MatemáticaFrente II

CAPÍTULO 21 – RELAÇÕES DE GIRARDCAPÍTULO 21 – RELAÇÕES DE GIRARD

1 – INTRODUÇÃO

Estudamos no Capítulo 9 as relações de Girard para equações do segundo grau. Vimos que, em um polinômio do segundo grau da seguinte forma:

p ( x )=a x2+bx+c

As duas raízes x1 e x2 da equação satisfazem o seguinte par de relações:

x1+ x2=−b/ax1 . x2=c /a

O que veremos aqui é a expansão dessa idéia para polinômios de grau n.

2 – PRODUTOS ALTERNADOS

Para exemplificar o conceito de produtos alternados, considere 3 números: x1, x2 e x3

→ o produto alternado 1 a 1 desses 3 números é definido como:

P1=x1+x2+x3

→ o produto alternado 2 a 2 desses 3 números é definido como:

P2=x1 x2+x1 x3+x2 x3

→ o produto alternado 3 a 3 desses 3 números é definido como:

P3=x1 x2 x3

Vamos agora expandir a idéia para 4 números: Sejam então 4 números x1 , x2 , x3 e x4:

→ o produto alternado 1 a 1 desses 4 números é definido como:

P1=x1+x2+x3+x4

→ o produto alternado 2 a 2 desses 4 números é definido como:

P2=x1 x2+x1 x3+x1 x4+x2 x3+x2 x 4+ x3 x4

→ o produto alternado 3 a 3 desses 4 números é definido como:

P3=x1 x2 x3+x1 x2 x4+x1 x3 x4+x2 x3 x4

→ o produto alternado 4 a 4 desses 4 números é definido como:

P4=x1 x2 x3 x4

Em suma, o produto alternado p a p de n números é a soma de todas as combinações possíveis de se fazer escolhendo p números dos n números de que dispomos.

3 – RELAÇÕES DE GIRARD

As relações de Girard enunciam o seguinte:

Seja p ( x )=an xn+an−1 x

n−1+…+a1 x+a0 um

polinômio de grau n. As suas raízes sempre satisfarão as seguintes equações:

Pk= (−1 )kan−kan, k=1,2 ,…n

Em que Pk é o produto alternado k a k , conforme vimos no item 2.

Apesar de, a princípio parecer algo complicado, sua aplicação na verdade é bem simples após entendermos a lógica. Para isto, vejamos alguns exemplos de sua aplicação:

EXEMPLOS:

→ p ( x )=a x2+bx+c, suas raízes satisfazem as seguintes relações:

x1+ x2=−b/ax1 . x2=c /a

→ p ( x )=a x3+b x2+cx+d, suas raízes satisfazem as seguintes relações:

x1+ x2+x3=−b/ax1 x2+x1 x3+x2 x3=c /a

x1 x2 x3=−d /a

→ p ( x )=a x4+b x3+c x2+dx+e, suas raízes satisfazem as seguintes relações:

x1+ x2+x3+x4=−b/ax1 x2+x1 x3+x1 x4+x2 x3+x2 x4+x3 x4=c/ ax1 x2 x3+x1 x2 x4+x1 x3 x4+x2 x3 x4=−d /a

x1 x2 x3 x4=e/a

A mesma idéia pode se expandir para polinômios de graus maiores, mas as expressões algébricas ficam muito grandes e sua aplicação prática em problemas de vestibular se torna pequena. Em geral nos restringiremos aos polinômios de graus 2, 3 e 4.

16 Algebra CASD Vestibulares

As aplicações do uso das relações de Girard são bastante variadas, facilitando muitas vezes problemas que podem ser resolvidos de outras formas. Sua aplicação principal, porém, ocorre quando os enunciados mencionam o uso de raízes duplas ou triplas. Veremos a seguir alguns exemplos de exercícios em que utilizar relações de Girard nos ajudará.

4 – APLICAÇÕES

Exercício Resolvido 1

Sabendo que o polinômio p ( x )=x3+ p x2+qx+8

admite raiz tripla, determine p e q

Resolução

Sejam x1, x2 e x3 suas raízes, como p admite raiz

tripla, temos: x1=x2=x3=a

Das relações de Girard, temos:x1+ x2+x3=−p→ p=−3ax1 x2+x1 x3+x2 x3=q→q=3a

2

x1 x2 x3=−8→a3=−8

Da terceira equação: a3=−8→a=−2. Encontramos então a raiz do polinômio.

Substituindo nas duas primeiras equações, temos:→ p=−3a=−3. (−2 )=6

→ q=3a2=3. (−2 )2=12

Exercício Resolvido 2

Sabendo que o polinômio x3−7 x2+15x−9 admite raiz dupla, determine todas as suas raízes

Resolução:

Se o polinômio admite raiz dupla, então x1=x2=a.

Chamemos a sua terceira raiz x3 de b.

Das relações de Girard, temos:

x1+ x2+x3=−(−7 )=7→2a+b=7x1 x2+x1 x3+x2 x3=15→a

2+2ab=15

Da primeira equação: b=7−2aSubstituindo isso na segunda equação:

a2+2a (7−2a )=15→3a2−14a+15=0

As soluções desta equação são a=3 e a=5/3

→ Se a=3→b=7−2a=1→ Se a=5/3→b=7−2a=11/3

Para decidir qual valor de a usar, temos que verificar a terceira relação de Girard:

x1 x2 x3=9→a2b=9

A equação só é satisfeita para o caso em que a=3 e b=1, sendo assim, as raízes do polinômio são a=3 (raiz dupla) e b=1.

A partir dessas aplicações, observa-se que muitas vezes é possível evitar a divisão de polinômios apenas utilizando a manipulação algébrica das equações provenientes das relações de Girard.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I

1. (UFPE-2004) Sejam x1, x2 e x3 as raízes da

equação x3−6 x2+3 x−1=0. Determine o

polinômio x3+a x2+bx+c que tem raízes x1 x2, x1 x3 e x2 x3 e indique o valor do produto abc

2. (Ufscar-2002) Considerando que 2 i é raiz do

polinômio P ( x )=5 x5−5x 4−80 x+80, a soma das raízes reais desse polinômio vale:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

3.(Ufc-2002) O polinômio P ( x )=2x3−x2+ax+b,

em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto a .b é igual a:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

4. (Ufrj-2002) Considere o polinômio

p ( x )=x4−4 x3+6 x2−4 x+5

Mostre que i=√−1 é uma de suas raízes e calcule as demais raízes.

5. (PUC-RJ-2006) A diferença entre as raízes do polinômio x2+ax+(a−1 ) é 1. Os possíveis valores

de a são:

a) 0 e 2 b) 1 e 2 c) 0 e 3 d) 1 e 0 e) 1 e 3

6. (Fuvest-2002) As raízes do polinômio

p ( x )=x3−3 x2+m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:

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a) O valor de mb) As raízes desse polinômio

Nível II

7. (Uerj-2002-Adaptada) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir: 3 x3−13 x2+7 x−1. Determine a razão entre sua área total e seu volume.

8. (ITA-2001) O valor da soma a+b para que as

raízes do polinômio 4 x4−20 x3+a x2−25 x+b

estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:

a) 36 b) 41 c) 26 d) -27 e) -20

9. (ITA-2004) Considere a equação

x3+3x2−2x+d=0Em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ¿0,1¿?

10. (PUC-SP-2001) Sabe-se que o polinômio

f=x3+4 x2+5 x+k admite três raízes reais tais que uma delas é a soma das outras duas. Nessas condições, se k é a parte real do número complexo

z=k+2i, então z

a) É um imaginário purob) Tem módulo igual a 2c) É o conjugado de −2−2id) É tal que z2=4 ie) Tem argumento principal igual a 45 °

11. (Unicamp-2003) Seja a um número real e seja:

P ( x )=|3−x −1 √20 a−x −10 4 1−x|

a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação

p ( x )=0b) Encontre os valores de a para os quais a equação

p ( x )=0 tenha uma única raiz real.

12. (Uff-2002) A equação

– x 4+11 x3−38x2+52 x−24=0 tem duas de suas raízes iguais a 2.Dadas as funções f e g definidas, respectivamente,

por f ( x )=−x4+11 x3−38 x2+52 x−24 e

g ( x )=1/√ f ( x ), determine o domínio de g

GABARITO

1. a=−3 , b=6 , c=−1→abc=182. e 3. a 4. 2+i e 2−i 5. E6.a) 2 b) 1−√3 ,1,1+√37. 14 8. b9. (−36+10√15)/910. e11.a) 1+2 i, 1−2 i e 3b) a∈ ¿−3,5¿12. (1,2 )∪ (2,6 )

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