CABRAL JR., P. M. Software "WINPLOT 2D": ferramenta de vsualização e apoio. UNESA. RJ: RIO DE JANEIRO, 2008 45P

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ

PAULO MARCOS CABRAL JUNIOR

Software WINPLOT 2D: Ferramenta de Visualização e Apoio

Rio de Janeiro

2008


PAULO MARCOS CABRAL JUNIOR

Trabalho apresentado à Universidade

Estácio de Sá como requisito parcial para

obtenção do grau de Licenciado em

Matemática

Orientadora: Professora MSc Rosa Maria Mazo Reis

Rio de Janeiro

2008


Trabalho apresentado à Universidade

Estácio de Sá como requisito parcial para

obtenção do grau de Licenciado em

Matemática

Aprovada em ___ /___ / 2008 Nota: ____

________________________________________ Orientadora

Profa. MSc. Rosa Maria Mazo Reis Universidade Estácio de Sá

________________________________________ Prof

Universidade Estácio de Sá

________________________________________ Prof.

Universidade Estácio de Sá

Aos meus filhos Daniel, Vinicius,

Mª Gabriela, Mª Fernanda e Pedro Igor, com

todo o meu amor e carinho que sinto por eles.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos que participaram de forma construtiva nesta etapa da minha vida,

principalmente com respeito à parte de construção do conhecimento e ao calor humano

recebido.

A todos os professores e profissionais de apoio de outras áreas da Universidade Estácio.

A minha orientadora Rosa Mazo pelo enorme

profissionalismo e atenção prestada.

E em especial a meu amigo o Professor MSc Roberto Luis Oliveira,

Uma homenagem póstuma, meu eterno agradecimento e reconhecimento.

RESUMO

Este trabalho tem o propósito de mostrar que o interesse dos alunos pode ser despertado pelo uso do programa matemático WINPLOT, através do uso de sintaxe específica para e execução e geração de gráficos em duas dimensões (2D). Foram utilizados na abordagem proposta para a construção dos gráficos, casos que possam conter uma visão instigadora ou valores que possam apresentar dificuldades, como o cálculo aproximado das raízes, os pontos de intersecção no eixo y, e seus extremos. Durante o estudo foram criados pontos específicos que servem para referenciar aspectos importantes em um gráfico, sendo inclusive, mostrado junto com o programa a criação de caixinhas com essa finalidade, sendo especificados o seu preenchimento ou e sua edição da notação linear. A experiência usada aqui como referência, ocorreu durante um curso realizado em janeiro de 2003, com uma turma de vinte alunos da Universidade Estácio de Sá, tendo alcançado plenamente os seus objetivos, e tendo sido uma experiência relevante tanto para os alunos como para o professor tutor.

Palavras chave: WINPLOT 2D. Gerador de Gráficos. Plotador Gráficos. Programa

Matemático.

LISTAS DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Função Linear 18

Figura 2 - Função Constante 19

Figura 3 - Função do Primeiro Grau 20

Figura 4 - Função do Primeiro Grau 21

Figura 5 - Função Quadrática 22



Figura 8 - Função Fracionária 25



Figura 11 - Função Modular 29

Figura 12 - Tabela Função Modular 29

Figura 13 - Função Modular 30

Figura 14 - Tabela Função Modular 30

Figura 15 - Função Polinomial onde p > 2 - Função do quinto grau 31

Figura 16 - Função Polinomial onde p >2 - Função do sexto grau 32

Figura 17 - Funções Trigonométricas - Função seno 34

Figura 18 - Funções Trigonométricas - Função cosseno 34

Figura 19 - Funções Trigonométricas - Função tangente 35

Figura 20 - Funções Trigonométricas - Função cossecante 36

Figura 21 - Funções Trigonométricas - Função secante 37

Figura 22 - Funções Trigonométricas - Função cotangente 38

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 09

2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA WINPLOT EM 2 D 13

2.1 MENUS DOS PRINCIPAIS COMANDOS UTILIZADOS 14

2.2 NOTAÇÃO LINEAR WINPLOT 16

3 PRINCIPAIS FUNÇÕES ESTUDADAS 17

3.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU 18

3.2 FUNÇÃO TRINOMIAL DE GRAU IGUAL A DOIS 22

3.3 FUNÇÃO FRACIONÁRIA 25

3.4 FUNÇÃO MODULAR 28

3.5 FUNÇÃO POLINOMIAL ONDE P>2 31

3.6 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 33

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 39

REFERÊNCIAS 44

APÊNDICE 45

9

1. INTRODUÇÃO

As possibilidades de relacionamento da Informática coma Educação é consenso, é uma

importante ferramenta possibilitando um aprendizado mais eficiente e eficaz, em menor

tempo e possibilita uma melhoria da performance e da rapidez.

Educadores - que estão diretamente implicados no processo de formação cultural e

profissional dos indivíduos de uma sociedade e, por isso, precisam estar atentos às

transformações velozes de nosso tempo - vêm buscando soluções para a integração do seu

trabalho com a nova realidade criada pelos recursos da informática, assim a velha aula no

estilo "cuspe e giz" é cada vez mais coisa do passado.

Uma hora para se conseguir representar no quadro o gráfico de uma função e o sinal

terminar por limitar nossa tarefa a isso, é um passado a ser desvencilhado.

O contato com o computador possibilita o desenvolvimento de vários aspectos que

colaboram para que ocorra um real aprendizado. Por exemplo, ao utilizar um programa

matemático, o aluno ao criar um novo tipo de objeto, seja ele concreto (na tela do computador

e pode ser manipulado) ou abstrato (realizações feitas a partir de construções mentais) está

desenvolvendo seu raciocínio abstrato, lógico, aritmético ou, sua percepção espacial. Porém,

para construções mais sofisticadas, o aluno em primeiro lugar tem que produzir significado

para certos conceitos, que podem já ter sido trabalhado dentro de uma sala de aula regular.

As tecnologias, em suas diferentes formas de uso, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas. (PCN, 1998, p. 43)

Os PCNs destacam que o uso de recursos tecnológicos, traz significativas

contribuições para se repensar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática na medida

que sugere alguns procedimentos tais como:

Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem para variados problemas; possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; e permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. (PCN, 1998, p.43)

10

Tikhomirov (1981), em uma de suas teorias, aponta uma relação onde o computador

molda o ser humano e que ao mesmo tempo é moldado por ele, na Educação Matemática, esse

processo ocorre. O desenvolvimento de algoritmos molda a máquina e plotadores gráficos,

como o WINPLOT (programa plotador do Windows) moldam o usuário. Assim, espera-se

que os professores estejam preparados para ensinar aos seus alunos em sala de aula com as

diferentes tecnologias que se encontram disponibilizadas no ambiente escolar.

Há vários programas que possibilitam a construção de gráficos, num anglicismo,

plotar (to plot) gráficos, a partir deles um estudo de tais curvas pode ser desenvolvido. O

cenário pede material para professores interessados em ministrar suas aulas sob essa

dimensão.

A formação continuada de professores é uma das questões discutidas quando se fala de

informática na educação, pois não se trata apenas da inserção da informática no ensino,

engloba muitos fatores.

“O acesso à informática deve ser visto como um direito, e, portanto nas escolas

publicas e particulares o estudante deve poder usufruir uma educação que no momento atual

inclua no mínimo uma “alfabetização tecnológica” (BORBA, 2001, pág. 17).

Um dos objetivos deste trabalho foi mostrar a importância e as possibilidades do uso

da informática para se desenvolver um tema, onde as curvas e suas características são

exploradas de uma forma diferente daquela abordada pela maioria dos professores e pelos

livros didáticos.

A forma usual, aquela que muitas gerações de professores de matemática se formaram

aprendendo a dar aulas segundo um único método, baseado um trinômio: uma definição breve

e técnica; alguns exemplos que o próprio professor revolve para mostrar ao aluno como se

faz; e exercícios separados por tipos para o aluno resolver.

Gráficos de funções trigonométricas são apresentados aqui , mas o que se vê no

Ensino Médio? Os alunos aprendem todo tipo de equações e inequações trigonométricas com

o único objetivo de “aprender a resolver equações e inequações trigonométricas”, sem a

preocupação de ligá-las a situações mais amplas, complexas e acima de tudo práticas e

concretas.

Um dos aspectos mais importantes no trabalho com funções é a sua representação

gráfica e interpretação no plano cartesiano. O aluno pode “ver” a equação. Mas como

compreender uma proposta de trabalho que privilegia a resolução de inequações produto e

quociente, sistemas de inequações, usando tabelas, retas com códigos “ma” ( mesmo sinal de

11

a ), “ca” ( sinal contrário de a ), em detrimento da representação das funções no plano de

coordenadas? Um programa gerador de gráficos é uma solução para corrigir esse foco

equivocado.

O programa Winplot foi escolhido como o programa gerador de gráficos, por ser de

fácil assimilação para o aluno, e possuir ótimos recursos. No programa Winplot pode-se

escolher entre as opções 2D e 3D, e sendo aqui escolhida a opção 2D, sendo que, a partir

desse momento Winplot, significa Winplot 2D. Este Programa foi desenvolvido por Richard

Parris, a versão utilizada aqui neste trabalho foi a de 25 de março de 2006, e está disponível

no endereço http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.

São mostrados os principais comandos que foram utilizados para a geração da função

2D, utilizou-se uma notação linear tendo o programa, uma rápida interpretação dos

comandos.

Nos gráficos das funções polinomial de primeiro grau, é mostrada a estrutura de uma

função linear, de uma função constante, e de uma função do primeiro grau. Sendo visto vistos

valores para a < 0, a = 0 e a > 0 e para b < 0,b = 0 e b > 0. Sendo feito um exemplo utilizando

valores irracionais que acabam se tornando uma dificuldade para alunos nesta fase acadêmica

(ensino básico). A seguir, é mostrado o gráfico de uma função trinomial de grau igual a dois e

estudados casos de variações de ‘a’ para. Também foi abordada a função fracionária,

geralmente abandonada por autores e professores, mostrando possibilidades no estudo de sua

curva, imagem e a geração de assíntotas. Segue-se as funções modulares numa abordagem

gráfica e algébrica. A função polinomial foi estudada em dois grupos, exemplificados através

de uma função do quinto grau com a cinco raízes reais, e por uma outra, do sexto grau.

Outro tipo de função estudado foi a das funções trigonométricas, com uma visão mais

ampla do assunto quanto a domínio, imagem, período, paridade, dentre outros.

Esse trabalho considera a experiência desenvolvida e sugere que outros projetos desse

tipo venham ser desenvolvidos.

Acredita que o papel do professor é muito mais o de um mediador, que procura deixar

os alunos trabalhar por conta própria, desenhando cada um o seu percurso. Cada ato ou atitude

do professorem demonstra respeito e confiança nas habilidades individuais de seus alunos.

Para tal desenvolveu o hábito de escuta, ele ouve atentamente seus alunos. Usando as

informações assim obtidas como subsídio fornece dicas e sugestões. A preocupação é que o

ambiente seja propício para o desenvolvimento de idéias matemáticas, para tal o professor

estimula a prova das conjecturas, que o aluno teste suas idéias. Durante o tempo todo ele deve

12

observar e avaliar os trabalhos que estão em andamento, para poder mediar o processo de

forma adequada..

13

2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA WINPLOT 2 D

Uma vez que a plataforma escolhida para o curso foi aquela do programa Winplot 2

D, para que o leitor possa melhor compreender e de alguma forma se habilitar para o uso do

mesmo, alguns comandos considerados como principais são apresentados aqui. Esses

programa é um dos programa do projeto Peanut Software, que possui uma homepage. Além

do Winplot que é um freeware lá també podem ser encontardos outros título

A página oficial do Winplot, bem como de toda a família de programas do projeto Peanut Software são:

Peanut Software Homepage: http://math.exeter.edu/rparris/

Wingeon: é para construções geométricas em duas e três dimensões. Os desenhos podem ser destacados e animados em uma variedade das maneiras.

Winstats: tratamento gráfico para dados estatísticos.

Winarc: programa com alguns jogos matemáticos.

Winfeed: programa para gerar fractais.

Windisc: programa para trabalhar com matemática discreta, aproximações.

Winlab: inclui atualmente oito sub-programas: seções cônicas, polígonos da estrela, uma de utilitário para encontrar raízes de funções elementares, visualização 2D, gráficos funcionais aleatórios para que os estudantes à identifiquem.

Winmat: permite que o usuário calcule e edite matrizes, e resolvem problemas lineares padrão da álgebra.

Wincalc: calculadora de alta precisão do inteiro, para números com milhares de dígitos.

Existe também uma excelente página, mantida pelo Professor Carlos César de Araújo

([email protected]), onde se encontram vários arquivos e textos relacionados

com assuntos matemáticos: http://www.gregosetroianos.mat.br/

14

2.1 MENUS DOS PRINCIPAIS COMANDOS UTILIZADOS

Inicialmente será chamado o atalho do WINPLOT e foi feito a opção ‘janela’ e em

seguida, foi escolhido a opção ‘2 dim’, ou teclamos F2 para iniciarmos o trabalho. A seguir

descrevemos as principais características desses menus:

- Arquivo + Abrir: Abrir um arquivo existente com a terminação wp2. (Ctrl + A)

- Arquivo + Novo: Abrir um arquivo novo com a terminação wp2. (Ctrl + N)

- Arquivo + Salvar: Salvar um arquivo sem trocar o nome e continuará o trabalho em seguida

(Ctrl + N)

- Arquivo + Salvar como: Permitir salvar e trocar o nome do arquivo ou salvar pela primeira

vêz (Ctrl + Shift + S)

- Arquivo + Imprimir: Permitir que seja impresso o gráfico desejado. (Ctrl + P)

- Arquivo + Copiar: Permite que se copie o arquivo para outro programa. Por exemplo, copiar

o gráfico no Word em um trabalho de matemática. (Ctrl + C)

- Equação + Explícita: Permite introduzir a equação desejada e sendo fixo o valor de y, ou

seja, numa função afim, por exemplo: ‘y = 2x + 11’. (F1)

- Equação + Implícita: Permite alterar os valores de ‘x’ e ‘y’ na função, e este será gerado o

gráfico de uma elipse onde encontramos: xx + 3yy = 13 (F3)

- Equação + Ponto: Permite a marcação do par ordenado (x, y) permitindo ainda colocar

atributos nesta marcação, por exemplo: tamanho, sólido, circulo, cor, etc.

- Equação + Segmento: Possibilita a marcação início e fim do segmento (x1, y1) à (x2, y2),

possibilitando ainda, colocar atributos nesta marcação, como por exemplo: tamanho, sólido,

pontilhado, setas, cor, espessura da linha, tamanho da seta, etc.

- Equação + Reta: Permite a marcação da reta ax + by = c, possibilitando ainda colocar

atributos nesta marcação, como por exemplo: Entrada de valores para a, b e c, tamanho,

sólido, pontilhado, tracejado, cor, espessura da linha, etc.

- Equação + Desigualdade implícita: Possibilita marcar para a função implícita para valores

maior ou menor que o valor calculado. Por exemplo: xx + yy = 1 ‘alterar = a <’ e o resultado

do gráfico será xx + yy < 1, sendo marcadas no gráfico as regiões internas ao circulo.

Teremos ainda: lançar ‘n’ pontos, mostrar região e mostrar pontos.

- Equações + Inventário: Possibilita principalmente ‘Editar’ a função que se encontra

registrada, e permitindo alterar o gráfico da função, ou a cor do gráfico, ou a espessura da

linha. (Ctrl + I)

15

- Ver + Ver: Permite que se alterem os dados ou região que se deseja ver, normalmente esta

em: ‘centro’ , ‘horizontal = 0.00000’, ‘vertical = 0.00000’ e ‘espessura = 10.00000’ sendo a

área útil apresentada no gráfico. (Ctrl + V)

- Ver + Zoom: Permite aproximar, ou afastar e o fator que isso ocorre, onde poderemos

modificar incidências em afastar ou aproximar o gráfico.

- Ver + Mover: Permite movimentar todo o gráfico para direita/esquerda/cima/baixo. Esses

comandos poderão se utilizado com as setas do teclado.

- Ver + Restaurar: Permite à restauração do gráfico. Esse recurso é muito útil quando

errarmos algo no gráfico e queremos voltar a posição original.

- Ver + Grades: Possibilita a habilitação no uso da graduação nos eixos x e y, permitindo a

mudança de eixos, marcas, setas, pontos, intervalo, escala, decimais, freqüência, quadrantes e

setores polares. (Ctrl + G)

- Ver + Arrastar Box BE: Após selecionado, este comando funciona da seguinte forma,

arrastando o mouse sobre o trecho sobre a área desejada.

- Ver + Textos: Possibilita que após seja marcado com o botão esquerdo do mouse, abra-se

uma janela e possamos fazer a edição do que quisermos, como por exemplo: escrevermos a

função linear ‘ y = ((7 sin(x) ) / x)’.

- Um + Zeros: Identifica os zeros da função (x, 0) e podendo ver os outros valores da raízes

encontrado na figura.

- Um + Extremos: Identifica os valores máximos e mínimos de uma função.

- Misc + Fontes: Permite escolhamos o tipo de fonte usadas nas tabelas, coordenadas,

inventário, escala nos eixos, sinal de menos e símbolo de PI.

- Misc + Cores: Permite escolhamos o tipo de cores do fundo, cursor, linha pontilhadas, cor e

gráfico preto, entre as diversas opções aqui utilizadas.

Os comandos acima foram muito utilizados na construção desse trabalho,

despertando nessas pessoas envolvidas, um interesse em descobrir coisas novas construindo

com auxilio do computador um fácil domínio desta ferramenta, em pouco tempo as pessoas

envolvidas passam a fazer suas próprias construções.

16

2.2 – NOTAÇÃO LINEAR UTILIZADA

A notação linear utilizada é uma referência importante nesse trabalho mostrando

inclusive duas formas pelo menos para se referir a uma mesma função.

O domínio dessa notação é imprescindível para uma utilização adequada desse

programa. Segue os símbolos e sua correspondência em linguagem natural:

+ = Operação Soma

- = Operação Subtração

* = Operação de Multiplicação

/ = Operação de divisão

abs (2-x) = 2 x− (função módulo)

Expoente = x2 = x^2 .... ... x

4 = x^4 ... 6x xxxxxx=

f(x)sqr (xxx)= 3( )f x x= .... 2( )3xf x

x−

= ⇒+

f(x)= sqr ((x-2)/(3+x))

π = (pi)

e = e (número de Euler, base do logaritmo neperiano)

Seno (x) = sin (x)

Cosseno (x) = cos (x)

Tangente (x) = tan (x)

Cossecante(x) = 1/( ( ))sin x

Secante(x) = 1/(cos( ))x

Cotangente(x) = 1/(tan( ))x

17

3 PRINCIPAIS FUNÇÕES ESTUDADAS

Algumas funções foram selecionadas por seu uso no ensino básico, uma vez que a população alvo era constituída por futuros professores de Matemática, na ocasião, em formação.

Mas o interesse e o ritmo de cada um foi respeitado durante todo o tempo, mostrando na prática aquilo que é recomendado que seja feito por professores em sala de aula. De um modo geral as dificuldades apresentadas foram semelhantes àquelas apresentadas por alunos do ensino básico. Nesse trabalho está parte do que foi discutido no grupo nas construções dos gráficos utilizando o Winplot na modalidade 2D, para as funções: linear, constante, afim, quadrática, fracionária, modular, polinomial, seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.

Para cada função foi escolhido o que se julgou relevante para se trabalhar de forma que o aluno possa compreender, conjeturar e testar suas conjecturas.

Na função polinomial de primeiro grau foi feita uma análise da função linear para ‘b’ igual a zero, da função constante para ‘a’ igual a zero, e da função do primeiro grau.

Na função trinomial de grau igual a dois foi feita a identificação 2 4b ac− igual a zero, menor que zero e maior que zero. Foi selecionado um estudo 0 < a < 1, a = 1 e 1 < a quanto à curva ser mais ou menos fechada. E ainda, como a função se comporta em relação à concavidade ser voltada para baixo ou para cima..

Na função fracionária considerou-se relevante a identificação das assíntotas e a seqüência de comandos necessária para que o gráfico apresente as assíntotas.

Na função modular foi identificado o domínio da função, o conjunto imagem, características do gráfico e apresentado um passo a passo para se fazer os gráficos.

Na função polinomial onde p > 2, foram feitos casos: um deles contemplando índices impares, outro com um índice qualquer, e mais um com raízes não reais.

No estudo da Trigonometria todas as funções apresentadas no ensino médio foram tratadas. Assim das funções seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente foram apresentados os seus domínios, imagens, períodos, restrições e discutidas sua paridade.

Acredita-se que a seleção feita possa dar uma idéia das possibilidades que o programa oferece e que o professor mediador pode explorar de acordo com seus objetivos

18

3.1 ‐ FUNÇÃO POLINÔMIAL DE PRIMEIRO GRAU

A função polinomial de primeiro grau f(x) = ax + b, quando b = 0 e a ≠ 0 ela é

também nomeada como função linear; e algebricamente corresponde à relação y ax= . As

retas representadas na figura 1 foram geradas ao se atribuir a a valores 0 < a ≤ 2, ao se usar o

Winplot para que o aluno perceba o reflexo gráfico da mudança algébrica. Inicialmente é feita

uma análise sobre o gráfico resultante.

Função Linear

Figura 1

Estas funções lineares foram construídas da seguinte forma: Com o Winplot aberto,

escolhe-se a opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se y ax= e depois, escolhemos na opção

‘Equação’ + ‘Inventário’ + ‘Família’ escolhemos a para parâmetros, 0 para mínimo, 2 para

máximo e 5 para passos. Nestes casos, estão cortando o primeiro e terceiro quadrantes. Sendo

repetido esse procedimento para a curva ( )f x ax= − .

19

Outro caso identificado é para a função polinomial de primeiro grau ( )f x ax b= + ,

quando a = 0 e b = um valor real qualquer, ela é também nomeada como função constante e

algebricamente corresponde à relação ( )f x b= . As retas representadas na figura 1 foram

geradas ao se atribuir a ‘a’ o valor zero, e a b um valor real. Ao se usar o Winplot para que o

aluno perceba o reflexo gráfico da mudança algébrica desse valor: -3, -1, 2 e 4. Inicialmente é

feita uma análise sobre o gráfico resultante.

Função Constante

Figura 2

Estas funções constantes foram construídas da seguinte forma: Com o Winplot aberto foi será escolhido à opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se a função: f(x) = 0x - 3, sendo criada a função constante y = - 3, e depois, escolhemos a opção ‘Equação’ + ‘Inventário’ + a opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se 0 1,y x= − sendo criado o a função constante y = - 1, e depois escolhemos a opção ‘Equação’ + ‘Inventário’ + a opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se 0 2,y x= + sendo criada a função constante y = + 2, e por ultimo escolhemos na opção ‘Equação’ + ‘Inventário’ + a opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se 0 4y x= + . Sendo criada a função constante f(x) = + 4. Foi mostrada a opção ‘Equação’ + inventário mostrando todas as funções geradas.

20

Finalmente, temos a função do primeiro grau ( )f x ax b= + para a ≠ 0 e b ≠ 0, caracterizando esta função afim, onde daremos um exemplo a ser divido em dois casos: b < 0 ou b > 0, e no exemplo foi utilizado a = 2.

Função do Primeiro Grau

Figura 3

Primeiramente, foi utilizado o Winplot na opção ‘Equação’ + ‘Explícita’ digita-se: f(x)

= 2x + b, e depois, escolhemos a opção ‘Equação’ + ‘Inventário’ e escolhe-se a opção

‘Família’, e nesta colocamos para o parâmetro igual ‘b’, para o valor mínimo o valor ‘1’ e o

valor máximo igual a ‘5’ e os números de passos iguais a ‘4’. Depois, cria-se outro grupo de

família com Equação’ + ‘Explícita’ digita-se: y = 2x - b, e depois, escolhemos a opção

‘Equação’ + ‘Inventário’ e escolhe-se a opção ‘Família’, e nesta colocamos para o parâmetro

igual ‘b’, para o valor mínimo o valor ‘1’ e o valor máximo igual a ‘5’ e de passos igual a ‘4’.

No caso acima, foi translado ‘- b’ unidades nos casos em que temos variações

positivas da função a y, e para ‘+ b’ unidades nos casos em que temos variações negativas da

função a f(x).

Há um exemplo de função do primeiro grau com uma certa complexidade algébrica

que no software WINPLOT é feito com razoável velocidade. Observe o gráfico de

10( )f x xππ

= + . Foi marcado o seu ponto que corta o eixo ‘x’, o valor que corta o eixo ‘y’,

achado o valor com cinco casas decimais em resultados que utilizam uma aproximação para

21

esse número. Foi encontrada a raiz da função, que será o ponto que corta o eixo x, que foi

aproximado para 1.01321, a seguir temos para ‘y’ igual à – 3.18310, e sendo gerada a função

do primeiro grau com esses valores marcados.

Função do Primeiro Grau

Figura 4

Para gerar o resultado dessa função do primeiro grau foi feito no Winplot ‘Equações’

+ ‘Explícita’ foi colocado para o valor de y igual a pi (x) - (10 / pi) na cor azul, em seguida

marcou-se o valor da raiz de x em ‘Um’ + “Zeros’ que fez uma aproximação, já que se trata

de um número real divido por um número irracional, e encontrado o valor 1.01321. Para se

encontrar o valor de f(x) para x = 0, foi feito ‘Um’ + ‘Traços” e marcado o ponto, verifica-se

o valor de – 3.18310 que foi indicado no gráfico e foi escolhido a cor vermelha em

‘Equações’ + ‘Inventário’ opção ‘traço pt’.

22

3.2 FUNÇÕES TRINOMIAIS DE GRAU IGUAL A DOIS

A função trinomial de grau igual a dois, também é conhecida como função quadrática

sendo definida como 2( )f x ax bx c= + + , e temos as possíveis soluções para os valores de 2 4b ac− , o qual é dado nome de ∆, e resultantes ∆ = 0, ou ∆ > 0, ou ∆ < 0. Onde ∆ = 0

existirá uma única raiz real, ou para ∆ > 0 teremos duas raízes reais, ou para ∆ < 0 teremos a

ausência de raízes reais, são raízes imaginárias, duas delas para confirmar o teorema

fundamental da Álgebra.

Função Quadrática

Figura 5

Para gerar o gráfico da função quadrática no Winplot faríamos ‘Equações’ +

‘Explicita’ foi colocado o valor de y igual a xx e escolhida a cor do gráfico azul, depois, foi

feito ‘Equações’ + ‘Explicita’ e colocado para y igual a xx – 3 e escolhido a cor vermelha, e

por último, ‘Equações’ + ‘Explicita’ foi colocado o valor de y igual a xx + 2 e escolhido a cor

preta. Depois digitado ‘Equações’ + ‘Inventário’ que mostrou todas as curvas plotadas, e para

finalizar foi feito ‘Ver’ + ‘Grade’

23

Há ainda os casos, nos quais, se o valor de ‘a’ for maior do que zero, isso ocasiona

uma concavidade voltada para cima. E no caso o valor de ‘a’ for menor que zero acarreta uma

concavidade voltada para baixo. No curso os alunos concluíram isso depois de gerarem uma

série de funções, e comparar o gráfico com os coeficientes. Foi feito, e discutido também, o

que acontece quando |a |< 1. Observou-se uma parábola mais aberta do que uma com |a| > 1.

Veja um trabalho feito:


Figura 6

Para gerar no exemplo anterior esse foi o caminho percorrido, que não é único:

‘Equações’ + ‘Explicita’ y = 5xx e pintado da cor vermelha, Equações’ + ‘Explicita’ y = xx e

na cor azul, Equações’ + ‘Explicita’ y = xx / 5 e na cor preta, Equações’ + ‘Explicita’ f(x)

= xx / 25 e na cor laranja, e uma vez habilitado ‘Equação’ + ‘inventário’, foi nomeado em

cada um dos gráficos em ‘Bnts’ + ‘Textos’ e editar textos em botão da direita do mouse e

editar o texto ao término foi arrastado e colado da forma julgada mais conveniente.

Foi dado um exemplo de um gráfico de uma função de grau igual a dois, ou função

quadrática, no software Winplot, destacou-se os pontos onde a parábola corta o eixo x, ou

seja, as raízes da função quadrática, o valor que corta o eixo y, os pontos de extremo da

parábola, nos casos de números irracionais foi utilizada uma aproximação de cinco casas

decimais.

24

Neste caso acima, ao gearmos a função quadrática 2( ) 3 3 6 6f x x x x= − − − − ,

foram identificados os ponto que cortam o eixo ‘x’ que são as raízes, o valor que corta o eixo

‘y’, o valor do extremo da função quadrática, e o valor aparece com cinco casas decimais

como uma aproximação para esse número. Para esses valores de raízes encontramos -0.81650

e -1, e para o valor máximo temos y = + 0.02526 para x = - 0.90825. E temos para o ponto

que corta o eixo y temos y = - 2.4495 onde temos x = 0.


Figura 7

25

3.3 FUNÇÕES FRACIONÁRIAS

Ao se iniciar o trabalho com funções fracionárias, o primeiro cuidado é se definir o

campo de existência desta função, ou seja, seu domínio. São identificados os valores que são

excluídos deste domínio. O primeiro exemplo de uma função fracionária foi 1( )3

f xx

=+

,

onde só existe a função para valores de 3 0x + ≠ , sendo assim, x tem que ser diferente de – 3.

Então temos o domínio para todos os reais diferentes de – 3. No gráfico abaixo, a paralela ao

eixo y para x = -3, indicada na figura, é uma assíntota, pois temos como campo da existência

da função os valores ( , 3) e ( 3, )−∞ − − +∞ .

Função Fracionária

Figura 8

Para gerar o exemplo anterior fizemos ‘Equações’ + ‘Explicita’ y = 1/(x+3) e

escolhida a cor azul, e habilitada ‘Equação’ + ‘implícita’, e feito x = - 3 e escolhido a cor

vermelha. Em seguida para se visualizar o que foi feito, ‘Equação’ + ‘Inventario’, e depois,

‘Ver’ + ‘Grade’, marcando as opções escalas x e y pontilhado e retangular.

26

Fazendo um segundo exemplo função fracionária para se desenhar as quatro funções

possíveis, 1( )1

xf xx

+=

−, 1( )

1xf xx

+= −

−, 1( )

1xf xx

−=

+, e 1( )

1xf xx

−= −

+.


Figura 9

Para gerar a curva o caminho percorrido foi: ‘Equações’ + ‘Explicita’ y = sqrt (1+x) /

sqrt (1-x) escolhida a espessura da linha 1, depois, ‘Equações’ + ‘Explicita’ y = - sqrt (1+x) /

sqrt (1-x) escolhida a espessura da linha 2, em seguida, ‘Equações’ + ‘Explicita’ y = sqrt (1-

x) / sqrt (1+x) escolhida a espessura da linha 3, e finalmente, ‘Equações’ + ‘Explicita’ y = -

sqrt (1-x) / sqrt (1+x) e escolhida a espessura da linha 5. Sendo assim, para se visualizar o

que foi feito ‘Equação’ + ‘Inventario’, e depois, ‘Ver’ + ‘Grade’, marcando as opções escalas

x e y e pontilhado e retangular, e foi criado através da opção ‘Equação’+’implícita’ x = - 1 e

foi escolhida e a ‘Equação’+’implícita’ x = + 1 e foi escolhida a espessura da linha 2 ambas

na cor preta.

27

Foi mostrado no domínio da primeira função 1( )1

xf xx

−=

+, onde não existem raízes

negativas nos , temos um sistema 1 01 0

xx

− ≥⎧⎨ + >⎩

onde temos como resultado para o domínio

{ }( ) | 1 1f x x x= ∈ − < ≤ + , ou seja, valores que x pode assumir, e temos para imagem

função [0, )+∞ . Agora mostramos a segunda função 1( )1

xf xx

+=

−, onde não existem raízes


xx

− >⎧⎨ + ≥⎩


{ }( ) | 1 1f x x x= ∈ − ≤ < + , ou seja, valores que x pode assumir, e temos para imagem

função [0, )+∞ . Mostrando a terceira função 1( )1

xf xx

−= −

+, onde não existem raízes


xx

− ≥⎧⎨ + >⎩


{ }( ) | 1 1f x x x= ∈ − < ≤ + , ou seja, valores que x pode assumir, e temos para imagem

função [0, )−∞ . E no quarto e último caso, mostramos a função 1( )1

xf xx

+= −

−, onde não

existem raízes negativas nos , temos um sistema 1 01 0

xx

− >⎧⎨ + ≥⎩

onde temos como resultado

para o domínio { }( ) | 1 1f x x x= ∈ − ≤ < + , ou seja, valores que x pode assumir, e temos

para imagem função [0, )−∞ .

A seguir há outro exemplo que mostra que devemos estar sempre atentos na

delimitação do domínio, para os pontos de restrição como no exemplo ( )( 1)( 2)

xf xx x

=+ −

,

no qual aparecerão duas restrições, x ≠ - 1 e x ≠ + 2, assim estes valores não pertencem ao

domínio da função.

28


Figura 10

Estas restrições aparecem como assíntotas no qual se aproximam desses valores sem

nunca tocá-los, no caso acima, x ≠ - 1 e x ≠ + 2. Gerando a curva da função

fracionária ( )( 1)( 2)

xf xx x

=+ −

temos ‘Equações’ + ‘Explicita’ f(x) = (x) / ((x+1) (x-2)) e

escolhemos a cor preta espessura da linha igual à 1, ‘Equações’ + ‘Implícita’ x = -1 na cor

preta, e depois, ‘Equações’ + ‘Implícita’ x = +2, n a cor preta, e colocamos as assíntotas na

cor preta e com espessura da linha igual à 2 .

3.4 FUNÇÃO MODULAR

Uma função modular é uma função definida por duas sentenças. Foram feitos alguns

exemplos domínio da função, conjunto imagem da função, gráfico da função e passo a passo

para a confecção dos gráficos.

29

Dada a função modular ( ) 1f x x x= + − foi construído o gráfico de f, seu domínio e o

conjunto imagem de f.

Função Modular

Figura 11

O domínio de f(x) é , e o conjunto imagem f(x) é [ )1,+ +∞ . Para se gerar o gráfico

foi feito: ‘Equações + Explicita’ f(x)= abs(x)+abs(x-1) colocada a cor azul, e a título de

criação colocado ‘Equações’ + ‘Explicita’ f(x)= - 2x + 1 e ‘Equações’ + ‘Explicita’ f(x)= + 2x

- 1 colocado na cor cinza. Foi colocado ainda ‘Equação’ + ‘Inventário” e ‘Ver’ + ‘Grade”

para explicar melhor o gráfico. Foi criado ainda ‘Btns’ + ‘Texto’ e clicando com o botão do

mouse da direita ‘f(x) = - 2X + 1’, novamente, clicando com o botão do mouse da direita ‘f(x)

= + 2X – 1’, e finalmente, clicando com o botão do mouse da direita ‘f(x) = + 1’. Surgindo

assim os valores:

Tabela da Função Modular

0 + 1

|x| - x + x + x

| x -1| - x + 1 - x + 1 + x - 1

f(x) = |x| + |x-1| - 2x + 1 + 1 + 2x + 1

Figura 12

30

Selecionamos outro exemplo de função modular ( ) ( 3)( 1)f x x x= − − − , e foi

construído seu gráfico, dado o domínio f(x) e o conjunto imagem. Este gráfico é o valor

negativo, do modulo de uma função quadrática. O domínio f(x) é igual a , e a imagem é

igual à ( ],0−∞ .

Função Modular

Figura 13

Como surgiu o gráfico:

Tabela da Função Modular

- 3 - 1

- (x – 1) (x-3) - + -

+ (x – 1) (x-3) + - +

f(x) = - |(x – 1) (x – 3) | - - -

Figura 14

31

3.5 FUNÇÃO POLINOMIAL ONDE P > 2

Estas funções polinomiais de grau P>2 podem ser bastante exploradas na sua

visualização gráfica e o estudo no ensino médio das suas raízes e seus pontos de máximos e

mínimos. Foram feitos dois exemplos, sendo o primeiro para a função do quinto grau f(x) = x5

- 5x3 + 4x + 1, calculando as raízes e traçando o gráfico desta função:

Função Polinomial onde p > 2

Figura 15

Esta função polinomial possui cinco raízes no domínio dos reais que são - 2.03850,

- 0.79073, - 0.27583, + 1.15098 e + 1.95408, e quatro extremos ou vértices ( - 1.64443, +

4.63143 ), ( - 0.54391, - 0.41870 ), ( + 0.54391, + 2.41870 ), ( + 1.64443, - 2.63143 ), ainda

temos o ponto que corta o eixo y para o valor ( 0, +1 ).

A plotagem do gráfico foi feita da seguinte forma: ‘Equações’ + ‘Explicita’ f(x) = x5 -

5x3 + 4x + 1 na cor preta o gráfico, e marcamos os pontos de interseção com o eixo x que

significam que existem as cinco raízes reais, identificadas (- 2.03850, 0), ( - 0.79073, 0 ), ( -

0.27583, 0 ), (+ 1.15098, 0) e ( + 1.95408, 0) com as fixações em ‘Equações + Pontos + (x,

y)’ todos dessas cinco raízes reais.

32

Agora segue o estudo da função 6 5 4 3 2( ) 4 2 1f x x x x ex xπ= + + − − + :

Funções Polinomiais onde p > 2

Figura 16

Nesta função só temos duas raízes reais que são (- 0.80297, 0) e (0.87089, 0) esta

função será construída usando ‘xxxxxx + xxxxx(PI) + 4xxxx – xxx(e) – 2xx +1’. A seguir

para que tenhamos o gráfico fazemos ‘Equações’ + ‘Explicita’ f(x) = xxxxxx + xxxxx(pi) +

4xxxx – xxx(e) – 2xx +1 e colocamos na cor preta para o gráfico gerado, e marcamos os

pontos de interseção com o eixo x que significam que existem duas raízes reais, identificadas

como sendo (- 0.80297, 0) e (0.87089, 0) com as fixações em ‘Equações + Pontos + (x, y)’

destas duas raízes reais.

Observe a identificação do valor da função em que esta corta o eixo y que encontrado

na função fazendo o valor de x igual a zero (0, +1). A identificação das raízes foi feita com

cinco casas decimais, e pode ser encontrada fazendo o uso do seguinte comando ‘Um +

Zeros’ e bastando que leiamos o primeiro valor - 0.80297, e escolhendo a função próximo que

se encontra na mesma tela, será mostrado + 0.87089.

Marcamos ambas as raízes da função utilizando o comando ‘Equação + Ponto’ (-

0.80297, 0) e (+ 0.87089, 0), escolhendo a cor preta para a sua marcação, tamanho do ponto

igual a 3, ponto sólido e pontilhado.

33

3.6 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA

As funções trigonométricas podem ser categorizadas utilizando-se diferentes critérios.

Assim se pode grupar as funções seno, cosseno, tangente, de um modo geral as primeiras a

serem estudadas e aquelas que possuem uma maior utilização . Sendo que a imagem das duas

primeiras tem máximo e mínimo porque | | 1 e | cos | 1senx x≤ ≤ para todo valor de x, já a

imagem da função tangente varia em ℜ .

As funções podem ser categorizadas pela paridade, assim são funções ímpares a

função seno, a função tangente, e a função cossecante, pois temos ( )sen x senx− = ,

( ) ( )tg( ) tg( )cos( ) cos( )sen x sen xx x

x x− −

− = = = −−

para todo ( )2

x kπ π≠ + , cossec(-x) = - cossecx e

funções pares que seriam as demais cosseno, secante e cotangente pois verifica-se as

igualdades cos( ) cos( )x x− = , cotg(-x) = tgx e sec(-x) = secx.

Para cada uma delas os períodos podem ser verificados como foi sugerido aos alunos

que o fizessem, nos gráficos destacam-se os intervalos ou ciclos onde as funções se repetem.

Na função ( ) (4 )f x sen x= temos o domínio da função, a sua imagem, o período da

função, se a função é ou não limitada, e se a função é par ou impar foram investigações

realizadas e os resultados estão destacados nos gráficos. O proposto foi que se procurasse

através do gráfico responder às seguintes questões: domínio, imagem, período, paridade e

outras características consideradas pelo aluno, relevantes com sua justificativa ou critério para

o destaque. Alguns deles apresentaram a tabela, que é uma constante os livros didáticos ela foi

montada a partir da observação dos pontos já conhecidos no gráfico.

Angulo em º 4x x cos (4x) Período 0 º 0 0 +1

02 2

p π π= − =

90º 2π

8π

0 0

2 2p π π= − =

180 º π 4π

- 1 0

2 2p π π= − =

270 º 32π 3

8π

0 0

2 2p π π= − =

360 º 2π 24 2π π=

+ 1 0

2 2p π π= − =

34

Função Trigonométrica - Função Seno

Figura 17

Na função cosseno temos ( ) 1 2cos( )2 3xf x π

= + + , e foi representado no gráfico em

destaque o domínio da função, a sua imagem, o período da função, se a função é ou não

limitada, e se a função é par ou impar. Cada aluno buscou utilizando-se do programa como

ferramenta resolver as questões propostas.

Observe no gráfico destacados o domínio, sua imagem que é o intervalo [ 0, +4], o seu

período 4p π= , e que a função ( ) 1 2cos( )2 3xf x π

= + + é limitada e é par.

Função Trigonométrica - Função Cosseno

Figura 18

35

Na função tangente temos ( ) (2 )f x tg x= , devendo ser gerado graficamente a

função, sendo calculado o domínio da função, a sua imagem, o período da função, se a função

é ou não limitada, e se a função é par ou impar. Resolvendo o gráfico mostra que: o

domínio dos { | 2 ( )} { | ( )}2 4 2

kx x k x xπ π ππ− ≠ + ⇒ − ≠ + ; a imagem é o intervalo é os

seu período é 2

p π= , sendo ímpar.

Função Trigonométrica - Função Tangente

Figura 19

36

Na função cossecante temos 1( )( )2 4

f x xsin π=+

, devendo ser gerado graficamente a

função, sendo calculado o domínio da função, a sua imagem, o período da função, se a função

é ou não limitada, e se a função é par ou impar. Assim o domínio dos { | ( 2 )}2

x x kπ π− ≠ + ,

a imagem é o intervalo é Im = ] , 1] [ 1, [−∞ − ∪ + +∞ , o período é 4 π , esta é uma função

ímpar.

Função Trigonométrica - Função Cossecante

Figura 20

37

Na função secante temos 1( )cos(4 )

f xx

= , devendo ser gerado graficamente a função,

e sendo calculado o domínio da função, a sua imagem, o período da função, se a função é ou

não limitada, e se a função é par ou impar. Resolvendo através de observação do gráfico da

mesma na tela do computador, o seu domínio dos { | ( )}8 4

kx x π π− ≠ + , a sua imagem que é

o intervalo é Im = ] , 1] [ 1, [−∞ − ∪ + +∞ , destacando-se o seu período 2

p π= e sua paridade

que diz que esta é uma função par.

Função Trigonométrica - Função Secante

Figura 21

Na função cotangente temos 1( )tan(2 )

f xx

= , devendo ser gerado graficamente a

função, e sendo observado pela imagem da tela na figura 22, o domínio da

função { | 2 ( )} { | ( )}2 4 2

kx x k x xπ π ππ− ≠ + ⇒ − ≠ + , a sua imagem ℜ, o período da

função2

p π= , se a função é ou não limitada, e se a função é par ou impar. Ela não é limitada

e é ímpar.

38

Função Trigonométrica - Função Cotangente

Figura 22

39

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta monografia contém parte das reflexões que foram desenvolvidas durante o curso

de W i n p l o t: ferramenta matemática geradora de gráficos, realizado em janeiro 2003. As

questões analisadas aqui são de interesse dos alunos até o ensino médio, professores que

almejem repensar e quem sabe, renovar sua prática de dar aula, e também a alunos do curso

de licenciatura matemática que estão em fase de formação.

Salientamos a necessidade de se localizar as características específicas de cada uma

das funções estudadas, as restrições da função, e que seja indicado no gráfico cada uma das

descobertas verificadas.

Como se procurou retratar o que aconteceu, em alguns casos certas notações foram

utilizadas no lugar de outras. Certos comandos são escolhidos e têm um maior uso, tornando-

se assim mais fáceis, por exemplo, ao se escrever f (x) = ( (-3xxxx) / (xx - 1)) no lugar 4

2

31

xx−−

.

Devemos deixar os alunos ficarem a vontade para trabalhar livremente sendo

instigados a pensar e responder as perguntas criadas pelo professor, ou levantadas por seus

pares. Procurou-se criar um ambiente de aprendizagem colaborativa.

A aprendizagem colaborativa assistida por computador (CSCL - Computer Supported

Collaborative Learning) pode ser definida como uma estratégia educativa em que dois ou

mais sujeitos constroem o seu conhecimento através da discussão, da reflexão e tomada de

decisões, e onde os recursos informáticos atuam como mediadores do processo de ensino-

aprendizagem.

O computador é visto como um recurso para a aprendizagem colaborativa. O

computador ajuda os alunos a comunicar e a colaborar as atividades comuns, fornecendo

também um prestimoso auxílio nos processos de coordenação e organização de atividades.

Este papel de mediador, também assumido pelo professor enfatiza as possibilidades de se usar

o computador não somente como uma ferramenta individual, mas como um meio com o qual

e através do qual os indivíduos e os grupos podem colaborar uns com os outros.

Existem diferenças entre o ambiente de aprendizagem tradicional e esse aqui sugerido.

Fino(2004) construiu um quadro onde essas diferenças ficam evidenciadas.

40

Máximas sobre aprendizagem tradicional Máximas sobre aprendizagem colaborativa

Sala de aula Ambiente de aprendizagem

Professor - autoridade Professor - orientador

Centrada no Professor Centrada no Aluno

Aluno - "Uma garrafa a encher" Aluno - "Uma lâmpada a iluminar"

Reativa, passiva Proativa, investigativa

Ênfase no produto Ênfase no processo

Aprendizagem em solidão Aprendizagem em grupo

Memorização Transformação

Existem elementos básicos que caracterizam uma aprendizagem colaborativa:

interdependência do grupo, interação, pensamento divergente e as formas de avaliação.

A Interdependência do grupo significa que os alunos, como um grupo, têm um

objetivo a alcançar e devem trabalhar eficazmente em conjunto para o alcançar. Primeiro, os

alunos são responsáveis pela sua própria aprendizagem. Segundo, por facilitar a aprendizagem

de todos os membros do grupo. Terceiro, por facilitar a aprendizagem de alunos de outros

grupos. Todos os alunos interagem e todos contribuem para o êxito da atividade proposta.

Um dos objetivos da aprendizagem colaborativa é o de melhorar a competência dos

alunos para trabalhar em equipe, promove a interação entre seus membros. Assim cada

membro do grupo deve assumir integralmente a sua tarefa e disponibilizar de espaço e tempo

para a partilhar com o grupo e, por sua vez, receber as suas contribuições. A vivência do

grupo deve permitir o desenvolvimento de competências pessoais e, de igual modo, o

desenvolvimento de competência de grupo como: participação, coordenação,

acompanhamento, avaliação. Periodicamente deve ser realizada uma avaliação da

funcionalidade do grupo, a fim de se conhecer o seu processo de desenvolvimento.

É importante que não tenha nenhum elemento do grupo que se posicione

ostensivamente como líder ou como elemento mais capaz, mas uma tomada de consciência

que todos podem pôr em comum as suas perspectivas, competências e base de conhecimentos.

As atividades devem ser elaboradas de modo que exijam colaboração em vez de competição

(tarefas complexas e com necessidade de pensamento divergente e criativo).

41

Os métodos para a avaliação independente são baseados em jogos de perguntas,

exercícios, observações da interação do grupo e auto-avaliação.

Existem vantagens numa aprendizagem colaborativa quanto à dinâmica do grupo e ao

nível pessoal

Relativo à dinâmica do grupo a escolha desse tipo de aprendizagem possibilita que se

alcance objetivos qualitativamente mais ricos em conteúdo, na medida em que reúne

propostas e soluções de vários alunos do grupo; os grupos estão baseados na interdependência

positiva entre os alunos, o que requer que cada um se responsabilize mais pela sua própria

aprendizagem e pela aprendizagem dos outros elementos do grupo (aprender partilhando

permite que os alunos se integrem na discussão e tomem consciência da sua responsabilidade

no processo de aprendizagem); incentiva os alunos a aprender entre eles, a valorizar os

conhecimentos dos outros,e a tirar partido das experiências de aprendizagem de cada um; há

uma maior aproximação entre os alunos e uma maior troca ativa de idéias no seio dos grupos,

o faz aumentar o interesse e o compromisso entre eles; além de transformar a aprendizagem

numa atividade eminentemente social; e como conseqüência ocorre um aumento da satisfação

pelo próprio trabalho.

Quanto às vantagens a nível pessoal, a aprendizagem colaborativa aumenta as

competências sociais, de interação e comunicação efetivas; incentiva o desenvolvimento do

pensamento crítico e a abertura mental; permite conhecer diferentes temas e adquirir nova

informação; reforça a idéia que cada aluno é um professor (a aprendizagem emerge do

diálogo ativo entre professores alunos); diminui os sentimentos de isolamento e de temor à

crítica; aumenta a segurança em si mesmo, a auto estima e a integração no grupo; fortalece o

sentimento de solidariedade e respeito mútuo, baseado nos resultados do trabalho em grupo.

Assim em especial quando se trata de formação de professores muito se lucra ao se

estabelecer no ambiente das aulas uma aprendizagem colaborativa.

Aqui fica uma sugestão para se trabalhar com esse programa, cuidado ao preparar sua

aula, lembre-se que todo planejamento é flexível. E no que se constitui a aprendizagem que se

deseja que ocorra nos nossos laboratórios

Na execução cada encontro aconteceram três momentos: preparação, execução e

discussão.

Entende-se por preparação, aquele momento onde o professor certificar-se de que os

estudantes entenderam as tarefas, os objetivos e as suas responsabilidades.

Já a execução, trata-se do trabalho propriamente dito dos estudantes, aonde se

possibilita que os alunos trabalhem sozinho demonstrando respeito e confiança em suas

42

habilidades; se ouve atentamente aos alunos; e quando necessário ou solicitado o mediador

fornece apenas algumas dicas e sugestões; e sempre procura encorajá-los a testar suas idéias;

observar e avaliar o trabalhos que estão em andamento.

Um outro momento importante é aquele em que se estabelece uma discussão com a

classe. Aí cabe ao professor aceitar e testar as avaliações dos alunos sem avaliá-los; conduzir

a discussão à medida que os estudantes justificam e avaliam seus resultados e métodos.

A inserção da informática nas escolas representa algumas vezes uma panacéia se

assentada nas propostas que norteiam o ensino atualmente. Sobre esta questão, as colocações

a seguir são contundentes:

“Qual e o estado atual da educação formal para as novas gerações? A escola é a instituição destinada a garantir essa educação às crianças e aos adolescentes. E a escola tem se constituído em um lugar onde grupos diversificados de “especialistas” tentam transmitir conjuntos estanques de informações a grupos de alunos que se espera aprendam as mesmas coisas num mesmo tempo. A produtividade do sistema “sala de aula” é avaliada pelas respostas dos aprendizes que são comparadas a padrões desejáveis previamente definidos para todos. Assim as coisas que devem ser ensinadas são escolhidas e hierarquizadas pelos que ensinam independentemente das condições estruturais e funcionais daqueles que devem aprender. Os critérios dessa escolha visam proporcionar uma base de fundamentos comuns para qualquer futura profissão e, na melhor das hipóteses, formar o cidadão. O estado atual apresenta resultados medíocres. Os alunos não aprendem uma parte mínima do que se pretende ensinar-lhe e nem mesmo isso são capazes de aplicar a campos extra-escolares. E ainda se aborrecem. Aos professores se pede que, além de tentar acompanhar o crescimento e as reestruturações nos conteúdos de sua área de especialização se apoderem das novas tecnologias. Mas não recebem ajuda para compreender os comportamentos e as atitudes de seus alunos, para entender por que o fracasso, a violência e o desinteresse se convertem em aspectos do quotidiano nos ambientes escolares. É compreensível que qualquer proposta inovadora para melhorar esse quadro seja recebida com muita esperança e corra o risco de se converter numa panacéia. Em muitos países grandes investimentos para informatizar as escolas foram realizados. Entretanto os resultados que o uso desses computadores tem apresentado não parecem tão espetaculares ou pelo menos não tanto quanto se esperou. Pensar e usar esta tecnologia para repetir os procedimentos que ocorriam na escola sem ela, provavelmente manterá o estado atual da educação. Fundamental é descobrir como usá-la para alcançar resultados que aproveitem o máximo de rendimento de suas características específicas e inusuais.” (FAGUNDES, 1988.)

Deve ser lembrado, que a união da matemática com a informática trouxe uma maior

liberdade de criação. Vemos cada vez mais nos laboratórios de informática nas escolas, isto já

se tornou uma realidade em nosso país, há professores com o domínio de processos

tecnológicos utilizando microcomputadores, datashow, lousa interativa, dvd player entre

outros que podem estar disponíveis.

43

Para finaliza, lembramos que o uso do Winplot por si só, não irá ensinar ao aluno uma

matéria utilizando o computador, o aluno deverá desde cedo ter um contato com o

microcomputador, sendo gradativamente sendo apresentado ao mesmo na época da pré-escola

com programas de informática. O uso do Winplot ou qualquer outro programa que representa

graficamente uma função matemática (um plotador) é importante para os alunos de qualquer

série devendo as atividades propostas pelo professor terem sido previamente executadas para

que se tracem os objetivos e que a atividade quando executada possa alcançar os objetivos

traçados.

44

REFERÊNCIAS ALMEIDA, Carmem L. B. S. de. Reflexões acerca do uso do computador na formação de professores de matemática no estado do Pará. SBEM, 2006. BASSO Marcus Vinicius de Azevedo e MAÇADA Débora Laurino. Mathematikos: Disposto a Aprender in http://pontodeencontro.proinfo.mec.gov.br/mathamatikosmarcus.pdf, acessado em março de 2008. BARUFI, M.C.B; LAURO, M.M. Funções elementares, equações e inequações: uma abordagem utilizando microcomputador. São Paulo: CAEM-IME-USP, 2001. BORBA, Marcelo de Carvalho e Penteado, Miriam Gody. Informática e educação matemática. Belo Horizonte : Autêntica, 2001. BRASIL. Aprendizagem da Matemática e as Novas Tecnologias <http://www.niee.ufrgs.br/cursos/topicos-ie/malice/arte.htm.introd >.. Acesso em: 12 de agosto de 2007. FAGUNDES, L. Informática e Educação. VIII Congresso da Sociedade Brasileira de Computação. 1988. FAGUNDES, L. E BASSO, M. V. (1997). Informática Educativa e Comunidades de Aprendizagem. Em Azevedo e outros. Identidade Social e a Construção do Conhecimento. Porto Alegre: Secretaria de Educação de Porto Alegre. FARIAS, Maria Margarete do Rosário. As representações matemáticas mediadas por softwares educativos em uma perspectiva semiótica: uma contribuição para o conhecimento do futuro professor de matemática, [s.n.], 2007, UNESP. MEC – Ministério da Educação – Secretária de Educação Fundamental – PCN’s: Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF.1998. TIKHOMIROV, O. K. The Psychological consequences of computerization. In: WERTSCH, J. V. (Ed.). The concept of activity in soviet psychology. New York: M. E. Sharpe, 1981. p. 256-278.

45

APÊNDICE

CABRAL JR., Paulo Marcos. W I N P L O T: Ferramenta matemática geradora de gráficos, Janeiro 2003

Documents

CABRAL JR., P. M. Software "WINPLOT 2D": ferramenta de vsualização e apoio. UNESA. RJ: RIO DE JANEIRO, 2008 45P