E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 7 0 1 1.4725E+02 4.3445E+01 4.8000E-03 9.7797E+04 4.1206E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 8 0 1 1.5507E+02 4.2492E+01 3.7300E-03 9.5656E+04 3.0294E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 9 0 1 1.6206E+02 4.1526E+01 3.6100E-03 9.3481E+04 3.0321E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 10 0 1 1.7264E+02 4.0822E+01 3.5100E-03 9.1893E+04 3.0337E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 11 0 1 1.5753E+02 3.5901E+01 3.0700E-03 8.0818E+04 3.0349E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 12 0 1 1.7622E+02 4.0182E+01 3.4000E-03 9.0454E+04 3.0359E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 13 0 1 2.1649E+02 4.8970E+01 4.1400E-03 1.1024E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 14 0 1 2.1710E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 15 0 1 2.2641E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 16 0 1 2.1127E+02 4.4448E+01 3.7600E-03 1.0006E+05 3.3734E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 17 0 1 2.1709E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 18 0 1 2.1709E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 19 0 1 2.1708E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 20 0 1 2.2829E+02 5.3338E+01 4.5100E-03 1.2007E+05 4.0481E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 21 0 1 2.0808E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 22 0 1 2.2734E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 23 0 1 2.0292E+02 4.0003E+01 3.3900E-03 9.0050E+04 3.3734E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 24 0 1 2.3347E+02 5.3338E+01 4.5100E-03 1.2007E+05 3.7108E+01

0.0000E+00 0.0000E+00 25 0 1 2.0593E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 4.0481E+01

0.0000E+00 0.0000E+00

56

26 0 1 2.1705E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

27 0 1 2.1709E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

28 0 1 2.1725E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

29 0 1 2.1699E+02 4.8893E+01 4.1400E-03 1.1006E+05 3.7108E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

30 0 1 2.2138E+02 4.4448E+01 3.7600E-03 1.0006E+05 3.3734E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

31 0 1 2.2131E+02 4.8962E+01 4.1500E-03 1.1022E+05 3.7105E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

32 0 1 2.1817E+02 4.9354E+01 4.2200E-03 1.1110E+05 3.3721E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

33 0 1 1.5675E+02 3.6137E+01 3.1000E-03 8.1347E+04 3.0342E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

34 0 1 1.7213E+02 4.1232E+01 3.5700E-03 9.2817E+04 3.0328E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

35 0 1 1.6048E+02 4.2056E+01 3.6900E-03 9.4672E+04 3.0306E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

36 0 1 1.4803E+02 4.2839E+01 3.9000E-03 9.6435E+04 3.0274E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

37 0 1 1.3548E+02 4.3464E+01 4.1900E-03 9.7842E+04 3.0070E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

38 0 1 1.0844E+02 3.8696E+01 5.3000E-03 8.7107E+04 4.2573E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

39 0 1 1.0166E+02 4.3533E+01 7.4200E-03 9.7996E+04 3.8036E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

40 0 1 6.9033E+01 4.3197E+01 2.0800E-02 9.6955E+04 3.7148E+01 0.0000E+00 0.0000E+00

41 1 1 1.3947E+01 9.8471E+00 4.6400E-02 1.7615E+04 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

DADOS DAS CONEXÕES: CONEXÕES TIPO 1 (Continuidade de Viga) - Total = 40 FATORES DE ESCALONAMENTO REAL Conex Sec.I Sec.J Sistema (Dx)I,J (Dx/KAG)I,J (ImzDx)I,J (zbb)I,J

(Dx/GJe)I,J (Q)I,J 1 1.0000E+00 1.0000E-10 1.0000E+04 1.0000E+00 1.0000E-10

1.0000E+00 FATORES DE ESCALONAMENTO IMAGINÁRIO Conex Sec.I Sec.J Sistema (Dx)I,J (Dx/KAG)I,J (ImzDx)I,J (zbb)I,J

(Dx/GJe)I,J (Q)I,J 1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

0.0000E+00 0.0000E+00 PARÂMETROS NÃO ESCALONADOS Conex Sec.I Sec.J Sistema (Dx)I,J (Dx/KAG)I,J (ImzDx)I,J (zbb)I,J

(Dx/GJe)I,J (Q)I,J 1 1 2 1 3.6000E+00 2.3200E+00 8.5100E+00 6.5000E+00 5.5000E-

01 0.0000E+00 2 2 3 1 2.4000E+00 9.9000E-01 1.0540E+01 5.6200E+00 1.2000E-

01 0.0000E+00

57

3 3 4 1 2.4000E+00 1.3600E+00 2.0870E+01 4.8000E+00 5.0000E-02 0.0000E+00

4 4 5 1 2.4000E+00 1.2700E+00 2.8910E+01 3.3500E+00 3.0000E-02 0.0000E+00

5 5 6 1 2.4000E+00 1.0900E+00 3.3620E+01 3.0400E+00 3.0000E-02 0.0000E+00

6 6 7 1 2.4100E+00 9.0000E-01 3.8880E+01 3.0400E+00 6.0000E-02 0.0000E+00

7 7 8 1 2.4500E+00 1.2700E+00 5.9590E+01 3.0400E+00 1.0400E+00 0.0000E+00

8 8 9 1 2.4800E+00 1.2100E+00 6.2120E+01 ********** 1.0000E+00 0.0000E+00

9 9 10 1 2.4500E+00 1.1800E+00 6.3960E+01 ********** 9.7000E-01 0.0000E+00

10 10 11 1 2.4000E+00 1.1500E+00 5.8020E+01 ********** 9.5000E-01 0.0000E+00

11 11 12 1 2.4000E+00 1.1300E+00 6.6330E+01 ********** 9.3000E-01 0.0000E+00

12 12 13 1 3.3300E+00 1.5000E+00 8.9360E+01 ********** 1.2300E+00 0.0000E+00

13 13 14 1 3.0300E+00 1.3700E+00 8.9360E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

14 14 15 1 2.9800E+00 1.3700E+00 7.4470E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

15 15 16 1 2.8700E+00 1.2500E+00 8.1920E+01 ********** 1.0200E+00 0.0000E+00

16 16 17 1 2.9200E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

17 17 18 1 3.0300E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

18 18 19 1 3.0300E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

19 19 20 1 3.0800E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

20 20 21 1 3.1500E+00 1.3700E+00 8.9360E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

21 21 22 1 3.0500E+00 1.5000E+00 8.1920E+01 ********** 1.2300E+00 0.0000E+00

22 22 23 1 2.7800E+00 1.2500E+00 7.4470E+01 ********** 1.0200E+00 0.0000E+00

23 23 24 1 2.8500E+00 1.2500E+00 7.4470E+01 ********** 1.0200E+00 0.0000E+00

24 24 25 1 3.1300E+00 1.3700E+00 8.9360E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

25 25 26 1 3.1100E+00 1.5000E+00 8.1920E+01 ********** 1.2300E+00 0.0000E+00

26 26 27 1 3.0200E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

27 27 28 1 3.0200E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

28 28 29 1 3.0200E+00 1.3700E+00 8.1920E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

