Capítulo 7 Teste de Hipóteses Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA

Capítulo 7Capítulo 7

Teste de HipótesesTeste de Hipóteses

Prof. Paulo Renato de MoraisProf. Paulo Renato de Morais

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

Conceitos de Teste de Conceitos de Teste de HipótesesHipóteses

Teste de HipótesesTeste de Hipóteses

PopulaçãoPopulação

Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese).

Testes de HipótesesTestes de Hipóteses

PopulaçãoPopulação

Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese).

MédiaMédia X X = 20= 20

Rejeito a hipótese!

Ficou longe.

Rejeito a hipótese!

Ficou longe.

Amostra Amostra aleatóriaaleatória

O que é uma Hipótese?O que é uma Hipótese?

1.1. Uma afirmação Uma afirmação sobre um parâmetro sobre um parâmetro populacionalpopulacional

Parâmetro é média, Parâmetro é média, proporção, variância proporção, variância populacionalpopulacional

Deve ser feitaDeve ser feitaantesantes da análise da análise

Eu acredito que a idade Eu acredito que a idade média desta classe é média desta classe é 25 anos!25 anos!

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Hipótese NulaHipótese Nula

1.1. O que se quer testarO que se quer testar

2.2. Tem uma séria conseqüência se a decisão errada Tem uma séria conseqüência se a decisão errada é tomadaé tomada

3.3. Sempre tem um sinal de igualdade: Sempre tem um sinal de igualdade: , , ou ou4.4. Designada por HDesignada por H00

5.5. Especificada como HEspecificada como H00: : Algum valor numérico Algum valor numérico Escrita com sinal = mesmo se Escrita com sinal = mesmo se ou ou Exemplo, HExemplo, H00: : 50 50

Hipótese AlternativaHipótese Alternativa

1.1. Contrário da hipótese nulaContrário da hipótese nula

2.2. Sempre tem sinal de desigualdade:Sempre tem sinal de desigualdade: ,, ou ou

3.3. Designada por HDesignada por H11

4.4. Especificada como HEspecificada como H11: : < Algum valor < Algum valor

numériconumérico Exemplo, HExemplo, H11: : < 50 < 50

Passos para se Estabelecer Passos para se Estabelecer HipótesesHipóteses

PassosPassos

1.1. Formule a questão Formule a questão estatisticamenteestatisticamente

Exemplo:Exemplo:

A média A média populacional é populacional é diferente de 50?diferente de 50?

1.1. 50 50


PassosPassos


2.2. Formule o contrário Formule o contrário estatisticamenteestatisticamente

Devem ser mutuamente exclusivas Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivase exaustivas

Exemplo:Exemplo:


1.1. 50 50

2.2. = 50 = 50


PassosPassos



Devem ser mutuamente exclusivas Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivase exaustivas

3.3. Selecione a hipótese alternativaSelecione a hipótese alternativa Tem o sinal Tem o sinal , , << ou ou > >

Exemplo:Exemplo:


1.1. 50 50

2.2. = 50 = 50

3.3. HH11: : 50 50


PassosPassos



Devem ser mutuamente exclusivas e Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivasexaustivas

3.3. Selecione a hipótese alternativaSelecione a hipótese alternativa Tem o sinal Tem o sinal , , << ou ou > >

4.4. Selecione a hipótese nulaSelecione a hipótese nula

Exemplo:Exemplo:


1.1. 50 50

2.2. = 50 = 50

3.3. HH11: : 50 50

4.4. HH00: : = 50 = 50

Idéia BásicaIdéia Básica

Sample Mean = 50 Sample Mean = 50

HH00HH00

Distribuição AmostralDistribuição Amostral




É improvável É improvável obter uma obter uma média média amostral com amostral com este valor ...este valor ...

... se de fato esta é a ... se de fato esta é a média populacionalmédia populacional

20202020HH00HH00




É improvável É improvável obter uma obter uma média média amostral com amostral com este valor ...este valor ...

