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Disciplina – Automação em Sistemas Industriais
Sistema de Primeira Ordem
Prof.° MSc. Fernando Fortunato
Email – [email protected]
2013
Notas de Aula
Objetivos da Aula
• Demonstrar a importância do tema.
• Apresentar os sistemas de primeira ordem.
• Compreender como funciona a análise das Funções de Transferência.
Introdução Aos Sistemas de Primeira Ordem
• As industrias estão cada vez mais exigentes com relação ao controle de
seus processos (DORF; BISHOP, 2001).
• Neste contexto, a atividade de controle precisa ser realizada no menor
tempo possível. Por exemplo (OGATA, 1997):
controle de posição de robôs;
controle de nível;
controle de tempo e temperatura;
piloto automático e muitos outros.
Exemplo – Controle de Posição de Robôs
• Robôs são utilizados em industrias automobilísticas, para executar
operações de soldagem precisas no menor tempo possível (ROMANO,
2002).
Figura 1 – Robôs utilizados em industrias automobilísticas (UOL, 2012).
Exemplo – Controle de Nível
• O controle do nível de um determinador reservatório precisa ser
executado no menor tempo possível, para que não falte fluído no
processo (OGATA, 1997).
Sensor
Figura 2 – Controle do nível de um determinado reservatório (BANNER, 2012).
Exemplo – Controle de Tempo e Temperatura
• Um pasteurizador é um
equipamento que trata
produtos alimentícios (ex:
leite), para matar organismos
causadores de doenças
(BRANCO, 2012).
• O produto é aquecido a uma
determinada Temperatura,
por um período de tempo
(BRANCO, 2012).
Figura 3 – Pasteurizador (BRANCO, 2012).
Exemplo – Piloto Automático
• Piloto automático são dispositivos
que controlam aeronaves,
embarcações e outros sem a
constante intervenção humana
(OGATA, 1997).
• A utilização do piloto automático
permite uma navegação mais
precisa e econômica (DORF;
BISHOP, 2001).
Figura 4 – Aeronave (BBC
BRASIL.COM, 2012).
Figura 5 – Embarcação
(VIABRTURISMO, 2012).
Análise do Sistema de Controle
• Depois de:
analisar um sistema físico;
realizar a modelagem matemática; e
aplicar as transformadas de Laplace no modelo matemático, para
obter a Função de Transferência do sistema.
• O sistema deve ser analisado, para verificar se desempenha de forma
satisfatória, a atividade para qual foi projetado (DORF; BISHOP, 2001).
Análise do Sistema de Controle
• O primeiro passo da análise, consiste em identificar o valor da “ordem do
sistema”, isto é, o maior expoente (potência) da Função de
Transferência (DORF; BISHOP, 2001).
• Se o maior expoente da F.T for:
“1” – Primeira ordem
“2” – Segunda ordem
“3”...“n” – Ordem superior
2
6)(
s
ssG
53
4)(
2
ss
ssG
123
1)(
234
ssssG
Análise do Sistema de Controle
• Quando uma F.T é constituída por polinômios dotados de coeficientes
reais, temos (DORF; BISHOP, 2001).
)(
)()(
sp
sqsG
• Zeros - são os valores para “s” no numerador, que anulam a F.T de
G(s).
• Pólos – são os valores para “s” no denominador, que fazem a F.T G(s)
tender ao infinito.
• A análise de pólos permite verificar se o sistema é estável ou instável
(DORF; BISHOP, 2001).
Onde:
q (s) – zeros
p (s) – pólos
Análise do Sistema de Controle
jω
σ
Plano “s”
Exemplo 1: encontre os pólos e zeros da F.T G(s).
Pólos
)7.(
3)(
ss
ssG
Pólos de G(s)
s = 0 ; S = -7
-7
Zeros de G(s)
)7.(
0
)7.(
3)3()(
sssssG
A F.T é anulada!
Pólos de G(s)
0
3
)77.(0
3)(
sssG
A F.T tende ao infinito!
0 3
Zeros
Zero de G(s)
s = 3
(imaginário)
(Eixo real)
Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem
jω
σ
Instável Estável
Plano “s” • Um sistema é estável se,
após uma entrada, a sua
saída varia e retorna para o
valor inicial (OGATA, 1997).
• Para um sistema ser estável,
todos os pólos da F.T devem
estar localizados no lado
esquerdo do plano complexo
“s” (DORF; BISHOP, 2001).
Pólos
• A análise de pólos permite verificar se o sistema é estável ou instável (DORF;
BISHOP, 2001).
Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem
jω
σ
Plano “s”
Exemplo 2: verifique se o
sistema é estável ou
instável.
Pólos
4
1)(
ssG
Pólo de G(s)
s = - 4
- 4
O sistema é estável, pois o pólo
está localizado no lado esquerdo
do plano complexo “s”.
Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem
jω
σ
Plano “s”
Exemplo 3: verifique se o
sistema é estável ou
instável.
Pólos
ssG
5
7)(
Pólo de G(s)
s = 5
5
O sistema é instável, pois o pólo
está localizado no lado direito do
plano complexo “s”.
Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem
jω
σ
Plano “s”
Exemplo 4: verifique se o
sistema é estável ou
instável.
Pólos
)9.(
5)(
sssG
Pólos de G(s)
s = 0 ; S = 9
9
O sistema é instável, pois
existe um pólo no lado direito
do plano complexo “s”.
Análise do Sistema de Controle
• Grande parte das F.T que representam os sistemas de controle na
industria, são classificadas como sistemas de (DORF; BISHOP, 2001;
OGATA,1997):
primeira ordem (no curso veremos apenas este);
segunda ordem.
• A análise dos sistemas de controle de ordem superior, é realizada
utilizando o método criado pelos pesquisadores Routh e Hurwitz. Para
obter mais detalhes sobre os sistemas de ordem superior; consulte
(OGATA,1997, p. 286).
Sistemas de Primeira Ordem
• Os sistemas de primeira ordem são representados de forma genérica
por (OGATA, 1997):
1
1
)(
)(
TssR
sC
1
1
Ts
C(s) R(s)
• Onde:
T – É a Constante de tempo do sistema (tempo necessário para que o
sistema alcance 63% do seu valor final).
(Utilizado para obter a velocidade da resposta)
Sistemas de Primeira Ordem
• Para testar o desempenho do sistema é introduzido na entrada um sinal
de teste, para avaliar a saída (DORF; BISHOP, 2011).
• É aplicado um degrau unitário.
1
1
)(
)(
TssR
sC)(.
1
1)( sR
TssC
Degrau unitário
)(.1
1)( sR
TssC
)()( T
t
AeAtc
s
AsR )(
Ts
AT
s
AsC
s
A
TssC
1)(
.1
1)(
• É aplicado o método
das Frações Parciais
para decompor as
funções racionais em
formas mais simples,
visando a obtenção de
transformadas inversas
de Laplace (OGATA.
1997).
• Onde:
t = Tempo de saída
A = Amplitude
Aplicando as transformadas inversas de
Laplace.
Degrau unitário
)(.1
1)( sR
TssC
)()( T
t
AeAtc
s
AsR )(
Saída do sistema para um
degrau unitário
Valor Final da Resposta
• É a resposta temporal no domínio da frequência complexa F(s), que
assume um valor limite no domínio do tempo (FRANÇA, 2007).
• Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor
final, representado por (FRANÇA, 2007):
)(.)(lim)(lim0
sFstftfst
Exemplo 1 (FRANÇA, 2007):
Um termopar (dispositivo utilizado para medir a temperatura) de um
forno tem como entrada a temperatura; a saída é um sinal de tensão [V]. A F.T
deste termopar é:
A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?
B) Qual o valor final da tensão quando aplicada uma entrada degrau
equivalente a 73°C ?
26
1020)(
6
ssG
Resolução do Exemplo:
A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?
26
1020)(
6
ssG
A constante T= 6 seg.
Para a resposta atingir 95% do
valor final para T= 6 seg.
(observar o gráfico para a
entrada degrau).
3.T= 3.(6 seg.)= 18 seg.
Para atingir 95% do valor final
da resposta, serão necessários
18 seg.
Resolução do Exemplo:
B) Qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau equivalente a 73°C ?
Aplicando a entrada degrau, temos:
26
1020
)(
)()(
6
ssR
sCsG )(.
26
1020)(
6
sRs
sC
s
AsR )( A = 73 ºC
ssR
73)(
sssC
73.
26
1020)(
6
)26.(
00146,0)(
sssC
Resolução do Exemplo:
B) Continuação...
Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor
final.
)(.)(lim)(lim0
sFstftfst
)26.(
00146,0)(
sssC
Vss
stftfst
00073,02)0.(6
00146,0
)2.6.(
00146,0.)(lim)(lim
0
Exemplo 2 (FRANÇA, 2007):
Um termopar (dispositivo utilizado para medir a temperatura) de um
forno tem como entrada a temperatura; a saída é um sinal de tensão [V]. A F.T
deste termopar é:
A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 86,5% do seu valor final
?
B) Qual o valor final da tensão quando aplicada uma entrada degrau
equivalente a 57°C ?
s
AsR )(
)(.)(lim)(lim0
sFstftfst
48
1025)(
6
ssG
Resolução do Exemplo 2:
A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?
A constante T= 8 seg.
Para a resposta atingir 86,5%
do valor final para T= 8 seg.
(observar o gráfico para a
entrada degrau).
2.T= 2.(8 seg.)= 16 seg.
Para atingir 86,5% do valor final
da resposta, serão necessários
16 seg.
48
1025)(
6
ssG
Resolução do Exemplo:
B) Qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau equivalente a 57 °C?
Aplicando a entrada degrau, temos:
)(.48
1025)(
6
sRs
sC
s
AsR )( A = 57 ºC
ssR
57)(
sssC
57.
48
1025)(
6
)48.(
001425,0)(
sssC
48
1025
)(
)()(
6
ssR
sCsG
Resolução do Exemplo:
B) Continuação...
Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor
final.
)(.)(lim)(lim0
sFstftfst
)48.(
001425,0)(
sssC
Vss
stftfst
00035,04)0.(8
001425,0
)4.8.(
001425,0.)(lim)(lim
0
Referências Bibliográficas
BANNER. Monitoramento de Nível de Líquido com Sensor de Saída Analógica QT50U.
In: site da empresa BANNER. 2012. Disponível em:
<http://www.bannerengineering.com/pt-BR/products/application/87/443/1416>. Acesso
em: 22 set. 2012.
BBC BRASIL.COM. O 1º vôo do maior avião comercial do mundo. In: site – BBC
BRASIL.com. 2012. Disponível em:
<http://www.bbc.co.uk/portuguese/especial/1028_aviaodecolou/page3.shtml>. Acesso
em: 22 set. 2012.
BRANCO, R. Como funciona um pasteurizador. In: site – Manutenção & Suprimentos.
2011. Disponível em: <http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/conteudo/4912-
como-funciona-um-pasteurizador/>. Acesso em: 22 set.2012.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. 8. ed. RJ: LTC, 2001.
FRANÇA, C. Controle e Servomecanismo – Modulo 5 – Sistemas de 1ª e 2ª ordem.
8., 2007.
Referências Bibliográficas
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3 ed. SP: Pearson Education, 1997.
ROMANO, V. F. Robótica industrial – Aplicação na industria de manufatura e de
processos. SP: Editora Edgard Blücher LTDA, 2002.
ROSARIO, J. M. Princípios de mecatrônica. SP: Pearson Education, 2005.
VIABRTURISMO. costabrasileira_fortuna.jpg. Altura: 800 pixels. Largura:469 pixels.
UTF-8. 91,51 kb. Formato jpeg. Compactado. Disponível em:
<http://www.viabrturismo.com.br/cruzeiro/costabrasileira/costabrasileira_fortuna.jpg>.
2009. Acesso em: 22 set. 2012.
UOL. Conheça as principais etapas da fabricação de um carro. In: site – UOL – Notícias
– Economia. 2012. Disponível em:
<http://economia.uol.com.br/album/110825_conheca_fabrica_carro_album.jhtm#fotoNav
=15>. Acesso em: 22 set. 2012.
Fim