29 29 30 1 2.8600E+00 1.2500E+00 8.1920E+01 ********** 1.0200E+00 0.0000E+00

30 30 31 1 2.8300E+00 1.3700E+00 7.4470E+01 ********** 1.1300E+00 0.0000E+00

31 31 32 1 2.9600E+00 1.2600E+00 8.1040E+01 ********** 1.0400E+00 0.0000E+00

32 32 33 1 2.0700E+00 1.0200E+00 5.8210E+01 ********** 8.4000E-01 0.0000E+00

33 33 34 1 2.3700E+00 1.0300E+00 5.7360E+01 ********** 8.5000E-01 0.0000E+00

58

34 34 35 1 2.3900E+00 1.2000E+00 6.2810E+01 ********** 9.8000E-01 0.0000E+00

35 35 36 1 2.4500E+00 1.2500E+00 6.0120E+01 ********** 1.0300E+00 0.0000E+00

36 36 37 1 2.4800E+00 1.3300E+00 5.6560E+01 ********** 1.0900E+00 0.0000E+00

37 37 38 1 2.4500E+00 1.2300E+00 4.7980E+01 ********** 8.3000E-01 0.0000E+00

38 38 39 1 2.4100E+00 8.5000E-01 3.4540E+01 2.5900E+00 4.0000E-02 0.0000E+00

39 39 40 1 2.4000E+00 1.3000E+00 2.0390E+01 3.1600E+00 6.0000E-02 0.0000E+00

40 40 41 1 3.0000E+00 4.7200E+00 0.0000E+00 3.3500E+00 2.2000E-01 0.0000E+00

1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009 TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais APRESENTAÇÃO DE VIBRAÇÃO NATURAL: *** Frequência Natural = 2.63 CPS 16.4941 rad/seg *** Seção PARTE REAL PARTE IMAG VALOR ABSL ÂNG.DE

FASE 1 Deflexão : 1.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3953E-01 0.0000E+00 3.3953E-01 1.8000E+02 2 Deflexão : 9.7485E-01 0.0000E+00 9.7485E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0711E+04 0.0000E+00 1.0711E+04 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3946E-01 0.0000E+00 3.3946E-01 1.8000E+02 3 Deflexão : 9.5797E-01 0.0000E+00 9.5797E-01 0.0000E+00 Momento : 1.1382E+06 0.0000E+00 1.1382E+06 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3941E-01 0.0000E+00 3.3941E-01 1.8000E+02 4 Deflexão : 9.4020E-01 0.0000E+00 9.4020E-01 0.0000E+00 Momento : 2.2634E+07 0.0000E+00 2.2634E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3930E-01 0.0000E+00 3.3930E-01 1.8000E+02 5 Deflexão : 9.2173E-01 0.0000E+00 9.2173E-01 0.0000E+00 Momento : 6.3642E+07 0.0000E+00 6.3642E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3908E-01 0.0000E+00 3.3908E-01 1.8000E+02 6 Deflexão : 9.0302E-01 0.0000E+00 9.0302E-01 0.0000E+00 Momento : 1.2652E+08 0.0000E+00 1.2652E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3873E-01 0.0000E+00 3.3873E-01 1.8000E+02 7 Deflexão : 8.8600E-01 0.0000E+00 8.8600E-01 0.0000E+00 Momento : 2.1160E+08 0.0000E+00 2.1160E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.3776E-01 0.0000E+00 3.3776E-01 1.8000E+02 8 Deflexão : 9.2555E-01 0.0000E+00 9.2555E-01 0.0000E+00 Momento : 3.2059E+08 0.0000E+00 3.2059E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.1737E-01 0.0000E+00 3.1737E-01 1.8000E+02

59

9 Deflexão : 7.5092E-01 0.0000E+00 7.5092E-01 0.0000E+00 Momento : 4.5152E+08 0.0000E+00 4.5152E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.6439E-01 0.0000E+00 2.6439E-01 1.8000E+02 10 Deflexão : 5.6409E-01 0.0000E+00 5.6409E-01 0.0000E+00 Momento : 5.9746E+08 0.0000E+00 5.9746E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.0715E-01 0.0000E+00 2.0715E-01 1.8000E+02 11 Deflexão : 3.6851E-01 0.0000E+00 3.6851E-01 0.0000E+00 Momento : 7.5280E+08 0.0000E+00 7.5280E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.4671E-01 0.0000E+00 1.4671E-01 1.8000E+02 12 Deflexão : 1.6905E-01 0.0000E+00 1.6905E-01 0.0000E+00 Momento : 9.1603E+08 0.0000E+00 9.1603E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -8.4804E-02 0.0000E+00 8.4804E-02 1.8000E+02 13 Deflexão : -1.0106E-01 0.0000E+00 1.0106E-01 1.8000E+02 Momento : 1.1494E+09 0.0000E+00 1.1494E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -8.1516E-04 0.0000E+00 8.1516E-04 1.8000E+02 14 Deflexão : -3.4661E-01 0.0000E+00 3.4661E-01 1.8000E+02 Momento : 1.3618E+09 0.0000E+00 1.3618E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.6017E-02 0.0000E+00 7.6017E-02 0.0000E+00 15 Deflexão : -5.8194E-01 0.0000E+00 5.8194E-01 1.8000E+02 Momento : 1.5635E+09 0.0000E+00 1.5635E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.5007E-01 0.0000E+00 1.5007E-01 0.0000E+00 16 Deflexão : -7.7960E-01 0.0000E+00 7.7960E-01 1.8000E+02 Momento : 1.7447E+09 0.0000E+00 1.7447E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.1226E-01 0.0000E+00 2.1226E-01 0.0000E+00 17 Deflexão : -9.7616E-01 0.0000E+00 9.7616E-01 1.8000E+02 Momento : 1.9120E+09 0.0000E+00 1.9120E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.7468E-01 0.0000E+00 2.7468E-01 0.0000E+00 18 Deflexão : -1.1435E+00 0.0000E+00 1.1435E+00 1.8000E+02 Momento : 2.0601E+09 0.0000E+00 2.0601E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.2799E-01 0.0000E+00 3.2799E-01 0.0000E+00 19 Deflexão : -1.2760E+00 0.0000E+00 1.2760E+00 1.8000E+02 Momento : 2.1782E+09 0.0000E+00 2.1782E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.7048E-01 0.0000E+00 3.7048E-01 0.0000E+00 20 Deflexão : -1.3694E+00 0.0000E+00 1.3694E+00 1.8000E+02 Momento : 2.2635E+09 0.0000E+00 2.2635E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.0082E-01 0.0000E+00 4.0082E-01 0.0000E+00 21 Deflexão : -1.4171E+00 0.0000E+00 1.4171E+00 1.8000E+02 Momento : 2.3089E+09 0.0000E+00 2.3089E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.1685E-01 0.0000E+00 4.1685E-01 0.0000E+00 22 Deflexão : -1.4218E+00 0.0000E+00 1.4218E+00 1.8000E+02 Momento : 2.3144E+09 0.0000E+00 2.3144E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.1948E-01 0.0000E+00 4.1948E-01 0.0000E+00 23 Deflexão : -1.3858E+00 0.0000E+00 1.3858E+00 1.8000E+02 Momento : 2.2840E+09 0.0000E+00 2.2840E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.0930E-01 0.0000E+00 4.0930E-01 0.0000E+00 24 Deflexão : -1.3169E+00 0.0000E+00 1.3169E+00 1.8000E+02 Momento : 2.2238E+09 0.0000E+00 2.2238E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.8888E-01 0.0000E+00 3.8888E-01 0.0000E+00

