F415–TurmaA

1

Prof.AlexandreFontesdaFonseca

afonseca@ifi.unicamp.br

Dinâmicadecorposrígidos

Introdução

2

Definiçãodecorporígido:

“conjunto de partículas cujas distâncias relativas são restritas de modo a permanecerem absolutamente fixas.”

DefiniçõesdoMarion:

Sistemafixo:odolaboratório

Sistemadocorpo:aquelequesemove(gira)comocorporígido

Movimentoplanarsimples

3

ExemplosdoMarion: EquaçãodeNewton(2ªlei)paraoCM:

EquaçãoparaotorquecomrelaçãoaumeixoquepassapeloCM:

OndeIéomomentodeinérciadocilindroevaleMR2/2

Movimentoplanarsimples

4

ExemplosdoMarion:

Considerandoquey=0eθ=0emt=0,eque:

Obtemos:

Movimentoplanarsimples

5

ExemplosdoMarion:

Queforneceoresultado:

Movimentoplanarsimples

6

ExemplosdoMarion:

Determinefrequênciaeperíododepequenasoscilações

Movimentoplanarsimples

7

ExemplosdoMarion:

Eqs.deLagrange:

Movimentoplanarsimples

8

ExemplosdoMarion: Resultado:

Tensordeinércia

9

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Docap.10:

Tensordeinércia

10

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Comoocorpoérígido,apar]culasemovecomsistemadecoordenadasdocorpo(quegira).

Tensordeinércia

11

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Comoaenergiaciné_cadaα –ésimapar]culaé

Tensordeinércia

12

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Veωnãodependemdeα...

=0nosistemadocorpoporque

Tensordeinércia

13

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Daí,nosistemadocorpo:

Tensordeinércia

14

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Ttrans e Trot designam as energias ciné_cas de TRANSLAÇÃO eROTAÇÃO,respec_vamente.

Tensordeinércia

15

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Usandoaiden_dadevetorial:

Mas, ω=(ω1,ω2,ω3) e rα=(xα,1,xα,2,xα,3)

Tensordeinércia

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Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Escrevendo

Tensordeinércia

17

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Definição:elementoijdotensordeinércia{I}

Tensordeinércia

18

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Otensordeinércia{I}éescritoassim:

Tensordeinércia

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Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Serα=(xα,yα,zα), otensordeinércia{I}podeserrescritoassim:

Tensordeinércia

20

Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.

Elementos I11, I22 e I33 são osmomentos de inércia em torno doseixosx1,x2ex3.

Onega_vodoselementos foradadiagonalsãochamadosprodutosdeinércia.

Momentoangular

21

ComrelaçãoaumpontofixoOnosistemadecoordenadasdocorpo,omomentoangularédadopor:

AescolhadopontoOdependedoproblema,masháduasopções:

Se houver um ou mais pontos do corpo que permaneçam fixos (nosistema de coordenadas fixo), O deve ser escolhido coincidir comalgumdessespontos.

Senenhumpontodocorpoes_verfixo,Odeveserescolhidocoincidircomocentrodemassa.

Momentoangular

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ComrelaçãoaumpontofixoOnosistemadecoordenadasdocorpo,omomentoangularédadopor:

Emrelaçãoaosistemadecoordenadasdocorpo:

Momentoangular

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Usandoaseguinteiden_dadevetorial:

Omomentoangularficadadopor:

Seguindoosmesmospassosfeitosparaaenergiaciné_caderotação:

Momentoangular

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Deverdecasa!Mostreque:

Ouemnotaçãotensorial:

Momentoangular

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Exemplo:haltere

Momentoangular

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Outroresultadoapar_rdaequaçãoacima(11.20a)podeserob_domul_plicandoLipor(1/2)ωiesomandosobrei:

ou

Eixosprincipaisdeinércia

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Seotensordeinérciafosse:

oqueequivalea:

Teríamos:

Eixosprincipaisdeinércia

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Determinaremosquaisoseixosdeumcorpoparaoqualosprodutosdeinércia(termosforadadiagonalde{I})seanulam.Esteseixossãochamadosde:eixosprincipaisdeinércia(oueixosdeinérciaprincipais).

Segundoaequação:

seumcorpogiraemtornodeumeixoprincipal,entãoL//ω.Daí,

Eixosprincipaisdeinércia

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Oladodireitovemdaequaçãogeral: Oladoesquerdovemda

consideraçãodoseixosprincipaisdeinércia:

Eixosprincipaisdeinércia

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Escreveasequaçõesnaformadeequaçõesdeauto-valores:

Acondiçãoparaexis_rsoluçãonão-trivialé:

Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes

31

Paraaenergiaciné_caserseparadaemdoistermos:TRANSLAÇÃOeROTAÇÃO,precisamosescolherumsistemadecoordenadasdocorpocomorigemnopontodeCM.

Xi:outrosistemadecoorde-nadas,tambémfixonocor-po,e//aoxi;Q:origemdesseoutrosiste-madecoordenadas;O:CentrodeMassa;

Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes

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TensordeinércianoOUTROsistemadecoordenadas:

Deverdecasa!Mostreque:

Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes

33

Ou seja, a equação abaixo permite o cálculo dos elementos Iij dotensorde inérciadesejado(comorigemnoCM)umavezconhecidootensordeinércianoOUTROsiste-madecoordenadas.

EsseéochamadoTeoremadoseixosparalelosdeSteiner.

Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes

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Exemplo: I11édadopor:

éadiferençaentreJ11eamassadocorpovezesadistânciaentreoseixosx1eX1.

ÂngulosdeEuler

35

Atransformaçãodeumsistemadecoordenadasemoutropodeserrepresentadaassim:

ÂngulosdeEuler

36

Atransformaçãodeumsistemadecoordenadasemoutropodeserrepresentadaassim:

ÂngulosdeEuler

37

Atransformaçãodeumsistemadecoordenadasemoutropodeserrepresentadaassim:

ÂngulosdeEuler

38

Atransformaçãodeumsistemadecoordenadasemoutropodeserrepresentadaassim:

ÂngulosdeEuler

39

Atransformaçãodeumsistemadecoordenadasemoutropodeserrepresentadaassim:

ÂngulosdeEuler

40

OsângulosdeEulersãogeradosnasériedadapelasfigurasanteriores:

ÂngulosdeEuler

41

OsângulosdeEulersãogeradosnasériedadapelasfigurasanteriores:

ÂngulosdeEuler

42

OsângulosdeEulersãogeradosnasériedadapelasfigurasanteriores:

ÂngulosdeEuler

43

OsângulosdeEulersãogeradosnasériedadapelasfigurasanteriores:

ÂngulosdeEuler

44

OsângulosdeEulersãogeradosnasériedadapelasfigurasanteriores:

ÂngulosdeEuler

45

Velocidadesangulares:

Masosvetoresvelocidadesangulares:

ÂngulosdeEuler

46

Velocidadesangulares:

ÂngulosdeEuler

47

Resultado:

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

48

Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)

EscolhemosângulosdeEulercomovariáveisgeneralizadas.Aeq.deLagrangeparaψ:

Comoψdependedeωievice-versa(videeq.11.102,slideanterior):

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

49

Eq.11.102,slideanterior,lembrando:

Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

50

Resultado:

Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

51

Resultado:

Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)

AlertadoMarion:aseqs.paraω2eω3nãosãoaseqs.deLagrangeparaθeφ!!!

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

52

Segundo:movimentonumcampodeforça.Começapelotorque.

Daan_gaeq.10.12querelacionaaderivadanotempodevetoresvistonoref.fixoeref.quegira:

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

53

Acomponentedaeq.acimaaolongodoeixox3(eixoprincipaldocorpo):

Jáqueescolhemososeixoscomooseixosprincipaisdocorpo:

EquaçõesdeEulerparaocorporígido

54

Comofeitoantes:

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

55

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,aseqs.deEulerlivresdeforça:

setornam:

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

56

Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.

Considerarcasoondeovetorωnãoseencontraaolongodeumeixoprincipal.

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

57

Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.

Asduasprimeirasequaçõespodemserescritasassim:

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

58

Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

59

Daífica:

Equaçõesacopladas.Deverdecasa:veradeduçãodassoluções!

Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico

60

Daífica:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

61

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Deverdecasa:useaeq.abaixo,paramostrar:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

62

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

ALagrangianaédada,então,por:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

63

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Podemosresolverasequaçõesacimaparaasderivadasdeφeψemtermosdeθ.

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

64

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

65

Suporsistemaconserva_vo:Etotalseconserva!

Como:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

66

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Tudoissopodeserrescritocomo(verdeduçãoemcasa):

OndeV(θ)éumpotencialefei_vo:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

67

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Solução:

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

68

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

69

Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

70

Daequação

Comoβtemdoisvalores(+ou-):

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

71

Seω3(ouPψ)égrande:

SegundooMarion,asolução(-)équeénormalmenteobservada.

Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo

72

Nutação(θ1<θ<θ2):