Embed Size (px)
Citation preview
BINÔMIO DE NEWTON
cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ Edelson Moreira - 2° Ano do E. Médio – Marista Lucas Gouveia - 2º Ano do E. Médio - Marista
I - NÚMERO BINOMIAL
O número total de combinações de n elementos, tomados p a p, conhecido como Cn, p , também é
representado pelo número binomial
p
n.
Assim sendo temos:
Cn, p =
p
n =
)!pn(!p
!n
−
onde:
≥≥
∈∈
0pn
NpeNn
- Se n < p, então, por definição
p
n = 0
- Casos Notáveis Para qualquer n natural temos:
10
n=
, pois, 1
!n1
!n
)!0n(!0
!n
0
n=
−=
−=
n1
n=
, pois, n
)1n(1
!)1n(n
)!1n(!1
!n
1
n=
−
−=
−=
1n
n=
, pois, 1
1.!n
!n
!0.!n
!n
)!nn(!n
!n
n
n===
−=
II - BINÔMIAIS COMPLEMENTARES
Dois números binomiais de mesmo numerador são complementares quando as soma dos denominadores é igual ao numerador.
Os números binomiais
−
pn
ne
p
n são complementares, pois p + n - p = n
III - PROPRIEDADES
1ª Propriedade
Dois números binomiais complementares são iguais
−
pn
ne
p
n são complementares e
−
pn
ne
p
n são iguais, pois
)!pn(!p
!n
p
n
−=
!p.)!pn(
!n
)!pnn()!pn(
!n
)]pn(n[)!pn(
!n
pn
n
−=
+−−=
−−−=
−
logo
−=
pn
n
p
n
2 2ª Propriedade - Relação de Stifel A soma de dois números da linha n, aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p + 1) é
igual ao binomial da linha (n + 1), que está na coluna (p + 1), ou seja:
+
+=
++
1p
1n
1p
n
p
n � Relação de Stifel
Ex.:
=
+
3
4
3
3
2
3
IV - TRIÂNGULO DE PASCAL É uma tabela em forma de triângulo formado por números binomiais de tal forma que: - binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha. - binomiais de mesmo denominador estão colocados na mesma coluna.
0
0 1
1
1
0
1 1 1
2
2
1
2
0
2 1 2 1
3
3
2
3
1
3
0
3 1 3 3 1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4 1 4 6 4 1
n
n......
4
n
3
n
2
n
1
n
0
n
Propriedades do Triângulo de Pascal 1ª Propriedade:
Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois 10
n=
.
2ª Propriedade:
O último elemento de cada linha é igual a 1, pois 1n
n=
.
3ª Propriedade: Numa linha qualquer, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais ou seja, são complementares,
pois a soma dos denominados é igual ao numerador.
3 4ª Propriedade:
Cada binomial
p
n da linha n é igual a soma de dois binomiais da linha (n - 1); aquele que está na coluna p
com aquele que está na coluna (p - 1).
=
−+
−
−
p
n
p
1n
1p
1n
5ª Propriedade A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potencia de base 2, cujo expoente é a ordem da
linha (dada pelo numerador).
n2n
n.....
2
n
1
n
0
n=
++
+
+
ou
nn
0i
2i
n=
∑
=
Lê-se: somatório do número binomial de n sobre i, i variando de zero a n.
Exemplos:
1) Calcule A, sendo A =
+
+
2
2
1
2
0
2.
A = 1 + 2 + 1 A = 4
2) Calcule E, sendo E =
+
3
8
2
8
E =
3
9
E = !6.2.3
!6.7.8.9
!6.!3
!9
)!39(.!3
!9==
−
E = 84 3) Calcule A, sendo
A =
+
+
+
+
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
A = 24 = 16
3 4
4 6ª PROPRIEDADE: Teorema das Colunas A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na
coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
7ª PROPRIEDADE: Teorema das Diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é
igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
V - TEOREMA DE NEWTON PARA O DESENVOLVIMENTO DA POTENCIA (x + a)n. Para resolver certos problemas de matemática, usamos uma aplicação do cálculo combinatório para o
desenvolvimento da potência n-ésima do binômio (x + a). O matemático, físico e astrônomo inglês Isaac Newton demonstrou que:
( ) 0n2n21n1n0nxa
n
n...xa
2
nxa
1
nxa
0
nax
++
+
+
=+
−−
Observe que:
� x e a são números quaisquer e n ∈N. � O desenvolvimento de (x + a)n possui (n + 1) termos. � Os expoentes de x decrescem de n até zero. � Os expoentes de a crescem de zero até n. � expoente de a é igual ao denominador � O expoente de a é igual ao denominador do coeficiente binomial e o expoente de x é igual a diferença
entre o numerador e o denominador de tal coeficiente. � A soma dos expoentes das variáveis, em cada termo é sempre n.