60

25 Deflexão : -1.1974E+00 0.0000E+00 1.1974E+00 1.8000E+02 Momento : 2.1174E+09 0.0000E+00 2.1174E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.5283E-01 0.0000E+00 3.5283E-01 0.0000E+00 26 Deflexão : -1.0271E+00 0.0000E+00 1.0271E+00 1.8000E+02 Momento : 1.9784E+09 0.0000E+00 1.9784E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.0065E-01 0.0000E+00 3.0065E-01 0.0000E+00 27 Deflexão : -8.3812E-01 0.0000E+00 8.3812E-01 1.8000E+02 Momento : 1.8158E+09 0.0000E+00 1.8158E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.4287E-01 0.0000E+00 2.4287E-01 0.0000E+00 28 Deflexão : -6.2301E-01 0.0000E+00 6.2301E-01 1.8000E+02 Momento : 1.6310E+09 0.0000E+00 1.6310E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.7712E-01 0.0000E+00 1.7712E-01 0.0000E+00 29 Deflexão : -3.8839E-01 0.0000E+00 3.8839E-01 1.8000E+02 Momento : 1.4298E+09 0.0000E+00 1.4298E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.0552E-01 0.0000E+00 1.0552E-01 0.0000E+00 30 Deflexão : -1.6434E-01 0.0000E+00 1.6434E-01 1.8000E+02 Momento : 1.2300E+09 0.0000E+00 1.2300E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.7680E-02 0.0000E+00 3.7680E-02 0.0000E+00 31 Deflexão : 8.6210E-02 0.0000E+00 8.6210E-02 0.0000E+00 Momento : 1.0293E+09 0.0000E+00 1.0293E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.8705E-02 0.0000E+00 3.8705E-02 1.8000E+02 32 Deflexão : 3.1781E-01 0.0000E+00 3.1781E-01 0.0000E+00 Momento : 8.2277E+08 0.0000E+00 8.2277E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.0798E-01 0.0000E+00 1.0798E-01 1.8000E+02 33 Deflexão : 4.9565E-01 0.0000E+00 4.9565E-01 0.0000E+00 Momento : 6.8503E+08 0.0000E+00 6.8503E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.6151E-01 0.0000E+00 1.6151E-01 1.8000E+02 34 Deflexão : 6.6971E-01 0.0000E+00 6.6971E-01 0.0000E+00 Momento : 5.3605E+08 0.0000E+00 5.3605E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.1274E-01 0.0000E+00 2.1274E-01 1.8000E+02 35 Deflexão : 8.5322E-01 0.0000E+00 8.5322E-01 0.0000E+00 Momento : 3.9858E+08 0.0000E+00 3.9858E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.6690E-01 0.0000E+00 2.6690E-01 1.8000E+02 36 Deflexão : 1.0262E+00 0.0000E+00 1.0262E+00 0.0000E+00 Momento : 2.7469E+08 0.0000E+00 2.7469E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.1726E-01 0.0000E+00 3.1726E-01 1.8000E+02 37 Deflexão : 1.1834E+00 0.0000E+00 1.1834E+00 0.0000E+00 Momento : 1.7014E+08 0.0000E+00 1.7014E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6216E-01 0.0000E+00 3.6216E-01 1.8000E+02 38 Deflexão : 1.2871E+00 0.0000E+00 1.2871E+00 0.0000E+00 Momento : 9.0801E+07 0.0000E+00 9.0801E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.8898E-01 0.0000E+00 3.8898E-01 1.8000E+02 39 Deflexão : 1.3109E+00 0.0000E+00 1.3109E+00 0.0000E+00 Momento : 3.5404E+07 0.0000E+00 3.5404E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.8937E-01 0.0000E+00 3.8937E-01 1.8000E+02 40 Deflexão : 1.3345E+00 0.0000E+00 1.3345E+00 0.0000E+00 Momento : 5.6248E+06 0.0000E+00 5.6248E+06 0.0000E+00

61

Âng.de Torção : -3.8963E-01 0.0000E+00 3.8963E-01 1.8000E+02 41 Deflexão : 1.3639E+00 0.0000E+00 1.3639E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.8963E-01 0.0000E+00 3.8963E-01 1.8000E+02 1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009 TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais APRESENTAÇÃO DE VIBRAÇÃO NATURAL: *** Frequência Natural = 4.06 CPS 25.4971 rad/seg *** Seção PARTE REAL PARTE IMAG VALOR ABSL ÂNG.DE

FASE 1 Deflexão : 1.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2588E-01 0.0000E+00 2.2588E-01 1.8000E+02 2 Deflexão : 9.5192E-01 0.0000E+00 9.5192E-01 0.0000E+00 Momento : 9.8950E+05 0.0000E+00 9.8950E+05 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2581E-01 0.0000E+00 2.2581E-01 1.8000E+02 3 Deflexão : 9.1991E-01 0.0000E+00 9.1991E-01 0.0000E+00 Momento : 3.7094E+06 0.0000E+00 3.7094E+06 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2573E-01 0.0000E+00 2.2573E-01 1.8000E+02 4 Deflexão : 8.8688E-01 0.0000E+00 8.8688E-01 0.0000E+00 Momento : 3.9410E+07 0.0000E+00 3.9410E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2547E-01 0.0000E+00 2.2547E-01 1.8000E+02 5 Deflexão : 8.5267E-01 0.0000E+00 8.5267E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0658E+08 0.0000E+00 1.0658E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2503E-01 0.0000E+00 2.2503E-01 1.8000E+02 6 Deflexão : 8.1820E-01 0.0000E+00 8.1820E-01 0.0000E+00 Momento : 2.0874E+08 0.0000E+00 2.0874E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2433E-01 0.0000E+00 2.2433E-01 1.8000E+02 7 Deflexão : 7.8709E-01 0.0000E+00 7.8709E-01 0.0000E+00 Momento : 3.4637E+08 0.0000E+00 3.4637E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.2242E-01 0.0000E+00 2.2242E-01 1.8000E+02 8 Deflexão : 8.6780E-01 0.0000E+00 8.6780E-01 0.0000E+00 Momento : 5.2282E+08 0.0000E+00 5.2282E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.8242E-01 0.0000E+00 1.8242E-01 1.8000E+02 9 Deflexão : 5.6290E-01 0.0000E+00 5.6290E-01 0.0000E+00 Momento : 7.2989E+08 0.0000E+00 7.2989E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -9.0415E-02 0.0000E+00 9.0415E-02 1.8000E+02 10 Deflexão : 2.4766E-01 0.0000E+00 2.4766E-01 0.0000E+00 Momento : 9.4819E+08 0.0000E+00 9.4819E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.4174E-03 0.0000E+00 5.4174E-03 0.0000E+00

