13
BINÔMIO DE NEWTON cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ Edelson Moreira - 2° Ano do E. Médio – Marista Lucas Gouveia - 2º Ano do E. Médio - Marista I - NÚMERO BINOMIAL O número total de combinações de n elementos, tomados p a p, conhecido como C n, p , também é representado pelo número binomial p n . Assim sendo temos: C n, p = p n = )! p n ( ! p ! n - onde: 0 p n N p e N n - Se n < p, então, por definição p n = 0 - Casos Notáveis Para qualquer n natural temos: 1 0 n = , pois, 1 ! n 1 ! n )! 0 n ( ! 0 ! n 0 n = - = - = n 1 n = , pois, n ) 1 n ( 1 ! ) 1 n ( n )! 1 n ( ! 1 ! n 1 n = - - = - = 1 n n = , pois, 1 1 . ! n ! n ! 0 . ! n ! n )! n n ( ! n ! n n n = = = - = II - BINÔMIAIS COMPLEMENTARES Dois números binomiais de mesmo numerador são complementares quando as soma dos denominadores é igual ao numerador. Os números binomiais - p n n e p n são complementares, pois p + n - p = n III - PROPRIEDADES 1ª Propriedade Dois números binomiais complementares são iguais - p n n e p n são complementares e - p n n e p n são iguais, pois )! p n ( ! p ! n p n - = ! p . )! p n ( ! n )! p n n ( )! p n ( ! n )] p n ( n [ )! p n ( ! n p n n - = + - - = - - - = - logo - = p n n p n

apost de binômio

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Page 1: apost de binômio

BINÔMIO DE NEWTON

cÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉcÜÉyA ]ÉûÉ Utà|áàt wx TÜtØ}É axàÉ Edelson Moreira - 2° Ano do E. Médio – Marista Lucas Gouveia - 2º Ano do E. Médio - Marista

I - NÚMERO BINOMIAL

O número total de combinações de n elementos, tomados p a p, conhecido como Cn, p , também é

representado pelo número binomial

p

n.

Assim sendo temos:

Cn, p =

p

n =

)!pn(!p

!n

onde:

≥≥

∈∈

0pn

NpeNn

- Se n < p, então, por definição

p

n = 0

- Casos Notáveis Para qualquer n natural temos:

10

n=

, pois, 1

!n1

!n

)!0n(!0

!n

0

n=

−=

−=

n1

n=

, pois, n

)1n(1

!)1n(n

)!1n(!1

!n

1

n=

−=

−=

1n

n=

, pois, 1

1.!n

!n

!0.!n

!n

)!nn(!n

!n

n

n===

−=

II - BINÔMIAIS COMPLEMENTARES

Dois números binomiais de mesmo numerador são complementares quando as soma dos denominadores é igual ao numerador.

Os números binomiais

pn

ne

p

n são complementares, pois p + n - p = n

III - PROPRIEDADES

1ª Propriedade

Dois números binomiais complementares são iguais

pn

ne

p

n são complementares e

pn

ne

p

n são iguais, pois

)!pn(!p

!n

p

n

−=

!p.)!pn(

!n

)!pnn()!pn(

!n

)]pn(n[)!pn(

!n

pn

n

−=

+−−=

−−−=

logo

−=

pn

n

p

n

Page 2: apost de binômio

2 2ª Propriedade - Relação de Stifel A soma de dois números da linha n, aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p + 1) é

igual ao binomial da linha (n + 1), que está na coluna (p + 1), ou seja:

+

+=

++

1p

1n

1p

n

p

n � Relação de Stifel

Ex.:

=

+

3

4

3

3

2

3

IV - TRIÂNGULO DE PASCAL É uma tabela em forma de triângulo formado por números binomiais de tal forma que: - binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha. - binomiais de mesmo denominador estão colocados na mesma coluna.

0

0 1

1

1

0

1 1 1

2

2

1

2

0

2 1 2 1

3

3

2

3

1

3

0

3 1 3 3 1

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 1 4 6 4 1

n

n......

