Diapositivo 1

EQUAES DIFERENCIAISWilson Jos da Silva, Ph.DEQUAES DIFERENCIAISJustificativaA maioria dos problemas reais so descritos por uma equao diferencial.Muitos princpios ou leis do comportamento do mundo fsico, so descritos por equaes diferenciais.Todas as importantes teorias fsicas so governadas por equaes diferenciais.

EQUAES DIFERENCIAISUma equao diferencial uma equao em que pelo menos uma de suas parcelas contm derivadas.So exempl0s de equaes diferenciais.

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo diretoEXEMPLOVamos resolver a seguinte equao diferencial

se trata de uma equao simples, portanto no havendo qualquer necessidade de um mtodo elaborado para sua soluo.

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo diretoPrimeiramente escrevemos a equao anterior na seguinte forma

integrando essa equao obtemos

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo direto

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo diretoExerccios: Resolva as seguintes equaes diferenciais, bem como determine suas curvas integrais 1)

2)

3)

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo diretoExerccios: Para Casa 4)

5)

6)

EQUAES DIFERENCIAISEquaes diferenciais Mtodo diretoExerccios: Resolva as seguintes equaes diferenciais, bem como determine suas curvas integrais 7)

8)

9)

EQUAES DIFERENCIAISModelo de um corpo em queda livre

Vamos agora escrever de maneira bem sucinta um modelo (lei), que governa a queda de um corpo em, nas proximidades da superfcie da terra.

EQUAES DIFERENCIAISSuponha que um objeto est caindo na atmosfera, perto do nvel do mar. Vamos formular uma equao diferencial que descreva esse movimento.A lei da fsica que governa o movimento de objetos a segunda lei de Newton, que nos diz que a massa do objeto multiplicada pela sua acelerao da gravidade igual fora total atuando sobre esse objeto. (1)

EQUAES DIFERENCIAISonde m a massa do objeto, a sua acelerao e F a fora total agindo sobre o objeto. Para manter nossas unidades consistentes, mediremos m em quilogramas (kg), a em metros por segundo ao quadrado (m/s^2) e F em newtons (N). Podemos ainda escrever a acelerao como sendo a=dv/dt, ento podemos dizer que a fora total ser F = m(dv/dt)(2)Agora, vamos considerar em nosso modelo as foras que agem no objeto em queda. A gravidade exerce uma fora igual ao peso de objeto, ou mg, que prximo da superfcie terrestre seu g mede 9,8 m/s^2.EQUAES DIFERENCIAISExiste tambm uma fora devida resistncia do ar e de uma forma mais geral, podemos dizer que ela proporcional velocidade. Dessa forma podemos dizer que a fora de resistncia do ar, tem magnitude (ou mdulo) , onde uma constante chamada de coeficiente da resistncia do ar. O valor desse coeficiente varia muito de um objeto para outro; objetos com superfcie rugosa e formato no aerodinmico possuem coeficientes maiores daqueles com superfcie lisa e formato aerodinmico.

EQUAES DIFERENCIAISO coeficiente corresponde massa por unidade de tempo, ou seja kg/s. Ao escrevermos uma expresso para a fora total F, precisamos lembrar que a gravidade sempre age para baixo (sentido positivo), enquanto que a resistncia do ar agem para cima (sentido negativo),

EQUAES DIFERENCIAISEnto podemos escrever a fora total agindo no objeto como sendo (3)o que torna (4)

A equao 4 um modelo matemtico de um objeto caindo na atmosfera, prximo do nvel do mar. Note que o modelo contm trs incgnita, m, g e .

EQUAES DIFERENCIAISAs constantes m e dependem muito do objeto que est caindo. comum referir-se a essas constantes como parmetros, j que podem tomar um conjunto de valores durante um experimento. Por outro lado, o valor de g o mesmo para todos.EQUAES DIFERENCIAISPara resolver a equao 4 precisamos encontrar uma funo , que satisfaa a equao e isso no difcil dependendo do caso, mas nesse momento estaremos interessados em investigar o que podemos descobrir na equao sem ter que resolve-la, isso fundamental em muitas situaes. Vamos admitir que nossa tarefa fosse testar essa equao em um laboratrio do que precisaramos? Poderamos por exemplo atribuir um valor para a massa, por exemplo 2 kg e atravs de uma tabela poderamos descobrir as propriedades aerodinmicas desse objeto, p.e = 2 kg/s

EQUAES DIFERENCIAISEnto nossa equao 4 ficaria

(5) Agora vamos supor que a velocidade v tem um determinado valor, p.e 40 m/s, ento dv/dt = 1,8.Isso significa que a inclinao (coeficiente angular da reta tangente ao grfico) de uma soluo da funo tem valor 1,8 em qualquer ponto onde v = 40.

EQUAES DIFERENCIAISPodemos representar essa informao graficamente em um plano chamado tv, desenhando pequenos segmentos de uma reta com coeficientes angular 1,8 em diversos pontos ao longo da reta v = 40. Analogamente se tomarmos v = 50, ento dv/dt = -0,2, logo desenhamos pequenos segmentos de reta com valores coeficiente angular 0,2 em diversos pontos ao longo da reta v = 50. Se procedermos analogamente para outros valores de v, podemos criar o grfico que chamamos de campo de direes. EQUAES DIFERENCIAIS

EQUAES DIFERENCIAISLembre-se que uma soluo da equao (5) uma funo v=v(t) cujo grfico uma curva no plano tv. A importncia desse grfico que cada segmento de reta tangente ao grfico de uma dessas curvas soluo. Assim mesmo no tendo encontrado qualquer soluo, podemos fazer dedues qualitativas sobre o comportamento das solues. Por exemplo, se v for menor do que certo valor crtico, ento todos os segmentos de reta tm coeficientes angulares positivos e a velocidade do objeto em queda aumenta enquanto cai.EQUAES DIFERENCIAISPor outro lado, se v for maior que o valor crtico, ento os segmentos de reta tm coeficientes angulares negativos e o objeto em queda vai diminuindo a velocidade medida que cai. E para esse caso qual seria a velocidade crtica? Basta fazer a equao 5 igual a zero e obteremos v=49 m/s, que uma soluo da equao 5 e essa equao chamada de soluo de equilbrio. Essa a soluo que corresponde a um equilbrio perfeito entre a gravidade e a resistncia do ar e podemos verificar isso na figura seguinte.EQUAES DIFERENCIAIS

EQUAES DIFERENCIAISCampos de direes so ferramentas valiosas no estudo de solues analticas de equaes diferenciais. Embora no saibamos a soluo da equao diferencial, obtemos vrios pontos importantes do comportamento dessa equao, inclusive suas tendncias e de posse dessas informaes podemos saber se ela satisfaz nossas expectativa mesmo sem saber sobre sua soluo.EQUAES DIFERENCIAISOutros tipos de campo de direes

EQUAES DIFERENCIAISOutros tipos de campo de direes

EQUAES DIFERENCIAISOutros tipos de campo de direes

Soluo timaEQUAES DIFERENCIAISOutros tipos de campo de direesSoluo tima

EQUAES DIFERENCIAISExerccios do livro BOYCE, W. E; DI PRIMA, R. C.Em cada um dos problemas desenhe o campo de direes para a equao diferencial dada1)3)5)

EQUAES DIFERENCIAISExerccios - PnduloFaa um modelo matemtico que descreva o movimento de um pndulo simples

EQUAES DIFERENCIAISExerccios - PnduloFaa um modelo matemtico que descreva o movimento de um pndulo simplesDica 1: Use a simbologia

EQUAES DIFERENCIAISExerccios - PnduloDica 2:Decomponha a fora mg, conforme mostrado na figura seguinte e escreva as equaes envolvidas.EQUAES DIFERENCIAISExerccios - PnduloFaa um modelo matemtico que descreva o movimento de um pndulo simples

EQUAES DIFERENCIAISExerccios Pndulo

respostaEQUAES DIFERENCIAISFIM