62

11 Deflexão : -6.3705E-02 0.0000E+00 6.3705E-02 1.8000E+02 Momento : 1.1608E+09 0.0000E+00 1.1608E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.0050E-01 0.0000E+00 1.0050E-01 0.0000E+00 12 Deflexão : -3.5753E-01 0.0000E+00 3.5753E-01 1.8000E+02 Momento : 1.3613E+09 0.0000E+00 1.3613E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.9002E-01 0.0000E+00 1.9002E-01 0.0000E+00 13 Deflexão : -7.1294E-01 0.0000E+00 7.1294E-01 1.8000E+02 Momento : 1.6016E+09 0.0000E+00 1.6016E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.9726E-01 0.0000E+00 2.9726E-01 0.0000E+00 14 Deflexão : -9.7464E-01 0.0000E+00 9.7464E-01 1.8000E+02 Momento : 1.7556E+09 0.0000E+00 1.7556E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.7499E-01 0.0000E+00 3.7499E-01 0.0000E+00 15 Deflexão : -1.1532E+00 0.0000E+00 1.1532E+00 1.8000E+02 Momento : 1.8253E+09 0.0000E+00 1.8253E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.2590E-01 0.0000E+00 4.2590E-01 0.0000E+00 16 Deflexão : -1.2306E+00 0.0000E+00 1.2306E+00 1.8000E+02 Momento : 1.8047E+09 0.0000E+00 1.8047E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.4401E-01 0.0000E+00 4.4401E-01 0.0000E+00 17 Deflexão : -1.2238E+00 0.0000E+00 1.2238E+00 1.8000E+02 Momento : 1.6984E+09 0.0000E+00 1.6984E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.3462E-01 0.0000E+00 4.3462E-01 0.0000E+00 18 Deflexão : -1.1204E+00 0.0000E+00 1.1204E+00 1.8000E+02 Momento : 1.4927E+09 0.0000E+00 1.4927E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.9338E-01 0.0000E+00 3.9338E-01 0.0000E+00 19 Deflexão : -9.2848E-01 0.0000E+00 9.2848E-01 1.8000E+02 Momento : 1.2008E+09 0.0000E+00 1.2008E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.2321E-01 0.0000E+00 3.2321E-01 0.0000E+00 20 Deflexão : -6.6402E-01 0.0000E+00 6.6402E-01 1.8000E+02 Momento : 8.3217E+08 0.0000E+00 8.3217E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.2919E-01 0.0000E+00 2.2919E-01 0.0000E+00 21 Deflexão : -3.4352E-01 0.0000E+00 3.4352E-01 1.8000E+02 Momento : 3.9843E+08 0.0000E+00 3.9843E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.1668E-01 0.0000E+00 1.1668E-01 0.0000E+00 22 Deflexão : 3.6682E-02 0.0000E+00 3.6682E-02 0.0000E+00 Momento : -4.7437E+07 0.0000E+00 4.7437E+07 1.8000E+02 Âng.de Torção : -1.5221E-02 0.0000E+00 1.5221E-02 1.8000E+02 23 Deflexão : 3.4754E-01 0.0000E+00 3.4754E-01 0.0000E+00 Momento : -4.5079E+08 0.0000E+00 4.5079E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -1.2364E-01 0.0000E+00 1.2364E-01 1.8000E+02 24 Deflexão : 6.3669E-01 0.0000E+00 6.3669E-01 0.0000E+00 Momento : -8.4353E+08 0.0000E+00 8.4353E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -2.2510E-01 0.0000E+00 2.2510E-01 1.8000E+02 25 Deflexão : 9.0342E-01 0.0000E+00 9.0342E-01 0.0000E+00 Momento : -1.2190E+09 0.0000E+00 1.2190E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -3.2003E-01 0.0000E+00 3.2003E-01 1.8000E+02 26 Deflexão : 1.1153E+00 0.0000E+00 1.1153E+00 0.0000E+00 Momento : -1.5204E+09 0.0000E+00 1.5204E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -3.9695E-01 0.0000E+00 3.9695E-01 1.8000E+02

63

27 Deflexão : 1.2198E+00 0.0000E+00 1.2198E+00 0.0000E+00 Momento : -1.7264E+09 0.0000E+00 1.7264E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -4.3853E-01 0.0000E+00 4.3853E-01 1.8000E+02 28 Deflexão : 1.2261E+00 0.0000E+00 1.2261E+00 0.0000E+00 Momento : -1.8366E+09 0.0000E+00 1.8366E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -4.4810E-01 0.0000E+00 4.4810E-01 1.8000E+02 29 Deflexão : 1.1327E+00 0.0000E+00 1.1327E+00 0.0000E+00 Momento : -1.8489E+09 0.0000E+00 1.8489E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -4.2512E-01 0.0000E+00 4.2512E-01 1.8000E+02 30 Deflexão : 9.6195E-01 0.0000E+00 9.6195E-01 0.0000E+00 Momento : -1.7725E+09 0.0000E+00 1.7725E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -3.7671E-01 0.0000E+00 3.7671E-01 1.8000E+02 31 Deflexão : 7.0133E-01 0.0000E+00 7.0133E-01 0.0000E+00 Momento : -1.6272E+09 0.0000E+00 1.6272E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -2.9872E-01 0.0000E+00 2.9872E-01 1.8000E+02 32 Deflexão : 3.9822E-01 0.0000E+00 3.9822E-01 0.0000E+00 Momento : -1.4109E+09 0.0000E+00 1.4109E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -2.0781E-01 0.0000E+00 2.0781E-01 1.8000E+02 33 Deflexão : 1.2610E-01 0.0000E+00 1.2610E-01 0.0000E+00 Momento : -1.2281E+09 0.0000E+00 1.2281E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -1.2452E-01 0.0000E+00 1.2452E-01 1.8000E+02 34 Deflexão : -1.6634E-01 0.0000E+00 1.6634E-01 1.8000E+02 Momento : -1.0038E+09 0.0000E+00 1.0038E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -3.5983E-02 0.0000E+00 3.5983E-02 1.8000E+02 35 Deflexão : -5.0135E-01 0.0000E+00 5.0135E-01 1.8000E+02 Momento : -7.7184E+08 0.0000E+00 7.7184E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 6.6411E-02 0.0000E+00 6.6411E-02 0.0000E+00 36 Deflexão : -8.3629E-01 0.0000E+00 8.3629E-01 1.8000E+02 Momento : -5.4451E+08 0.0000E+00 5.4451E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 1.6828E-01 0.0000E+00 1.6828E-01 0.0000E+00 37 Deflexão : -1.1523E+00 0.0000E+00 1.1523E+00 1.8000E+02 Momento : -3.4109E+08 0.0000E+00 3.4109E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 2.6344E-01 0.0000E+00 2.6344E-01 0.0000E+00 38 Deflexão : -1.3593E+00 0.0000E+00 1.3593E+00 1.8000E+02 Momento : -1.8212E+08 0.0000E+00 1.8212E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 3.2154E-01 0.0000E+00 3.2154E-01 0.0000E+00 39 Deflexão : -1.3935E+00 0.0000E+00 1.3935E+00 1.8000E+02 Momento : -7.0999E+07 0.0000E+00 7.0999E+07 1.8000E+02 Âng.de Torção : 3.2249E-01 0.0000E+00 3.2249E-01 0.0000E+00 40 Deflexão : -1.4274E+00 0.0000E+00 1.4274E+00 1.8000E+02 Momento : -1.1162E+07 0.0000E+00 1.1162E+07 1.8000E+02 Âng.de Torção : 3.2314E-01 0.0000E+00 3.2314E-01 0.0000E+00 41 Deflexão : -1.4699E+00 0.0000E+00 1.4699E+00 1.8000E+02 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.2324E-01 0.0000E+00 3.2324E-01 0.0000E+00 1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009

64

TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais APRESENTAÇÃO DE VIBRAÇÃO NATURAL: *** Frequência Natural = 5.54 CPS 34.7922 rad/seg *** Seção PARTE REAL PARTE IMAG VALOR ABSL ÂNG.DE

FASE 1 Deflexão : 1.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6870E-01 0.0000E+00 3.6870E-01 1.8000E+02 2 Deflexão : 9.4240E-01 0.0000E+00 9.4240E-01 0.0000E+00 Momento : 3.5523E+06 0.0000E+00 3.5523E+06 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6859E-01 0.0000E+00 3.6859E-01 1.8000E+02 3 Deflexão : 9.0431E-01 0.0000E+00 9.0431E-01 0.0000E+00 Momento : 1.1826E+07 0.0000E+00 1.1826E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6842E-01 0.0000E+00 3.6842E-01 1.8000E+02 4 Deflexão : 8.6175E-01 0.0000E+00 8.6175E-01 0.0000E+00 Momento : 1.1948E+08 0.0000E+00 1.1948E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6799E-01 0.0000E+00 3.6799E-01 1.8000E+02 5 Deflexão : 8.1600E-01 0.0000E+00 8.1600E-01 0.0000E+00 Momento : 3.2204E+08 0.0000E+00 3.2204E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6703E-01 0.0000E+00 3.6703E-01 1.8000E+02 6 Deflexão : 7.6897E-01 0.0000E+00 7.6897E-01 0.0000E+00 Momento : 6.3022E+08 0.0000E+00 6.3022E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6551E-01 0.0000E+00 3.6551E-01 1.8000E+02 7 Deflexão : 7.2938E-01 0.0000E+00 7.2938E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0453E+09 0.0000E+00 1.0453E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.6131E-01 0.0000E+00 3.6131E-01 1.8000E+02 8 Deflexão : 9.3051E-01 0.0000E+00 9.3051E-01 0.0000E+00 Momento : 1.5759E+09 0.0000E+00 1.5759E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.7427E-01 0.0000E+00 2.7427E-01 1.8000E+02 9 Deflexão : 1.8238E-01 0.0000E+00 1.8238E-01 0.0000E+00 Momento : 2.1920E+09 0.0000E+00 2.1920E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.5432E-02 0.0000E+00 3.5432E-02 1.8000E+02 10 Deflexão : -5.5518E-01 0.0000E+00 5.5518E-01 1.8000E+02 Momento : 2.8105E+09 0.0000E+00 2.8105E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.0063E-01 0.0000E+00 2.0063E-01 0.0000E+00 11 Deflexão : -1.2182E+00 0.0000E+00 1.2182E+00 1.8000E+02 Momento : 3.3611E+09 0.0000E+00 3.3611E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.1285E-01 0.0000E+00 4.1285E-01 0.0000E+00 12 Deflexão : -1.7580E+00 0.0000E+00 1.7580E+00 1.8000E+02 Momento : 3.8145E+09 0.0000E+00 3.8145E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.8461E-01 0.0000E+00 5.8461E-01 0.0000E+00

65

13 Deflexão : -2.2516E+00 0.0000E+00 2.2516E+00 1.8000E+02 Momento : 4.2272E+09 0.0000E+00 4.2272E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.3900E-01 0.0000E+00 7.3900E-01 0.0000E+00 14 Deflexão : -2.3897E+00 0.0000E+00 2.3897E+00 1.8000E+02 Momento : 4.3011E+09 0.0000E+00 4.3011E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.7730E-01 0.0000E+00 7.7730E-01 0.0000E+00 15 Deflexão : -2.1957E+00 0.0000E+00 2.1957E+00 1.8000E+02 Momento : 4.0600E+09 0.0000E+00 4.0600E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.0646E-01 0.0000E+00 7.0646E-01 0.0000E+00 16 Deflexão : -1.7480E+00 0.0000E+00 1.7480E+00 1.8000E+02 Momento : 3.5549E+09 0.0000E+00 3.5549E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.5266E-01 0.0000E+00 5.5266E-01 0.0000E+00 17 Deflexão : -1.0341E+00 0.0000E+00 1.0341E+00 1.8000E+02 Momento : 2.8427E+09 0.0000E+00 2.8427E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.1105E-01 0.0000E+00 3.1105E-01 0.0000E+00 18 Deflexão : -1.8305E-01 0.0000E+00 1.8305E-01 1.8000E+02 Momento : 1.9759E+09 0.0000E+00 1.9759E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.4594E-02 0.0000E+00 2.4594E-02 0.0000E+00 19 Deflexão : 6.8544E-01 0.0000E+00 6.8544E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0981E+09 0.0000E+00 1.0981E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.6694E-01 0.0000E+00 2.6694E-01 1.8000E+02 20 Deflexão : 1.4490E+00 0.0000E+00 1.4490E+00 0.0000E+00 Momento : 3.1557E+08 0.0000E+00 3.1557E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -5.2305E-01 0.0000E+00 5.2305E-01 1.8000E+02 21 Deflexão : 1.9809E+00 0.0000E+00 1.9809E+00 0.0000E+00 Momento : -2.4394E+08 0.0000E+00 2.4394E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.0168E-01 0.0000E+00 7.0168E-01 1.8000E+02 22 Deflexão : 2.2477E+00 0.0000E+00 2.2477E+00 0.0000E+00 Momento : -4.9878E+08 0.0000E+00 4.9878E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.9181E-01 0.0000E+00 7.9181E-01 1.8000E+02 23 Deflexão : 2.1751E+00 0.0000E+00 2.1751E+00 0.0000E+00 Momento : -4.3568E+08 0.0000E+00 4.3568E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.6875E-01 0.0000E+00 7.6875E-01 1.8000E+02 24 Deflexão : 1.8603E+00 0.0000E+00 1.8603E+00 0.0000E+00 Momento : -1.3036E+08 0.0000E+00 1.3036E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -6.6486E-01 0.0000E+00 6.6486E-01 1.8000E+02 25 Deflexão : 1.2245E+00 0.0000E+00 1.2245E+00 0.0000E+00 Momento : 5.0947E+08 0.0000E+00 5.0947E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -4.5405E-01 0.0000E+00 4.5405E-01 1.8000E+02 26 Deflexão : 3.2734E-01 0.0000E+00 3.2734E-01 0.0000E+00 Momento : 1.3341E+09 0.0000E+00 1.3341E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.5575E-01 0.0000E+00 1.5575E-01 1.8000E+02 27 Deflexão : -5.5403E-01 0.0000E+00 5.5403E-01 1.8000E+02 Momento : 2.1973E+09 0.0000E+00 2.1973E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.3787E-01 0.0000E+00 1.3787E-01 0.0000E+00 28 Deflexão : -1.3691E+00 0.0000E+00 1.3691E+00 1.8000E+02 Momento : 3.0036E+09 0.0000E+00 3.0036E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.1017E-01 0.0000E+00 4.1017E-01 0.0000E+00

66

29 Deflexão : -2.0035E+00 0.0000E+00 2.0035E+00 1.8000E+02 Momento : 3.6425E+09 0.0000E+00 3.6425E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.2323E-01 0.0000E+00 6.2323E-01 0.0000E+00 30 Deflexão : -2.3322E+00 0.0000E+00 2.3322E+00 1.8000E+02 Momento : 4.0067E+09 0.0000E+00 4.0067E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.3538E-01 0.0000E+00 7.3538E-01 0.0000E+00 31 Deflexão : -2.4092E+00 0.0000E+00 2.4092E+00 1.8000E+02 Momento : 4.1120E+09 0.0000E+00 4.1120E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.6477E-01 0.0000E+00 7.6477E-01 0.0000E+00 32 Deflexão : -2.1754E+00 0.0000E+00 2.1754E+00 1.8000E+02 Momento : 3.9161E+09 0.0000E+00 3.9161E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.9209E-01 0.0000E+00 6.9209E-01 0.0000E+00 33 Deflexão : -1.7729E+00 0.0000E+00 1.7729E+00 1.8000E+02 Momento : 3.5838E+09 0.0000E+00 3.5838E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.6257E-01 0.0000E+00 5.6257E-01 0.0000E+00 34 Deflexão : -1.2237E+00 0.0000E+00 1.2237E+00 1.8000E+02 Momento : 3.0712E+09 0.0000E+00 3.0712E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.8554E-01 0.0000E+00 3.8554E-01 0.0000E+00 35 Deflexão : -4.7225E-01 0.0000E+00 4.7225E-01 1.8000E+02 Momento : 2.4487E+09 0.0000E+00 2.4487E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.4187E-01 0.0000E+00 1.4187E-01 0.0000E+00 36 Deflexão : 3.6596E-01 0.0000E+00 3.6596E-01 0.0000E+00 Momento : 1.7704E+09 0.0000E+00 1.7704E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.2998E-01 0.0000E+00 1.2998E-01 1.8000E+02 37 Deflexão : 1.2099E+00 0.0000E+00 1.2099E+00 0.0000E+00 Momento : 1.1217E+09 0.0000E+00 1.1217E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -4.0307E-01 0.0000E+00 4.0307E-01 1.8000E+02 38 Deflexão : 1.7584E+00 0.0000E+00 1.7584E+00 0.0000E+00 Momento : 5.9915E+08 0.0000E+00 5.9915E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -5.7556E-01 0.0000E+00 5.7556E-01 1.8000E+02 39 Deflexão : 1.7945E+00 0.0000E+00 1.7945E+00 0.0000E+00 Momento : 2.3379E+08 0.0000E+00 2.3379E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -5.7799E-01 0.0000E+00 5.7799E-01 1.8000E+02 40 Deflexão : 1.8299E+00 0.0000E+00 1.8299E+00 0.0000E+00 Momento : 3.7205E+07 0.0000E+00 3.7205E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -5.7955E-01 0.0000E+00 5.7955E-01 1.8000E+02 41 Deflexão : 1.8735E+00 0.0000E+00 1.8735E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -5.7952E-01 0.0000E+00 5.7952E-01 1.8000E+02 1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009 TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais APRESENTAÇÃO DE VIBRAÇÃO NATURAL:

67

*** Frequência Natural = 7.05 CPS 44.3090 rad/seg *** Seção PARTE REAL PARTE IMAG VALOR ABSL ÂNG.DE

FASE 1 Deflexão : 1.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2595E-01 0.0000E+00 3.2595E-01 1.8000E+02 2 Deflexão : 9.2345E-01 0.0000E+00 9.2345E-01 0.0000E+00 Momento : 5.1006E+06 0.0000E+00 5.1006E+06 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2567E-01 0.0000E+00 3.2567E-01 1.8000E+02 3 Deflexão : 8.7250E-01 0.0000E+00 8.7250E-01 0.0000E+00 Momento : 1.7677E+07 0.0000E+00 1.7677E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2539E-01 0.0000E+00 3.2539E-01 1.8000E+02 4 Deflexão : 8.1536E-01 0.0000E+00 8.1536E-01 0.0000E+00 Momento : 1.7415E+08 0.0000E+00 1.7415E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2470E-01 0.0000E+00 3.2470E-01 1.8000E+02 5 Deflexão : 7.5352E-01 0.0000E+00 7.5352E-01 0.0000E+00 Momento : 4.6759E+08 0.0000E+00 4.6759E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2326E-01 0.0000E+00 3.2326E-01 1.8000E+02 6 Deflexão : 6.8989E-01 0.0000E+00 6.8989E-01 0.0000E+00 Momento : 9.1254E+08 0.0000E+00 9.1254E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.2099E-01 0.0000E+00 3.2099E-01 1.8000E+02 7 Deflexão : 6.3727E-01 0.0000E+00 6.3727E-01 0.0000E+00 Momento : 1.5104E+09 0.0000E+00 1.5104E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.1478E-01 0.0000E+00 3.1478E-01 1.8000E+02 8 Deflexão : 9.3831E-01 0.0000E+00 9.3831E-01 0.0000E+00 Momento : 2.2740E+09 0.0000E+00 2.2740E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.8707E-01 0.0000E+00 1.8707E-01 1.8000E+02 9 Deflexão : -1.2215E-01 0.0000E+00 1.2215E-01 1.8000E+02 Momento : 3.1346E+09 0.0000E+00 3.1346E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.5290E-01 0.0000E+00 1.5290E-01 0.0000E+00 10 Deflexão : -1.0920E+00 0.0000E+00 1.0920E+00 1.8000E+02 Momento : 3.9155E+09 0.0000E+00 3.9155E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.6387E-01 0.0000E+00 4.6387E-01 0.0000E+00 11 Deflexão : -1.8348E+00 0.0000E+00 1.8348E+00 1.8000E+02 Momento : 4.4754E+09 0.0000E+00 4.4754E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.0061E-01 0.0000E+00 7.0061E-01 0.0000E+00 12 Deflexão : -2.2734E+00 0.0000E+00 2.2734E+00 1.8000E+02 Momento : 4.7679E+09 0.0000E+00 4.7679E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 8.3673E-01 0.0000E+00 8.3673E-01 0.0000E+00 13 Deflexão : -2.3603E+00 0.0000E+00 2.3603E+00 1.8000E+02 Momento : 4.6723E+09 0.0000E+00 4.6723E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 8.5318E-01 0.0000E+00 8.5318E-01 0.0000E+00 14 Deflexão : -1.8707E+00 0.0000E+00 1.8707E+00 1.8000E+02 Momento : 4.0212E+09 0.0000E+00 4.0212E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.8030E-01 0.0000E+00 6.8030E-01 0.0000E+00

68

15 Deflexão : -9.2784E-01 0.0000E+00 9.2784E-01 1.8000E+02 Momento : 2.9346E+09 0.0000E+00 2.9346E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.5793E-01 0.0000E+00 3.5793E-01 0.0000E+00 16 Deflexão : 1.3464E-01 0.0000E+00 1.3464E-01 0.0000E+00 Momento : 1.6648E+09 0.0000E+00 1.6648E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.8057E-03 0.0000E+00 2.8057E-03 1.8000E+02 17 Deflexão : 1.3053E+00 0.0000E+00 1.3053E+00 0.0000E+00 Momento : 3.7344E+08 0.0000E+00 3.7344E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.9904E-01 0.0000E+00 3.9904E-01 1.8000E+02 18 Deflexão : 2.1983E+00 0.0000E+00 2.1983E+00 0.0000E+00 Momento : -7.0414E+08 0.0000E+00 7.0414E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.0249E-01 0.0000E+00 7.0249E-01 1.8000E+02 19 Deflexão : 2.6093E+00 0.0000E+00 2.6093E+00 0.0000E+00 Momento : -1.3181E+09 0.0000E+00 1.3181E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -8.4503E-01 0.0000E+00 8.4503E-01 1.8000E+02 20 Deflexão : 2.4418E+00 0.0000E+00 2.4418E+00 0.0000E+00 Momento : -1.3753E+09 0.0000E+00 1.3753E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.9487E-01 0.0000E+00 7.9487E-01 1.8000E+02 21 Deflexão : 1.6815E+00 0.0000E+00 1.6815E+00 0.0000E+00 Momento : -8.3761E+08 0.0000E+00 8.3761E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : -5.4733E-01 0.0000E+00 5.4733E-01 1.8000E+02 22 Deflexão : 4.5051E-01 0.0000E+00 4.5051E-01 0.0000E+00 Momento : 4.5798E+07 0.0000E+00 4.5798E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.4227E-01 0.0000E+00 1.4227E-01 1.8000E+02 23 Deflexão : -6.6123E-01 0.0000E+00 6.6123E-01 1.8000E+02 Momento : 9.3702E+08 0.0000E+00 9.3702E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.2317E-01 0.0000E+00 2.2317E-01 0.0000E+00 24 Deflexão : -1.6574E+00 0.0000E+00 1.6574E+00 1.8000E+02 Momento : 1.7366E+09 0.0000E+00 1.7366E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.5002E-01 0.0000E+00 5.5002E-01 0.0000E+00 25 Deflexão : -2.3636E+00 0.0000E+00 2.3636E+00 1.8000E+02 Momento : 2.2062E+09 0.0000E+00 2.2062E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.8050E-01 0.0000E+00 7.8050E-01 0.0000E+00 26 Deflexão : -2.5329E+00 0.0000E+00 2.5329E+00 1.8000E+02 Momento : 2.1424E+09 0.0000E+00 2.1424E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 8.3256E-01 0.0000E+00 8.3256E-01 0.0000E+00 27 Deflexão : -2.1219E+00 0.0000E+00 2.1219E+00 1.8000E+02 Momento : 1.5323E+09 0.0000E+00 1.5323E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.9146E-01 0.0000E+00 6.9146E-01 0.0000E+00 28 Deflexão : -1.2383E+00 0.0000E+00 1.2383E+00 1.8000E+02 Momento : 4.6691E+08 0.0000E+00 4.6691E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.9301E-01 0.0000E+00 3.9301E-01 0.0000E+00 29 Deflexão : -8.4452E-02 0.0000E+00 8.4452E-02 1.8000E+02 Momento : -8.5705E+08 0.0000E+00 8.5705E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 4.3345E-03 0.0000E+00 4.3345E-03 0.0000E+00 30 Deflexão : 9.6307E-01 0.0000E+00 9.6307E-01 0.0000E+00 Momento : -2.1126E+09 0.0000E+00 2.1126E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -3.4898E-01 0.0000E+00 3.4898E-01 1.8000E+02