... se de fato esta é a ... se de fato esta é a média populacionalmédia populacional

... portanto, ... portanto, rejeita-se a rejeita-se a hipótese que hipótese que

= 50.= 50.

20202020HH00HH00

Nível de SignificânciaNível de Significância

1.1. Define valores pouco prováveis da estatística Define valores pouco prováveis da estatística amostral se a hipótese nula for verdadeiraamostral se a hipótese nula for verdadeira Chamada região de rejeição da distribuição Chamada região de rejeição da distribuição

amostralamostral

2.2. É uma probabilidade É uma probabilidade

3.3. Denotada Denotada (alfa)(alfa)

4.4. Selecionada no inícioSelecionada no início Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10

Valor de HoValor de Ho

Estatística AmostralEstatística Amostral

Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral) (Teste Unilateral)




Região deRegião deRejeiçãoRejeição

Região deRegião deNão-rejeiçãoNão-rejeição

Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral)(Teste Unilateral)


ValorValorCríticoCrítico


HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -

Nível de ConfiançaNível de Confiança


HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -


Valor observado da estatística Valor observado da estatística amostralamostral


HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValueCritical

Value

Sample Statistic

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -




Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) (Teste Bilateral)


Valor de HoValor de Ho ValorValor

CríticoCríticoValorValorCríticoCrítico




Região deRegião deNão-rejeiçãoNão-rejeição

Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) (Teste Bilateral)


Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral)(Teste Bilateral)

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -


Riscos na Tomada de Riscos na Tomada de DecisõesDecisões

Erros na Tomada de Erros na Tomada de DecisõesDecisões

1.1. Erro Tipo IErro Tipo I Rejeitar uma hipótese nula verdadeiraRejeitar uma hipótese nula verdadeira Tem sérias conseqüênciasTem sérias conseqüências Probabilidade de erro Tipo I é Probabilidade de erro Tipo I é (alfa)(alfa)

Chamado nível de significânciaChamado nível de significância

2.2. Erro Tipo IIErro Tipo II Não rejeitar uma hipótese nula falsaNão rejeitar uma hipótese nula falsa Probabilidade de erro Tipo II é Probabilidade de erro Tipo II é (beta)(beta)

Juri Teste de H0

Verdade Verdade

Veredito Inocente Culp. Decision H0 Verd. H0

Falsa

Inocente Correta ErroNão

RejeitaH0

1 - ErroTipo II

()

Culpado Erro Correta RejeitaH0

Erro ipoI ()

Potênc(1 - )

Resultados de DecisõesResultados de Decisões

HH00: Inocente: Inocente

Juri Teste de H0

Verdade Verdade

Veredito Inocente Culp. Decisão H0 Verd. H0

Falsa

Inocente Correta ErroNão

RejeitaH0

1 - Tipo IIErro()

Culpado Erro Correta RejeitaH0

Tipo IErro ()

Potênc(1 - )

Resultados de DecisõesResultados de Decisões

HH00: Inocente: Inocente

e e Têm uma Têm uma Relação Inversa Relação Inversa



Não é possível reduzir ambos os erros!

Passos do Teste de Passos do Teste de HipótesesHipóteses

Passos para Testar HPassos para Testar H00

Estabeleça valores críticosEstabeleça valores críticos

Colete dadosColete dados

Calcule estatística de testeCalcule estatística de teste

Tome decisão estatísticaTome decisão estatística

Expresse a decisãoExpresse a decisão

Formule HFormule H00

Formule HFormule H11

Escolha Escolha

Escolha Escolha nn

Escolha testeEscolha teste

Teste Z Bilateral para a Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (Tamanho da amostra no mínimo 30 (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for

desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral

2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (Tamanho da amostra no mínimo (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for


2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal

3.3. Estatística de teste ZEstatística de teste Z

ZX X

n

x

x

Z

X X

n

x

x

Exemplo de Teste Z Exemplo de Teste Z Bilateral Bilateral

Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém 368368 gramas de gramas de cereal em média? Numa cereal em média? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 3636 caixas obteve-secaixas obteve-seX = X = 372,5372,5. A companhia . A companhia especificou que especificou que é é 1515 gramas. Teste ao nível gramas. Teste ao nível de de 0,050,05..

368 g368 g

Solução do Teste Z BilateralSolução do Teste Z Bilateral

HH00: : = 368 = 368

HH11: : 368 368

0,050,05

nn 3636

Valores Críticos:Valores Críticos:

Estatística de Teste: Estatística de Teste:

Decisão:Decisão:

Conclusão:Conclusão:

Z0 1.96-1.96

.025

Reject H 0 Reject H 0

.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05

Não há evidência que Não há evidência que a média não é 368a média não é 368

ZX

n

372 5 368

1536

180.

.ZX

n

372 5 368

1536

180.

.

QuestãoQuestão

Você quer saber se uma empresa Você quer saber se uma empresa está fabricando cabos elétricos de está fabricando cabos elétricos de acordo com a especificação do acordo com a especificação do cliente: resistência cliente: resistência médiamédia à quebra à quebra de de 7070 lb com lb com = 3,5 = 3,5 lb. Você lb. Você seleciona uma amostra de seleciona uma amostra de 3636 cabos cabos e calcula uma média amostral de e calcula uma média amostral de 69,769,7 lb. Ao nível de lb. Ao nível de 0,050,05, há , há evidência que a máquina evidência que a máquina nãonão esteja esteja obedecendo a especificação?obedecendo a especificação?

Solução do Teste Z BilateralSolução do Teste Z Bilateral

HH00: : = 70 = 70

HH11: : 70 70

= = 0,050,05

nn = = 3636

Valores Críticos:Valores Críticos:


Decisão:Decisão:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

ZX

n

69 7 70

3 536

51.

..Z

X

n

69 7 70

3 536

51.

..

Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05

Não há evidência que Não há evidência que a média não seja 70a média não seja 70

Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (Tamanho da amostra no mínimo 30 (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for


2.2. Hipótese alternativa tem o sinal < ou > Hipótese alternativa tem o sinal < ou >


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (Tamanho da amostra no mínimo (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for


2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal ou >ou >

3.3. Estatística de teste Z Estatística de teste Z

ZX X

n

x

x

Z

X X

n

x

x

Z0

Reject H 0

Z0

Reject H 0

Z0

Reject H 0

Z0

Reject H 0

Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a MédiaMédia

HH00::==0 H0 H11: : << 0 0 HH00::==0 H0 H11: : >> 0 0

Deve ser Deve ser significativamentesignificativamente abaixo de abaixo de

Valores pequenos Valores pequenos satisfazem Hsatisfazem H0 0 . Não . Não

rejeitar!rejeitar!

Z0

= 1

Z0

= 1

Teste Z Unilateral: Teste Z Unilateral: Achando Z CríticoAchando Z Crítico

Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?

= 0,025= 0,025

Z0

= 1

Z0

= 1


0,500 0,500 -- 0,0250,025

0,4750,475

Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?

= 0,025= 0,025

Z .05 .07

1.6 .4505 .4515 .4525

1.7 .4599 .4608 .4616

1.8 .4678 .4686 .4693

.4744 .4756

Z0

= 1

Z0

= 1


0,500 0,500 -- 0,0250,025

0,4750,475

.06

1.9 .4750.4750

Tabela da Normal Padrão:Tabela da Normal Padrão:Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?

= 0,025= 0,025

Z .05 .07

1.6 .4505 .4515 .4525

1.7 .4599 .4608 .4616

1.8 .4678 .4686 .4693

.4744 .4756

Z0

= 1

1.96 Z0

= 1

1.96


0,500 0,500 -- 0,0250,025

0,4750,475.06.06

1.91.9 .4750

Tabela da Normal Padrão:Tabela da Normal Padrão:Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?

= 0,025= 0,025

Exemplo de Teste Z Exemplo de Teste Z UnilateralUnilateral

Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém mais demais de 368368 gramas de cereal em gramas de cereal em média? Numa amostra média? Numa amostra aleatória de aleatória de 36 36 caixas caixas obteve-seobteve-seX = 372,5X = 372,5. A . A companhia especificou companhia especificou que que é é 1515 gramas. Teste gramas. Teste ao nível de ao nível de 0,050,05..

368 g368 g

Solução do Teste Z Solução do Teste Z UnilateralUnilateral

HH00: : = 368 = 368

HH11: : > 368 > 368

= = 0,050,05

n n = = 3636

Valor Crítico:Valor Crítico:


Decisão:Decisão:


Z0 1.645

.05

Reject

Z0 1.645

.05

Reject Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05

Há evidência que a Há evidência que a média é maior que 368média é maior que 368

ZX

n

372 5 368

1536

180.

.ZX

n

372 5 368

1536

180.

.

Nível de Significância Nível de Significância Observado: Valor Observado: Valor pp

ValorValor p p

1.1. Probabilidade de obter uma estatística de teste Probabilidade de obter uma estatística de teste no mínimo tão extrema (no mínimo tão extrema (ou ou do que o valor do que o valor amostral obtido dado que Hamostral obtido dado que H00 é verdadeira é verdadeira

2.2. Chamado nível de significância observadoChamado nível de significância observado Menor valor de Menor valor de que faz H que faz H00 ser rejeitada ser rejeitada

3.3. Usado para tomar decisões de rejeiçãoUsado para tomar decisões de rejeição Se valor Se valor pp , não rejeitar H, não rejeitar H00

Se valor Se valor pp < < , rejeitar H, rejeitar H00

Exemplo do Valor Exemplo do Valor pp para para o Teste Z Bilateral o Teste Z Bilateral

Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém 368368 gramas de gramas de cereal em média? Numa cereal em média? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 3636 caixas obteve-secaixas obteve-seX = X = 372,5372,5. A companhia . A companhia especificou que especificou que é é 2525 gramas. Ache o valor gramas. Ache o valor pp.. 368 g368 g

Solução do Valor Solução do Valor pp para para o Teste Z Bilateralo Teste Z Bilateral

Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80

Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)

ZX

n

372 5 368

1536

180.

.ZX

n

372 5 368

1536

180.

.

Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral


ValorValor p p = = PP(Z (Z -1,80 ou Z -1,80 ou Z 1,80) 1,80)

Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80


Z0 1.80-1.80

1/2 p-value1/2 p-value

Z0 1.80-1.80




Z0 1.80-1.80


Z0 1.80-1.80




Da tabela Z: Da tabela Z: olhar 1,80olhar 1,80

.4641.4641


Z0 1.80-1.80


Z0 1.80-1.80





.4641.4641

0,50000,5000-- 0,46410,4641

0,03590,0359


Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

1/2 p-value.0359

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

1/2 p-value.0359


ValorValor p p = = PP(Z (Z -1.80 ou Z -1.80 ou Z 1.80) = 1.80) = 0,07180,0718



.4641.4641

0,50000,5000-- 0,46410,4641

0,03590,0359


0 1.80-1.80 Z

RejectReject

0 1.80-1.80 Z

RejectReject

1/2 valor p = 0,03591/2 valor p = 0,03591/2 valor 1/2 valor pp = 0,0359 = 0,0359

1/2 1/2 = 0,025 = 0,0251/2 1/2 = 0,025 = 0,025


0 1.80-1.80 Z

RejectReject

0 1.80-1.80 Z

RejectReject

1/2 valor p = 0,03591/2 valor p = 0,03591/2 valor 1/2 valor pp = 0,0359 = 0,0359

1/2 1/2 = 0,025 = 0,0251/2 1/2 = 0,025 = 0,025

(valor (valor pp = 0,0718) = 0,0718) ( ( = 0,05). Não = 0,05). Não rejeitar.rejeitar.

Calculando a Probabilidade Calculando a Probabilidade de Erro Tipo IIde Erro Tipo II

Potência do TestePotência do Teste

1.1. Probabilidade de rejeitar falsa HProbabilidade de rejeitar falsa H0 0

Decisão corretaDecisão correta

2.2. Designada por 1 - Designada por 1 -

3.3. Usada para determinar adequação do testeUsada para determinar adequação do teste

4.4. Afetada por:Afetada por: Valor verdadeiro do parâmetro populacionalValor verdadeiro do parâmetro populacional Nível de significância Nível de significância Desvio padrão e tamanho da amostra Desvio padrão e tamanho da amostra nn

XX00 = 368= 368

RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar

Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 1Passo 1

Hipótese:Hipótese:HH00: : 00 368 368

HH11: : 00 < 368 < 368 = 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368

Situação Situação ‘Verdadeira’:‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360

= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

EspecificarEspecificar

XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368



Hipótese :Hipótese :HH00: : 00 368 368

HH11: : 00 < 368 < 368

Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360

= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368


= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368


= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368


= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


1-1-

XX11 = 360= 360 363,065363,065

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368


065,36325

15)645,1(368

nZX 0L

065,36325

15)645,1(368

nZX 0L

= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


065,36325

15)645,1(368

nZX 0L

065,36325

15)645,1(368

nZX 0L

XX11 = 360= 360 363,065363,065

XX00 = 368= 368




HH11: : 00 < 368 < 368


= 0,05= 0,05

n =n =15/15/2525

= .154= .154

1-1- =.846 =.846

DesenharDesenhar

DesenharDesenhar


Tabela ZTabela Z

Curvas de PotênciaCurvas de Potência

PotênciaPotência

Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11

HH00: : 00

= 368 = 368

ilustradailustrada


PotênciaPotência PotênciaPotência



HH00: : 00 HH00: : 00

= 368 = 368

ilustradailustrada


PotênciaPotência PotênciaPotência

PotênciaPotência




HH00: : 00 HH00: : 00

HH00: : = =00

= 368 = 368

ilustradailustrada

Teste t Bilateral para a Teste t Bilateral para a Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

Teste t para a Média Teste t para a Média (Amostra Pequena)(Amostra Pequena)

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecidoDesvio padrão populacional é desconhecido

Teste t para a Média Teste t para a Média (Amostra Pequena)(Amostra Pequena)

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecidoDesvio padrão populacional é desconhecido

3.3. Estatística de teste T Estatística de teste T

tX

Sn

t

XSn

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 t0

Teste t Bilateral:Teste t Bilateral: Achando os Valores Achando os Valores

Críticos de t Críticos de t Tabela de valores críticos de tTabela de valores críticos de t

/2 = /2 = 0,050,05

/2 = 0,05/2 = 0,05

Dado: n = 3; Dado: n = 3; = 0,10 = 0,10

gl = n - 1 = gl = n - 1 = 22

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 2.920-2.920 t0 2.920-2.920

Teste t Bilateral:Teste t Bilateral: Achando os Valores Achando os Valores

Críticos de tCríticos de tTabela de valores críticos de tTabela de valores críticos de t

/2 = 0,05/2 = 0,05

/2 = 0,05/2 = 0,05

Dado: n = 3; Dado: n = 3; = 0,10 = 0,10

gl = n - 1 = 2gl = n - 1 = 2

Exemplo de Teste t Bilateral Exemplo de Teste t Bilateral

Uma caixa de cereal contém Uma caixa de cereal contém 368368 gramas de cereal em gramas de cereal em média? Numa amostra média? Numa amostra aleatória de aleatória de 2525 caixas caixas obteve-se uma média de obteve-se uma média de 372,5372,5 e um desvio padrão e um desvio padrão dede 1212 gramas. Suponha gramas. Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,050,05.. 368 g368 g

Solução do Teste t BilateralSolução do Teste t Bilateral

HH00: : = 368 = 368

HH11: : 368 368

= = 0,050,05

gl = gl = 25 - 1 = 2425 - 1 = 24Valores Críticos:Valores Críticos:


Decisão:Decisão:


Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05

Não há evidência que Não há evidência que média populacional não média populacional não é 368é 368

tX

Sn

372 5 368

1225

1875.

.tX

Sn

372 5 368

1225

1875.

.

t0 2.064-2.064

.025


.025

t0 2.064-2.064

.025


.025

Teste t Unilateral para a Teste t Unilateral para a Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

Exemplo de Teste t Exemplo de Teste t Unilateral Unilateral

A capacidade média de A capacidade média de baterias é baterias é no mínimo 140 no mínimo 140 ampéres-horas? Numa ampéres-horas? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 2020 baterias obteve-se uma baterias obteve-se uma média de média de 138,47138,47 e um desvio e um desvio padrão de padrão de 2,662,66. Suponha . Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,050,05..

Solução do Teste t Solução do Teste t UnilateralUnilateral

HH00: : = 140 = 140

HH11: : < 140 < 140

= = 0,050,05

gl = gl = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decisão:Decisão:


tX

Sn

138 47 140

2 6620

2 57.

..t

XSn

138 47 140

2 6620

2 57.

..

Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05

Há evidência que a Há evidência que a média é menor que 140média é menor que 140t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

Teste Z para a ProporçãoTeste Z para a Proporção


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Dois resultados categóricosDois resultados categóricos População segue distribuição binomialPopulação segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada

não contém 0 ou nnão contém 0 ou n)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Dois resultados categóricosDois resultados categóricos População segue distribuição binomialPopulação segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada

não contém 0 ou nnão contém 0 ou n

2.2. Estatística de teste Z para a proporçãoEstatística de teste Z para a proporção

Zp p

p pn

( )0

0 01Z

p pp p

n

( )0

0 01Proporção Proporção populacional supostapopulacional suposta

)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn

Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Proporção Proporção

O sistema atual de O sistema atual de empacotamento produz empacotamento produz 10%10% de caixas de cereal de caixas de cereal defeituosas. Usando um novo defeituosas. Usando um novo sistema, uma amostra aleatória sistema, uma amostra aleatória de de 200200 caixas teve caixas teve1111 defeitos. defeitos. O novo sistema produz O novo sistema produz menosmenos defeitos? Teste ao defeitos? Teste ao nível de nível de 0,050,05..

Solução do Teste Z para a Solução do Teste Z para a ProporçãoProporção

HH00: : pp = 0,10 = 0,10

HH11: : pp < 0,10 < 0,10

= = 0,050,05

nn = = 200200



Decisão:Decisão:


Z0-1.645

.05

Reject

Z0-1.645

.05

Reject Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05

Há evidência que novo Há evidência que novo sistema < 10% defeituosassistema < 10% defeituosas

Zp p

p pn

( )

.

. ( . ).0

0 01

11200

10

10 1 10200

2 12Zp p

p pn

( )

.

. ( . ).0

0 01

11200

10

10 1 10200

2 12

Teste para a VariânciaTeste para a Variância


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal


1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal

2.2. Estatística de teste Estatística de teste 22

2

22 s)1n(

Exemplo de Teste Bilateral Exemplo de Teste Bilateral para a Variânciapara a Variância

A variância da capacidade A variância da capacidade das baterias produzidas é das baterias produzidas é 4,20 4,20 ampéres-horasampéres-horas22? ? Numa amostra aleatória de Numa amostra aleatória de 2020 baterias obteve-se uma baterias obteve-se uma média de média de 138,47138,47 e uma e uma variância de variância de 7,087,08. Suponha . Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,100,10..

Solução do Teste Solução do Teste 22 BilateralBilateral

HH00: : = 4,20 = 4,20

HH11: : 4,20 4,20

= = 0,100,10

gl = gl = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19

Valores Críticos:Valores Críticos:22

0,05;190,05;19 = 30,144 = 30,144

220,95;190,95;19 = 10,117 = 10,117


Decisão:Decisão:


03,3220,4

08,7)120(s)1n(2

22

Rejeitar com Rejeitar com = 0,10 = 0,10

Há evidência que a Há evidência que a variância é diferente de variância é diferente de 4,204,20

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Capítulo 7 Teste de Hipóteses Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA