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Lúcia M.J. S. Dinis2005/2006

Resistência dos Materiais20ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Flexão Combinada com Torção

Objectivos da Aula: Apreensão da Sobreposição de Efeitos nas vigas, no caso vertente apreensão da combinação de Flexão com Torção



2

Estruturas Mistas



3

Vigas Curvas



4

Helicóptero



5

Exemplo 20.1

Considere um veio de secção circular sujeito a flexão e torção como se representa na figura e determine-se as tensões de corte máximas na secção que dista 120mm da extremidade livre. O veio está encastrado numa extremidade e livre na outra. O comprimento do veio é de 160mm



6

Exemplo 20.1

Secção Recta

Circular

Mt= 20N.m

P=250N

Secção A-A

60mm60mm40mm

Diâmetro=10mm



7

Esforços na Secção A-A

O esforço transverso na Secção AA é igual a 250N.

O Momento Flector na Secção AA é igual a 250×0.120=30N.m

O Momento Torsor na Secção AA é igual a 20N.m.

Os esforços que contribuem para tensões de corte são os esforços transversos e o momento torsor.



8

Tensões de Corte resultantes do Esforço Transverso

xyz

TSbI

=τ

As tensões de corte devidas ao esforço transverso têm um valor máximo a meio da secção e orientação como se representa na figura e são obtidas a partir da Fórmula de Jouravsky.

2 33

444

z

xy

4r 2r rS 83,3(3)mm2 3 35r 490,625I mm4 4

250 83,3(3) 4,25MPa490,625 10

π= = =

ππ π

= = =

×= =τ

×



9

Tensões de Corte resultantes do Momento Torsor

3t

maxr 20 5 10M 101,9MPa

J 490,625 2× × ×

= = =τ×

Tensão Total

totalmax 101,9 4,25 106,15MPa= + =τ



10

Exemplo 20.2

Considere a viga em L representada na figura que se desenvolve no plano Oxz e determine as tensões no encastramento. Trace os diagramas de esforços em cada tramo da viga. Considere as dimensões e a secção representadas na figura.



11

Exemplo 20.2

x

y

z

3m

A B

C

2kN3m

Secção Recta

100mm10mm

70mm



12

Diagramas de Esforços

Tramo ABEsforço Transverso

2kN

Momento Flector 6kN.m

Momento Torsor6kN.m

A B

A B

A B



13

Diagramas de Esforços

Tramo BC

Esforço Transverso 2kN

B C

Momento Flector 6kN.m

B C



14

Esforços em A

Momento Flector -6kN.m

Momento Torsor 6kN.m

Esforço Transverso 2kN



15

Tensões Resultantes do Momento Flector em A

3 3 3 31 21 2 6 4

z70 50b bh h 100 80 3,7 10I mm12 12 12 12× ×

= − = − = ×

Tensões Axiais

Momento de Inércia da Secção

3

xx 6z

My 6000 50 10 81,08MPa3,7 10I

−

−× ×

= − = =σ×



16

Tensões de Corte Devidas ao Esforço Transverso

Tensões de Corte

3 9y

xy 6 3z

S 2 47500T 10 10 1, 28MPab 3,7 2010 10I

−

− −× × ×

= = =τ× × ×



17

Tensões de Corte Devidas ao Momento Torsor

Tensões de Corte

3t

3 3

6 10M 55,5MPa2Se 2 5, 4 1010 10− −

×τ = = =

× × × ×

Para efeitos de cálculo da tensão de corte devida ao Momento Torsor recorre-se à 1ª Fórmula de Bredt



18

Problemas Propostos20.1

1. Considere a viga representada na figura cuja secção recta também é representada e

a) Trace os diagramas de esforços nos dois tramos.

b) Determine as tensões axiais e de corte no encastramento.

Secção Recta 10mm150mm

80mm



19

Problemas Propostos

xy

z

1kN/m

2kN/mA

B

C

2m

2m

4m



20

Problemas Propostos

2. Considere a viga representada na figura cuja secção recta também é representada e

a) Trace os diagramas de esforços.b)Determine as tensões axiais e de corte no

encastramento.



21

Problemas Propostos

Mt= 20N.mSecção A-A

70mm70mm50mm

350N/m

Secção Recta

Espessura Constante e igual a 2mm

15mm

15mm

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