5 - O desenvolvimento de (x + a)n pode ser representado pelo símbolo de somatório.
(x + a)n = pnpn
0p
x.ap
n −
=
∑
Para (x – a)n, temos:
(x – a)n = nn2n21nn an
n)1(...xa
2
nax
1
nx
0
n
−+−
−
−
−−
Obs.: Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os temos de ordem par (2º, 4º, 6º,
...) são negativos e os de ordem ímpar (1º, 3º, 5º, ...) são positivos. - O desenvolvimento de (x – a)n pode ser representado pelo símbolo de somatório
(x – a)n = ( ) pnpn
0p
pxa
p
n1 −
=
−∑
VI – FÓRMULA DO TERMO GERAL
De maneira geral, um termo qualquer t de ordem (p + 1), segundo os expoentes decrescentes de x, do desenvolvimento (x + a)n é dado por:
Tp + 1 = pnp x.ap
n −
Para o desenvolvimento de (x – a)n, onde: (x – a)n = [x + (-a)]n. O termo geral é dado pela expressão:
Tp + 1 = (-1)p . pnp xap
n −
1) Calcule E, sendo
E =
+
+
+
1
10
6
9
2
7
0
5
6
2) Calcule ∑=
6
0pp
6
3) Calcule o valor de A, sendo ∑=
−=
8
4i2
1iA
4) Calcule x na equação 212
3x=
−
5) Ache o conjunto solução da equação
64x
2x=
−
−
6) (FUEM-PR) Se
−
−
2m
1m = 4 e m > 3,
determine o valor de
+
−
−!0
)3m(
1m
7) Sejam n e K números naturais tais que:
( )( )
210)!1n
!1n=
−
+ e (K + 3)! + (K + 2)! =
15(K + 1)! Calcule ( )!n
!Kn+
8) (FAFI-PA) O número de termos do desenvolvimento de um Binômio é K – 1. Calcule o expoente do binômio.
9) Obtenha a soma dos coeficientes do
desenvolvimento de (3x – y)10. 10) Calcule a soma dos coeficientes do
desenvolvimento de (x + y)8. 11) (UFPR) Calcule o valor de n que verifica a
igualdade ( )( )
=
−
+∑
=
20
0K
K20Clog
!1n
!1n , onde C K20
indica o número de combinações simples de 20 elementos tomados K a K.
12) (UNI-RIO) Calcule o valor de
−
−++
−
+
−
n
n
1n
n...
3
n
2
n
1
n
0
n, onde n
é ímpar, justifique a sua resposta.
13) (PUC-RJ) Ache a soma dos coeficientes do
polinômio (1 – 2x + 3x2)3. 14) Desenvolva: a) (2x + 1)5 = b) (2x2 – y3)4 =
c) 6
2
6
1y
− =
15. Calcule a soma dos coeficientes do
desenvolvimento de: a) (x2 + 2y)9 = b) (3x – y2)12 =
c) ( )83 yx + =
d) (4x2y + 2xy – 3z)15 = 16. (PUC-RJ) Ache a soma dos coeficientes do
polinômio (1 – 2x + 3x2)3. 17.(UFOR-MG) No desenvolvimento de
6
3 x
1x
+ . Calcule a ordem e o coeficiente
do termo em x2. 18. (UFBA) No desenvolvimento de (2x2 + y)9,
C é o coeficiente do termo no qual os
expoentes x e y são iguais. Calcule 8
C .
19. (UFPE) Qual o termo independente de x na
expressão 8
3
5
x
1x
+ ?
20. (IME-SP) Determine o termo independente
de x de 10
x
1x
−
21. Ache o termo médio no desenvolvimento de
n4
x
1x
+
22. Determine o termo em x8 no
desenvolvimento de (1 + x2 + x3)9.
7 23. Calcule o valor de a de modo que o
coeficiente de x5 seja igual ao de x15 no
desenvolvimento de 10
3
2
x
ax2
+ .
24. Calcule o 5º termo no desenvolvimento de
( )8yx + .
25. (UFAL) Desenvolvendo-se o binômio
10
y42
x
+ em ordem crescente das potências
de x, qual é o coeficiente do termo médio?
26. (UF-CE) No desenvolvimento de
−
x2
1ax ,
x ≠ 0, o termo independente de x é 2
27 .
Calcule o valor de a2. 27. (Unifor-CE) Sejam A e B, respectivamente,
o quarto e o quinto termo do
desenvolvimento de binômio n
x
1x2
+
segundo as potências decrescentes de x. Se 2x
B
A= , então determine o valor de n.
28. (Unificado-RJ) Qual é o valor de n na
igualdade 254p
n1n
1p
=
∑
−
=
?
29. (Mackenzie-SP) Calcule ∑−
−
20
1n1n
n.
30. Sabendo que aq
1peb
q
p=
−=
, qual o
valor de
−
−
1q
1p?
31. (Fuvest-SP) Lembrando que )!pn(!p
!n
p
n
−=
determine os números n e p de modo que
3
2p
n
2
1p
n
1
p
n
+=
+=
32. Os números binomiais
+
1
1n,
0
n e
+
2
2n, n ∈∈∈∈ N, nesta ordem, estão em
progressão aritmética. Calcule n. 33. Determine o coeficiente de x7 no
desenvolvimento de 7
3
x
1x5
+ .
34. Determine o coeficiente do termo em x4 no
desenvolvimento de (x + 2)7 . (x – 2)7. 35. Dois números binomiais de mesmo
numerador são iguais se, e somente se, têm o mesmo denominador ou são complementares, isto é:
npK
n
p
n=⇔
=
ou p + K = n
De acordo com essa propriedade, determine x em cada uma das equações.
a)
=
7
9
x
9
b) C8, (x + 3) = C8, (x + 1) 36. Determine o valor de x tal que o 2º, 3º e 5º
termos do desenvolvimento de (2 + x)5 estejam em progressão geométrica, nesta ordem.
37. Sabendo que:
∑=
n
0pp
n = 128, calcule n.
1) (Unifor-CE) A soma
++
+
+
+
25
30...
3
8
2
7
1
6
0
5 é igual a:
a)
25
31 c)
26
31 e)
27
31
b)
26
30 d)
25
30
8
2) (UFS) A soma
+
+
+
5
7
4
6
3
5
2
5 é igual a:
a)
5
6 c)
7
8 e)
5
8
b)
6
7 d)
4
8
3) (Unifor-CE) A soma
++
+
3
20...
3
6
3
5 é
igual a: a) 6640 c) 5980 e) 4840 b) 5985 d) 4845
4) (FGV-SP) Se 2
nn
6
1n
5
1n 2−
=
−+
−, então
n é igual a: a) 4 c) 9 e) 8 b) 6 d) 5 5) (UFPR) O valor de n de modo que:
1024n
n...
2
n
1
n
0
n=
++
+
+
é:
a) 5 c) 10 e) 12 b) 8 d) 11 6) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal
que:
−=
+
+
2n
12
7
11
6
10
5
102
, então n é:
a) igual a 6 ou -6. b) um número par. c) um número quadrado perfeito. d) um número maior que 10. e) divisor de 15. 7) (F.M.ABC-SP) O número de raízes da
equação
=
2x
12
x2
12 é:
a) 0 c) 2 e) maior que 3 b) 1 d) 3
8) (PUC-RS) Sendo
+=
4K
18
K
18, então K!
vale: a) 120 c) 840 e) 40320 b) 720 d) 5040
9) (UF-PA) Sejam n e p números inteiros
positivos, tais que n – 1 ≥≥≥≥ p. Então:
++
−+
−
−
1p
n
p
1n
1p
1n é igual a:
a)
−
−
1p
1n c)
+
p
1n e)
+
+
1p
1n
b)
p
n d)
−
+
1p
1n
10) (FCC-SP) A sentença
+
n
2n = 10 é
verdadeira se, e somente se, n! for igual a: a) 1 c) 18 e) 6 ou 720 b) 6 d) 720 11) (Unesp-SP) Seja n um número natural tal
que
=
++
4
11
1n
10
4
10, então
a) n = 5 c) n = 3 e) n.r.a. b) n = 4 d) n = 2 12) (Santa Casa-SP) A equação
+
++
+
5
2K
3
1K
2
1K
= 1
a) não admite soluções. b) admite uma solução entre 1 e 5. c) admite uma solução entre 5 e 12. d) admite uma solução entre 12 e 20. e) admite uma solução maior que 20. 13) (FGV-SP) A soma dos coeficientes do
desenvolvimento de (2x + y)5 é igual a: a) 81 c) 243 e) 729 b) 128 d) 512 14) (Unicentro-PR) O termo independente de x,
no desenvolvimento de
−
4x3x
1 , é igual a:
a) 2 c) 120 e) 405 b) 30 d) 240 15) (UFV-MG) O coeficiente do termo
independente de x, no desenvolvimento de
+
X
1x3 para x ≠ 0, é:
9 a) 28 c) 3 e) 36 b) 56 d) 0 16) (Unifor-CE) O termo médio do
desenvolvimento do binômio 6
2
b
yax
+ ,
segundo as potências crescentes de x, é de 36 yx
25
4 . A razão entre a e b, nessa ordem, é:
a) 10
1 c) 5
1 e) 5
3
b) 6
1 d) 5
2
17) (UCDB-MS) Sabe-se que no
desenvolvimento de n
3xx
x
1
+ a soma dos
coeficientes binomiais é 128. Então o termo em x5 é:
a) 21x5 c) 45x5 e) 7x5 b) x5 d) 35x5 18) (Unifor-CE) Por uma das propriedades do
triângulo de Pascal a soma
+
+
+
23
51
22
51
21
50
20
50 é igual a:
a)
23
53 c)
22
52 e)
22
51
b)
21
52 d)
21
51
19) (Unicentro) O termo independente de x no
desenvolvimento do binômio
−
x9
1x3 é:
a) 2x3
1 c) 15 e) x6
b) 9 d) 81 20) (PUC-RJ) O coeficiente de x no
desenvolvimento de 7
x
1x
+ é:
a) 0 c) 28 e) 49
b) 7 d) 35 21) A soma dos números binomiais
+
++
+
+
100
100
99
100...
2
100
1
100
0
100 é
igual a: a) 211 c) 1000 e) 100100 b) 2100 d) 1002 22) (PUC-RS) Se o terceiro termo do
desenvolvimento de (a + b)n é 21 . a5 . b2, então o sexto termo é:
a) 35 . a4 . b3 d) 7 . a . b6 b) 21 . a3 . b4 e) 7 . a2 . b5 c) 21 . a2 . b5 23) (UCDB-MT) O coeficiente do 4º termo do
desenvolvimento de (2x – 3y)6, segundo as potências decrescentes de x, é:
a) – 4230 d) – 4300 b) 4230 e) – 4320 c) 4320 24) (UEL-PA) Se o 6º termo do
desenvolvimento do binômio 10
2
2
xax
+ é
– 252 x15, o valor de a é: a) – 2 d) 2 b) – 1 e) 4 c) 1 25) (UFES) Qual o termo central de (x – 3)6? a) – 540 x3 d) 540 x3 b) – 3240 x3 e) 540 x4 c) 3240 x3 26) (UFCE) O coeficiente de x15 no
desenvolvimento de (x2 + x-3)15 é: a) 455 d) 643 b) 500 e) n.d.r. c) 555 27) (Mack-SP) No desenvolvimento de
5
22
a
+ , feito segundo expoentes de
crescentes para a, o 4º termo é:
10
a) 27
a25 4
d) 26
252
b) 3
a25 2
e) 25
2a4
c) 5 2a2 28) (UFB) O coeficiente de x7 no
desenvolvimento de 7
3
x
1x5
+ é:
a) 35 d) 875 b) 125 e) 4375 c) 280 29) (AMAN-RJ) O termo independente de x no
desenvolvimento de 12
2
4
x
1x
+ é:
a) par d) imaginário b) ímpar e) inexistente c) um quadrado perfeito 30) (UFGO) No desenvolvimento de
n24
x
1x
+ , sendo n um número natural
positivo, temos um termo independente de x. a) se n é par b) se n é impar c) para qualquer n ≠≠≠≠ 0 d) se n é divisível por 5 e) se n é múltiplo de 8. 31) (PUC-SP) Se no desenvolvimento do
binômio (a + x)n, o coeficiente binominal do 4º termo é igual ao do 9º termo, então n é igual a:
a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10 32) (UFV-MG) O termo médio do
desenvolvimento de 10
xx
1
− é:
a) 5x
252 d) 5x
252−
b) x
210 e) x
100−
c) x
210−
33) (Mack-SP) No desenvolvimento n
4
1xx
+ , a diferença entre os coeficientes
binomiais do terceiro e do segundo termo é 44. Então:
a) n = 7 d) n = 10 b) n = 8 e) n = 11 c) n = 9 34) (FGV-SP) No desenvolvimento de
1022 yx5
3yx
3
5
− , o coeficiente do termo em
x15 é: a) 52 d) – 420 b) – 252 e) 420 c) 1 35) (FGV-SP) No desenvolvimento de
10
x
kx
+ , para que o coeficiente do termo em
x4 seja 15, k deve ser igual a:
a) 2
1 d) 3
b) 2 e) 4
c) 3
1
36) (UCG-GE) No desenvolvimento de
6
3 x
1x
+ , a ordem e o coeficiente do termo
em x2 são, respectivamente: a) 5º e 15 d) 7º e 14 b) 6º e 18 e) não existe c) 4º e 20 37) (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão
6
x
1x
x
1x
−
+ , obtém-se como termo
independente de x o valor: a) 10 d) – 20 b) – 10 e) 36 c) 20
11 38) (FGV-SP) A soma dos coeficientes
numéricos do desenvolvimento de 10
32
2
x3
2
x
+ é igual a:
a) 1024 d) 310 b) 1024-1 e) 512-1 c) 512 39) (Mack-SP) No desenvolvimento de
(2x – y)5 . (2x + y)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3 d) 81 b) 9 e) 243 c) 27 40)(Unb-DF) O coeficiente de x9 em
[2x + (x – 1)2]9 é:
a) 0 c) ∑=
9
0kk
9
b) 27 d) n.d.r. 41) (ITA-SP) Qual é o coeficiente de x17 no
desenvolvimento de (1 + x5 + x7)20 ? a) 0 d) 3420 b) 1210 e) 4000 c) 3000 42) (Mack-SP) O termo independente de x em
3
x
2x1
++ é:
a) 1 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11 43) A soma dos coeficientes numéricos do
desenvolvimento de (2x – 5y)n é 81. Ordenando-se os termos segundo potencias decrescentes de x, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:
a) o segundo d) o quinto b) o terceiro e) o sexto c) o quarto
1) Resp.: E = 116 2) Rsp.: 64 3) Resp.: 59
12 4) Resp.: x = 10 5) Resp.: x = 6 6) Resp.: 9 7) Resp.: 15 8) Resp.: K - 2 9) Resp.: 1024 10) Resp.: 256 11) Resp.: 4 12) Resp.: Zero 13) Resp.: 8 14) Resp.: a) 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1
b) 16x8 - 32x6y3 + 24x4y6 - 8x2y9 + y12
c) y12 = 6y9 + 15y6 - 20y3 + 15 - 63 y
1
y
6+
15) Resp.: a) 19683 c) 256 b) 4096 d) 14348907 16) Resp.: 8 17) Resp.: 4° Termo Coeficiente 20 18) Resp.: 84 19) Resp.: 4° Termo 20) Resp.: T6 = - 252
21) Resp.:
n2
n4
22) Resp.: 378x8
23) Resp.: a = 3
3 ou a = 3
3−
24) Resp.: 15xy2 25) Resp.: 8064 26) Resp.: 9
27) Resp.: n = 11 28) Resp.: n = 8 29) Resp.: 210 30) Resp.: b - a
31) Resp.:
=
=
4p
14n
32) Resp.: n = 0 ou n = 1 33) Resp.: 4375 34) Resp.: - 21504 35) Resp.: a) x = 7 ou x = 2 b ) x = 2 36) Resp.: x = 8 37) Resp.: n = 7 1) Resp.: "A" 2) Resp.: "E" 3) Resp.: "C"
13 4) Resp.: "E" 5) Resp.: "C" 6) Resp´.: "E" 7) Resp.: "C" 8) Resp.: "D" 9) Resp.: "E" 10) Resp.: "B" 11) Resp.: 12) Resp.: "C" 13) Resp.: "C" 14) Resp.: "E" 15) Resp.: "A" 16) Resp.: "C" 17) Resp.: "D" 18) Resp.: "A" 19) Resp.: "C" 20) Resp.: "D" 21) Resp.: "B" 22) Resp.: "C" 23) Resp.: "E" 24) Resp.: "A" 25) Resp.: "A" 26) Resp.: "A" 27) Resp.: "C" 28) Resp.: "E"
29) Resp.: "A" 30) Resp.: "D" 31) Resp.: "D" 32) Resp.: "D" 33) Resp.: "E" 34) Resp.: "B" 35) Resp.: "A" 36) Resp.: "C" 37) Resp´.: "D" 38) Resp.: "A" 39) Resp.: "E" 40) Resp.: "A" 41) Resp.: "D" 42) Resp.: "E" 43) Resp.: "C"