4

n

3

n

2

n

1

n

0

n

Propriedades do Triângulo de Pascal 1ª Propriedade:

Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois 10

n=

.

2ª Propriedade:

O último elemento de cada linha é igual a 1, pois 1n

n=

.

3ª Propriedade: Numa linha qualquer, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais ou seja, são complementares,

pois a soma dos denominados é igual ao numerador.

Page 3: apost de binômio

3 4ª Propriedade:

Cada binomial

p

n da linha n é igual a soma de dois binomiais da linha (n - 1); aquele que está na coluna p

com aquele que está na coluna (p - 1).

=

−+

p

n

p

1n

1p

1n

5ª Propriedade A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potencia de base 2, cujo expoente é a ordem da

linha (dada pelo numerador).

n2n

n.....

2

n

1

n

0

n=

++

+

+

ou

nn

0i

2i

n=

=

Lê-se: somatório do número binomial de n sobre i, i variando de zero a n.

Exemplos:

1) Calcule A, sendo A =

+

+

2

2

1

2

0

2.

A = 1 + 2 + 1 A = 4

2) Calcule E, sendo E =

+

3

8

2

8

E =

3

9

E = !6.2.3

!6.7.8.9

!6.!3

!9

)!39(.!3

!9==

E = 84 3) Calcule A, sendo

A =

+

+

+

+

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

A = 24 = 16

3 4

Page 4: apost de binômio

4 6ª PROPRIEDADE: Teorema das Colunas A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na

coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

7ª PROPRIEDADE: Teorema das Diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é

igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

V - TEOREMA DE NEWTON PARA O DESENVOLVIMENTO DA POTENCIA (x + a)n. Para resolver certos problemas de matemática, usamos uma aplicação do cálculo combinatório para o

desenvolvimento da potência n-ésima do binômio (x + a). O matemático, físico e astrônomo inglês Isaac Newton demonstrou que:

( ) 0n2n21n1n0nxa

n

n...xa

2

nxa

1

nxa

0

nax

++

+

+

=+

−−

Observe que:

� x e a são números quaisquer e n ∈N. � O desenvolvimento de (x + a)n possui (n + 1) termos. � Os expoentes de x decrescem de n até zero. � Os expoentes de a crescem de zero até n. � expoente de a é igual ao denominador � O expoente de a é igual ao denominador do coeficiente binomial e o expoente de x é igual a diferença

entre o numerador e o denominador de tal coeficiente. � A soma dos expoentes das variáveis, em cada termo é sempre n.

Page 5: apost de binômio

5 - O desenvolvimento de (x + a)n pode ser representado pelo símbolo de somatório.

(x + a)n = pnpn

0p

x.ap

n −

=

Para (x – a)n, temos:

(x – a)n = nn2n21nn an

n)1(...xa

2

nax

1

nx

0

n

−+−

−−

Obs.: Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os temos de ordem par (2º, 4º, 6º,

...) são negativos e os de ordem ímpar (1º, 3º, 5º, ...) são positivos. - O desenvolvimento de (x – a)n pode ser representado pelo símbolo de somatório

(x – a)n = ( ) pnpn

0p

pxa

p

n1 −

=

−∑

VI – FÓRMULA DO TERMO GERAL

De maneira geral, um termo qualquer t de ordem (p + 1), segundo os expoentes decrescentes de x, do desenvolvimento (x + a)n é dado por:

Tp + 1 = pnp x.ap

n −

Para o desenvolvimento de (x – a)n, onde: (x – a)n = [x + (-a)]n. O termo geral é dado pela expressão:

Tp + 1 = (-1)p . pnp xap

n −

1) Calcule E, sendo

E =

+

+

+

1

10

6

9

2

7

0

5

Page 6: apost de binômio

6

2) Calcule ∑=

6

0pp

6

3) Calcule o valor de A, sendo ∑=

−=

8

4i2

1iA

4) Calcule x na equação 212

3x=

5) Ache o conjunto solução da equação

64x

2x=

6) (FUEM-PR) Se

2m

1m = 4 e m > 3,

determine o valor de

+

−!0

)3m(

1m

7) Sejam n e K números naturais tais que:

( )( )

210)!1n

!1n=

+ e (K + 3)! + (K + 2)! =

15(K + 1)! Calcule ( )!n

!Kn+

8) (FAFI-PA) O número de termos do desenvolvimento de um Binômio é K – 1. Calcule o expoente do binômio.

9) Obtenha a soma dos coeficientes do

desenvolvimento de (3x – y)10. 10) Calcule a soma dos coeficientes do

desenvolvimento de (x + y)8. 11) (UFPR) Calcule o valor de n que verifica a

igualdade ( )( )

=

+∑

=

20

0K

K20Clog

!1n

!1n , onde C K20

indica o número de combinações simples de 20 elementos tomados K a K.

12) (UNI-RIO) Calcule o valor de

−++

+

n

n

1n

n...

3

n

2

n

1

n

0

n, onde n

é ímpar, justifique a sua resposta.

13) (PUC-RJ) Ache a soma dos coeficientes do

polinômio (1 – 2x + 3x2)3. 14) Desenvolva: a) (2x + 1)5 = b) (2x2 – y3)4 =

c) 6

2

6

1y

− =

15. Calcule a soma dos coeficientes do

desenvolvimento de: a) (x2 + 2y)9 = b) (3x – y2)12 =

c) ( )83 yx + =

d) (4x2y + 2xy – 3z)15 = 16. (PUC-RJ) Ache a soma dos coeficientes do

polinômio (1 – 2x + 3x2)3. 17.(UFOR-MG) No desenvolvimento de

6

3 x

1x

+ . Calcule a ordem e o coeficiente

do termo em x2. 18. (UFBA) No desenvolvimento de (2x2 + y)9,

C é o coeficiente do termo no qual os

expoentes x e y são iguais. Calcule 8

C .

19. (UFPE) Qual o termo independente de x na

expressão 8

3

5

x

1x

+ ?

20. (IME-SP) Determine o termo independente

de x de 10

x

1x

21. Ache o termo médio no desenvolvimento de

n4

x

1x

+

22. Determine o termo em x8 no

desenvolvimento de (1 + x2 + x3)9.

Page 7: apost de binômio

7 23. Calcule o valor de a de modo que o

coeficiente de x5 seja igual ao de x15 no

desenvolvimento de 10

3

2

x

ax2

+ .

24. Calcule o 5º termo no desenvolvimento de

( )8yx + .

25. (UFAL) Desenvolvendo-se o binômio

10

y42

x

+ em ordem crescente das potências

de x, qual é o coeficiente do termo médio?

26. (UF-CE) No desenvolvimento de

x2

1ax ,

x ≠ 0, o termo independente de x é 2

27 .

Calcule o valor de a2. 27. (Unifor-CE) Sejam A e B, respectivamente,

o quarto e o quinto termo do

desenvolvimento de binômio n

x

1x2

+

segundo as potências decrescentes de x. Se 2x

B

A= , então determine o valor de n.

28. (Unificado-RJ) Qual é o valor de n na

igualdade 254p

n1n

1p

=

=

?

29. (Mackenzie-SP) Calcule ∑−

20

1n1n

n.

30. Sabendo que aq

1peb

q

p=

−=

, qual o

valor de

1q

1p?

31. (Fuvest-SP) Lembrando que )!pn(!p

!n

p

n

−=

determine os números n e p de modo que

3

2p

n

2

1p

n

1

p

n

+=

+=

32. Os números binomiais

+

1

1n,

0

n e

+

2

2n, n ∈∈∈∈ N, nesta ordem, estão em

progressão aritmética. Calcule n. 33. Determine o coeficiente de x7 no

desenvolvimento de 7

3

x

1x5

+ .

34. Determine o coeficiente do termo em x4 no

desenvolvimento de (x + 2)7 . (x – 2)7. 35. Dois números binomiais de mesmo

numerador são iguais se, e somente se, têm o mesmo denominador ou são complementares, isto é:

npK

n

p

n=⇔

=

ou p + K = n

De acordo com essa propriedade, determine x em cada uma das equações.

a)

=

7

9

x

9

b) C8, (x + 3) = C8, (x + 1) 36. Determine o valor de x tal que o 2º, 3º e 5º

termos do desenvolvimento de (2 + x)5 estejam em progressão geométrica, nesta ordem.