69

31 Deflexão : 1.9137E+00 0.0000E+00 1.9137E+00 0.0000E+00 Momento : -3.1593E+09 0.0000E+00 3.1593E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -6.7059E-01 0.0000E+00 6.7059E-01 1.8000E+02 32 Deflexão : 2.3711E+00 0.0000E+00 2.3711E+00 0.0000E+00 Momento : -3.8192E+09 0.0000E+00 3.8192E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -8.2928E-01 0.0000E+00 8.2928E-01 1.8000E+02 33 Deflexão : 2.3402E+00 0.0000E+00 2.3402E+00 0.0000E+00 Momento : -3.9019E+09 0.0000E+00 3.9019E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -8.2416E-01 0.0000E+00 8.2416E-01 1.8000E+02 34 Deflexão : 1.9873E+00 0.0000E+00 1.9873E+00 0.0000E+00 Momento : -3.6831E+09 0.0000E+00 3.6831E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -7.1328E-01 0.0000E+00 7.1328E-01 1.8000E+02 35 Deflexão : 1.2400E+00 0.0000E+00 1.2400E+00 0.0000E+00 Momento : -3.1473E+09 0.0000E+00 3.1473E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -4.7169E-01 0.0000E+00 4.7169E-01 1.8000E+02 36 Deflexão : 2.1703E-01 0.0000E+00 2.1703E-01 0.0000E+00 Momento : -2.3818E+09 0.0000E+00 2.3818E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : -1.3917E-01 0.0000E+00 1.3917E-01 1.8000E+02 37 Deflexão : -9.3223E-01 0.0000E+00 9.3223E-01 1.8000E+02 Momento : -1.5416E+09 0.0000E+00 1.5416E+09 1.8000E+02 Âng.de Torção : 2.3445E-01 0.0000E+00 2.3445E-01 0.0000E+00 38 Deflexão : -1.7127E+00 0.0000E+00 1.7127E+00 1.8000E+02 Momento : -8.2422E+08 0.0000E+00 8.2422E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 4.8184E-01 0.0000E+00 4.8184E-01 0.0000E+00 39 Deflexão : -1.7584E+00 0.0000E+00 1.7584E+00 1.8000E+02 Momento : -3.2175E+08 0.0000E+00 3.2175E+08 1.8000E+02 Âng.de Torção : 4.8558E-01 0.0000E+00 4.8558E-01 0.0000E+00 40 Deflexão : -1.8034E+00 0.0000E+00 1.8034E+00 1.8000E+02 Momento : -5.0867E+07 0.0000E+00 5.0867E+07 1.8000E+02 Âng.de Torção : 4.8807E-01 0.0000E+00 4.8807E-01 0.0000E+00 41 Deflexão : -1.8593E+00 0.0000E+00 1.8593E+00 1.8000E+02 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.8824E-01 0.0000E+00 4.8824E-01 0.0000E+00 1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009 TÍTULO - Vibração horiz. acoplada c/torção do Germano Becker CASO - Cálculo das 25 primeiras frequências naturais APRESENTAÇÃO DE VIBRAÇÃO NATURAL: *** Frequência Natural = 8.50 CPS 53.4055 rad/seg *** Seção PARTE REAL PARTE IMAG VALOR ABSL ÂNG.DE

FASE 1 Deflexão : 1.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00

70

Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : 9.0518E-02 0.0000E+00 9.0518E-02 0.0000E+00 2 Deflexão : 6.0490E-01 0.0000E+00 6.0490E-01 0.0000E+00 Momento : 4.5038E+08 0.0000E+00 4.5038E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 4.6144E-02 0.0000E+00 4.6144E-02 0.0000E+00 3 Deflexão : 4.9700E-01 0.0000E+00 4.9700E-01 0.0000E+00 Momento : 7.5184E+08 0.0000E+00 7.5184E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.7840E-02 0.0000E+00 3.7840E-02 0.0000E+00 4 Deflexão : 4.2420E-01 0.0000E+00 4.2420E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0353E+09 0.0000E+00 1.0353E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.5562E-02 0.0000E+00 3.5562E-02 0.0000E+00 5 Deflexão : 3.6436E-01 0.0000E+00 3.6436E-01 0.0000E+00 Momento : 1.3017E+09 0.0000E+00 1.3017E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.4949E-02 0.0000E+00 3.4949E-02 0.0000E+00 6 Deflexão : 3.1099E-01 0.0000E+00 3.1099E-01 0.0000E+00 Momento : 1.5465E+09 0.0000E+00 1.5465E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.4692E-02 0.0000E+00 3.4692E-02 0.0000E+00 7 Deflexão : 2.6289E-01 0.0000E+00 2.6289E-01 0.0000E+00 Momento : 1.7708E+09 0.0000E+00 1.7708E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.4560E-02 0.0000E+00 3.4560E-02 0.0000E+00 8 Deflexão : 2.2718E-01 0.0000E+00 2.2718E-01 0.0000E+00 Momento : 1.9835E+09 0.0000E+00 1.9835E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 3.8679E-02 0.0000E+00 3.8679E-02 0.0000E+00 9 Deflexão : 4.2996E-02 0.0000E+00 4.2996E-02 0.0000E+00 Momento : 2.1724E+09 0.0000E+00 2.1724E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 8.7293E-02 0.0000E+00 8.7293E-02 0.0000E+00 10 Deflexão : -9.5499E-02 0.0000E+00 9.5499E-02 1.8000E+02 Momento : 2.3018E+09 0.0000E+00 2.3018E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.2179E-01 0.0000E+00 1.2179E-01 0.0000E+00 11 Deflexão : -1.6523E-01 0.0000E+00 1.6523E-01 1.8000E+02 Momento : 2.3486E+09 0.0000E+00 2.3486E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.3450E-01 0.0000E+00 1.3450E-01 0.0000E+00 12 Deflexão : -1.6419E-01 0.0000E+00 1.6419E-01 1.8000E+02 Momento : 2.3226E+09 0.0000E+00 2.3226E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.2430E-01 0.0000E+00 1.2430E-01 0.0000E+00 13 Deflexão : -7.2206E-02 0.0000E+00 7.2206E-02 1.8000E+02 Momento : 2.1765E+09 0.0000E+00 2.1765E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 8.1051E-02 0.0000E+00 8.1051E-02 0.0000E+00 14 Deflexão : 7.7492E-02 0.0000E+00 7.7492E-02 0.0000E+00 Momento : 1.9665E+09 0.0000E+00 1.9665E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.0808E-02 0.0000E+00 2.0808E-02 0.0000E+00 15 Deflexão : 2.3630E-01 0.0000E+00 2.3630E-01 0.0000E+00 Momento : 1.7349E+09 0.0000E+00 1.7349E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -4.1267E-02 0.0000E+00 4.1267E-02 1.8000E+02 16 Deflexão : 3.3301E-01 0.0000E+00 3.3301E-01 0.0000E+00 Momento : 1.5507E+09 0.0000E+00 1.5507E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -8.1450E-02 0.0000E+00 8.1450E-02 1.8000E+02

71

17 Deflexão : 3.6327E-01 0.0000E+00 3.6327E-01 0.0000E+00 Momento : 1.4300E+09 0.0000E+00 1.4300E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -9.8789E-02 0.0000E+00 9.8789E-02 1.8000E+02 18 Deflexão : 2.9051E-01 0.0000E+00 2.9051E-01 0.0000E+00 Momento : 1.3975E+09 0.0000E+00 1.3975E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -8.1323E-02 0.0000E+00 8.1323E-02 1.8000E+02 19 Deflexão : 1.3492E-01 0.0000E+00 1.3492E-01 0.0000E+00 Momento : 1.4415E+09 0.0000E+00 1.4415E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : -3.5510E-02 0.0000E+00 3.5510E-02 1.8000E+02 20 Deflexão : -5.6992E-02 0.0000E+00 5.6992E-02 1.8000E+02 Momento : 1.5191E+09 0.0000E+00 1.5191E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.2968E-02 0.0000E+00 2.2968E-02 0.0000E+00 21 Deflexão : -2.2397E-01 0.0000E+00 2.2397E-01 1.8000E+02 Momento : 1.5730E+09 0.0000E+00 1.5730E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.3688E-02 0.0000E+00 7.3688E-02 0.0000E+00 22 Deflexão : -3.2223E-01 0.0000E+00 3.2223E-01 1.8000E+02 Momento : 1.5519E+09 0.0000E+00 1.5519E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.0247E-01 0.0000E+00 1.0247E-01 0.0000E+00 23 Deflexão : -3.1114E-01 0.0000E+00 3.1114E-01 1.8000E+02 Momento : 1.4411E+09 0.0000E+00 1.4411E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 9.5502E-02 0.0000E+00 9.5502E-02 0.0000E+00 24 Deflexão : -2.2518E-01 0.0000E+00 2.2518E-01 1.8000E+02 Momento : 1.2558E+09 0.0000E+00 1.2558E+09 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.3799E-02 0.0000E+00 6.3799E-02 0.0000E+00 25 Deflexão : -5.8049E-02 0.0000E+00 5.8049E-02 1.8000E+02 Momento : 9.8285E+08 0.0000E+00 9.8285E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 5.2182E-03 0.0000E+00 5.2182E-03 0.0000E+00 26 Deflexão : 1.3690E-01 0.0000E+00 1.3690E-01 0.0000E+00 Momento : 7.0473E+08 0.0000E+00 7.0473E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -6.2119E-02 0.0000E+00 6.2119E-02 1.8000E+02 27 Deflexão : 2.6028E-01 0.0000E+00 2.6028E-01 0.0000E+00 Momento : 4.9340E+08 0.0000E+00 4.9340E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.0536E-01 0.0000E+00 1.0536E-01 1.8000E+02 28 Deflexão : 2.8654E-01 0.0000E+00 2.8654E-01 0.0000E+00 Momento : 3.8202E+08 0.0000E+00 3.8202E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -1.1603E-01 0.0000E+00 1.1603E-01 1.8000E+02 29 Deflexão : 2.0565E-01 0.0000E+00 2.0565E-01 0.0000E+00 Momento : 3.8088E+08 0.0000E+00 3.8088E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -9.0813E-02 0.0000E+00 9.0813E-02 1.8000E+02 30 Deflexão : 5.8330E-02 0.0000E+00 5.8330E-02 0.0000E+00 Momento : 4.6173E+08 0.0000E+00 4.6173E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -4.3308E-02 0.0000E+00 4.3308E-02 1.8000E+02 31 Deflexão : -1.3538E-01 0.0000E+00 1.3538E-01 1.8000E+02 Momento : 5.7593E+08 0.0000E+00 5.7593E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 1.9916E-02 0.0000E+00 1.9916E-02 0.0000E+00 32 Deflexão : -2.8878E-01 0.0000E+00 2.8878E-01 1.8000E+02 Momento : 6.7624E+08 0.0000E+00 6.7624E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 6.9597E-02 0.0000E+00 6.9597E-02 0.0000E+00

72

33 Deflexão : -3.5568E-01 0.0000E+00 3.5568E-01 1.8000E+02 Momento : 6.9996E+08 0.0000E+00 6.9996E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 9.1068E-02 0.0000E+00 9.1068E-02 0.0000E+00 34 Deflexão : -3.6723E-01 0.0000E+00 3.6723E-01 1.8000E+02 Momento : 6.7568E+08 0.0000E+00 6.7568E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 9.3901E-02 0.0000E+00 9.3901E-02 0.0000E+00 35 Deflexão : -3.0617E-01 0.0000E+00 3.0617E-01 1.8000E+02 Momento : 5.9115E+08 0.0000E+00 5.9115E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 7.2656E-02 0.0000E+00 7.2656E-02 0.0000E+00 36 Deflexão : -1.7941E-01 0.0000E+00 1.7941E-01 1.8000E+02 Momento : 4.5546E+08 0.0000E+00 4.5546E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : 2.9517E-02 0.0000E+00 2.9517E-02 0.0000E+00 37 Deflexão : -1.2882E-02 0.0000E+00 1.2882E-02 1.8000E+02 Momento : 2.9728E+08 0.0000E+00 2.9728E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -2.6850E-02 0.0000E+00 2.6850E-02 1.8000E+02 38 Deflexão : 1.0428E-01 0.0000E+00 1.0428E-01 0.0000E+00 Momento : 1.5889E+08 0.0000E+00 1.5889E+08 0.0000E+00 Âng.de Torção : -6.6382E-02 0.0000E+00 6.6382E-02 1.8000E+02 39 Deflexão : 1.0400E-01 0.0000E+00 1.0400E-01 0.0000E+00 Momento : 6.2082E+07 0.0000E+00 6.2082E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -6.6786E-02 0.0000E+00 6.6786E-02 1.8000E+02 40 Deflexão : 1.0362E-01 0.0000E+00 1.0362E-01 0.0000E+00 Momento : 1.0095E+07 0.0000E+00 1.0095E+07 0.0000E+00 Âng.de Torção : -6.6999E-02 0.0000E+00 6.6999E-02 1.8000E+02 41 Deflexão : 1.0252E-01 0.0000E+00 1.0252E-01 0.0000E+00 Momento : 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 Âng.de Torção : -6.6864E-02 0.0000E+00 6.6864E-02 1.8000E+02 1 VIB2 - Versão 1.20 JUL.2009

Documents

ACOPLAMENTO FLEXÃO-TORÇÃO EM NAVIOS … Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau