Estatística BásicaAula 2

Medidas de Dispersão

PROFESSORES:EDU /VICENTE

Complementos de Estatística

• Medidas de Dispersão:

• Considere a seguinte situação:• Dois candidatos disputam uma única vaga

em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos nesses testes:

Tabela de DesempenhoEduardo Vicente

Português 8,5 9,5

Matemática 9,5 9,0

Física 8,0 8,5

Inglês 7,0 8,0

Espanhol 7,0 5,0

Note que as médias de Eduardo e Vicente são iguais:

• Eduardo:

• Vicente:

0,85

7785,95,8

Ex

0,85

585,895,9

Vx

Os dois candidatos obtiveram a mesma média!

• Como proceder matematicamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação?

• A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:

I) Desvio absoluto médio(D.AM.) :

• Determina o quanto cada nota está afastada da média. Essas diferenças são chamadas de desvio:

• Exemplo: D.A.M(Eduardo)

8,05

87878885,985,8..

MAD

Vicente:

2,15

858885,88985,9..

MAD

Conclusão:

• As notas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0).

• Isso mostra que as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.

VARIÂNCIA

• É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética.

• Define-se Variância como a média aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

)( 2

Exemplo:

• Eduardo

• Vicente:

5

)87(2)88()85,9()85,8( 22222 9,02

5

)85()88()85,8()89()85,9( 222222 5,22

Conclusão

• Por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.

• Quanto menor a variância, menos dispersas são as notas.

• Logo, Eduardo teve um desempenho mais regular.

Desvio Padrão

• Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância.

• Eduardo:

• Vicente:

9,0 94868,0

5,2 58114,1

Conclusões

• Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.

• Quanto menor for o desvio padrão, menos dispersas são as notas.

• Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.

Exercício

• Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:

Turma Número de Alunos

Média Desvio Padrão

A 15 6,0 1,31

B 15 6,0 3,51

C 14 6,0 2,61

• Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:

• 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas.

• 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente.

• 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.

• Assinale a alternativa correta.• a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.• b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.• c) Somente as afirmativas 2 e 3 são

verdadeiras.• d) Somente as afirmativas 1 e 2 são

verdadeiras.• e) Somente as afirmativas 1 e 3 são

verdadeiras.•

• (1) Verdadeira. Como o desvio padrão dessa turma é o mais alto, as notas são as mais dispersas, portanto mais heterogêneas.

• (2) Verdadeira. Cada turma tem um desvio padrão diferente, logo as variações são diferentes.

• (3) Falsa. Como o desvio padrão dessa turma é o menor, suas notas são menos dispersas.

• OPÇÃO D

ENEM 2010

A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

B) Marco, pois obteve o menor desvio padrão.

C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português.

D) Paulo, pois obteve a maior mediana.

E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Resposta certa letra....

B

FUVEST-SP

• A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:

Salário(em Reais) Número de Funcionários

500,00 10

1.000,00 5

1.500,00 1

2.000,00 10

5.000,00 4

10.500,00 1

Total 31

• a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários dessa empresa?

 

• b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$2.000,00 cada, A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? Justifique.

• Solução:a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela frequência em que ocorreram e o total de dados:

00,200031

11050045000102000115005100010500

Ex

A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 16ª posição ou seja, R$1.500,00.

Moda= R$500,00 e Moda =R$2.000,00(BIMODAL)

• Como os dois novos funcionários tem salário igual a média, no cálculo da nova variância, o valor do numerador não se altera, uma vez que os dois novos valores,(x-média), são iguais a zero e o denominador aumenta, de 31 para 33. Logo a variância diminui.