37. Sabendo que:

∑=

n

0pp

n = 128, calcule n.

1) (Unifor-CE) A soma

++

+

+

+

25

30...

3

8

2

7

1

6

0

5 é igual a:

a)

25

31 c)

26

31 e)

27

31

b)

26

30 d)

25

30

Page 8: apost de binômio

8

2) (UFS) A soma

+

+

+

5

7

4

6

3

5

2

5 é igual a:

a)

5

6 c)

7

8 e)

5

8

b)

6

7 d)

4

8

3) (Unifor-CE) A soma

++

+

3

20...

3

6

3

5 é

igual a: a) 6640 c) 5980 e) 4840 b) 5985 d) 4845

4) (FGV-SP) Se 2

nn

6

1n

5

1n 2−

=

−+

−, então

n é igual a: a) 4 c) 9 e) 8 b) 6 d) 5 5) (UFPR) O valor de n de modo que:

1024n

n...

2

n

1

n

0

n=

++

+

+

é:

a) 5 c) 10 e) 12 b) 8 d) 11 6) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal

que:

−=

+

+

2n

12

7

11

6

10

5

102

, então n é:

a) igual a 6 ou -6. b) um número par. c) um número quadrado perfeito. d) um número maior que 10. e) divisor de 15. 7) (F.M.ABC-SP) O número de raízes da

equação

=

2x

12

x2

12 é:

a) 0 c) 2 e) maior que 3 b) 1 d) 3

8) (PUC-RS) Sendo

+=

4K

18

K

18, então K!

vale: a) 120 c) 840 e) 40320 b) 720 d) 5040

9) (UF-PA) Sejam n e p números inteiros

positivos, tais que n – 1 ≥≥≥≥ p. Então:

++

−+

1p

n

p

1n

1p

1n é igual a:

a)

1p

1n c)

+

p

1n e)

+

+

1p

1n

b)

p

n d)

+

1p

1n

10) (FCC-SP) A sentença

+

n

2n = 10 é

verdadeira se, e somente se, n! for igual a: a) 1 c) 18 e) 6 ou 720 b) 6 d) 720 11) (Unesp-SP) Seja n um número natural tal

que

=

++

4

11

1n

10

4

10, então

a) n = 5 c) n = 3 e) n.r.a. b) n = 4 d) n = 2 12) (Santa Casa-SP) A equação

+

++

+

5

2K

3

1K

2

1K

= 1

a) não admite soluções. b) admite uma solução entre 1 e 5. c) admite uma solução entre 5 e 12. d) admite uma solução entre 12 e 20. e) admite uma solução maior que 20. 13) (FGV-SP) A soma dos coeficientes do

desenvolvimento de (2x + y)5 é igual a: a) 81 c) 243 e) 729 b) 128 d) 512 14) (Unicentro-PR) O termo independente de x,

no desenvolvimento de

4x3x

1 , é igual a:

a) 2 c) 120 e) 405 b) 30 d) 240 15) (UFV-MG) O coeficiente do termo

independente de x, no desenvolvimento de

+

X

1x3 para x ≠ 0, é:

Page 9: apost de binômio

9 a) 28 c) 3 e) 36 b) 56 d) 0 16) (Unifor-CE) O termo médio do

desenvolvimento do binômio 6

2

b

yax

+ ,

segundo as potências crescentes de x, é de 36 yx

25

4 . A razão entre a e b, nessa ordem, é:

a) 10

1 c) 5

1 e) 5

3

b) 6

1 d) 5

2

17) (UCDB-MS) Sabe-se que no

desenvolvimento de n

3xx

x

1

+ a soma dos

coeficientes binomiais é 128. Então o termo em x5 é:

a) 21x5 c) 45x5 e) 7x5 b) x5 d) 35x5 18) (Unifor-CE) Por uma das propriedades do

triângulo de Pascal a soma

+

+

+

23

51

22

51

21

50

20

50 é igual a:

a)

23

53 c)

22

52 e)

22

51

b)

21

52 d)

21

51

19) (Unicentro) O termo independente de x no

desenvolvimento do binômio

x9

1x3 é:

a) 2x3

1 c) 15 e) x6

b) 9 d) 81 20) (PUC-RJ) O coeficiente de x no

desenvolvimento de 7

x

1x

+ é:

a) 0 c) 28 e) 49

b) 7 d) 35 21) A soma dos números binomiais

+

++

+

+

100

100

99

100...

2

100

1

100

0

100 é

igual a: a) 211 c) 1000 e) 100100 b) 2100 d) 1002 22) (PUC-RS) Se o terceiro termo do

desenvolvimento de (a + b)n é 21 . a5 . b2, então o sexto termo é:

a) 35 . a4 . b3 d) 7 . a . b6 b) 21 . a3 . b4 e) 7 . a2 . b5 c) 21 . a2 . b5 23) (UCDB-MT) O coeficiente do 4º termo do

desenvolvimento de (2x – 3y)6, segundo as potências decrescentes de x, é:

a) – 4230 d) – 4300 b) 4230 e) – 4320 c) 4320 24) (UEL-PA) Se o 6º termo do

desenvolvimento do binômio 10

2

2

xax

+ é

– 252 x15, o valor de a é: a) – 2 d) 2 b) – 1 e) 4 c) 1 25) (UFES) Qual o termo central de (x – 3)6? a) – 540 x3 d) 540 x3 b) – 3240 x3 e) 540 x4 c) 3240 x3 26) (UFCE) O coeficiente de x15 no

desenvolvimento de (x2 + x-3)15 é: a) 455 d) 643 b) 500 e) n.d.r. c) 555 27) (Mack-SP) No desenvolvimento de

5

22

a

+ , feito segundo expoentes de

crescentes para a, o 4º termo é:

Page 10: apost de binômio

10

a) 27

a25 4

d) 26

252

b) 3

a25 2

e) 25

2a4

c) 5 2a2 28) (UFB) O coeficiente de x7 no

desenvolvimento de 7

3

x

1x5

+ é:

a) 35 d) 875 b) 125 e) 4375 c) 280 29) (AMAN-RJ) O termo independente de x no

desenvolvimento de 12

2

4

x

1x

+ é:

a) par d) imaginário b) ímpar e) inexistente c) um quadrado perfeito 30) (UFGO) No desenvolvimento de

n24

x

1x

+ , sendo n um número natural

positivo, temos um termo independente de x. a) se n é par b) se n é impar c) para qualquer n ≠≠≠≠ 0 d) se n é divisível por 5 e) se n é múltiplo de 8. 31) (PUC-SP) Se no desenvolvimento do

binômio (a + x)n, o coeficiente binominal do 4º termo é igual ao do 9º termo, então n é igual a:

a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10 32) (UFV-MG) O termo médio do

desenvolvimento de 10

xx

1

− é:

a) 5x

252 d) 5x

252−

b) x

210 e) x

100−

c) x

210−

33) (Mack-SP) No desenvolvimento n

4

1xx

+ , a diferença entre os coeficientes

binomiais do terceiro e do segundo termo é 44. Então:

a) n = 7 d) n = 10 b) n = 8 e) n = 11 c) n = 9 34) (FGV-SP) No desenvolvimento de

1022 yx5

3yx

3

5

− , o coeficiente do termo em

x15 é: a) 52 d) – 420 b) – 252 e) 420 c) 1 35) (FGV-SP) No desenvolvimento de

10

x

kx

+ , para que o coeficiente do termo em

x4 seja 15, k deve ser igual a:

a) 2

1 d) 3

b) 2 e) 4

c) 3

1

36) (UCG-GE) No desenvolvimento de

6

3 x

1x

+ , a ordem e o coeficiente do termo

em x2 são, respectivamente: a) 5º e 15 d) 7º e 14 b) 6º e 18 e) não existe c) 4º e 20 37) (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão

6

x

1x

x

1x

+ , obtém-se como termo

independente de x o valor: a) 10 d) – 20 b) – 10 e) 36 c) 20

Page 11: apost de binômio

11 38) (FGV-SP) A soma dos coeficientes

numéricos do desenvolvimento de 10

32

2

x3

2

x

+ é igual a:

a) 1024 d) 310 b) 1024-1 e) 512-1 c) 512 39) (Mack-SP) No desenvolvimento de

(2x – y)5 . (2x + y)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:

a) 3 d) 81 b) 9 e) 243 c) 27 40)(Unb-DF) O coeficiente de x9 em

[2x + (x – 1)2]9 é:

a) 0 c) ∑=

9

0kk

9

b) 27 d) n.d.r. 41) (ITA-SP) Qual é o coeficiente de x17 no

desenvolvimento de (1 + x5 + x7)20 ? a) 0 d) 3420 b) 1210 e) 4000 c) 3000 42) (Mack-SP) O termo independente de x em

3

x

2x1

++ é:

a) 1 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11 43) A soma dos coeficientes numéricos do

desenvolvimento de (2x – 5y)n é 81. Ordenando-se os termos segundo potencias decrescentes de x, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:

a) o segundo d) o quinto b) o terceiro e) o sexto c) o quarto

1) Resp.: E = 116 2) Rsp.: 64 3) Resp.: 59

Page 12: apost de binômio

12 4) Resp.: x = 10 5) Resp.: x = 6 6) Resp.: 9 7) Resp.: 15 8) Resp.: K - 2 9) Resp.: 1024 10) Resp.: 256 11) Resp.: 4 12) Resp.: Zero 13) Resp.: 8 14) Resp.: a) 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1

b) 16x8 - 32x6y3 + 24x4y6 - 8x2y9 + y12

c) y12 = 6y9 + 15y6 - 20y3 + 15 - 63 y

1

y

6+

15) Resp.: a) 19683 c) 256 b) 4096 d) 14348907 16) Resp.: 8 17) Resp.: 4° Termo Coeficiente 20 18) Resp.: 84 19) Resp.: 4° Termo 20) Resp.: T6 = - 252

21) Resp.:

n2

n4

22) Resp.: 378x8

23) Resp.: a = 3

3 ou a = 3

3−

24) Resp.: 15xy2 25) Resp.: 8064 26) Resp.: 9

27) Resp.: n = 11 28) Resp.: n = 8 29) Resp.: 210 30) Resp.: b - a

31) Resp.:

=

=

4p

14n

32) Resp.: n = 0 ou n = 1 33) Resp.: 4375 34) Resp.: - 21504 35) Resp.: a) x = 7 ou x = 2 b ) x = 2 36) Resp.: x = 8 37) Resp.: n = 7 1) Resp.: "A" 2) Resp.: "E" 3) Resp.: "C"

Page 13: apost de binômio

13 4) Resp.: "E" 5) Resp.: "C" 6) Resp´.: "E" 7) Resp.: "C" 8) Resp.: "D" 9) Resp.: "E" 10) Resp.: "B" 11) Resp.: 12) Resp.: "C" 13) Resp.: "C" 14) Resp.: "E" 15) Resp.: "A" 16) Resp.: "C" 17) Resp.: "D" 18) Resp.: "A" 19) Resp.: "C" 20) Resp.: "D" 21) Resp.: "B" 22) Resp.: "C" 23) Resp.: "E" 24) Resp.: "A" 25) Resp.: "A" 26) Resp.: "A" 27) Resp.: "C" 28) Resp.: "E"

29) Resp.: "A" 30) Resp.: "D" 31) Resp.: "D" 32) Resp.: "D" 33) Resp.: "E" 34) Resp.: "B" 35) Resp.: "A" 36) Resp.: "C" 37) Resp´.: "D" 38) Resp.: "A" 39) Resp.: "E" 40) Resp.: "A" 41) Resp.: "D" 42) Resp.: "E" 43) Resp.: "C"